數(shù)字信號(hào)處理-Lecture-8

數(shù)字信號(hào)處理

第八講中國地質(zhì)大學(xué)(北京)地球物理與信息技術(shù)學(xué)院電子信息工程教研室制作1本講主要內(nèi)容：冪級(jí)數(shù)展開法

z

變換的性質(zhì)2冪級(jí)數(shù)展開法由序列x(n)的Z變換定義知，X(z)實(shí)際上為z-1

的冪級(jí)數(shù)，即級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。3例題3-11用冪級(jí)數(shù)展開法求下式的Z反變換。解：將X(z)看成是分母為1的有理函數(shù)，且有一個(gè)極點(diǎn)z=0，顯然它在z

0的平面內(nèi)收斂，將其展開為多項(xiàng)式形式

4例題3-11可以看出x(

2)=1，x(

1)=

1，x(0)=

1/9，x(1)=1/9，故所求的Z反變換為5例題3-13求下式的Z反變換x(n)。解:這是一個(gè)超越函數(shù)，首先考慮對(duì)log(1+x)的冪級(jí)數(shù)展開，當(dāng)|x|<1時(shí)，有6例題3-13因?yàn)閨z|>|c|，在形式上取x=cz

-1，則有故7##3.3Z

變換性質(zhì)

Section3.2

ZTransformProperties在研究離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)，Z變換的許多性質(zhì)非常有用，本節(jié)將討論最常用的幾個(gè)性質(zhì)。本節(jié)作一總的假設(shè)，設(shè)序列x(n)的Z變換為X(z)，收斂域ROC:Rx

<|z|<Rx+。線性性時(shí)移性線性性線性性線性性線性性線性性線性性線性性時(shí)移性時(shí)移性時(shí)移性時(shí)移性時(shí)移性時(shí)移性時(shí)移性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性················································83.3.1線性性

線性性就是指滿足均勻性和可加性，若那么

(3-34)其中a、b為任意常數(shù)。

93.3.1線性性相加以后Z變換收斂域一般為兩個(gè)相加序列收斂域的公共部分，即

R

=max(Rx

，Ry

)R+=min(Rx+，Ry+)若零點(diǎn)與極點(diǎn)互相抵消，收斂域可能擴(kuò)大。103.3.2時(shí)移性根據(jù)序列的移位，有左移(超前)及右移(延遲)兩種情況。若那么(3-35)

式中n0為任意整數(shù)，n0為正，則為延遲，n0為負(fù)，則為超前。113.3.3指數(shù)序列相乘性如果那么序列x(n)乘以指數(shù)序列a?（a是常實(shí)數(shù)或常復(fù)數(shù)）后，就有

(3-36)12例題3-15利用指數(shù)序列相乘性來求

x(n)＝r?cos(

0n)u(n)(r>0)

的Z變換。解:查表知：，又利用歐拉公式得

13例題3-15然后將其與u(n)相乘，并利用指數(shù)序列相乘性，得143.3.4X(z)的微分若那么

(3-37)

15例題3-16求x(n)=na?u(n)的Z變換。解：因?yàn)樗?63.3.5復(fù)序列的共軛一個(gè)復(fù)序列x(n)的共軛序列為x*(n)，那么

(3-38)

173.3.6復(fù)序列的翻褶若，那么

(3-39)183.3.7序列的卷積設(shè)y(n)為x(n)與h(n)的卷積和：，且

(3-40)

19例題3-17求序列x(n)=a?u(n)與h(n)=u(n)的卷積和(|a|<1)。解：x(n)與h(n)的Z變換分別為20例題3-17所以21例題3-17Y(z)的零極點(diǎn)如圖3-16所示收斂域就是兩者的重疊部分。Y(z)的Z反變換y(n)為因而有22例題3-18求x(n)=a?u(n)和h(n)＝b?u(n)

ab?-1u(n

1)的卷積和(|a|>|b|)。

解：x(n)和h(n)的Z變換分別為23例題3-18所以其Z反變換為：

y(n)＝x(n)*h(n)＝Z

1[Y(z)]＝b?u(n)在z=a處，X(z)的極點(diǎn)被H(z)的零點(diǎn)所抵消，|b|<|a|，Y(z)的收斂域比X(z)與H(z)收斂域的重疊部分要大，如圖3-17所示。24例題3-18圖3-17[a?u(n)]

[b?u(n)

ab?-1(n1)]的Z變換收斂域，|b|<|a|故收斂域擴(kuò)大了253.3.8序列相乘若y(n)＝x(n)h(n)，且那么

(3-41)263.3.8序列相乘其中C+是啞變量v平面上X(z/v)與H(z)公共收斂域內(nèi)環(huán)繞坐標(biāo)原點(diǎn)的一條反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的簡單閉合曲線，同時(shí)滿足(3-42)273.3.8序列相乘由兩不等式相乘后，得v平面收斂域?yàn)?/p>

(3-43)283.3.8序列相乘由于乘積x(n)h(n)的先后次序可以互調(diào)，所以下列等式同樣成立；

(3-44)293.3.8序列相乘且閉合曲線C+所在的收斂域?yàn)槭?3-41)和式(3-44)有時(shí)也稱為Z域的復(fù)卷積定理，可用留數(shù)定理來求解式(3-41)和式(3-44)復(fù)卷積的積分。(3-45)

303.3.9初值定理如果n<0，x(n)=0，即x(n)是因果序列，那么有(3-49)3.3.10終值定理若x(n)是因果序列，且X(z)＝Z[x(n)]的極點(diǎn)處于單位圓|z|＝1以內(nèi)，那么

(3-50)313.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以得到帕塞瓦爾定理。若且Rx

Rh

<1<Rx+Rh+(3-51)則

(3-52)“

”表示取復(fù)共軛

323.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理C+應(yīng)在X(v)和H*(1/v*)的公共收斂域內(nèi)，即

如果X(z)、H(z)在單位圓上都收斂，則C+可取為單位圓，即333.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理那么，式(3-52)可化為

(3-53)343.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理如果h(n)＝x(n)，可以得到式(3-53)、式(3-54)是序列及其傅立葉變換的帕塞瓦爾公式。(3-54)

35序列Z

變換收斂域x(n)X(z)Rx?<|z|<Rx+h(n)H(z)Rh?<|z|<Rh+ax(n)+bh(n)aX(z)+bH(z)max[Rx?,Rh?]<|z|<min[Rx+,Rh+]x(n?m)z?mX(z)Rx?<|z|<Rx+anx(n)X(z/a)|a|Rx?<|z|<|a|Rx+nmx(n)(?zd/dz)mX(z)Rx?<|z|<Rx+x*(n)X*(z*)Rx?<|z|<Rx+x(?n)X(1/z)1/Rx+<|z|<1/Rx?x*(?n)X*(1/z*)1/Rx+<|z|<1/Rx?表3-2Z變換的主要性質(zhì)36Re[x(n)]1/2[X(z)+X*(z*)]Rx?<|z|<Rx+Im[x(n)]1/2j[X(z)

?X*(z*)]Rx?<|z|<Rx+X(z)|z|>max[Rx?,1]x(n)為因果序列x(n)*h(n)X(z)H(z)max[Rx?,Rh?]<|z|<min[Rx+,Rh+]x(n)

h(n)Rx?Rh?<|z|<Rx+R