專(zhuān)題11 比例性質(zhì)、黃金分割、平行線分線段成比例壓軸題六種模型全攻略(解析版)

專(zhuān)題11比例性質(zhì)、黃金分割、平行線分線段成比例壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二利用黃金分割求線段的長(zhǎng)】 3【考點(diǎn)三與黃金分割有關(guān)的證明】 4【考點(diǎn)四由平行判斷成比例的線段】 8【考點(diǎn)五由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】 11【考點(diǎn)六構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】 13【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若，求的值．【答案】6或【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出m的值即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)比例的等比性可得：；當(dāng)時(shí)，可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的等比性質(zhì)，但需要注意對(duì)式子用等比性時(shí)一定要注意根據(jù)分母是否為0進(jìn)行分類(lèi)討論．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校?？计谀┤?，則.【答案】3【分析】根據(jù)比例設(shè)，則，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，設(shè)，則，，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，掌握比的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知（，，均不為0），則式子的值是．【答案】1【分析】設(shè)，則，，，然后把，，代入代數(shù)式中進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．【詳解】解：設(shè)，則，，，所以．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期中）已知，求的值．【答案】8或【分析】觀察與發(fā)現(xiàn)，后者是通過(guò)前者相乘得來(lái)，那么只要找出的值解出，因此設(shè)通過(guò)變換化為那么可能是或?qū)@兩種情況分別討論；【詳解】設(shè)則即所以或當(dāng)時(shí)，則同理所以當(dāng)時(shí)，所以故答案為8或-1【點(diǎn)睛】做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個(gè)變量間的關(guān)系，因而假設(shè)做到這步已經(jīng)成功了一半，因而同學(xué)們?cè)诮忸}中一定要仔細(xì)觀察已知與結(jié)論找出其存在或隱含的關(guān)系【考點(diǎn)二利用黃金分割求線段的長(zhǎng)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，書(shū)的長(zhǎng)為14cm，則它的寬為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金比例求解即可．【詳解】解：∵一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，書(shū)的長(zhǎng)為，∴它的寬，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）若線段的長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，則最短的線段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】較長(zhǎng)的線段的長(zhǎng)為cm，則較短的線段長(zhǎng)是．根據(jù)黃金分割的定義即可列方程求解．【詳解】解：較長(zhǎng)的線段的長(zhǎng)為cm，則較短的線段長(zhǎng)是．則，解得或（舍去）．較短的線段長(zhǎng)是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，與一元二次方程的解法，正確理解黃金分割的定義是關(guān)鍵．2．（2023春·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，是的黃金分割點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為4cm，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵P是AB的黃金分割點(diǎn)，，∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三與黃金分割有關(guān)的證明】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點(diǎn)；(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先由等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，可得，，又因?yàn)?，等量代換得出，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義即可證明D是的黃金分割點(diǎn)；（2）由（1）知，那么，，又等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，將代入，即可求出的面積．【詳解】（1）證明：∵，，又∵，∴，∴D是的黃金分割點(diǎn)；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．也考查了三角形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)P，連接，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，以AF為邊作正方形，點(diǎn)M在上．(1)求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？【答案】(1)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）要求AM的長(zhǎng)，只需求得AF的長(zhǎng)，又，，則；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．【詳解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．∵，∴點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段的長(zhǎng)，然后求得線段和之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷．2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長(zhǎng)、短兩條線段AP、PB，若短段與長(zhǎng)段的長(zhǎng)度之比等于長(zhǎng)段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即（此時(shí)線段AP叫做線段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長(zhǎng)為．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中設(shè)則，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結(jié)論；（2）若BD＝1，則，把AB代入到即可求出AC，進(jìn)而可求出BC．【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴設(shè)則，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則，由（1）知，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．【考點(diǎn)四由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可．【詳解】解：A．由，得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．由，得，又由，得，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；C．由，得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理．2．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．【詳解】解：，，，，；∴選項(xiàng)A、C、D正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】例題：（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，如果，，，，那么．【答案】10【分析】利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，，，，，，，，．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校校考三模）如圖，已知直線，如果，，那么線段的長(zhǎng)是．

【答案】6【分析】由平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例可知，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過(guò)點(diǎn)作，分別交、的平分線于點(diǎn)．若，平分線段，則．【答案】//【分析】設(shè)、交于點(diǎn)，結(jié)合可得；由平行線分線段成比例定理可得，即有，再證明，進(jìn)一步可得，易知，可得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設(shè)、交于點(diǎn)，∵，平分線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定、角平分線的定義等知識(shí)，熟練運(yùn)用平行線分線段定理是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)六構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】例題：（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)F，若，，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),由平行線分線段成比例定理得，求得，再結(jié)合中點(diǎn)進(jìn)一步可得，從而得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)；則；而，，；為邊的中點(diǎn)，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構(gòu)造平行線是解決此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川成都·一模）如圖，點(diǎn)D、E是邊上的點(diǎn)，，連接，交點(diǎn)為F，，那么的值是．【答案】/【分析】過(guò)作，交于，依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得到，，進(jìn)而可得的值．【詳解】解：如圖所示，過(guò)作，交于，則，即：，，，即：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，與相交于點(diǎn)，則.【答案】【分析】先過(guò)E作，交于G，再作交于H，由平行線分線段成比例定理的推論，再結(jié)合已知條件，可分別求出和的值，相加即可．【詳解】解：作交于，作交于，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線分線段成比例定理．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若（），則（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得到，，代入代數(shù)式即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊上，，，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【詳解】A、∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∴，不符合題意；B、∵，∴，∴，不符合題意；C、∵，∴，∴，不符合題意；D、∵，∴，∴，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定三角形的相似和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形中，，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，連接，，若，則的長(zhǎng)度是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，先說(shuō)明，利用全等三角形的性質(zhì)說(shuō)明，再利用平行線分線段成比例定理說(shuō)明是中位線，利用中位線的性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．∵，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．∴是的中位線．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的全等，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理、三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“黃金分割”廣泛存在于人們生活實(shí)踐中．在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.36m【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割比列方程直接進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)該雕像的下部設(shè)計(jì)高度為xm，由題意得：，解得：；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2023秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，則．【答案】【分析】設(shè)，，將，代入即可求解．【詳解】設(shè)，，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)，．6．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，abc，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，解得，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023·四川·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，樂(lè)器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為．【答案】【分析】黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．【詳解】解：弦，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，∴，解方程得，，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，∴，解方程得，，∴之間的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）作業(yè)本中有一道題：“如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，，交于點(diǎn)，求的值”，小明解決時(shí)碰到了困難，哥哥提示他過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．最后小明求解正確，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)可得，結(jié)合，可得，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例性質(zhì)得到線段比例．三、解答題9．（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)?？计谀?）若，求的值；（2）若，且，求．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）先設(shè)，得到，然后代入計(jì)算即可；（2）先設(shè)，得到，再根據(jù)求出，最后進(jìn)行比較即可．【詳解】解：（1）設(shè)，∴，∴；（2）設(shè)，∴，∴，解得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)一個(gè)參數(shù)，把題目中的幾個(gè)量用所設(shè)的參數(shù)表示出來(lái)，然后消掉所設(shè)的參數(shù)，即可求得所給代數(shù)式的值．10．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長(zhǎng)；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，可得再代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）由，可得可得結(jié)合，從而可得答案.【詳解】解（1），AB＝3，BC＝6，DE＝4，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意；（2），而DE：EF＝2：3，【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握“兩條直線被一組平行線所截的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵.11．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．(1)如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長(zhǎng)為2米，此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長(zhǎng)CH為1米，再將木桿沿著B(niǎo)C方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)DF為3米，求燈桿AB的高度．【答案】(1)燈桿AB的高度為4米(2)燈桿AB的高度為米【分析】（1）利用平行線分線段成比例的推論可知，代入求解即可；（2）同（1）可得，，先求出BC，進(jìn)而求出AB．【詳解】（1）解：由題意可知，，，∴，由題意，，∴，即，解得，∴燈桿AB的高度為4米；（2）解：由題意可知，，，，∵中，，∴，即，同理，中，，∴，即，∴解得，∴，∴，∴燈桿AB的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．12．（2023·河北石家莊·?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題．角平分線分線段成比例定理：如圖，在中，平分，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程．證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E……任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分；(2)如圖③，在中，是角平分線，，，．求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由，可求證，，，可得，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖②，∵，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）的結(jié)論，可得，∵，，，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、角平分線的定義、解分式方程，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）材料一：北師大版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第四章，對(duì)“黃金分割比”的定義如下：“如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，＝叫做黃金比.”根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，在線段AB另有一點(diǎn)D把線段AB分成兩條線段AD和BD，滿足＝，所以點(diǎn)D也是線段AB的黃金分割點(diǎn)．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)：a1＜a2＜a3＜a4，如果滿足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱a3為a1，a4的黃金數(shù)，a2為a1，a4的白銀數(shù)．請(qǐng)根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題（1）如圖，若AB＝4，點(diǎn)C和點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AC＝，CD＝．（2）實(shí)數(shù)0＜a＜b＜1，且b為0，1的黃金數(shù)，a為0，1的白銀數(shù)，求b﹣a的值．（3）實(shí)數(shù)k＜n＜m＜t，t＝2|