2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第7講拋物線創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE1-第7講拋物線[考綱解讀]1.駕馭拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡潔的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、準(zhǔn)線)．(重點)2．能依據(jù)幾何性質(zhì)求最值，能利用拋物線的定義進行敏捷轉(zhuǎn)化，并能理解數(shù)形結(jié)合思想，駕馭拋物線的簡潔應(yīng)用．(難點)[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講是高考中的一個熱點內(nèi)容．預(yù)料2024年高考將會考查：①拋物線的定義及其應(yīng)用；②拋物線的幾何性質(zhì)；③直線與拋物線的位置關(guān)系及拋物線與橢圓或雙曲線的綜合．試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現(xiàn)，敏捷多變、技巧性強，具有肯定的區(qū)分度．試題中等偏難.1.拋物線的定義平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F?l)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的eq\o(□,\s\up1(01))焦點，直線l叫做拋物線的eq\o(□,\s\up1(02))準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：eq\o(□,\s\up1(01))焦點F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點O(0,0)對稱軸eq\o(□,\s\up1(02))y＝0eq\o(□,\s\up1(03))x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\o(□,\s\up1(04))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\o(□,\s\up1(05))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)eq\o(□,\s\up1(06))y＝－eq\f(p,2)eq\o(□,\s\up1(07))y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下3．必記結(jié)論(1)拋物線y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．(2)y2＝ax(a≠0)的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(a,4).(3)直線AB過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如圖．①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2eq\r(x1x2)＝p，即當(dāng)x1＝x2時，弦長最短為2p.③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).④弦長AB＝eq\f(2p,sin2α)(α為AB的傾斜角)．⑤以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．⑥焦點F對A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.1．概念辨析(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡肯定是拋物線．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．()(4)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線肯定相切．()(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a＞0)的通徑長為2a答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．小題熱身(1)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是()A.eq\f(17,16) B.eq\f(15,16)C.eq\f(7,8) D．0答案B解析M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,16)，設(shè)M(x，y)，則y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).(2)拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程是()A．x＝eq\f(1,2) B．x＝－eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,8) D．y＝－eq\f(1,8)答案D解析拋物線y＝2x2的方程可化為x2＝eq\f(y,2)，其準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,8).(3)頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y答案D解析設(shè)拋物線為y2＝mx，代入點P(－4，－2)，解得m＝－1，則拋物線方程為y2＝－x；設(shè)拋物線為x2＝ny，代入點P(－4，－2)，解得n＝－8，則拋物線方程為x2＝－8y.故選D.(4)若過拋物線y2＝8x的焦點作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為()A．8 B．16C．32 D．64答案B解析由拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，得直線的方程為y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦長為x1＋x2＋p＝12＋4＝16.故選B.題型一拋物線的定義及應(yīng)用1．過點F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡方程為()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y答案D解析由題意，得動圓的圓心到直線y＝－3的距離和到點F(3,0)的距離相等，所以動圓的圓心是以點F(0,3)為焦點，直線y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2＝12y.2．(2024·沈陽模擬)拋物線y2＝6x上一點M(x1，y1)到其焦點的距離為eq\f(9,2)，則點M到坐標(biāo)原點的距離為________．答案3eq\r(3)解析由題意，知焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2)，點M(x1，y1)到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以x1＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2)，解得x1＝3，所以yeq\o\al(2,1)＝18，所以|OM|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＝3eq\r(3).條件探究將本例中的條件變?yōu)椤霸趻佄锞€上找一點M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)”．則點M的坐標(biāo)為________，此時的最小值為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))eq\f(9,2)解析如圖，點A在拋物線y2＝6x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|為點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離．過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M1，垂足為B，則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝3－－eq\f(3,2)＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)點M在M1的位置時等號成立．即|MA|＋|MF|的最小值為eq\f(9,2)，此時點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)).利用拋物線的定義可解決的常見問題(1)軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線．見舉例說明1.(2)距離問題：涉及拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時，留意在解題中利用兩者之間的關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化．見舉例說明2.(3)看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．1．若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標(biāo)原點，則△OFP的面積為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案B解析設(shè)P(xP，yP)，由題意，得拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又點P到焦點F的距離為2，∴由拋物線的定義知點P到準(zhǔn)線的距離為2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入拋物線方程得|yP|＝2，∴△OFP的面積為S＝eq\f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×1×2＝1.2．(2024·山西高校附中模擬)已知點Q(2eq\r(2)，0)及拋物線y＝eq\f(x2,4)上一動點P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是________．答案2解析拋物線y＝eq\f(x2,4)即x2＝4y，其焦點坐標(biāo)為點F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.因為點Q的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以|FQ|＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3.過點P作準(zhǔn)線的垂線PH，交x軸于點D，如圖所示．結(jié)合拋物線的定義，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1．(2024·全國卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個焦點，則p＝()A．2 B．3C．4 D．8答案D解析拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\r(2p)，0)).由題意得eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.故選D.2．(2024·北京高考)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為________．答案(x－1)2＋y2＝4解析拋物線y2＝4x的焦點F坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.3．如圖所示，拋物線形拱橋的跨度是20米，拱高是4米，在建橋時，每隔4米須要用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長度．解建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，因為拋物線過點B(10，－4)，所以102＝－2p·(－4)，解得p＝eq\f(25,2)，所以x2＝－25y，當(dāng)x＝2時，y＝－eq\f(4,25)，所以最長支柱長為4－|y|＝4－eq\f(4,25)＝3.84(m)．1．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式，要駕馭焦點到準(zhǔn)線的距離，頂點到準(zhǔn)線、焦點的距離，通徑長與標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)2p的關(guān)系．見舉例說明2.(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時要進行分類探討，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．見舉例說明3.2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)要結(jié)合圖形分析，敏捷運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算．1．已知A是拋物線y2＝2px(p>0)上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)|AF|＝4時，∠OFA＝120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是()A．x＝－1 B．y＝－1C．x＝－2 D．y＝－2答案A解析過A向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為B，準(zhǔn)線與x軸的交點為D(圖略)．因為∠OFA＝120°，所以△ABF為等邊三角形，∠DBF＝30°，從而p＝|DF|＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.2．(2024·荊門模擬)拋物線C：y2＝2px(p>0)焦點F，過C上一點D作直線DE垂直準(zhǔn)線于點E，△DEF恰好為等腰直角三角形，其面積為4，則拋物線方程為()A．y2＝2x B．y2＝2eq\r(2)xC．y2＝4x D．y2＝4eq\r(2)x答案D解析依據(jù)拋物線的定義，得|DF|＝|DE|，又△DEF恰好為等腰直角三角形，所以∠EDF＝90°，∴eq\f(1,2)|DE|·|DF|＝4，∴|DE|＝|DF|＝2eq\r(2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(p,2)，±2\r(2)))，將其代入y2＝2px，得8＝2p·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(p,2)))，解得p＝2eq\r(2).∴拋物線方程為y2＝4eq\r(2)x.3．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線放射后必經(jīng)過拋物線的焦點．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，一平行于x軸的光線從點M(3,1)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則直線AB的斜率為()A.eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．±eq\f(4,3) D．－eq\f(16,9)答案B解析令y＝1，代入y2＝4x可得x＝eq\f(1,4)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過焦點F(1,0)，所以k＝eq\f(1－0,\f(1,4)－1)＝－eq\f(4,3).故選B.題型三直線與拋物線綜合問題角度1直線與拋物線相切問題1．(2024·全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝eq\f(x2,2)，D為直線y＝－eq\f(1,2)上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點；(2)若以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積．解(1)證明：設(shè)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，則xeq\o\al(2,1)＝2y1.因為y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.所以直線AB過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋eq\f(1,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝eq\r(1＋t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2(t2＋1)．設(shè)d1，d2分別為點D，E到直線AB的距離，則d1＝eq\r(t2＋1)，d2＝eq\f(2,\r(t2＋1)).因此，四邊形ADBE的面積S＝eq\f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq\r(t2＋1).設(shè)M為線段AB的中點，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，t2＋\f(1,2))).因為eq\o(EM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))與向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.當(dāng)t＝0時，S＝3；當(dāng)t＝±1時，S＝4eq\r(2).因此，四邊形ADBE的面積為3或4eq\r(2).角度2過焦點的直線與拋物線相交問題2．(2024·湖南長郡中學(xué)模擬)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，E為其準(zhǔn)線與x軸的交點，過F的直線交拋物線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，且|ME|＝eq\r(11)，則|AB|＝()A．6 B．3eq\r(3)C．8 D．9答案A解析依據(jù)題意，知直線AB的斜率存在且不為零，拋物線的焦點坐標(biāo)是F(1,0)．設(shè)直線AB：y＝k(x－1)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，從而Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋2,k2)，\f(2,k))).又E(－1,0)，依據(jù)|ME|＝eq\r(11)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋2,k2)＋1))2＋eq\f(4,k2)＝11，解得k2＝2.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋eq\f(4,k2)＋2＝6.故選A.3．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點作直線l與拋物線交于A，B兩點，直線l與y軸的負半軸交于點C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，則直線l的斜率為________．答案2eq\r(2)解析解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))(k>0)．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，得x1＝4x2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))))得k2x2－(k2＋2)px＋eq\f(p2k2,4)＝0，則x1＋x2＝eq\f(pk2＋2,k2)，x1x2＝eq\f(p2,4)，故eq\f(x1＋x2,\r(x1x2))＝eq\f(2k2＋2,k2)，即eq\f(5,2)＝2＋eq\f(4,k2)，解得k＝2eq\r(2).解法二：設(shè)直線l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，得x1＝4x2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，))得k2x2－(k2＋2)px＋eq\f(p2k2,4)＝0，則x1x2＝eq\f(p2,4).所以x1＝p，y1＝eq\r(2)p，則直線l的斜率k＝eq\f(y1,x1－\f(p,2))＝eq\f(\r(2)p,p－\f(p,2))＝2eq\r(2).角度3不過焦點的直線與拋物線相交問題4．(2024·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解設(shè)直線l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由題設(shè)得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－eq\f(4t－1,3).從而－eq\f(4t－1,3)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，即A(3,3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1)).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).1．直線與拋物線交點問題的解題思路(1)求交點問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組．(2)與交點相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決．見舉例說明2,3,4.2．解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要留意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可干脆運用焦點弦公式(見舉例說明2)，若不過焦點，則必需用一般弦長公式．(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采納“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．提示：為了回避探討直線斜率存在和不存在，可以敏捷設(shè)直線方程．1．(2024·南寧二模)已知拋物線x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－1，△ABC的頂點A在拋物線上，B，C兩點在直線y＝2x－5上，假如|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，那么△ABC面積的最小值為()A．5 B．4C.eq\f(1,2) D．1答案D解析依題意得拋物線方程為x2＝4y.因為|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，所以|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2eq\r(5).設(shè)拋物線x2＝4y的一條切線方程為y＝2x＋b.將y＝2x＋b代入x2＝4y，得x2－8x－4b＝0.由Δ＝64＋16b＝0，得b＝－4.此時拋物線x2＝4y的切線方程為y＝2x－4.該切線與直線BC的距離為d＝eq\f(1,\r(5))，即點A到直線y＝2x－5的最小距離為eq\f(1,\r(5))，故S△ABC的最小值為eq\f(1,2)|BC|·d＝1.2．已知直線l與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標(biāo)為(4,4)，則線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離是________．答案eq\f(25,8)解析拋物線y2＝4x的焦點F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，所以kAF＝eq\f(4－0,4－1)＝eq\f(4,3).所以直線l的方程為y－0＝eq\f(4,3)(x－1)，即y＝eq\f(4,3)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\f(4,3)x－1))消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，所以線段AB的中點的橫坐標(biāo)為eq\f(17,8).所以線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離是eq\f(17,8)－(－1)＝eq\f(25,8).3．已知拋物線C：y2＝ax(a>0)上一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))到焦點F的距離為2t.(1)求拋物線C的方程；(2)拋物線上一點A的縱坐標(biāo)為1，過點Q(3，－1)的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點(均與點A不重合)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值．解(1)由拋物線的定義可知|PF|＝t＋eq\f(a,4)＝2t，則a＝4t，由點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))在拋物線上，則at＝eq\f(1,4).所以a×eq\f(a,4)＝eq\f(1,4)，則a2＝1，由a>0，得a＝1，故拋物線C的方程為y2＝x.(2)證明：因為A點在拋物線上，且yA＝1.所以xA＝1，所以A(1,1)，設(shè)過點Q(3，－1)的直線l的方程為x－3＝m(y＋1)．即x＝my＋m＋3，代入y2＝x得y2－my－m－3＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3，所以k1·k2＝eq\f(y1－1,x1－1)·eq\f(y2－1,x2－1)＝eq\f(y1y2－y1＋y2＋1,m2y1y2＋mm＋2y1＋y2＋m＋22)＝eq\f(－m－3－m＋1,m2－m－3＋mm＋2m＋m＋22)＝－eq\f(1,2)，為定值．組基礎(chǔ)關(guān)1．(2024·廈門一模)若拋物線x2＝ay的焦點到準(zhǔn)線的距離為1，則a＝()A．2 B．4C．±2 D．±4答案C解析拋物線x2＝ay的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(a,4).而拋物線x2＝ay的焦點到準(zhǔn)線的距離為1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)＋\f(a,4)))＝1，解得a＝±2.2．(2024·汀贛十四校第一次聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x與x2＝2py(p>0)的焦點間的距離為2，則p的值為()A．4 B．12C．2eq\r(3) D．6答案C解析兩拋物線的焦點坐標(biāo)分別為(1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).由題意可知eq\r(1＋\f(p2,4))＝2，且p>0，解得p＝2eq\r(3).3．(2024·南昌摸底)一動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則此動圓必過定點()A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0,0)答案B解析由拋物線y2＝8x，得準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－2，焦點坐標(biāo)為(2,0)．因為動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，由拋物線的定義可知動圓必經(jīng)過定點(2,0)．4．(2024·哈爾濱三模)過拋物線y2＝4x的焦點作一條傾斜角為eq\f(π,6)的直線，與拋物線交于A，B兩點，則|AB|＝()A．4 B．6C．8 D．16答案D解析拋物線的焦點坐標(biāo)為F(1,0)，p＝2，過焦點的直線的斜率k＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，則直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，代入y2＝4x得eq\f(1,3)(x－1)2＝4x，整理得x2－14x＋1＝0，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝14，則|AB|＝x1＋x2＋p＝14＋2＝16.5．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為A，過拋物線C上一點P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q.若△QAF的面積為2，則點P的坐標(biāo)為()A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)C．(1,2) D．(1,4)答案A解析設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)．因為△QAF的面積為2，所以eq\f(1,2)×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以點P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)．6．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點，則eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝()A．5 B．6C．7 D．8答案D解析依據(jù)題意，過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，與拋物線方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又因為F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(3,4)，從而可以求得eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0×3＋2×4＝8.故選D.7．(2024·懷化三模)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作斜率為k的直線，與拋物線相交于A，B兩點，設(shè)直線OA，OB(O為坐標(biāo)系原點)的斜率分別為k1，k2，則下列等式正確的是()A．k1＋k2＝k B.eq\f(1,k)＝k1＋k2C.eq\f(1,k)＝eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2) D．k2＝k1·k2答案C解析由題意，得OA的方程為y＝k1x，與拋物線C：y2＝2px(p>0)聯(lián)立，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k\o\al(2,1))，\f(2p,k1)))，同理可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k\o\al(2,2))，\f(2p,k2)))，∴k＝eq\f(\f(2p,k1)－\f(2p,k2),\f(2p,k\o\al(2,1))－\f(2p,k\o\al(2,2)))＝eq\f(1,\f(1,k1)＋\f(1,k2))，∴eq\f(1,k)＝eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2).故選C.8．(2024·湖北四地七校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為A，P是拋物線C上的點，且PF⊥x軸．若以AF為直徑的圓截直線AP所得的弦長為1，則實數(shù)p的值為________．答案eq\r(2)解析由題意，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，設(shè)P在第一象限，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，kAP＝eq\f(p,p)＝1，則直線AP的方程為x－y＋eq\f(p,2)＝0，以AF為直徑的圓的圓心為O(0,0)，半徑為R＝eq\f(p,2)，則O到直線AP的距離為d＝eq\f(\f(p,2),\r(2))＝eq\f(\r(2)p,4)，則圓O截直線AP所得的弦長為1＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(\f(p2,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)p,4)))2)，解得p＝eq\r(2).9．(2024·武漢4月調(diào)研)已知過點M(1,0)的直線AB與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA，OB的斜率之和為1，則直線AB的方程為________．答案2x＋y－2＝0解析當(dāng)直線AB的斜率不存在時，不符合題意，故設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)，則直線AB的方程為y＝k(x－1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝2x))消去y并整理，得k2x2－2(k2＋1)x＋k2＝0，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋1,k2)，x1x2＝1.∴直線OA，OB的斜率之和為eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝eq\f(2kx1x2－kx1＋x2,x1x2)＝2k－eq\f(2k2＋1,k)＝1，解得k＝－2，∴直線AB的方程為2x＋y－2＝0.10．(2024·河南六市其次次聯(lián)考)拋物線y2＝4x的焦點為F，其準(zhǔn)線為l，過點M(5,2eq\r(5))作直線l的垂線，垂足為H，則∠FMH的平分線的斜率為________．答案eq\f(\r(5),5)解析連接HF.因為點M在拋物線y2＝4x上，所以由拋物線的定義可知|MH|＝|MF|.所以△MHF為等腰三角形．所以∠FMH的平分線所在的直線經(jīng)過HF的中點．因為點F(1,0)，H(－1,2eq\r(5))，所以HF的中點坐標(biāo)為(0，eq\r(5))，所以∠FMH的平分線的斜率為eq\f(2\r(5)－\r(5),5－0)＝eq\f(\r(5),5).組實力關(guān)1．(2024·濰坊高三上學(xué)期期末)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，P為拋物線上一點，A(1,1)，當(dāng)△PAF周長最小時，PF所在直線的斜率為()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)答案A解析求△PAF周長的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．設(shè)點P在準(zhǔn)線上的投影為D，則依據(jù)拋物線的定義，可知|PF|＝|PD|.因此問題轉(zhuǎn)化為求|PA|＋|PD|的最小值．依據(jù)平面幾何學(xué)問，可得當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|＋|PD|最?。逜(1,1)，點P在拋物線上，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，∴PF所在直線的斜率為eq\f(1－0,\f(1,4)－1)＝－eq\f(4,3).2．(2024·重慶名校聯(lián)盟調(diào)研抽測)過拋物線y2＝2x上一點A(2,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC，分別交拋物線于B，C兩點，則直線BC的斜率為()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)答案D解析依題意，可設(shè)直線AB的方程為y－2＝k(x－2)，則直線AC的方程為y－2＝－k(x－2)．設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)(y1≠2，y2≠2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y－2＝kx－2，))得y1＝eq\f(2－2k,k).同理，得y2＝eq\f(2＋2k,－k).所以直線BC的斜率為eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(1,2)y\o\al(2,2)－\f(1,2)y\o\al(2,1))＝eq\f(2,y2＋y1)＝－eq\f(1,2).故選D.3．(2024·華中師大第一附中模擬)如圖所示，點F是拋物線y2＝8x的焦點，點A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實線部分上運動，且AB總平行于x軸，則△FAB的周長的取值范圍是()A．(2,6)B．(6,8)C．(8,12)D．(10,14)答案C解析設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)．拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－2，焦點F(2，0)．由拋物線定義，得|AF|＝xA＋2.因為圓(x－2)2＋y2＝16的圓心為(2,0)，半徑為4，所以△FAB的周長為|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x－22＋y2＝16，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4，))則xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)．4．(2024·全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________.答案2解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4x1－4x2，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB的中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′.因為∠AMB＝90°，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．因為M′為AB的中點，所以MM′平行于x軸．因為M(－1,1)，所以y0＝1，則y1＋y2＝2，所以k＝2.5．(2024·銀川摸底)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，動點P在拋物線C上，點A(－1,0)，則eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為________；當(dāng)eq\f(|PF|,|PA|)取得最小值時，直線AP的方程為________．答案eq\f(\r(2),2)x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0解析設(shè)P點的坐標(biāo)為(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF|,|PA|)))2＝eq\f(16t4＋8t2＋1,16t4＋24t2＋1)＝1－eq\f(16t2,16t4＋24t2＋1)＝1－eq\f(16,16t2＋\f(1,t2)＋24)≥1－eq\f(16,2\r(16t2·\f(1,t2))＋24)＝1－eq\f(16,32)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)16t2＝eq\f(1,t2)，即t＝±eq\f(1,2)時取等號．故eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為eq\f(\r(2),2)；當(dāng)eq\f(|PF|,|PA|)取得最小值時，點P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)，∴直線AP的方程為y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.6．(2024·洛陽模擬)已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點為F，A(2，y0)是E上一點，且|AF|＝2.(1)求E的方程；(2)設(shè)點B是E上異于點A的一點，直線AB與直線y＝x－3交于點P，過點P作x軸的垂線交E于點M，證明：直線BM過定點．解(1)依據(jù)題意，知4＝2pya，①因為|AF|＝2，所以ya＋eq\f(p,2)＝2.②聯(lián)立①②解得ya＝1，p＝2.所以E的方程為x2＝4y.(2)證明：設(shè)B(x1，y1)，M(x2，y2)．由題意，可設(shè)直線BM的方程為y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③由MP⊥x軸及點P在直線y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，則由A，P，B三點共線，得eq\f(x2－4,x2－2)＝eq\f(kx1＋b－1,x1－2)，整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.將③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.由點B的隨意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直線BM恒過定點(2,3)．組素養(yǎng)關(guān)1．(2024·咸陽二模)設(shè)定點F(0,1)，動點E滿意：以EF為直徑的圓與x軸相切．(1)求動點E的軌跡C的方程；(2)設(shè)A，B是曲線C上的兩點，若曲線C在A，B處的切線相互垂直，求證：A，F(xiàn)，B三點共線．解(1)設(shè)E點坐標(biāo)為(x，y)，則EF中點為圓心，設(shè)為P，則P點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y＋1,2))).∴P到x軸的距離等于eq\f(|EF|,2)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,2)))＝eq\f(\r(x2＋y－12),2)，化簡得x2＝4y.∴點E的軌跡C的方程為x2＝4y.(2)證明：由(