數(shù)字信號處理-Lecture-8

數(shù)字信號處理

第八講中國地質(zhì)大學(xué)(北京)地球物理與信息技術(shù)學(xué)院電子信息工程教研室制作1本講主要內(nèi)容：冪級數(shù)展開法

z

變換的性質(zhì)2冪級數(shù)展開法由序列x(n)的Z變換定義知，X(z)實際上為z-1

的冪級數(shù)，即級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。3例題3-11用冪級數(shù)展開法求下式的Z反變換。解：將X(z)看成是分母為1的有理函數(shù)，且有一個極點z=0，顯然它在z

0的平面內(nèi)收斂，將其展開為多項式形式

4例題3-11可以看出x(

2)=1，x(

1)=

1，x(0)=

1/9，x(1)=1/9，故所求的Z反變換為5例題3-13求下式的Z反變換x(n)。解:這是一個超越函數(shù)，首先考慮對log(1+x)的冪級數(shù)展開，當|x|<1時，有6例題3-13因為|z|>|c|，在形式上取x=cz

-1，則有故7##3.3Z

變換性質(zhì)

Section3.2

ZTransformProperties在研究離散時間信號與系統(tǒng)時，Z變換的許多性質(zhì)非常有用，本節(jié)將討論最常用的幾個性質(zhì)。本節(jié)作一總的假設(shè)，設(shè)序列x(n)的Z變換為X(z)，收斂域ROC:Rx

<|z|<Rx+。線性性時移性線性性線性性線性性線性性線性性線性性線性性時移性時移性時移性時移性時移性時移性時移性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性指數(shù)序列相乘性················································83.3.1線性性

線性性就是指滿足均勻性和可加性，若那么

(3-34)其中a、b為任意常數(shù)。

93.3.1線性性相加以后Z變換收斂域一般為兩個相加序列收斂域的公共部分，即

R

=max(Rx

，Ry

)R+=min(Rx+，Ry+)若零點與極點互相抵消，收斂域可能擴大。103.3.2時移性根據(jù)序列的移位，有左移(超前)及右移(延遲)兩種情況。若那么(3-35)

式中n0為任意整數(shù)，n0為正，則為延遲，n0為負，則為超前。113.3.3指數(shù)序列相乘性如果那么序列x(n)乘以指數(shù)序列a?（a是常實數(shù)或常復(fù)數(shù)）后，就有

(3-36)12例題3-15利用指數(shù)序列相乘性來求

x(n)＝r?cos(

0n)u(n)(r>0)

的Z變換。解:查表知：，又利用歐拉公式得

13例題3-15然后將其與u(n)相乘，并利用指數(shù)序列相乘性，得143.3.4X(z)的微分若那么

(3-37)

15例題3-16求x(n)=na?u(n)的Z變換。解：因為所以163.3.5復(fù)序列的共軛一個復(fù)序列x(n)的共軛序列為x*(n)，那么

(3-38)

173.3.6復(fù)序列的翻褶若，那么

(3-39)183.3.7序列的卷積設(shè)y(n)為x(n)與h(n)的卷積和：，且

(3-40)

19例題3-17求序列x(n)=a?u(n)與h(n)=u(n)的卷積和(|a|<1)。解：x(n)與h(n)的Z變換分別為20例題3-17所以21例題3-17Y(z)的零極點如圖3-16所示收斂域就是兩者的重疊部分。Y(z)的Z反變換y(n)為因而有22例題3-18求x(n)=a?u(n)和h(n)＝b?u(n)

ab?-1u(n

1)的卷積和(|a|>|b|)。

解：x(n)和h(n)的Z變換分別為23例題3-18所以其Z反變換為：

y(n)＝x(n)*h(n)＝Z

1[Y(z)]＝b?u(n)在z=a處，X(z)的極點被H(z)的零點所抵消，|b|<|a|，Y(z)的收斂域比X(z)與H(z)收斂域的重疊部分要大，如圖3-17所示。24例題3-18圖3-17[a?u(n)]

[b?u(n)

ab?-1(n1)]的Z變換收斂域，|b|<|a|故收斂域擴大了253.3.8序列相乘若y(n)＝x(n)h(n)，且那么

(3-41)263.3.8序列相乘其中C+是啞變量v平面上X(z/v)與H(z)公共收斂域內(nèi)環(huán)繞坐標原點的一條反時針旋轉(zhuǎn)的簡單閉合曲線，同時滿足(3-42)273.3.8序列相乘由兩不等式相乘后，得v平面收斂域為

(3-43)283.3.8序列相乘由于乘積x(n)h(n)的先后次序可以互調(diào)，所以下列等式同樣成立；

(3-44)293.3.8序列相乘且閉合曲線C+所在的收斂域為式(3-41)和式(3-44)有時也稱為Z域的復(fù)卷積定理，可用留數(shù)定理來求解式(3-41)和式(3-44)復(fù)卷積的積分。(3-45)

303.3.9初值定理如果n<0，x(n)=0，即x(n)是因果序列，那么有(3-49)3.3.10終值定理若x(n)是因果序列，且X(z)＝Z[x(n)]的極點處于單位圓|z|＝1以內(nèi)，那么

(3-50)313.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以得到帕塞瓦爾定理。若且Rx

Rh

<1<Rx+Rh+(3-51)則

(3-52)“

”表示取復(fù)共軛

323.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理C+應(yīng)在X(v)和H*(1/v*)的公共收斂域內(nèi)，即

如果X(z)、H(z)在單位圓上都收斂，則C+可取為單位圓，即333.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理那么，式(3-52)可化為

(3-53)343.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理如果h(n)＝x(n)，可以得到式(3-53)、式(3-54)是序列及其傅立葉變換的帕塞瓦爾公式。(3-54)

35序列Z

變換收斂域x(n)X(z)Rx?<|z|<Rx+h(n)H(z)Rh?<|z|<Rh+ax(n)+bh(n)aX(z)+bH(z)max[Rx?,Rh?]<|z|<min[Rx+,Rh+]x(n?m)z?mX(z)Rx?<|z|<Rx+anx(n)X(z/a)|a|Rx?<|z|<|a|Rx+nmx(n)(?zd/dz)mX(z)Rx?<|z|<Rx+x*(n)X*(z*)Rx?<|z|<Rx+x(?n)X(1/z)1/Rx+<|z|<1/Rx?x*(?n)X*(1/z*)1/Rx+<|z|<1/Rx?表3-2Z變換的主要性質(zhì)36Re[x(n)]1/2[X(z)+X*(z*)]Rx?<|z|<Rx+Im[x(n)]1/2j[X(z)

?X*(z*)]Rx?<|z|<Rx+X(z)|z|>max[Rx?,1]x(n)為因果序列x(n)*h(n)X(z)H(z)max[Rx?,Rh?]<|z|<min[Rx+,Rh+]x(n)

h(n)Rx?Rh?<|z|<Rx+R