專題08 類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略(解析版)

專題08類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】 1【類型二當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)為偶數(shù)，可用配方法】 4【類型三若方程移項(xiàng)后一邊為0，另一邊能分解成兩個(gè)一次因式的積，可用因式分解】 7【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 10【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 14【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】 16【類型七判斷代數(shù)式的正負(fù)或求最值】 21【類型八利用配方法構(gòu)造非負(fù)數(shù)求值】 24【典型例題】【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】例題：（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程兩邊同時(shí)乘以3，變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．解方程：．【答案】【分析】利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．2．解方程：．【答案】，【分析】利用直接開平方法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：原方程化為：，即，則或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．3．解方程：【答案】【分析】由于方程兩邊都是完全平方式，這兩個(gè)式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即可求解．【詳解】解∶原方程左右開方變形為，即或，解得【點(diǎn)睛】此題主要考查了直接開平方法，解決本題的關(guān)鍵是降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解．4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）用直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用直接開平方法解答即可；（2）用直接開平方法解答即可．【詳解】（1），移項(xiàng)，得，兩邊同時(shí)除以49，得，開方，得，則方程的兩個(gè)根為，．（2）兩邊同時(shí)除以9，得，開方，得，即或，則方程的兩個(gè)根為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用開方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握開方法.5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先移項(xiàng)，寫成的形式，然后利用數(shù)的開方解答．（2）方程兩邊直接開方，再按解一元一次方程的方法求解．【詳解】（1）解：移項(xiàng)得，，開方得，，解得，．（2）方程兩邊直接開方得：，或，∴，或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接開平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．【類型二當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)為偶數(shù)，可用配方法】例題：（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】先移項(xiàng)，再根據(jù)完全平方公式配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，最后求出方程的解即可．【詳解】解：，，配方得：，，開方得：，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．解方程：．【答案】，【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，則，解得，，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，選擇合適的方法正確解方程是解題的關(guān)鍵．2．解方程：．【答案】，【分析】用配方法解方程即可．【詳解】解：或．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程；根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．3．解方程：．【答案】，【分析】移項(xiàng)、配方、兩邊開平方即可得到答案．【詳解】解：移項(xiàng)得，，兩邊同時(shí)加上得，，即，兩邊開平方得，，即或，∴原方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種解法及選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：（用配方法）．【答案】【分析】利用配方法解答，即可求解．【詳解】解：，，，，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┯门浞椒ń夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】首先把移到等號(hào)右邊，然后再等式兩邊同時(shí)加上8，可得，然后再利用直接開平方法解方程即可．【詳解】解：，，，則，，解得：，【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法解一元二次方程，關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，，即，∴，解得：；（2）解：，，即，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【類型三若方程移項(xiàng)后一邊為0，另一邊能分解成兩個(gè)一次因式的積，可用因式分解】例題：（2023秋·廣東湛江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列方程：．【答案】，．【分析】用因式分解法解方程即可．【詳解】解:∴∴或∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，用合適的方法解方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．解下列方程：【答案】，【分析】用分解因式法解一元二次方程即可．【詳解】解：移項(xiàng)得：，分解因式得：，∴或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．2．解方程：．【答案】．【分析】先進(jìn)行移項(xiàng)，在利用因式分解法即可求出答案．【詳解】解：移項(xiàng)得，整理得，∴或，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的技巧是本題解題的關(guān)鍵．3．解方程：【答案】【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，，或，．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．解方程：．【答案】或【分析】利用提公因式法對(duì)方程進(jìn)行因式分解，算出答案．【詳解】解：或【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法進(jìn)行因式分解解一元二次方程，其中準(zhǔn)確找到公因式并進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：．【答案】，【分析】先移項(xiàng)再利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程－因式分解法，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式．6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）解方程：【答案】，【分析】移項(xiàng)，然后用因式分解法解方程即可．【詳解】解：移項(xiàng)整理得：，因式分解得：，即，∴或，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．7．（2023·陜西西安·?？级＃┙夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解解方程是解題的關(guān)鍵．【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】例題：（2023春·安徽淮北·八年級(jí)校聯(lián)考期末）解方程：．【答案】，【分析】先將方程化成一元二次方程的一般形式，再利用求根公式法求解即可．【詳解】解：方程可化為：，∴∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用公式法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市八一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┙庀铝蟹匠蹋骸敬鸢浮?，【分析】先求出，，，根據(jù)一元二次方程判別式，可得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后代入求根公式即可解答．【詳解】解：，，，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法——公式法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求根公式，即．2．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：【答案】，【分析】利用求根公式解答即可．【詳解】解：解：方程整理得：，這里，，，∵，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用公式法解下列方程：3x2+5(2x﹣1)＝0．【答案】＝，＝【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：化為一般式為：這里a＝3，b＝10，c＝﹣5，∵，∴x＝＝＝，解得：＝，＝．【點(diǎn)睛】本題考查了利用公式法解一元二次方程，牢記公式是解題關(guān)鍵．4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）用公式法解方程：【答案】，【分析】把方程化為一般形式為，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解．【詳解】解：化簡(jiǎn)為，∵，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；（2）根據(jù)公式法求解即可．【詳解】（1）解：，∵，，，∴，∴，解得：，；（2），∵，，，∴，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的幾種解法是關(guān)鍵．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法計(jì)算即可；（2）利用解一元二次方程中的公式法計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由公式法可知：∴即：，（2）解：移項(xiàng)得：由公式法可知：∴即：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)要掌握配方法，公式法，因式分解法等．【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】例題：（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）解一元二次方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：∴，∴或，解得，；【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋骸敬鸢浮浚痉治觥坷靡蚴椒纸夥ń庖辉畏匠碳纯桑驹斀狻拷猓赫淼茫?，分解因式得：，可得或，解得：，，【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．解方程：．【答案】，【分析】移項(xiàng)后，利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，即：，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法步驟是解題的關(guān)鍵．3．解方程：．【答案】，【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．【詳解】解：原方程可化為：，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．4．解方程：．【答案】【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴或，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．解方程．【答案】【分析】先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】解：∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，，或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列解方程的過程．解：設(shè)，則原方程可變形為，即，得，．當(dāng)，，∴，，當(dāng)，，無解．所以，原方程的解為，．這種解方程的方法叫做換元法．用上述方法解下面兩個(gè)方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，，【分析】（1）仿照例題方法和步驟解方程即可；（2）設(shè)，進(jìn)而利用解一元二次方程的方法步驟求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程可變形為，即，解得：，．當(dāng)時(shí)，，∴，，當(dāng)，，無解．所以，原方程的解為，．（2）解：設(shè)，則原方程可變形為，即，解得：，．當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，即，解得：．所以，原方程的解為，，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，看懂題中例題的解法，會(huì)利用類比的方法求解一元二次方程是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）例：解方程解：設(shè)，則解得或當(dāng)時(shí)有，解得當(dāng)時(shí)有，解得∴原方程的解為或認(rèn)真閱讀例題的解法，體會(huì)解法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并使用例題的解法及相關(guān)知識(shí)解方程【答案】，【分析】利用題中給出的方法先把(2x+1)3當(dāng)成一個(gè)整體t來計(jì)算，求出t的值，再解一元二次方程．【詳解】解：設(shè)，則，解得或，當(dāng)時(shí)有，解得，當(dāng)時(shí)有，解得，∴原方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程-換元法，看懂題例理解換元法是關(guān)鍵．換元法的一般步驟有：設(shè)元、換元、解元、還原幾步．2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例：用換元法分解因式．解：設(shè)，(1)請(qǐng)你用換元法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；(2)憑你的數(shù)感，大膽嘗試解方程：．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）根據(jù)題意將進(jìn)行換元后分解因式即可．（2）設(shè)分解因式后得到或，帶回后求未知數(shù)的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)，（2）解：設(shè)．則．解得或．當(dāng)時(shí)，，即．解得．當(dāng)時(shí)，，即．解得，．綜上所述，原方程的解為，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用整體思想及換元法解因式分解來求一元二次方程的根，能夠熟練運(yùn)用式子相乘以及整體思想是解題關(guān)鍵．3．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料解方程：．這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椤伲膺@個(gè)方程得：．當(dāng)時(shí)，．∴；當(dāng)時(shí)，，∴所以原方程有四個(gè)根：．在這個(gè)過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．（1）解方程時(shí)，若設(shè)，求出x．（2）利用換元法解方程．【答案】（1），；（2），【分析】（1）直接代入得關(guān)于y的方程，然后進(jìn)行計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)把分式方程變形后求解，把解代入設(shè)中求出x的值．【詳解】解：（1）設(shè)y＝x2﹣x，原方程可變形為：y2﹣4y﹣12＝0，∴因式分解為：，∴或，∴或，對(duì)于方程，解得：，，對(duì)于方程，移項(xiàng)得：，∵，∴上述方程無解，∴原方程的解為：，．（2）設(shè)y＝，則，原方程變形為：，去分母，得，即，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，y＝1是分式方程的根．∴＝1，即：，解得：，．經(jīng)檢驗(yàn)，1±是上述分式方程的根．∴原方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂題例理解換元法是關(guān)鍵．換元法的一般步驟有：設(shè)元、換元、解元、還原幾步．注意應(yīng)用換元法解分式方程，注意驗(yàn)根．【類型七判斷代數(shù)式的正負(fù)或求最值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，多項(xiàng)式的值是（

）A．負(fù)數(shù) B．非正數(shù) C．正數(shù) D．無法確定正負(fù)的數(shù)【答案】C【分析】用配方法把多項(xiàng)式配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷多項(xiàng)式的值的情況．【詳解】解：∵，∴多項(xiàng)式的值是正數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握配方法是解決此類問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）不論為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值（

）A．總不小于 B．總不大于 C．總不小于 D．可為任何實(shí)數(shù)【答案】A【分析】對(duì)原式進(jìn)行配方處理，形成含有完全平方的形式，再運(yùn)用非負(fù)性即可判斷．【詳解】原式＝，∵，，∴，即：原式的值總不小于，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用配方法形成完全平方公式判斷代數(shù)式的值的范圍，準(zhǔn)確配方并理解完全平方式的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．2．（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當(dāng)時(shí)，為正數(shù) D．當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)【答案】B【分析】利用配方法表示出，以及時(shí)，用含的式子表示出，確定的符號(hào)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴；∴當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，即：，∴，∴，∴，即是非正數(shù)；故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查整式加減運(yùn)算，配方法的應(yīng)用．熟練掌握合并同類項(xiàng)，以及配方法，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）閱讀材料：求的最小值．解：，∵即的最小值為0，∴的最小值為4．解決問題：(1)若a為任意實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的最小值為．(2)求的最大值．(3)拓展：①不論x，y為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值．（填序號(hào)）A．總不小于1B．總不大于1C．總不小于6D．可為任何實(shí)數(shù)②已知，求．【答案】(1)(2)5(3)①A；②【分析】（1）對(duì)式子利用配方法求解即可；（2）對(duì)式子利用配方法求解即可；（3）①對(duì)式子中的利用配方法求解即可；②對(duì)式子進(jìn)行配方，求得的值，然后代入求值即可．【詳解】（1）解：，∵，∴的最小值為；故答案為：；（2）解：，∵，∴，∴，即的最大值為5；（3）解：①，∵，，∴的最小值為，故A正確．故選：A．②∵，∴，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，完全平方公式變形計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的應(yīng)用．【類型八利用配方法構(gòu)造非負(fù)數(shù)求值】例題：（2023春·廣西貴港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則