數(shù)字信號處理-Lecture-3

數(shù)字信號處理

第三講中國地質(zhì)大學(xué)(北京)地球物理與信息技術(shù)學(xué)院電子信息工程教研室制作1第二章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)

2.TheDiscrete-TimeSignalsAndSystems2.1引言2.2離散時(shí)間信號2.3離散時(shí)間系統(tǒng)2.4常系數(shù)線性差分方程2本講的主要內(nèi)容常見序列TypicalSequences序列周期性Periodicity

離散時(shí)間系統(tǒng)（一）Discrete-TimeSystems3

幾種常用序列

單位采樣序列δ(n)，也稱單位沖激序列

UnitSampleSequence414

單位階躍序列u(n)UnitStepSequence

δ(n)

和u(n)之間的關(guān)系為：δ(n)=u(n)-u(n-1)它的實(shí)質(zhì)為u(n)的后向差分

25矩形序列RectangleSequence3RN(n)和

(n)、u(n)的關(guān)系：

RN(n)＝u(n)?u(n?N)6實(shí)指數(shù)序列RealExponentialSequencea為實(shí)數(shù)。當(dāng)|a|<1時(shí)，序列是收斂的；當(dāng)|a|>1時(shí)，序列是發(fā)散的。表示0<a<1時(shí)的圖像：47復(fù)指數(shù)序列ComplexExponentialSequence58正弦型序列SinusoidalSequence69序列的周期性PeriodicityofSequences如果序列x(n)對所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿足x(n)=x(n+N)，

那么稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。設(shè)連續(xù)正弦信號為：x(t)=Asin(Ω0t+φ)角頻率為Ω0=2

f0，信號的頻率為f0，周期為T0

=1/f0，用采樣周期T對x(t)進(jìn)行采樣

x(n)=x(t)|t=nT=Asin(ω0

nT+φ)

令ω0=Ω0T0，x(n)=Asin(ω0

n+φ)

x(n+N)=Asin[(n+N)

ω0+φ]=Asin[nω0+Nω0+φ]510當(dāng)Nω0=2πk時(shí)，x(n)=x(n+N)。此時(shí)，正弦序列為周期序列，周期滿足N=2πk/ω0。

對2π/ω0分類討論：（1）當(dāng)2π/ω0為整數(shù)時(shí)，k=1時(shí)，2π/ω0

為最小正整數(shù)，所以周期為2π/ω0

。（2）當(dāng)2π/ω0不是整數(shù)，而是有理數(shù)時(shí)，即2π/ω0=p/q，其中p與q為互素的整數(shù)，則2πq/ω0=p=N為最小正整數(shù)，此時(shí) 序列的周期N大于值2π/ω0=p/q。（3）當(dāng)2π/ω0是無理數(shù)時(shí)，對任何k都不能使N為11φ=0，

ω0=2π/10，A=1正弦序列周期序列，周期N=10正整數(shù)，此時(shí)正弦序列不是周期的。12由以上可知：這表明，若2π/ω0為整數(shù)，就表示連續(xù)正弦信號的周期應(yīng)為采樣時(shí)間間隔的整數(shù)倍；若2π/ω0為有理數(shù)，就表明T0與T是互素的整數(shù)。如ω0=2π·3/14則有因而可得14T=3T0

即，14個(gè)采樣間隔等于3個(gè)連續(xù)正弦信號的周期。所的采樣信號的周期為14。1314對于連續(xù)時(shí)間正弦信號x(t)=Asin(Ω0t+φ)或者x(t)=Acos(Ω0t+φ)，隨著Ω0的增加，震蕩愈來愈快；對于離散時(shí)間正弦信號x(n)=Asin(Ω0n+φ)或者x(n)=Acos(Ω0n+φ)，當(dāng)ω0從0增加到π時(shí)，震蕩愈來愈快，當(dāng)ω0從π增加到2π時(shí)，震蕩反而變慢，如下圖所示（cos(nω0)

）:隨著ω0從0增加到π[a~d]，序列震蕩加快；隨著ω0從π增加到2π[d

~a]，序列震蕩反變慢。1516對于幾個(gè)不同ω0值的cos(nω0)變化情況17

周期序列和周期

PeriodicSequencesandPeriods如果x1(n)是一個(gè)周期為N1的序列，x2(n)是一個(gè)周期為N2的序列，其和x(n)=x1(n)+x2(n)將恒為周期序列，且其周期為

gcd(N1,N2)表示與的最大公約數(shù)。18例題：19解:

(a)所以，x(n)是以N=16為周期的。

(b)x1(n)是以N1=24，x2(n)是以N2=36為周期的，x(n)的周期為20(c)

0=0.2，2

/0.2=10

，為無理數(shù)，故它不是周期序列。(d)是以N1=32，而是以N=34為周期的，故x(n)是以為周期的。

21任意序列的表示

RepresentationofArbitrarySequences可以將任意序列表示成單位采樣序列的移位加權(quán)和，即

這是因?yàn)橹挥衜=n時(shí)，δ(n-m)=1，所以同樣，上式x(n)的表達(dá)式可看成x(n)和δ(n)的卷積。622用單位抽樣序列表示任意序列x(n)23由此可見，x(n)可表示為

x(n)＝a?3

(n+3)+a2

(n?2)+a6x(n?6)可看成單位采樣序列的移位加權(quán)和，亦可表示成x(n)與δ(n)的卷積和。啊！真棒！任意序列都可以用單位采樣序列的線性疊加來表示！24序列的能量EnergyofSequences

序列x(n)的能量E

定義為序列各采樣值的平方和，即7能量守恒25?線性系統(tǒng)

linearsystems?時(shí)不變系統(tǒng)

invariant-timesystems?因果系統(tǒng)

causalsystems?穩(wěn)定系統(tǒng)

stablesystems?可逆系統(tǒng)

reversalsystems一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)為

y(n)=T[x(n)]表明輸入信號x(n)經(jīng)過轉(zhuǎn)換后變?yōu)檩敵鲂盘杫(n)。

2.3離散時(shí)間系統(tǒng)

TheDiscrete-TimeSystems離散時(shí)間系統(tǒng)T[·]x(n)y(n)系統(tǒng)分類

Classification

26§線性系統(tǒng)linearsystems離散時(shí)間系統(tǒng)滿足T[ax(n)]=aT[x(n)]

稱此系統(tǒng)具有均勻性（亦稱為齊次性homogeneity，比例性）。若離散時(shí)間系統(tǒng)滿足

T[x1(n)+x2(n)]=T[x1(n)]+T[x2(n)]則稱該系統(tǒng)具有可加性(addition)。既具有均勻性又具有可加性的離散時(shí)間系統(tǒng)叫做離散時(shí)間線性系統(tǒng)，或說系統(tǒng)具有線性。27輸入為x1(n)、x2(n)時(shí)，且輸出分別為y1

(n)、y2

(n)，即y1(n)=T[x1

(n)]，y2(n)=T[x2

(n)]當(dāng)輸入為x(n)=a1x1

(n)+a2x2

(n)時(shí)，輸出一定為

y(n)=a1y1

(n)+a2y2

(n)（a1、a2為任意常數(shù)）即

T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1T[x1

(n)]+a2T[x2

(n)] =a1y1(n)+a2y2(n)例題:

說明y(n)=9x(n)+5是一非線性離散時(shí)間系統(tǒng)。28解：

y1(n)=T[x1

(n)]=9x1(n)+5

y2(n)=T[x2

(n)]=9x2(n)+5所以

a1y1(n)+a2y2(n)=9a1x1(n)+9a2x2(n)+5(a1+a2)但是

T[a1x1(n)+a2x2(n)]=9[a1x1(n)+a2x2(n)]+5因而

T[a1x1(n)+a2x2(n)]≠

a1y1(n)+a2y2(n)所以此系統(tǒng)不是線性離散時(shí)間系統(tǒng)。29例題：已知輸入x(n)和輸出y(n)滿足以下關(guān)系式

y(n)=log[x(n)]

討論此系統(tǒng)是否是離散時(shí)間線性系統(tǒng)。解：1.討論可加性，令y1(n)、y2(n)分別是輸入為

x1(n)、x2(n)時(shí)的輸出，若系統(tǒng)具有可加性，則當(dāng)輸入x(n)=x1(n)+x2(n)時(shí)，輸出應(yīng)為y(n)=y1

(n)+y2

(n)，但在此系統(tǒng)中，

y(n)=T[x(n)]=log[x(n)]=log[x1

(n)+x2(n)]

≠log[x1

(n)]+lo