專題16 三角形的概念及性質(zhì)（講義）（3考點(diǎn)+28題型）

第16講三角形的概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念 3題型01三角形的分類 3題型02三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究問(wèn)題 4題型03三角形的穩(wěn)定性 6考點(diǎn)二三角形的重要線段 8題型01畫(huà)三角形的高、中線、角平分線 9題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤 11題型03等面積法求三角形的高 11題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積 12題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 14題型06根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度 16題型07根據(jù)三角形的中線求面積 17題型08判斷重心位置 19題型09與重心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 19考點(diǎn)三三角形的性質(zhì) 21題型01應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長(zhǎng)或取值范圍 21題型02應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子 22題型03應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問(wèn)題 22題型04三角形內(nèi)角和定理的證明 23題型05應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度 24題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用 25題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用 26題型08三角形折疊中的角度問(wèn)題 28題型09應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問(wèn)題 29題型10應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系 30題型11三角形內(nèi)角和定理與新定義問(wèn)題綜合 31題型12應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)求角度 33題型13三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合 34題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合 37題型15應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問(wèn)題 38題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合 39考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)三角形的相關(guān)概念理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性.在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識(shí)考察.三角形的重要線段三角形的性質(zhì)探索并證明三角形的內(nèi)角和定理.掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.

考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號(hào)“Δ”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長(zhǎng)度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.易混易錯(cuò)1.三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),字母的順序可以自由安排.即?ABC,?ACB等均為同一個(gè)三角形.2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.題型01三角形的分類【例1】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一只手蓋住了一個(gè)三角形的部分圖形，則這個(gè)三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【變式1-1】（2020·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)三角形只剩下一個(gè)角，這個(gè)三角形為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能【變式1-2】（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫(huà)△ABC．要求：（1）在圖①中畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，在圖②中畫(huà)一個(gè)直角三角形，在圖③中畫(huà)一個(gè)銳角三角形；（2）三個(gè)圖中所畫(huà)的三角形的面積均不相等；（3）點(diǎn)C在格點(diǎn)上．【變式1-3】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C，且使BC=5，并且直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)三角形的面積．題型02三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究問(wèn)題【例2】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點(diǎn)在一個(gè)正方體頂點(diǎn)上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．18 C．24 D．36【變式2-1】（2020·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形如圖所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7個(gè)三角形．以下去掉3根的方法正確的是（

）A．DE,GH,MI B．GF,EF,MF C．GD,EI,MH D．AD,AG,GD【變式2-2】閱讀下列材料并填空．平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過(guò)這些點(diǎn)作直線，一共能作出多少條不同的直線？（1）分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成10條直線……（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表點(diǎn)的個(gè)數(shù)可作出直線條數(shù)21=S33=S46=S510=S…………nS（3）推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n-1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即S（4）結(jié)論：S試探究以下幾個(gè)問(wèn)題：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過(guò)任意三個(gè)點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出________個(gè)三角形；當(dāng)僅有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出__________個(gè)三角形；當(dāng)僅有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出________個(gè)三角形；……（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）點(diǎn)的個(gè)數(shù)可連成三角形個(gè)數(shù)345……n（3）推理：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（4）結(jié)論：_____________________________________________________________【變式2-3】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)：A1，A2，A3，…，A題型03三角形的穩(wěn)定性【例3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）學(xué)校、工廠、企業(yè)等單位的大門(mén)都是收縮性大門(mén)，這種門(mén)的門(mén)體可以伸縮自由移動(dòng)，以此來(lái)控制門(mén)的大小．這種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）

A．三角形的穩(wěn)定形 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．勾股定理 D．黃金分割【變式3-1】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮瓜旅娴哪炯懿蛔冃危辽傩枰籴斏蠋赘緱l？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3-2】（2022·河北保定·?？家荒＃┠苡萌切蔚姆€(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A． B．C． D．【變式3-3】（2021·浙江臺(tái)州·一模）如圖，升降平臺(tái)由三個(gè)邊長(zhǎng)為1.2米的菱形和兩個(gè)腰長(zhǎng)為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺(tái)AM與底座A0N平行，長(zhǎng)度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動(dòng)，且始終保持點(diǎn)B0，C1，A1成一直線．(1)這種升降平臺(tái)的設(shè)計(jì)原理是利用了四邊形的____性；(2)為了安全，該平臺(tái)在作業(yè)時(shí)∠B1不得超過(guò)40°，求平臺(tái)高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．

考點(diǎn)二三角形的重要線段重要線段概念圖形性質(zhì)三角形的高從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）．∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°三角形的中線在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADCC三角形的角平分線三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12三角形的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線∵DE是?ABC的中位線∴AD=DBAE=ECDE=12概念圖形性質(zhì)重心三角形三條中線交點(diǎn)1）重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2）重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

3)重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。垂心三角形三條高交點(diǎn)1）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外；

2）銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。3）三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6組四點(diǎn)共圓.4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短.易混易錯(cuò)1.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．2.常見(jiàn)三角形的高：3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可考慮運(yùn)用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.題型01畫(huà)三角形的高、中線、角平分線【例1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，邊AB上的高是（）A．AD B．GE C．EF D．CH【變式1-1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=AC，BC長(zhǎng)度不確定，拫據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，用直尺不一定能直接畫(huà)出BC邊的高的是（

）A． B． C． D．

【變式1-2】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）嘉淇剪一個(gè)銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【變式1-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段AD為△ABC的角平分線的是（

）A． B． C． D．【變式1-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【變式1-5】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個(gè)三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個(gè)三角形．如圖，當(dāng)∠1=∠2時(shí)，折痕是三角形的（

）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【變式1-6】（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫(huà)圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫(huà)△ABC的中位線DE，使點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上；(2)在圖②中畫(huà)△ABC的高線BF．題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤【例2】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高．則下列各式中錯(cuò)誤的是（

）

A．∠AFB=90° B．AE=CE C．BC=2CD D．∠BAE=【變式2-1】（2020上·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S題型03等面積法求三角形的高【例3】如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，則點(diǎn)C到直線AB的距離等于（

）A．125 B．135 C．6013【變式3-1】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點(diǎn)A，B，C，D中選一個(gè)點(diǎn)；與點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△KMN的面積，這個(gè)點(diǎn)為（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【變式3-2】（2023·江蘇蘇州模擬）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫(huà)了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫(huà)的三角形面積記作S△ABC，小穎畫(huà)的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【變式3-3】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AC邊上的高長(zhǎng)度為（

）A．355 B．3510 C．題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積【例4】（2021·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則S△ABC的面積為（）A．52 B．3 C．72【變式4-1】（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，則SΔABC__________S

【變式4-2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(?1,3)，B(2,0)，C(?3,?1)．

(1)在圖中畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1（點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為(2)求△ABC的面積．題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算【例5】（2022·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，已知ΔABC中，∠ACB=45°，F(xiàn)是高BD和CE的交點(diǎn)，AD=3，CD=5，則線段BFA．1 B．2 C．22?3 【變式5-1】（2021·山東威?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫三角形的垂心．【問(wèn)題解決】如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H為△ABC的垂心，則∠BHC的度數(shù)為（

）A．120° B．115° C．102° D．108°【變式5-2】（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在學(xué)習(xí)三角形高線時(shí)，發(fā)現(xiàn)三角形三條高線交于一點(diǎn)，我們把這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的垂心．課后小明同學(xué)繼續(xù)探究，上網(wǎng)搜索得到了三角形重心的一條性質(zhì)，制作了如下表格進(jìn)行探究．三角形關(guān)型直角三角形銳角三角形鈍角三角形垂心的位置直角頂點(diǎn)_①___________在三角形外部垂心的性質(zhì)三角形任意頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到對(duì)邊的距離的兩倍．圖形圖1圖2(1)表格中①處應(yīng)填：____________．(2)小明先選擇了直角三角形來(lái)探究重心的性質(zhì)，寫(xiě)出了已知求證，請(qǐng)完成證明．已知：如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠B=Rt∠，H是△ABC的垂心，OE⊥BC，垂足為E．求證：AH=2OE．(3)如圖2，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，高線AF與高線CG交于點(diǎn)H，OE⊥BC于點(diǎn)E，為了證明AH=2OE．小明想把銳角三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形，為此他過(guò)點(diǎn)B作了⊙O的直徑BD，請(qǐng)繼續(xù)小明的思路證明．【變式5-3】（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：我們知道三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．由于三角形的三條高（或高所在的直線）相交于一點(diǎn)，因此我們把三角形三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心．下面我們以銳角三角形為例，證明三角形的三條高相交于一點(diǎn)．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的高，且AD與BE相交于點(diǎn)P．連接CP并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F．求證：CF⊥AB．證明：分別過(guò)點(diǎn)A，B，C作它們所對(duì)邊的平行線，三條平行線兩兩相交于點(diǎn)M，N，Q．分別連接PM，PN，PQ．∵M(jìn)N//BC，MQ//AB，NQ//AC，∴四邊形MABC，四邊形ANBC，四邊形ABQC都是平行四邊形．∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．∵AD⊥BC，∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．∴PM=PN．…學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）請(qǐng)將上面剩余的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（2）點(diǎn)P是△MNQ的_______．（填出字母代號(hào)即可）A．內(nèi)心

B．外心 C．垂心 D．重心（3）若∠CAB=40°，則∠MPN=_______°．題型06根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度【例6】（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，AD是△ABC的中線，AB=5，AC=4，△ACD的周長(zhǎng)為10，則△ABD的周長(zhǎng)為（）

A．8 B．9 C．10 D．11【變式6-1】（2023·青海·統(tǒng)考一模）在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，若AB=9，AC=5，則△ABC的中線AD長(zhǎng)的取值范圍是（

）A．5<AD<9 B．4<AD<9 C．2<AD<14 D．2<AD<7【變式6-2】（2022·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D，若BF=3EF，則BDDC=（A．43 B．32 C．65【變式6-3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分成兩部分的比是8：7，求邊AB，AC的長(zhǎng)．題型07根據(jù)三角形的中線求面積【例7】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的面積為30，BD=2CD，E為AB的中點(diǎn)，則△ADE的面積等于（

）

A．15 B．12 C．10 D．9【變式7-1】（2023·江蘇南京·南師附中新城初中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，且AE=2EC，連接AD、BE交于點(diǎn)F，若△BDF的面積是3，則△ABC的面積為_(kāi)______．

【變式7-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┨骄繎?yīng)用：(1)如圖①，在△ABC中，中線AD、BE交于點(diǎn)O．若△ABC的面積為6，求四邊形ODCE的面積．小明在求解時(shí)，利用“三角形的中線平分此三角形的面積”的結(jié)論，連接OC，設(shè)△ODC的面積為x，△OEC的面積為y，列出方程組2x+y=3，解得x=y=

，所以四邊形ODCE的面積為x+y＝_____(2)如圖②，在△ABC中，AD是中線，AE=EF=FC，AD與BE、BF分別交于點(diǎn)M、N．若四邊形NDCF的面積為14，求△ABC的面積．(3)在（2）的條件下，求△AME的面積．【變式7-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）已知四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)E，AB=CD，∠ABE=∠DCE．(1)如圖，求證：∠EBC=∠ECB；

(2)如圖2，延長(zhǎng)BA，延長(zhǎng)CD相交于點(diǎn)F，若點(diǎn)D是CF的中點(diǎn)．在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的四個(gè)三角形，使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都等于△ADF面積的2倍．

題型08判斷重心位置【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的正方形格紙中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，BC邊與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，AC邊過(guò)格點(diǎn)E，連接AD，BE相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為△ABC的（A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．以上結(jié)果均不對(duì)【變式8-1】（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點(diǎn)A、B、C、P均在格點(diǎn)上，有下列結(jié)論：①點(diǎn)P在∠ACB的角平分線上；②直線BP可以把△ABC分成面積相等的兩部分；③點(diǎn)P是△ABC的外心；④點(diǎn)P是△ABC的重心．其中正確的有_________．（直接填寫(xiě)序號(hào)）題型09與重心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算【例9】（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？级＃┑妊鰽BC中，AB=AC=5，BC=6，則重心G到底邊的距離是______．【變式9-1】（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，G是△ABC的重心，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長(zhǎng)為6，則PQ的長(zhǎng)為_(kāi)____．【變式9-2】（2021·河北邢臺(tái)·二模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，線段BE、CD相交于點(diǎn)O，若OD=2，則OC=_______．

【變式9-3】（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B?2，3，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，OB=BC，點(diǎn)M為△OBC的重心，若將△OBC繞著點(diǎn)O

考點(diǎn)三三角形的性質(zhì)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關(guān)系定理及推論的應(yīng)用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說(shuō)明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過(guò)周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形．三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．題型01應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長(zhǎng)或取值范圍【例1】（2021·福建寧德·統(tǒng)考一模）下列三條線段中，能組成三角形的是（

）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．2，2，5【變式1-1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，x，且x為整數(shù)，則x的最大值為（

）A．8 B．7 C．5 D．6【變式1-2】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長(zhǎng)，則(m?3)2+(m?7)2等于（A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4【變式1-3】（2018·甘肅武威·中考真題）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c為奇數(shù)，則c=_______．【變式1-4】．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是1和4，若第三邊的長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)是______．【變式1-5】（2021上·四川內(nèi)江·九年級(jí)四川省隆昌市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2和5，第三邊的長(zhǎng)是方程x2?8x+15=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)___【變式1-6】（2021·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：m3?2m2m題型02應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子【例2】（2019下·山東濰坊·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是2，3，m，則化簡(jiǎn)m2?10m+25?【變式2-1】（2021·湖南·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鬭，b，c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，則化簡(jiǎn)|a?b?c|+|b?c?a|+|a+b?c|=________．題型03應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問(wèn)題【例3】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興趣小組在李老師的引導(dǎo)下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理，運(yùn)用構(gòu)圖法進(jìn)行了探究活動(dòng)：如圖，在5×5正方形的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為25、22、2，李老師在圖中已經(jīng)畫(huà)出了其中一邊AB．請(qǐng)你補(bǔ)全△ABC，并根據(jù)圖形比較25

【變式3-1】在△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的角平分線，請(qǐng)比較AB?AC與BD?DC的大小，并說(shuō)明理由．【變式3-2】（2023下·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明和小亮比較2+3與2+3大小的過(guò)程，關(guān)于兩人的思路.（

A．小明對(duì)，小亮錯(cuò) B．小明錯(cuò)，小亮對(duì)C．兩人都錯(cuò) D．兩人都對(duì)題型04三角形內(nèi)角和定理的證明【例4】（2023·陜西西安·西安市航天中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某班學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和為180°展開(kāi)證明討論，以下四個(gè)學(xué)生的作法中，不能證明△ABC的內(nèi)角和為180°的是（

）A．過(guò)點(diǎn)A作AD∥BCB．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥C．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D D．過(guò)BC上一點(diǎn)D作DE∥AC，【變式4-1】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，ΔABC求證：∠A+∠B+∠C=方法一證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作DE//BC.

方法二證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD//AB.

題型05應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度【例5】（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A'B'C，連接AAA．70° B．65° C．60° D．55°【變式5-1】（2022·河北唐山·校考一模）在△ABC中，已知∠A=∠B=2∠C，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式5-2】（2022上·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，若cosA?32+(1?tanB)題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用【例6】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車(chē)服務(wù)．圖1是某品牌共享單車(chē)放在水平地面的實(shí)物圖，圖2是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM與CB平行，則∠MAC的度數(shù)為（

）圖1 圖2A．70° B．68° C．60° D．50°【變式6-1】（2023·河南周口·淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)校考三模）物理學(xué)光的反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．如圖，兩平面鏡AB與BC的夾角為α，一條光線經(jīng)過(guò)兩次反射后，∠AEF=∠GEB，∠BGE=∠CGH，仍可以使入射光線EF與反射光線GH平行但方向相反，則α的度數(shù)為（

）

A．60° B．80° C．90° D．100°【變式6-2】（2022·江蘇蘇州·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2的度數(shù)為_(kāi)_____°．題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用【例7】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，BE是△ABC的角平分線，點(diǎn)D在AB上，且DE∥(1)求證：DB=DE；(2)若∠A=60°，∠C=50°，求∠BED的大?。咀兪?-1】（2022·江蘇無(wú)錫·校考一模）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問(wèn)題：(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：________________；(2)如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請(qǐng)直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：___________個(gè)；②若∠D=40°,∠B=50°，試求∠P的度數(shù)；③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；④若∠D和∠B∠為任意角，∠DAB=3∠2,∠DCB=3∠4，試問(wèn)∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式7-2】（2020·山西臨汾·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，如果能理解并掌握其中的規(guī)律，對(duì)解決相關(guān)的問(wèn)題會(huì)起到事半功倍的效果．規(guī)律1：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線形成的角等于90加上第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的一半．規(guī)律2：三角形的兩個(gè)外角的角平分線形成的角等于90°減去與這兩個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．如圖，已知點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點(diǎn)．則∠P=90°+12∠A證明：規(guī)律1，∵BP，CP是△ABC的角平分線，∴∠1=12∠ABC∴∠A=180°?2∠1+∠2∴∠1+∠2=90°?1∴∠P=180°?∠1+∠2規(guī)律2，∵∠3=12∠A+∠ACB∴∠3+∠4=1∴∠M=180°?∠3+∠4請(qǐng)解決以下問(wèn)題：（1）寫(xiě)出上述證明過(guò)程中依據(jù)的一個(gè)定理：______________________________；（2）如圖，已知點(diǎn)Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角平分線CQ的交點(diǎn)，試探究∠Q和∠A的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．題型08三角形折疊中的角度問(wèn)題【例8】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知三角形紙片ABC，AB=AC，∠A=50°，將其折疊，如圖2，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為ED，點(diǎn)E，D分別在AB，AC上，那么∠DBC的度數(shù)為（

）

A．10° B．15° C．20° D．30°【變式8-1】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)C'處，若∠1=58°，∠2=42°，則∠C的度數(shù)為（

A．100° B．109° C．126.5° D．130°【變式8-2】如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，這個(gè)關(guān)系是（

）A．2∠A=∠1+∠2 B．3∠A=2∠1+∠2C．∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2∠1+2∠2【變式8-3】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，有一個(gè)三角形紙片ABC，∠A=65°，∠B=75°，將紙片一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，若∠DFC'=20°【變式8-4】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考一模）圖，把等邊△ABC沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在A'處，若∠1=50°，則∠2=________．題型09應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問(wèn)題【例9】（2022·安徽宿州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線AB∥CD，含45°角的三角板EFG的直角頂點(diǎn)F在直線AB上，頂點(diǎn)E在直線CD上，若∠DEG=82°，則∠BFG的度數(shù)是（

A．37° B．41° C．42° D．45°【變式9-1】（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）將一副直角三角板如圖放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，則∠BND為（

A．45° B．60° C．90° D．105°【變式9-2】（2023·安徽馬鞍山·校考二模）將兩塊含45°角的直角三角板ABC,DEF按如圖方式放置，其中點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)A在DE上，若∠FEC=30°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【變式9-3】（2023·陜西西安·交大附中分校?？既＃⒁桓比前灏慈鐖D所示擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的角度為（

）A．75° B．105° C．110° D．120°題型10應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系【例10】（2023·浙江杭州·校考二模）如圖，O為等腰三角形ABC的外心，AB=AC，連接OB，記∠C=α，∠CBO=β，則α，

A．2β?α=90° B．2β?α=180° C．12β+α=90° 【變式10-1】（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，從A點(diǎn)發(fā)出的光線AB，AD經(jīng)平面鏡l反射后得到反射光線BC，DE，m，n為法線，設(shè)∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之間的數(shù)量關(guān)系是（

）A．α+β=γ B．2α+β=γ C．α+2β=γ D．α+2β=2γ題型11三角形內(nèi)角和定理與新定義問(wèn)題綜合【例11】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=3，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____________【變式11-1】（2023·江蘇蘇州·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校?？级＃┒x：如果三角形的兩個(gè)α與β滿足α?β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．

(1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)___________；(2)如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，若AD=(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD=2∠ABC，且【變式11-2】（2022·江西撫州·統(tǒng)考一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)所連線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我么就把這條線段叫做這個(gè)三角形的“華麗分割線”．例如：如圖1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“華麗分割線”．【定義感知】(1)如圖1，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=110°，AB=BD．求證：AD是△ABC【問(wèn)題解決】(2)①如圖2，在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是等腰三角形，則∠C的度數(shù)是________；②如圖3，在△ABC中，AB=2，AC=3，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，求華麗分割線AD的長(zhǎng)．【變式11-3】（2019·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大??；（2）在圖2中分別畫(huà)出三個(gè)頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠C所有可能的值．題型12應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)求角度【例12】（2021·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上，連接AD、BE．若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，則∠1的大小為（

）A．60° B．70° C．75° D．85°【變式12-1】（2022·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)C，D在直線AB上，OC⊥OD，若∠ACO=120°，則∠BDO的大小為（A．120° B．140° C．150°【變式12-2】．（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖．在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF．若∠CFE=72°，則∠B=_______題型13三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合【例13】（2022·陜西西安·?？级＃┤切蔚囊粋€(gè)外角是100°，則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是_______．【變式13-1】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，∠A=70°，BD是∠ABC的角平分線，CD是∠ACB的外角角平分線，交點(diǎn)為D，則∠D=___________°．

【變式13-2】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=70°，∠D=10°，則∠P=_______．

【變式13-3】（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，AB,AC邊上的高CE,BD相交于點(diǎn)F，∠ABC,∠ACB的角平分線交于點(diǎn)G，若∠CGB=125°，則∠CFB=【變式13-4】（2020·山西臨汾·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，如果能理解并掌握其中的規(guī)律，對(duì)解決相關(guān)的問(wèn)題會(huì)起到事半功倍的效果．規(guī)律1：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線形成的角等于90加上第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的一半．規(guī)律2：三角形的兩個(gè)外角的角平分線形成的角等于90°減去與這兩個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．如圖，已知點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點(diǎn)．則∠P=90°+12∠A證明：規(guī)律1，∵BP，CP是△ABC的角平分線，∴∠1=12∠ABC∴∠A=180°?2∠1+∠2∴∠1+∠2=90°?1∴∠P=180°?∠1+∠2規(guī)律2，∵∠3=12∠A+∠ACB∴∠3+∠4=1∴∠M=180°?∠3+∠4請(qǐng)解決以下問(wèn)題：（1）寫(xiě)出上述證明過(guò)程中依據(jù)的一個(gè)定理：____________________________________；（2）如圖，已知點(diǎn)Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角平分線CQ的交點(diǎn)，試探究∠Q和∠A的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【變式13-5】如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的平分線交于A1．（1）∵BA1、CA1是∠ABC與∠ACD的平分線，∴∠A1BD＝12∠ABD，∠A1CD＝12∠∴∠A1CD﹣∠A1BD＝12（∠ACD﹣∠ABD∵∠A1CD﹣∠A1BD＝___，∠ACD﹣∠ABD＝∠___，∴∠A1＝___．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若∠A+∠D＝230°，求∠F的度數(shù)．（3）如圖3，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的平分線交于A1，若E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當(dāng)E滑動(dòng)時(shí)有下面兩個(gè)結(jié)論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠Q﹣∠A1的值為定值，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論，并求出其值．題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合【例14】（2023·貴州貴陽(yáng)·校考一模）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E是平行線外一點(diǎn)，連接AE，CE，若∠A=22°，∠C=50°，則∠E的度數(shù)是（

A．22° B．24° C．26° D．28°【變式14-1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某城市幾條道路的位置如圖所示，道路CD與道路EF平行，道路AB與道路CD的夾角∠CDB為50°，城市規(guī)劃部門(mén)想修一條新道路BF，要求∠F=∠B，則∠F的大小為（

）A．40° B．35° C．30° D．25°【變式14-2】（2022·遼寧遼陽(yáng)·一模）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（

）A．40° B．41° C．49° D．50°【變式14-3】（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠A=45°,∠B=30°，直尺的一邊與BC平行，則∠1=_____°．題型15應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問(wèn)題【例15】（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠B【變式15-1】（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ΔABC中，AC=BC，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，且CD=2DB，將ΔABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，EF為折痕，則sin【變式15-2】（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小聰同學(xué)為了驗(yàn)證：長(zhǎng)條紙片上下邊沿MN與PQ是否平行，把紙片沿著AC折疊（如圖1），并用量角器測(cè)出∠1、∠2的度數(shù)．(1)若∠1=∠2，則MN∥PQ．你認(rèn)為小聰同學(xué)的做法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)在（1）的條件下小聰同學(xué)在PQ邊上取點(diǎn)D（不與P，B重合）（如圖2），連接AD并折疊紙片使得射線AB與射線AD重合，折痕交PQ于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，設(shè)∠AEF=α，∠ADP=β．①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C、B之間時(shí)，若β=120°，求α的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)D在PQ上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合【例16】（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．【變式16-1】如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且AD=AE，連接DE．（1）如圖①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，則∠CDE的度數(shù)為_(kāi)_______；（2）如圖②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，則∠BAD的度數(shù)為_(kāi)_______；（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，則∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．【變式16-2】（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點(diǎn)重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為_(kāi)______．【變式16-3】（2022下·江蘇南京·七年級(jí)校考期末）已知△ABC中，∠A=65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB'=35°，則∠1+∠2+∠3=【變式16-4】（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點(diǎn)，且AE=BD，求∠BFC的度數(shù)．

第16講三角形的概念及性質(zhì)答案解析考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念題型01三角形的分類【例1】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一只手蓋住了一個(gè)三角形的部分圖形，則這個(gè)三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類判斷即可.【詳解】解：A、當(dāng)另外兩角為50°和100°時(shí)，該三角形為鈍角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)另外兩角為90°和60°時(shí)，該三角形為直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)另外兩角為30°和120°時(shí)，該三角形為等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角均為60°，由圖可知該三角形有一個(gè)內(nèi)角為30°，故不可能為等邊三角形，符合題意.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類，會(huì)應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類求解是解答的關(guān)鍵.【變式1-1】（2020·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)三角形只剩下一個(gè)角，這個(gè)三角形為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能【答案】B【分析】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形．【詳解】從題中可知，只能看到一個(gè)角是鈍角．所以這個(gè)三角形為鈍角三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的分類的靈活應(yīng)用．【變式1-2】（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫(huà)△ABC．要求：（1）在圖①中畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，在圖②中畫(huà)一個(gè)直角三角形，在圖③中畫(huà)一個(gè)銳角三角形；（2）三個(gè)圖中所畫(huà)的三角形的面積均不相等；（3）點(diǎn)C在格點(diǎn)上．【答案】見(jiàn)詳解（答案不唯一）【分析】因?yàn)辄c(diǎn)C在格點(diǎn)上，故可將直尺的一角與線段AB點(diǎn)A重合，直尺邊長(zhǎng)所在直線經(jīng)過(guò)3×3正方形網(wǎng)格左上角第一個(gè)格點(diǎn)，繼而以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直尺，當(dāng)直尺邊長(zhǎng)所在直線與正方形格點(diǎn)相交時(shí)，確定點(diǎn)C的可能位置，順次連接A、B、C三點(diǎn)，按照題目要求排除不符合條件的C點(diǎn)，作圖完畢后可根據(jù)三角形面積公式判斷其面積是否相等．【詳解】經(jīng)計(jì)算可得下圖中：圖①面積為12；圖②面積為1；圖③面積為3故本題答案如下：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類及其作圖，難度較低，按照題目要求作圖即可．【變式1-3】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C，且使BC=5，并且直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)三角形的面積．【答案】見(jiàn)解析；S=10；S=252

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，角的分類去求解即可【詳解】解：鈍角三角形時(shí)，如圖，∵BC⊥BD，BC=5，∴△ABC是鈍角三角形，根據(jù)平行線間的距離處處相等，得BC邊上高為BD=4,∴S=1直角三角形時(shí)，如圖，取格點(diǎn)F使得BF=4，F(xiàn)C=3，根據(jù)勾股定理，得BC=32∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，∴△AEB≌△BFC，∴∠EAB=∠FBC，∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠FBC+∠EBA=90°，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理，得AB=32∴S=12BA×BC銳角三角形時(shí)，如圖，取格點(diǎn)M使得BM=3，CM=4，根據(jù)勾股定理，得BC=32根據(jù)直角三角形時(shí)的作圖，知道∠ABN=90°，∴∠ABC＜∠ABN，∴∠ABC＜90°∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠A=∠C＜90°，∴△ABC是銳角三角形，∴S=1【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格上的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線間的距離處處相等，根據(jù)題意，運(yùn)用所學(xué)構(gòu)造符合題意的格點(diǎn)線段是解題的關(guān)鍵．題型02三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究問(wèn)題【例2】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點(diǎn)在一個(gè)正方體頂點(diǎn)上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．18 C．24 D．36【答案】C【分析】根據(jù)立方體的八個(gè)頂點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度僅有三種可能，分別得出所求的不規(guī)則三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖示：設(shè)立方體的邊長(zhǎng)為a，則在立方體的八個(gè)頂點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度僅有三種可能：邊長(zhǎng)為a，面對(duì)角線為2a，體對(duì)角線為3a．立方體有四條體對(duì)角線，先考慮其中的一條如AC1，第三個(gè)頂點(diǎn)可以是B、C、D、A1有6個(gè)不規(guī)則三角形．因此所求的不規(guī)則三角形的個(gè)數(shù)是6×4=24．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的性質(zhì)以及立體圖形的性質(zhì)，得出立方體的八個(gè)頂點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度僅有三種可能是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形如圖所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7個(gè)三角形．以下去掉3根的方法正確的是（

）A．DE,GH,MI B．GF,EF,MF C．GD,EI,MH D．AD,AG,GD【答案】C【分析】按照選項(xiàng)依次分析即可求解．【詳解】解：A．去掉DE,GH,MI，如圖：圖中共有6個(gè)三角形，該項(xiàng)不符合題意；B．去掉GF,EF,MF，如圖：圖中共有4個(gè)三角形，該項(xiàng)不符合題意；C．去掉GD,EI,MH，如圖：圖中共有7個(gè)三角形，該項(xiàng)符合題意；D．去掉AD,AG,GD，如圖：圖中共有9個(gè)三角形，該項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形計(jì)數(shù)，掌握三角形的定義是解題的關(guān)鍵．.【變式2-2】閱讀下列材料并填空．平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過(guò)這些點(diǎn)作直線，一共能作出多少條不同的直線？（1）分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成10條直線……（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表點(diǎn)的個(gè)數(shù)可作出直線條數(shù)21=S33=S46=S510=S…………nS(3)推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n-1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即S（4）結(jié)論：S試探究以下幾個(gè)問(wèn)題：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過(guò)任意三個(gè)點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出_個(gè)三角形；當(dāng)僅有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出_個(gè)三角形；當(dāng)僅有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出_個(gè)三角形；……（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）點(diǎn)的個(gè)數(shù)可連成三角形個(gè)數(shù)345……n（3）推理：（4）結(jié)論：【答案】（1）1，4，10（2）點(diǎn)的個(gè)數(shù)可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)31=S44=S510=SnS（3）見(jiàn)解析（4）結(jié)論：Sn=n(n-1)(n-2)【分析】（1）根據(jù)給的點(diǎn)數(shù)一一查出三角形即可；（2）根據(jù)引例學(xué)習(xí)，仿照引例解法，先定點(diǎn)，再定形的方法，3個(gè)點(diǎn)先取第一個(gè)點(diǎn)，三點(diǎn)任意一個(gè)有3種，第二個(gè)點(diǎn)從剩下的兩點(diǎn)任取一個(gè)有2種，第三個(gè)點(diǎn)只有1種，三角形有3×2×1個(gè)，會(huì)出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA，都是同一種三角形，由此得出S3=3×2×1（3）平面上有n個(gè)點(diǎn)，過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但同一個(gè)三角形重復(fù)6次，再除以6即可；（4）根據(jù)（3）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)分別為A、B、C、可作1個(gè)三角形△ABC；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，四點(diǎn)分別為A、B、C、D可作4個(gè)三角形△ABC，△ABD，△ACD，△BCD；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)五點(diǎn)分別為A、B、C、D、E，可作10個(gè)三角形△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE；△BDE，△CDE．故答案為1,4,10．（2）填表如下：點(diǎn)的個(gè)數(shù)可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)31=S44=S510=SnS（3）推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但同一個(gè)三角形重復(fù)6次，故應(yīng)除以6，即Sn=n(n-1)(n-2)（4）結(jié)論：Sn=n(n-1)(n-2)【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律探索，閱讀理解，仔細(xì)閱讀，抓住點(diǎn)與線的規(guī)律，拓展點(diǎn)與三角形的規(guī)律，是學(xué)習(xí)的質(zhì)的飛躍，本題難度不大，是培養(yǎng)邏輯思維的好題．【變式2-3】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)：A1，A2，A3，…，A【答案】55【分析】利用遞推的方法，根據(jù)三角形的定義，結(jié)合圖表依次推出圓上有3個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)和12個(gè)點(diǎn)連成三角形的種數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法；（2）如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除A1所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在A（3）如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮A1①A1所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上；在表2中用“+”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的弧；如果是情形①，則由（2），這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法；共有12種連法．（4）最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)．同樣考慮A1①9個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上；②有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上；③每三個(gè)點(diǎn)在A1共有12×3+3×6+1=55種．所以共有55種不同的連法．【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)數(shù)方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)和12個(gè)點(diǎn)連成三角形的種數(shù)，即采用了化難為易的方法解答，要注意各個(gè)三角形的邊都不相交這個(gè)要求．題型03三角形的穩(wěn)定性【例3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）學(xué)校、工廠、企業(yè)等單位的大門(mén)都是收縮性大門(mén)，這種門(mén)的門(mén)體可以伸縮自由移動(dòng)，以此來(lái)控制門(mén)的大?。@種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）

A．三角形的穩(wěn)定形 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．勾股定理 D．黃金分割【答案】B【分析】由題意可知收縮大門(mén)可以伸縮自由移動(dòng)，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性．【詳解】由題意可知收縮大門(mén)可以伸縮自由移動(dòng)，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的不穩(wěn)定性，抓住題意的關(guān)鍵詞從而解決問(wèn)題．【變式3-1】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮瓜旅娴哪炯懿蛔冃?，至少需要再釘上幾根木條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，六邊形轉(zhuǎn)化成三角形即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，要使六邊形木架不變形，至少要再釘上3根木條．故答案選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來(lái)，故三角形具有穩(wěn)定性．【變式3-2】（2022·河北保定·?？家荒＃┠苡萌切蔚姆€(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)各圖所用到的直線、線段有關(guān)知識(shí)，即可一一判定【詳解】解：A、利用的是“兩點(diǎn)確定一條直線”，故該選項(xiàng)不符合題意；B、利用的是“兩點(diǎn)之間線段最短”，故該選項(xiàng)不符合題意；C、窗戶的支架是三角形，利用的是“三角形的穩(wěn)定性”，故該選項(xiàng)符合題意；D、利用的是“垂線段最短”，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)確定一條直線、兩點(diǎn)之間線段最短、三角形的穩(wěn)定性、垂線段最短的應(yīng)用，結(jié)合題意和圖形準(zhǔn)確確定所用到的知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2021·浙江臺(tái)州·一模）如圖，升降平臺(tái)由三個(gè)邊長(zhǎng)為1.2米的菱形和兩個(gè)腰長(zhǎng)為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺(tái)AM與底座A0N平行，長(zhǎng)度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動(dòng)，且始終保持點(diǎn)B0，C1，A1成一直線．(1)這種升降平臺(tái)的設(shè)計(jì)原理是利用了四邊形的____性；(2)為了安全，該平臺(tái)在作業(yè)時(shí)∠B1不得超過(guò)40°，求平臺(tái)高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．【答案】(1)不穩(wěn)定(2)平臺(tái)高度(AA0)的最大值為3.3米．【分析】（1）根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性即可解決問(wèn)題．（2）當(dāng)∠B1=40°時(shí)，平臺(tái)AA0的高度最大，解直角三角形A1B0A0，可得A0A1的長(zhǎng)，再由AA3=A3A2=A2A1=A1A0，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅尉哂胁环€(wěn)定性，點(diǎn)B，B0分別在AM和A0N上滑動(dòng)，從而達(dá)到升降目的，因而這種設(shè)計(jì)利用了平行四邊形的不穩(wěn)定性；故答案為：不穩(wěn)定．（2）由圖可知，當(dāng)∠B1=40°時(shí)，平臺(tái)AA0的高度最大，∠A0B0A1=12∠B1A0A1=A1A2==A2A3==A3A4.∵B0A1=2A1C1=2×1.2=2.4（米），sin20°≈0.34，∴A0A1=2.4×sin20°×4＝3.264≈3.3(米)，∴平臺(tái)高度(AA0)的最大值為3.3米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練菱形的性質(zhì)．考點(diǎn)二三角形的重要線段題型01畫(huà)三角形的高、中線、角平分線【例1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，邊AB上的高是（）A．AD B．GE C．EF D．CH【答案】D【分析】根據(jù)高線的定義：三角形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線段為三角形的高線，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵CH⊥AB，∴在△ABC中，邊AB上的高是CH．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的高線．熟練掌握三角形的高線的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=AC，BC長(zhǎng)度不確定，拫據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，用直尺不一定能直接畫(huà)出BC邊的高的是（

）A． B． C． D．

【答案】A【分析】分別考慮選項(xiàng)中的作圖方法，然后結(jié)合三角形高的定義即可求解．【詳解】解：A中以AB邊為直徑作弧，沒(méi)有作線段AB中點(diǎn)的作圖痕跡，∴無(wú)法直接畫(huà)出BC邊上的高，符合題意；B中分別以點(diǎn)B、C為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為BC邊垂直平分線上的點(diǎn)，連接交點(diǎn)和點(diǎn)A延長(zhǎng)到BC邊即為BC邊上的高，不符合題意；C中作的是∠A的角平分線，連接點(diǎn)A與交點(diǎn)并延長(zhǎng)與BC相交，即為BC邊上的高，不符合題意；D中分別以AC、AB為半徑畫(huà)圖，所得圖形為菱形，連接點(diǎn)A及其相對(duì)的交點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出BC邊上的高，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】題目主要考查基本的作圖方法及三角形高的判定，熟練掌握各個(gè)作圖方法是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）嘉淇剪一個(gè)銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段AD是△ABC的高線，圖②中，線段AD是△ABC的角平分線，圖③中，線段AD是△ABC的中線，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段AD為△ABC的角平分線的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本作圖的方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為∠CAB的平分線，故A選項(xiàng)符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為△ABC中BC邊上的高線，故B選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為△ABC的中線，故C選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為△ABC中BC邊上的高線，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—基本作圖：作三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握基本作圖的方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當(dāng)AC與BC重合時(shí)，折痕是∠C的角平分線；當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，折疊是AB的中垂線，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個(gè)三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個(gè)三角形．如圖，當(dāng)∠1=∠2時(shí)，折痕是三角形的（

）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角定義得到∠1=∠2=90°，再根據(jù)三角形的高線定義求解即可．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°，又∵折痕經(jīng)過(guò)三角形的頂點(diǎn)，∴折痕是三角形的高線，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、平角定義、三角形的高線，理解三角形的高線定義是解答的關(guān)鍵．【變式1-6】（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫(huà)圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫(huà)△ABC的中位線DE，使點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上；(2)在圖②中畫(huà)△ABC的高線BF．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)、矩形性質(zhì)，先找到AB,BC的中點(diǎn)，再連接即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)，利用全等三角形性質(zhì)構(gòu)造過(guò)點(diǎn)B的斜邊等于AC的直角三角形即可．【詳解】（1）解：如下圖所示：∴線段DE即為所求；（2）解：如下圖所示：∴線段BF即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握網(wǎng)格線的特點(diǎn)和三角的的中位線、高線的定義是解題的關(guān)鍵．題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤【例2】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高．則下列各式中錯(cuò)誤的是（

）

A．∠AFB=90° B．AE=CE C．BC=2CD D．∠BAE=【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高的定義逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高，A、∠AFB=90°，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B、AE，C、BC=2CD，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；D、∠BAE=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，角平分線，高的定義，熟練掌握三角形的中線，角平分線，高的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020上·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S【答案】C【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．【詳解】解：∵AF是△ABC的中線，∴BF=CF，A說(shuō)法正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，B說(shuō)法正確，不符合題意；∵AE是角平分線，∴∠BAE=∠CAE，C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；∵BF=CF，∴S△ABC=2S△ABF，D說(shuō)法正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．題型03等面積法求三角形的高【例3】如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，則點(diǎn)C到直線AB的距離等于（

）A．125 B．135 C．6013【答案】C【分析】根據(jù)等積法求出點(diǎn)C到直線AB的距離即可．【詳解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC×BC即點(diǎn)C到直線AB的距離為6013故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積計(jì)算，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等積法求出CD=60【變式3-1】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點(diǎn)A，B，C，D中選一個(gè)點(diǎn)；與點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△KMN的面積，這個(gè)點(diǎn)為（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】C【分析】與點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△KMN的面積，即尋找以MN為底邊，高為KN長(zhǎng)的三角形．根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，只需要找到過(guò)點(diǎn)K且與MN平行的直線即可．【詳解】解：由于平行線間的距離處處相等，所有在過(guò)點(diǎn)K且與MN平行的直線上的點(diǎn)與M、N組成的三角形都滿足其面積與△KMN的面積相等，有網(wǎng)格的特點(diǎn)可知只有過(guò)點(diǎn)K、C的直線與MN平行，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，熟知平行線間的距離處處相等是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·江蘇蘇州模擬）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫(huà)了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫(huà)的三角形面積記作S△ABC，小穎畫(huà)的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【答案】C【分析】在兩個(gè)圖形中分別作BC、EF邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A、D分別作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分別為G、H，在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，∠B=50°，∠DEH=180°-130°=50°，∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，∴△AGB≌△DHE(AAS)，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故選：C．【點(diǎn)睛】要題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等底等高兩三角形面積相等．證明△AGB≌△DHE是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AC邊上的高長(zhǎng)度為（

）A．355 B．3510 C．【答案】A【分析】求出三角形ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AC邊上的高．【詳解】解：四邊形DEFA是正方形，面積是4；△ABF，△ACD的面積相等，且都是12△BCE的面積是：12則△ABC的面積是：4?1?1?1在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到：AC=2設(shè)AC邊上