專題08 類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略(解析版)

專題08類比歸納專題：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】 1【類型二當(dāng)二次項系數(shù)為1，且一次項為偶數(shù)，可用配方法】 4【類型三若方程移項后一邊為0，另一邊能分解成兩個一次因式的積，可用因式分解】 7【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 10【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 14【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】 16【類型七判斷代數(shù)式的正負或求最值】 21【類型八利用配方法構(gòu)造非負數(shù)求值】 24【典型例題】【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】例題：（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程兩邊同時乘以3，變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【點睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．解方程：．【答案】【分析】利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：，，，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．2．解方程：．【答案】，【分析】利用直接開平方法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：原方程化為：，即，則或，解得：，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法并靈活運用是解答的關(guān)鍵．3．解方程：【答案】【分析】由于方程兩邊都是完全平方式，這兩個式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，即可求解．【詳解】解∶原方程左右開方變形為，即或，解得【點睛】此題主要考查了直接開平方法，解決本題的關(guān)鍵是降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解．4．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用直接開平方法解答即可；（2）用直接開平方法解答即可．【詳解】（1），移項，得，兩邊同時除以49，得，開方，得，則方程的兩個根為，．（2）兩邊同時除以9，得，開方，得，即或，則方程的兩個根為，．【點睛】本題主要考查了用開方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握開方法.5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先移項，寫成的形式，然后利用數(shù)的開方解答．（2）方程兩邊直接開方，再按解一元一次方程的方法求解．【詳解】（1）解：移項得，，開方得，，解得，．（2）方程兩邊直接開方得：，或，∴，或，解得：，．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接開平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．【類型二當(dāng)二次項系數(shù)為1，且一次項為偶數(shù)，可用配方法】例題：（2023秋·遼寧沈陽·九年級?？计谀┙夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】先移項，再根據(jù)完全平方公式配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，最后求出方程的解即可．【詳解】解：，，配方得：，，開方得：，解得：，．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．解方程：．【答案】，【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，則，解得，，．【點睛】本題考查解一元二次方程，選擇合適的方法正確解方程是解題的關(guān)鍵．2．解方程：．【答案】，【分析】用配方法解方程即可．【詳解】解：或．【點睛】本題考查了解一元二次方程；根據(jù)系數(shù)特點選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．3．解方程：．【答案】，【分析】移項、配方、兩邊開平方即可得到答案．【詳解】解：移項得，，兩邊同時加上得，，即，兩邊開平方得，，即或，∴原方程的解為：，．【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種解法及選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程：（用配方法）．【答案】【分析】利用配方法解答，即可求解．【詳解】解：，，，，，所以．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·上海青浦·八年級?？计谀┯门浞椒ń夥匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥渴紫劝岩频降忍栍疫?，然后再等式兩邊同時加上8，可得，然后再利用直接開平方法解方程即可．【詳解】解：，，，則，，解得：，【點睛】此題主要考查了配方法解一元二次方程，關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）用配方法解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，，即，∴，解得：；（2）解：，，即，∴，解得．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【類型三若方程移項后一邊為0，另一邊能分解成兩個一次因式的積，可用因式分解】例題：（2023秋·廣東湛江·九年級統(tǒng)考期末）解下列方程：．【答案】，．【分析】用因式分解法解方程即可．【詳解】解:∴∴或∴，【點睛】本題主要考查解一元二次方程，用合適的方法解方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．解下列方程：【答案】，【分析】用分解因式法解一元二次方程即可．【詳解】解：移項得：，分解因式得：，∴或，解得：，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法，準(zhǔn)確計算．2．解方程：．【答案】．【分析】先進行移項，在利用因式分解法即可求出答案．【詳解】解：移項得，整理得，∴或，解得：．【點睛】本題考查了解一元一次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的技巧是本題解題的關(guān)鍵．3．解方程：【答案】【分析】先化簡，再根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，，或，．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，正確計算是解題的關(guān)鍵．4．解方程：．【答案】或【分析】利用提公因式法對方程進行因式分解，算出答案．【詳解】解：或【點睛】本題考查了提公因式法進行因式分解解一元二次方程，其中準(zhǔn)確找到公因式并進行因式分解是解題的關(guān)鍵．5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：．【答案】，【分析】先移項再利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程－因式分解法，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式．6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）解方程：【答案】，【分析】移項，然后用因式分解法解方程即可．【詳解】解：移項整理得：，因式分解得：，即，∴或，解得：．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．7．（2023·陜西西安·?？级＃┙夥匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥扛鶕?jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解解方程是解題的關(guān)鍵．【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】例題：（2023春·安徽淮北·八年級校聯(lián)考期末）解方程：．【答案】，【分析】先將方程化成一元二次方程的一般形式，再利用求根公式法求解即可．【詳解】解：方程可化為：，∴∴，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用公式法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州市八一實驗學(xué)校校考期末）解下列方程：【答案】，【分析】先求出，，，根據(jù)一元二次方程判別式，可得到方程有兩個不相等的實數(shù)根，然后代入求根公式即可解答．【詳解】解：，，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法——公式法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求根公式，即．2．（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）解方程：【答案】，【分析】利用求根公式解答即可．【詳解】解：解：方程整理得：，這里，，，∵，∴，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）用公式法解下列方程：3x2+5(2x﹣1)＝0．【答案】＝，＝【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：化為一般式為：這里a＝3，b＝10，c＝﹣5，∵，∴x＝＝＝，解得：＝，＝．【點睛】本題考查了利用公式法解一元二次方程，牢記公式是解題關(guān)鍵．4．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用公式法解方程：【答案】，【分析】把方程化為一般形式為，然后根據(jù)公式法可進行求解．【詳解】解：化簡為，∵，∴，∴，∴，．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；（2）根據(jù)公式法求解即可．【詳解】（1）解：，∵，，，∴，∴，解得：，；（2），∵，，，∴，∴，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的幾種解法是關(guān)鍵．6．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法計算即可；（2）利用解一元二次方程中的公式法計算即可．【詳解】（1）解：由公式法可知：∴即：，（2）解：移項得：由公式法可知：∴即：【點睛】本題考查了解一元二次方程的相關(guān)知識點，重點要掌握配方法，公式法，因式分解法等．【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】例題：（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）解一元二次方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：∴，∴或，解得，；【點睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋骸敬鸢浮浚痉治觥坷靡蚴椒纸夥ń庖辉畏匠碳纯桑驹斀狻拷猓赫淼茫?，分解因式得：，可得或，解得：，，【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．解方程：．【答案】，【分析】移項后，利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，移項得：，即：，，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法步驟是解題的關(guān)鍵．3．解方程：．【答案】，【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．【詳解】解：原方程可化為：，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．4．解方程：．【答案】【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴或，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．解方程．【答案】【分析】先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】解：∴，∴，解得：．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，，或，解得：，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）請閱讀下列解方程的過程．解：設(shè)，則原方程可變形為，即，得，．當(dāng)，，∴，，當(dāng)，，無解．所以，原方程的解為，．這種解方程的方法叫做換元法．用上述方法解下面兩個方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，，【分析】（1）仿照例題方法和步驟解方程即可；（2）設(shè)，進而利用解一元二次方程的方法步驟求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程可變形為，即，解得：，．當(dāng)時，，∴，，當(dāng)，，無解．所以，原方程的解為，．（2）解：設(shè)，則原方程可變形為，即，解得：，．當(dāng)時，，即，∴，∴，，當(dāng)時，，即，解得：．所以，原方程的解為，，．【點睛】本題考查解一元二次方程，看懂題中例題的解法，會利用類比的方法求解一元二次方程是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）例：解方程解：設(shè)，則解得或當(dāng)時有，解得當(dāng)時有，解得∴原方程的解為或認真閱讀例題的解法，體會解法中蘊含的數(shù)學(xué)思想，并使用例題的解法及相關(guān)知識解方程【答案】，【分析】利用題中給出的方法先把(2x+1)3當(dāng)成一個整體t來計算，求出t的值，再解一元二次方程．【詳解】解：設(shè)，則，解得或，當(dāng)時有，解得，當(dāng)時有，解得，∴原方程的解為，．【點睛】本題考查了一元二次方程-換元法，看懂題例理解換元法是關(guān)鍵．換元法的一般步驟有：設(shè)元、換元、解元、還原幾步．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例：用換元法分解因式．解：設(shè)，(1)請你用換元法對多項式進行因式分解；(2)憑你的數(shù)感，大膽嘗試解方程：．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）根據(jù)題意將進行換元后分解因式即可．（2）設(shè)分解因式后得到或，帶回后求未知數(shù)的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)，（2）解：設(shè)．則．解得或．當(dāng)時，，即．解得．當(dāng)時，，即．解得，．綜上所述，原方程的解為，，．【點睛】本題主要考查利用整體思想及換元法解因式分解來求一元二次方程的根，能夠熟練運用式子相乘以及整體思想是解題關(guān)鍵．3．（2023春·八年級課時練習(xí)）閱讀下列材料解方程：．這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椤伲膺@個方程得：．當(dāng)時，．∴；當(dāng)時，，∴所以原方程有四個根：．在這個過程中，我們利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．（1）解方程時，若設(shè)，求出x．（2）利用換元法解方程．【答案】（1），；（2），【分析】（1）直接代入得關(guān)于y的方程，然后進行計算，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)把分式方程變形后求解，把解代入設(shè)中求出x的值．【詳解】解：（1）設(shè)y＝x2﹣x，原方程可變形為：y2﹣4y﹣12＝0，∴因式分解為：，∴或，∴或，對于方程，解得：，，對于方程，移項得：，∵，∴上述方程無解，∴原方程的解為：，．（2）設(shè)y＝，則，原方程變形為：，去分母，得，即，解得，，經(jīng)檢驗，y＝1是分式方程的根．∴＝1，即：，解得：，．經(jīng)檢驗，1±是上述分式方程的根．∴原方程的解為：，．【點睛】本題考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂題例理解換元法是關(guān)鍵．換元法的一般步驟有：設(shè)元、換元、解元、還原幾步．注意應(yīng)用換元法解分式方程，注意驗根．【類型七判斷代數(shù)式的正負或求最值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級?？茧A段練習(xí)）對于任意實數(shù)x，多項式的值是（

）A．負數(shù) B．非正數(shù) C．正數(shù) D．無法確定正負的數(shù)【答案】C【分析】用配方法把多項式配方，再利用非負數(shù)的性質(zhì)判斷多項式的值的情況．【詳解】解：∵，∴多項式的值是正數(shù)，故選：C．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用和非負數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握配方法是解決此類問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）不論為何實數(shù)，代數(shù)式的值（

）A．總不小于 B．總不大于 C．總不小于 D．可為任何實數(shù)【答案】A【分析】對原式進行配方處理，形成含有完全平方的形式，再運用非負性即可判斷．【詳解】原式＝，∵，，∴，即：原式的值總不小于，故選：A．【點睛】本題考查運用配方法形成完全平方公式判斷代數(shù)式的值的范圍，準(zhǔn)確配方并理解完全平方式的非負性是解題關(guān)鍵．2．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當(dāng)時，為正數(shù) D．當(dāng)時，為負數(shù)【答案】B【分析】利用配方法表示出，以及時，用含的式子表示出，確定的符號，進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴；∴當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，即：，∴，∴，∴，即是非正數(shù)；故選項錯誤，選項正確；故選B．【點睛】本題考查整式加減運算，配方法的應(yīng)用．熟練掌握合并同類項，以及配方法，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·七年級期中）閱讀材料：求的最小值．解：，∵即的最小值為0，∴的最小值為4．解決問題：(1)若a為任意實數(shù)，則代數(shù)式的最小值為．(2)求的最大值．(3)拓展：①不論x，y為何實數(shù)，代數(shù)式的值．（填序號）A．總不小于1B．總不大于1C．總不小于6D．可為任何實數(shù)②已知，求．【答案】(1)(2)5(3)①A；②【分析】（1）對式子利用配方法求解即可；（2）對式子利用配方法求解即可；（3）①對式子中的利用配方法求解即可；②對式子進行配方，求得的值，然后代入求值即可．【詳解】（1）解：，∵，∴的最小值為；故答案為：；（2）解：，∵，∴，∴，即的最大值為5；（3）解：①，∵，，∴的最小值為，故A正確．故選：A．②∵，∴，∴，，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，完全平方公式變形計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的應(yīng)用．【類型八利用配方法構(gòu)造非負數(shù)求值】例題：（2023春·廣西貴港·七年級統(tǒng)考期末）若，則