專題19 圖形的相似與位似（講義）

專題19圖形的相似與位似的核心知識點(diǎn)精講復(fù)習(xí)目標(biāo)1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題．3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮小．4.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置。考點(diǎn)梳理考點(diǎn)1：比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).2.比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3.黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB≈0.618AB.考點(diǎn)2：相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

考點(diǎn)3：位似圖形1.位似圖形的定義

兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過交點(diǎn)的對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.

2.位似圖形的分類

(1)外位似：位似中心在連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的線段之外.

(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的線段上.

3.位似圖形的性質(zhì)

位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；

位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接截取點(diǎn).

【注意】在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.典例引領(lǐng)【題型1：相似三角形的相關(guān)計(jì)算】【典例1】（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10即時(shí)檢測1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．2．（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點(diǎn)H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC＝12，則DH的長為（）A．1 B． C．2 D．33．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.24．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a5．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8典例引領(lǐng)【題型2：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用】【典例2】（2022?廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時(shí)刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是米．即時(shí)檢測1．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023?達(dá)州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為cm．（結(jié)果保留根號）3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．典例引領(lǐng)【題型3：位似】【典例3】（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）即時(shí)檢測1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）2．（2023?長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為．3．（2023?煙臺）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）基礎(chǔ)過關(guān)一．選擇題（共10小題）1．已知，則的值是（）A． B． C．3 D．2．如圖，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75° B．105° C．60° D．45°3．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段BC＝4cm，則線段AC的長是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm5．美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近0.618時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達(dá)到美的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝7．如圖，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m、n于點(diǎn)A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，則EF的長為（）A．6 B．9 C．10 D．258．△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來的，可以得到△A'B'O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）9．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC＝3：1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A．3：4 B．3：1 C．9：1 D．9：1610．小明用地理中所學(xué)的等高線的知識在某地進(jìn)行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若A，B，C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，則的值為（）A． B． C． D．2二．填空題（共5小題）11．如果兩個(gè)相似三角形的周長比為2：3，那么它們的對應(yīng)高的比為．12．如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．若標(biāo)桿BE的高為1.2m，測得AB＝1.6m，BC＝12.4m，則樓高CD為m．13．如圖，在某校的2022年新年晚會中，舞臺AB的長為20米，主持人站在點(diǎn)C處自然得體，已知點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)A的距離為米．14．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，書中記載了這樣一個(gè)問題：“今有勾五步，股十二步．問勾中容方幾何．”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為．15．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點(diǎn)，連接AB、CD相交于點(diǎn)E，則AE的長為．三．解答題（共5小題）16．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；（3）設(shè)點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后點(diǎn)P在△A2B2C2內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是．17．如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠BAD＝∠C．（1）求證：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的長．18．如圖，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，EM⊥AM交AD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的長．19．某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個(gè)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，測量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝57米，D、E之間有一個(gè)花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點(diǎn)B、D、E、G在同一水平線上．請你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計(jì)）20．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延長DC到點(diǎn)G，使CG＝CD，連接AG．（1）求證：四邊形ABCG是平行四邊形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的長．能力提升一．選擇題（共10小題）1．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3 B． C． D．2．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，則DE的長度為（）A．1 B． C．2 D．3．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE＝3ED，DF＝CF，則的值是（）A． B． C． D．4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為線段BC上一點(diǎn)，以AD為一邊構(gòu)造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列說法正確的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．僅有①② B．僅有①②③ C．僅有②③④ D．①②③④5．凸透鏡成像的原理如圖所示，AD∥l∥BC．若物體到焦點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)到凸透鏡中心線DB的距離之比為5：4，則物體被縮小到原來的（）A． B． C． D．6．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE＝2，CE交BD于點(diǎn)F，則DF的長為（）A． B． C． D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，則的值為（）A．2 B． C． D．9．如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長為（）A． B． C． D．10．如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動至點(diǎn)C停止．點(diǎn)P的運(yùn)動速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s），AP的長度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC時(shí)，BP的長為（）A． B． C． D．二．填空題（共6小題）11．如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，點(diǎn)D、E分別是AC、AB邊上的動點(diǎn)，折疊△ADE得到△A′DE，且點(diǎn)A′落在BC邊上，若△A′DC恰好與△ABC相似，AD的長為．12．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC上，DE交AC于點(diǎn)F，若DF＝2，EF＝4，則CD的長是．13．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，則AD的長為．14．如圖，一張矩形紙片ABCD中，（m為常數(shù)），將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，CD與HM交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)H落在BC的中點(diǎn)時(shí)，且，則m＝．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，連接CD交AE于點(diǎn)F．若AC＝5，BC＝12，則EF的長是．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A、C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是．三．解答題（共3小題）17．如圖，點(diǎn)P在△ABC的外部，連結(jié)AP、BP，在△ABC的外部分別作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，連結(jié)PQ．（1）求證：AC?AP＝AB?AQ；（2）判斷∠PQA與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，AD與BE相交于點(diǎn)O，且AB＝AD，AE2＝OE?BE．（1）求證：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求線段AE的長．19．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】（1）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB、AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，求證△AED≌△DFC．【類比探究】（2）如圖②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，連結(jié)AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，CE的延長線交AB邊于點(diǎn)F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．20．（2023?武漢）問題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于點(diǎn)G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)α＝90°時(shí)，直接寫出∠GCF的大??；（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α＝120°時(shí)，若，求的值．真題感知1．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且，則AE的長為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或22．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．3．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是．4．（2023?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則＝．5．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．6.（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．7．（2023?遼寧）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BE∥AC，交DA的延長線于點(diǎn)E，連接OE，交AB于點(diǎn)F，則四邊形BCOF的面積與△AEF的面積的比值為．8．（2022?東營）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F、G在BC上，點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為．9．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．10．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．11．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．12．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)G．求證：△ADE∽△DCF．【問題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點(diǎn)H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長．

專題19圖形的相似與位似的核心知識點(diǎn)精講典例引領(lǐng)【題型1：相似三角形的相關(guān)計(jì)算】【典例1】（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故選：C即時(shí)檢測1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．2．（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點(diǎn)H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC＝12，則DH的長為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF：12＝BE：3BE，∴EF＝4，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH：4＝AD：2AD，∴DH＝2．故選：C．3．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2【答案】C【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴設(shè)DC＝x，則BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3，故選：C．4．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a【答案】D【解答】解：設(shè)AB＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黃金矩形，∴＝，∴＝，解得：x＝（2+2）a，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝（2+2）a是原方程的根，∴AB＝（2+2）a，故選：D．5．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：∵AB∥DC，∴△CDO∽△ABO，∴，∵DO：OB＝1：2，∴＝，∴OC＝OA，∵AC＝OA+OC＝12，∴OA+OA＝12，∴OA＝8，∵M(jìn)N∥AC，M是AB的中點(diǎn)，∴MN為△AOB的中位線，∴MN＝OA＝＝4．故選：B．典例引領(lǐng)【題型2：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用】【典例2】（2022?廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時(shí)刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是134米．【答案】134【解答】解：據(jù)相同時(shí)刻的物高與影長成比例，設(shè)金字塔的高度BO為x米，則可列比例為，，解得：x＝134，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案為：134．即時(shí)檢測1．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【答案】B【解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．2．（2023?達(dá)州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結(jié)果保留根號）【答案】（80﹣160）．【解答】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為18.2米．【答案】18.2．【解答】解：過點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點(diǎn)H，由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度為18.2米，故答案為：18.2．典例引領(lǐng)【題型3：位似】【典例3】（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【答案】D【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故選：D．即時(shí)檢測1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【答案】C【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．2．（2023?長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為1：3．【答案】1：3．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC與△A′B′C′的周長比為1：3，故答案為：1：3．3．（2023?煙臺）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）【答案】A【解答】解：由題意可知：點(diǎn)A1（﹣2，1），點(diǎn)A4（﹣1，2），點(diǎn)A7（0，3），∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，∴頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（33﹣2，33+1），即（31，34），故選：A．基礎(chǔ)過關(guān)一．選擇題（共10小題）1．已知，則的值是（）A． B． C．3 D．【答案】D【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故選：D．2．如圖，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75° B．105° C．60° D．45°【答案】A【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，∴∠ADE＝∠ABC＝45°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°，即∠AED+45°+60°＝180°，∴∠AED＝75°．故選：A．3．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段BC＝4cm，則線段AC的長是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】C【解答】解：過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，則＝，即＝，解得：AB＝2，∴AC＝2+4＝6（cm）．故選：C．4．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【答案】C【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；故選：C．5．美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近0.618時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達(dá)到美的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：根據(jù)已知條件得下半身長是165×0.60＝99cm，設(shè)需要穿的高跟鞋是ycm，則根據(jù)黃金分割的定義得：＝0.618，解得：y≈8cm．故選：C．6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】D【解答】解：A、因?yàn)镈F∥AC，所以＝，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，則＝，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由DF∥AC得＝，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，則＝，故D選項(xiàng)正確．故選：D．7．如圖，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m、n于點(diǎn)A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，則EF的長為（）A．6 B．9 C．10 D．25【答案】B【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，∴＝＝，即＝，解得，EF＝9，故選：B．8．△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來的，可以得到△A'B'O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【答案】B【解答】解：以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABO縮小為原來的，得到△A'B'O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故選：B．9．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC＝3：1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A．3：4 B．3：1 C．9：1 D．9：16【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DFE：S△BFA＝9：16，故答案為：D．10．小明用地理中所學(xué)的等高線的知識在某地進(jìn)行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若A，B，C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】B【解答】解；∵點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，∴＝＝，故選：B．二．填空題（共5小題）11．如果兩個(gè)相似三角形的周長比為2：3，那么它們的對應(yīng)高的比為2：3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長比為2：3，∴這兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，∴它們的對應(yīng)高的比為：2：3，故答案為：2：3．12．如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．若標(biāo)桿BE的高為1.2m，測得AB＝1.6m，BC＝12.4m，則樓高CD為10.5m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故答案為10.5．13．如圖，在某校的2022年新年晚會中，舞臺AB的長為20米，主持人站在點(diǎn)C處自然得體，已知點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)A的距離為（10﹣10）米．【答案】（10﹣10）．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝20米，∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），故答案為：（10﹣10）．14．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，書中記載了這樣一個(gè)問題：“今有勾五步，股十二步．問勾中容方幾何．”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為．【答案】．【解答】解：設(shè)正方形CDEF邊長為x，則CD＝DE＝x，由Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12可知AC＝5，AD＝5﹣x，BC＝12，∵正方形CDEF，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，解得x＝．故答案為：．15．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點(diǎn)，連接AB、CD相交于點(diǎn)E，則AE的長為．【答案】．【解答】解：根據(jù)題意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，∴△AEC∽△BED，∴＝，∴＝，解得AE＝．故答案為：．三．解答題（共5小題）16．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；（3）設(shè)點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后點(diǎn)P在△A2B2C2內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（2a，﹣2b）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，△A2B2C2為所作；（3）點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（2a，﹣2b）．故答案為（2a，﹣2b）．17．如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠BAD＝∠C．（1）求證：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的長．【答案】（1）證明見解析過程；（2）9．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA；（2）∵△ABD∽△CBA，∴，∵AB＝6，BD＝3，∴，∴BC＝12，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．18．如圖，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，EM⊥AM交AD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB．∵EM⊥AM，∴∠AME＝90°，∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，∴△ABM∽△EMA；（2）解：∵AB＝4，BM＝3，∴，∵△ABM∽△EMA，∴，即，∴．19．某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個(gè)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，測量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝57米，D、E之間有一個(gè)花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點(diǎn)B、D、E、G在同一水平線上．請你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計(jì)）【答案】凌霄塔的高度AB為42米，見解析．【解答】解：∵CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，∴∠CDE＝∠FGE＝90°，∵∠CED＝∠FEG，∴△CDE∽△FGE，∴，∵CD＝4，F(xiàn)G＝1.6，EG＝2.4，∴，解得：DE＝6，∵BD＝57，∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，∵AB⊥BG，CD⊥BG，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得：AB＝42，∴凌霄塔的高度AB為42米．20．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延長DC到點(diǎn)G，使CG＝CD，連接AG．（1）求證：四邊形ABCG是平行四邊形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵△AEB∽△DEC，∴∠B＝∠BCD，∴AB∥CD，即AB∥CG，∵CD＝2AB，CG＝CD，∴AB＝CG，∴四邊形ABCG是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCG是平行四邊形，AE＝2，CG＝3，∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，∵∠GAD＝90°，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：BE＝，即BE＝＝，∵△AEB∽△DEC，∴＝＝，∴CE＝2，∴BC＝BE+CE＝3，∴AG＝BC＝3．能力提升一．選擇題（共10小題）1．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3 B． C． D．【答案】D【解答】方法一：∵AB＝4＝BC，CD＝1，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，∴∠CDE＝∠BAD，∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝；故選：D；方法二：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴BF＝CF＝BC＝2，AF＝AB＝2，∵CD＝1，∴DF＝1，∴AD＝＝，∵∠ADE＝∠ACD＝60°，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴＝，即＝，解得：AE＝，故選：D．2．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，則DE的長度為（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴，∴，∴DE＝．故選：D．3．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE＝3ED，DF＝CF，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：延長BE交CD的延長線于點(diǎn)M．∵AE＝3DE，設(shè)DE＝a，則AE＝3a，AD＝AB＝CD＝BC＝4a，DF＝2a，∵CM∥AB，∴＝＝，∴DM＝a，∴FM＝DF+DM＝a，∴＝＝＝．故選：C．4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為線段BC上一點(diǎn)，以AD為一邊構(gòu)造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列說法正確的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．僅有①② B．僅有①②③ C．僅有②③④ D．①②③④【答案】D【解答】解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，∴∠BAD＝∠EDC，故①正確；②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD＝∠OAD，∴△ADO∽△ACD．故②正確；③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，∴△BAD∽△EAO，∴．故③正確；④如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M，N，在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，∴四邊形AMDN是矩形，∴DN＝AM，在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，∴2AD2＝2AM2+2MD2，∴2AD2＝BD2+CD2．故④正確．故選：D．5．凸透鏡成像的原理如圖所示，AD∥l∥BC．若物體到焦點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)到凸透鏡中心線DB的距離之比為5：4，則物體被縮小到原來的（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l，∴四邊形OBCG為矩形，∴OB＝CG，∵AH⊥HO，BO⊥HO，∴△AHF1∽△BOF1，∴＝＝，∴＝，∴物體被縮小到原來的．故選：A．6．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正確；∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PEF＝∠PFE＝60°，∴△PEF是等邊三角形，∴PE＝PF，∴CP+PF＝CP+PE，∴CF＝BE，在Rt△ABE中，∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，∴BE＝2AE，∴CF＝2AE，故②正確；∴∠PDE＝15°，∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，∴∠EBD＝∠EDP，∵∠DEP＝∠DEB，∴△BDE∽△DPE，∴∠EPD＝∠BDE＝45°，∵∠BPC＝∠EPF＝60°，∴∠FPD＝105°，∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，∴∠DPF＝∠BHP，又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，∴△BHP∽△DPF，故④正確；∴，∴＝，∵∠DCF＝30°，∴DC＝DF，∴＝，∴＝＝，故③錯(cuò)誤，故選：B．7．如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE＝2，CE交BD于點(diǎn)F，則DF的長為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝5，∠BCD＝90°，AD∥BC，∴△DBC是等腰直角三角形，∴BD＝＝5，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC＝DF：BF，∵AE＝2，∴DE＝AD﹣AE＝3，∴3：5＝DF：（5﹣DF），∴FD＝．故選：C．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，則的值為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解答】解：過C作CN∥AB交AE延長線于N，過E作EM∥BD交AC于M，∴∠BAE＝∠N，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠N＝∠CAE，∴CN＝CA＝5，∵AB∥CN，∴△ABE∽△NCE，∴BE：EC＝AB：CN＝4：5，∵EM∥BD，∴DM：MC＝BE：EC＝4：5，∴DC：DM＝9：4，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∴AD：DM＝9：4，∵OD∥EM，∴＝＝．故選：B．9．如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝?AB?BC＝?AC?BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．設(shè)DE＝x，則有：＝，解得x＝，故選：D．10．如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動至點(diǎn)C停止．點(diǎn)P的運(yùn)動速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s），AP的長度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC時(shí)，BP的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如圖1，作∠BAC的平分線AP交BC于點(diǎn)P，由題意中的函數(shù)圖象知AB＝BC＝4，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝∠B+∠BAP＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴，∴AP?AC＝AB?PC，∴AP2＝AB?PC＝4（4﹣AP），解得：或（舍），∴，故選：D．二．填空題（共6小題）11．如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，點(diǎn)D、E分別是AC、AB邊上的動點(diǎn)，折疊△ADE得到△A′DE，且點(diǎn)A′落在BC邊上，若△A′DC恰好與△ABC相似，AD的長為2.4或．【答案】2.4或．【解答】解：設(shè)AD＝x，∴CD＝AC﹣AD＝6﹣x，∵折疊△ADE得到△A′DE，∴A′D＝AD＝x，當(dāng)△A′DC∽△BAC時(shí)，∴A′D：AB＝CD：AC，∴x：4＝（6﹣x）：6，∴x＝2.4；當(dāng)△A′DC∽△ABC時(shí)，∴A′D：AB＝DC：BC，∴x：4＝（6﹣x）：5，∴x＝，∴AD長是2.4或．故答案為：2.4或．12．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC上，DE交AC于點(diǎn)F，若DF＝2，EF＝4，則CD的長是．【答案】．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE＝DE＝DF+EF＝2+4＝6，∠ABD＝∠DCF＝60°，∵∠BAD+∠ABD＝∠ADC＝∠ADF+∠CDF，∠ABD＝∠ADF＝60°，∴∠BAD＝∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴＝＝，∴＝3，設(shè)CD＝x，則AB＝3x，BD＝2x，∴＝＝＝，∴CF＝x，則AF＝AC﹣CF＝AB﹣CF＝3x﹣x＝x，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴∠ADF＝∠ACD，∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴＝，即＝，AF＝，∴AF＝＝x，解得：x＝．故答案為：．13．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，則AD的長為2．【答案】2．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，BD＝1，CD＝4，∴AD2＝CD?BD＝4，∴AD＝2，故答案為：2．14．如圖，一張矩形紙片ABCD中，（m為常數(shù)），將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，CD與HM交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)H落在BC的中點(diǎn)時(shí)，且，則m＝．【答案】．【解答】解：∵＝，設(shè)CP＝t，則CD＝AB＝4t，∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，∴CH＝BH＝；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠CHP+∠CPH＝90°，∵∠MHE＝∠A＝90°，∴∠CHP+∠BHE＝90°，∴∠CPH＝∠BHE，∴△CHP∽△BEH，∴，即，∴BC2＝4BE?t①，∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝4t，∴AE＝EH＝4t﹣BE，在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，∴（4t﹣BE）2＝②，聯(lián)立①②并解得：BE＝t，BC＝t，∴m＝＝＝，故答案為：．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，連接CD交AE于點(diǎn)F．若AC＝5，BC＝12，則EF的長是．【答案】．【解答】解：過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，過點(diǎn)D作DH∥BC，交AE于點(diǎn)H，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵AE平分∠BAC，∴EC＝EG，∵△ABC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積，∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，∴5×12＝5CE+13EG，∴CE＝CG＝，∴BE＝BC﹣CE＝，在Rt△ACE中，AE＝＝＝，∵D是AB的中點(diǎn)，DH∥BC，∴AH＝HE＝AE＝，∴DH是△ABE的中位線，∴DH＝BE＝，∵DH∥CE，∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，∴△DHF∽△CEF，∴＝＝＝，∴EF＝EH＝×＝，故答案為：．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A、C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．【答案】（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．【解答】解：如圖，∵A（1，0），B（2，0），C（0，1），∴OA＝OC＝1，OB＝2，AB＝OB﹣OA＝1，∴AC＝，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，△PAC∽△CAB時(shí)，∴＝，∴＝，∴PA＝2，∴OP＝3，∴P（3，0），當(dāng)點(diǎn)P′在y軸上時(shí)，△P′CA∽△BAC，∵AC＝CA，∴AB＝CP′＝1，∴OP′＝2，∴P′（0，2）．根據(jù)對稱性可知．P（0，3）也符合題意．P與B重合，也符合題意，此時(shí)P（2，0）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．三．解答題（共3小題）17．如圖，點(diǎn)P在△ABC的外部，連結(jié)AP、BP，在△ABC的外部分別作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，連結(jié)PQ．（1）求證：AC?AP＝AB?AQ；（2）判斷∠PQA與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明過程見解答；（2）∠PQA＝∠ACB，理由見解答．【解答】（1）證明：∵∠1＝∠BAC，∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵∠2＝∠ABP，∴△CAQ∽△BAP，∴＝，∴AC?AP＝AB?AQ．（2）解：∠PQA＝∠ACB，理由：∵AC?AP＝AB?AQ，∴＝，∵∠1＝∠BAC，∴△APQ∽△ABC，∴∠PQA＝∠ACB．18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，AD與BE相交于點(diǎn)O，且AB＝AD，AE2＝OE?BE．（1）求證：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求線段AE的長．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）．【解答】（1）①證明：∵AE2＝OE?BE，∴，∵∠AEO＝∠BEA，∴△AEO∽△BEA，∴∠EAD＝∠ABE；②證明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．∵∠ABD＝∠ABE+∠CBE，∠ADB＝∠EAD+∠C，由①知：∠EAD＝∠ABE，∴∠CBE＝∠C，∴BE＝EC；（2）解：過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，連接GD，如圖，∵AB＝AD，AF⊥BD，∴BF＝FD，即AF為BD的垂直平分線，∴GB＝GD，∴∠GBC＝∠GDB，由（1）②知：∠CBE＝∠C，∴∠GDB＝∠C，∴GD∥EC，∴△BGD∽△BEC，∴．∵BD：CD＝4：3，∴，∴，∴GD＝．∵BD：CD＝4：3，BF＝FD，∴FD：DC＝2：3，∴．∵GD∥EC，△FGD∽△FAC，∴，∴，∴AC＝．∴AE＝AC﹣EC＝﹣8＝．19．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】（1）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB、AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，求證△AED≌△DFC．【類比探究】（2）如圖②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，連結(jié)AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，CE的延長線交AB邊于點(diǎn)F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【解答】（1）證明：如圖1，設(shè)DF與CF的交點(diǎn)為G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS）；（2）解：如圖2，設(shè)DB與CE交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°，∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，∴∠ECD＝∠ADB，∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴；（3）解：如圖，過點(diǎn)A作GA∥BC，延長CF交AG于點(diǎn)G，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵，∴，∵GA∥BC，∴△AFG∽△BFC，∠GAC＝∠ACB＝90°，∴＝，∴，∵CE⊥AD，∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，又∵∠CAE+∠ADC＝90°，∴∠ACG＝∠ADC，∴△ACG∽△CDA，∴，∴CD＝＝．20．（2023?武漢）問題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于點(diǎn)G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)α＝90°時(shí)，直接寫出∠GCF的大??；（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α＝120°時(shí)，若，求的值．【答案】問題探究（1）45°；（2）∠GCF＝α﹣90°；問題拓展：．【解答】解：問題探究（1）如圖（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，∵BJ＝BE，∴AJ＝EC，∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠CEF＝∠EAJ，∵EA＝EF，∴△EAJ≌△FEC（SAS），∴∠AJE＝∠ECF，∵∠BJE＝45°，∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，∴∠ECF＝135°，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；（2）結(jié)論：∠GCF＝α﹣90°；理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC．∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF（SAS）．∴∠ANE＝∠ECF．∵AB＝BC，∴BN＝BE．∵∠EBN＝α，∴，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；問題拓展：過點(diǎn)A作CD的垂線交CD的延長線于點(diǎn)P，設(shè)菱形的邊長為3m．，∴DG＝m，CG＝2m．在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADP＝60°，∴m，，∴α＝120°，由（2）知，，∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG．∴，∴＝，∴，由（2）知，，∴．∴．真題感知1．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且，則AE的長為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝，∵，∴DE＝1，如圖，當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴AE＝2，如圖，當(dāng)∠ADE≠90°時(shí)，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1，故選：D．2．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由題意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，∴△BCE是黃金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合題意，C符合題意；故選：C．3．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是4：9．【答案】4：9．【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，∴△ABC∽△DEF，相似比為2：3，∴△ABC與△DEF的面積之比為22：32＝4：9．故答案為：4：9．4．（2023?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則＝．【答案】．【解答】解：∵四