專題13 二次函數(shù)性質(zhì)壓軸（講練）

專題13二次函數(shù)性質(zhì)壓軸考點(diǎn)要求命題預(yù)測二次函數(shù)性質(zhì)壓軸在中考中，二次函數(shù)可以是以選擇、填空題的形式考察，也可以以解答題的形式考察，題目的難度都在中上等，也常作為中考中難度較大的一類壓軸題的問題背景，占的分值也較高。而考察的內(nèi)容主要有:二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、解析式的求法、幾何變化、以及函數(shù)與幾何圖形相關(guān)的綜合應(yīng)用等。其中，二次函數(shù)與其他綜合相關(guān)的實(shí)際問題，雖然不是壓軸出題，但是一般計(jì)算量較大，需要考試特別注意自己的計(jì)算不要有失誤。知識(shí)導(dǎo)圖

考點(diǎn)二次函數(shù)性質(zhì)壓軸真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式提分筆記求二次函數(shù)解析式的一般方法：1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)列出關(guān)于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.2）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k.根據(jù)頂坐標(biāo)點(diǎn)（h,k)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.3）交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).當(dāng)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0)、(x2,0)時(shí)，可設(shè)y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.二次函數(shù)的常見表達(dá)式：名稱解析式前提條件一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)已知拋物線上的無規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),常用一般式求其表達(dá)式.頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或者是對(duì)稱軸)時(shí)，常用頂點(diǎn)式求其表達(dá)式.交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若題目已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常用交點(diǎn)式求其表達(dá)式.相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.2)一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.1．（2022·山東泰安·中考真題）拋物線y=axx-2-101y0466下列結(jié)論不正確的是（

）A．拋物線的開口向下B．拋物線的對(duì)稱軸為直線x=C．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）D．函數(shù)y=ax22．（2023·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y=(x?2)20≤x≤3的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)y=14x3．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）已知拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點(diǎn)，連接CP，則線段CP的長是______．注：拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸是直線題型02二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2020·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)y=x?ax?b?2，且(a<b)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m和n，且m<nA．m<a<n<b B．a(chǎn)<m<b<n C．m<a<b<n D．a(chǎn)<m<n<b2．（2022·江蘇徐州·中考真題）若二次函數(shù)y=x2?2x?3的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于m，則m的值為3．（2023·山東臨沂·中考真題）小明利用學(xué)習(xí)函數(shù)獲得的經(jīng)驗(yàn)研究函數(shù)y=x①當(dāng)x<?1時(shí)，x越小，函數(shù)值越?。虎诋?dāng)?1<x<0時(shí)，x越大，函數(shù)值越??；③當(dāng)0<x<1時(shí)，x越小，函數(shù)值越大；④當(dāng)x>1時(shí)，x越大，函數(shù)值越大．其中正確的是（只填寫序號(hào)）．4．（2023·四川樂山·中考真題）定義：若x，y滿足x2=4y+t,y2=4x+t（1）若P(3,m)是“和諧點(diǎn)”，則m=．（2）若雙曲線y=kx(?3<x<?1)存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍為題型03二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系提分筆記二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與a，b，c的關(guān)系符號(hào)圖象特征備注aa>0開口向上a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．a(chǎn)<0開口向下bb=0坐標(biāo)軸是y軸ab>0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)左同右異ab<0((a，b異號(hào)))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點(diǎn)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常見結(jié)論自變量x的值函數(shù)值圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置結(jié)論-24a-2b+cx軸的上方4a-2b+c>0x軸上4a-2b+c=0x軸的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx軸的上方a-b+c>0x軸上a-b+c=0x軸的下方a-b+c<01a+b+cx軸的上方a+b+c>0x軸上a+b+c=0x軸的下方a+b+c<024a+2b+cx軸的上方4a+2b+c>0x軸上4a+2b+c=0x軸的下方4a+2b+c<01．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖．拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)A?3,0和點(diǎn)B1,0，與y軸交于點(diǎn)C．下列說法：①abc<0；②拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1；③當(dāng)?3<x<0時(shí)，axA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)）關(guān)于直線x=1對(duì)稱．下列五個(gè)結(jié)論：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0圖像的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；④關(guān)于x的一元二次方程ax⑤若點(diǎn)m,y1，?m+2,y2均在該二次函數(shù)圖像上，則A．4 B．3 C．2 D．14．（2023·山東青島·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為?3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=?1．下列結(jié)論：①abc<0；②3b+2c>0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=kx的兩根為題型04根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解解題大招拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求其對(duì)稱軸.解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對(duì)稱軸可表示為直線x=x1解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=?b2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=?b3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對(duì)稱.1．（2023·浙江杭州·中考真題）設(shè)二次函數(shù)y=ax?mx?m?k(a>0,m,k是實(shí)數(shù))A．當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為?a B．當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為?2aC．當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為?a D．當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為?2a2．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為3，0，對(duì)稱軸是直線x=1A．a(chǎn)bc<0 B．C．4ac>b2 D．點(diǎn)3．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A1,0、點(diǎn)B3,0，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)4．（2023·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Mx1,y1，N(1)若對(duì)于x1=1，x2=2有(2)若對(duì)于0<x1<1，1<x2題型05利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值自變量取值范圍圖象最大值最小值全體實(shí)數(shù)a>0當(dāng)x=?b2aa<0當(dāng)x=?b2ax1≤x≤x2a>0當(dāng)x=x2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=?b2a當(dāng)x=x1時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y1當(dāng)x=?b2a當(dāng)x=x2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=x1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值y1a<0自行推導(dǎo).1．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線y=x2?2x?1，則當(dāng)0≤x≤3A．?2 B．?1 C．0 D．22．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+mx+m2?m（m為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值3．（2023·浙江紹興·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x(1)當(dāng)b=4,c=3時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)?1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍．(2)當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x>0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．4．（2023·江蘇·中考真題）已知二次函數(shù)y=x2+bx?3(1)該函數(shù)圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A坐標(biāo)為3,0，①則b的值是_________，點(diǎn)B的坐標(biāo)是_________；②當(dāng)0<y<5時(shí)，借助圖像，求自變量x的取值范圍；(2)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y>t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；(3)當(dāng)m<y<n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m<n），自變量x的取值范圍是1<x<2，求n和b的值以及m的取值范圍．題型06二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題提分筆記二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的根判別式Δ=b2-4ac2個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac>01個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=00個(gè)交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac<01．（2023·河北·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x2+m2A．2 B．m2 C．4 D．2．（2023·四川自貢·中考真題）經(jīng)過A(2?3b,m),B(4b+c?1,m)兩點(diǎn)的拋物線y=?12x2+bx?b2+2c（A．10 B．12 C．13 D．153．（2022·云南·中考真題）已知拋物線y=?x2?3x+c經(jīng)過點(diǎn)（0，2），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)k是拋物線y=?(1)求c的值；(2)直接寫出T的值；(3)求k44．（2021·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（1）求b的值．（2）當(dāng)c>?1時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是________．（3）設(shè)m,0是該函數(shù)的圖像與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)?1<m<3時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范圍．5．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(1,m),(3,n)在拋物線y=ax2(1)當(dāng)c=2,m=n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；(2)點(diǎn)(x0,m)(x0≠1)在拋物線上，若題型07二次函數(shù)與不等式高分秘籍二次函數(shù)與不等式的關(guān)系：b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點(diǎn)2個(gè)交點(diǎn)1個(gè)交點(diǎn)0個(gè)交點(diǎn)ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2x≠?取任意實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解【其它情況】1）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）上方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；2）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）下方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．1．（2021·廣西賀州·中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m交于A(?3,y1)，B(1,yA．x≤?3或x≥1 B．x≤?1或x≥3 C．?3≤x≤1 D．?1≤x≤32．（2023·浙江衢州·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2?4ax（a是常數(shù)，a<0）的圖象上有Am,y1和B2m,y2兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，BA．1<m<32 B．43<m<2 C．3．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,?2)(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)y≤?2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．4．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=12x (1)b=_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD=52；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且自變量xx??101234?y?0?3?4?305?(1)求二次函數(shù)y=ax(2)若將線段AB向下平移，得到的線段與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q左邊），R為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)(3)若將線段AB先向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到的線段與二次函數(shù)y=1t(ax2題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題高分秘籍二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2）平移與增加性變化如果平移后對(duì)稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會(huì)改變函數(shù)最大(小)值.只對(duì)二次函數(shù)上下平移，不改變增減性，改變最值.只對(duì)二次函數(shù)左右平移，改變增減性，不改變最值.3）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號(hào)，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號(hào)1．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(?1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，已知拋物線y=x2?x?2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線y=?x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線BC于點(diǎn)M，交圖象W于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)3．（2023·四川德陽·中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(?4,0)，B(2,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,?4)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點(diǎn)D，與拋物線的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，若DFHG=25題型09函數(shù)圖象判斷綜合1．（2023·浙江臺(tái)州·中考真題）拋物線y=ax2?aa≠0與直線y=kx交于Ax1,y1A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限2．（2022·廣西·中考真題）已知反比例函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx?a(c≠0)和二次函數(shù)y=aA． B． C． D．3．（2022·貴州黔東南·中考真題）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=?A． B． C． D．題型10二次函數(shù)與實(shí)際問題高分秘籍用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實(shí)際問題。利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題?！咀⒁狻孔宰兞康娜Q范圍。利用二次函數(shù)解決動(dòng)點(diǎn)問題的方法：首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，點(diǎn)G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積．2．（2021·貴州貴陽·中考真題）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA=8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點(diǎn)0.4m時(shí)，橋下水位剛好在OA處．有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，請(qǐng)說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）；（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y=ax2+bx+ca≠0，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移mm>0個(gè)單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y3．（2022·遼寧丹東·中考真題）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價(jià)x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤是多少元？4．（2023·浙江溫州·中考真題）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）．(2)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？核心知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(?b2a，最值a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值.【小結(jié)】二次函數(shù)最小值(或最大值)為0（k或4ac?增

減

性a>0在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減小.必刷好題一、單選題1．（2023·河南商丘·二模）下列函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．y=x2 B．y=x2 C．2．（2023·山東青島·模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=ax2+bx+1a≠0與一次函數(shù)A． B． C． D．3．（2023·廣東東莞·一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c與反比例函數(shù)y=①abc<0，②b>a>0，③4a?2b+c<0，④a?c>k．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·四川綿陽·一模）二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=mx+cA．?3<x<0 B．x<?3或x>0 C．x<?3或x>1 D．0<x<35．（2023·江蘇淮安·二模）若拋物線y=a(x?h)2+k(a>0)過點(diǎn)A(0,1)，B(8,2)，則hA．?3 B．0 C．2 D．46．（2023·四川瀘州·一模）當(dāng)2b?2≤x≤2b+1時(shí)，拋物線y=?x?b2+4b?1A．1或34 B．7或1 C．7或34 7．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=?12x2+4x?3A．先向左平移8個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位B．先向左平移6個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位C．先向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位D．先向左平移7個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位8．（2023·浙江寧波·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)?1,m和點(diǎn)?2,n在拋物線y=ax2+bx上，若a<0，點(diǎn)．?3,y1，1,y2，4,y3在該拋物線上．若m<n，比較yA．y1<0<y2<y3 B．二、填空題9．（2023·吉林長春·二模）如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，左右兩個(gè)拋物線形是全等的，正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB為20m，頂點(diǎn)M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m（即NC=4.5m，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．當(dāng)水位上漲到剛好淹沒小孔時(shí)，求出大孔的水面寬度EF=10．（2023·重慶銅梁·一模）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在x軸上，A、B恰好在二次函數(shù)y=x2?311．（2023·江蘇常州·一模）如圖，將拋物線y=2(x+1)2+1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線，新曲線與直線y=x交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M12．（2023·湖北十堰·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的自變量xx…?2?101…y…m0ct…以下四個(gè)結(jié)論：①a?b+c=0；②若m=t，則b?2a=0；（3）若a<0，且25a+5b+c=0，則不等式ax2+bx+c>0的解集為?1<x<5；④若a>0，且0<c<1，則當(dāng)x>?1時(shí)，y隨13．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知拋物線y1=mx2+2mx+1（1）若拋物線y1與直線y2存在一個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為?2，則m的值為（2）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+mx?1=0在1≤x≤3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是14．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2+32x+4(0≤x≤8)的圖象如圖所示，對(duì)任意的0≤a＜b≤8，稱W為a到b時(shí)y的值的“極差”（即a≤x≤b時(shí)y的最大值與最小值的差），L為a到b時(shí)x的值的“極寬”（即b與三、解答題15．（2023·貴州遵義·一模）已知二次函數(shù)y=x(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,?5，求a的值；(2)在（1）的條件下，當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，請(qǐng)求出二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=x2+2ax?4圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為516．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A?1,0，B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，將拋物線x軸上方的圖象沿x軸翻折，翻折后的圖象和原拋物線圖象組成一個(gè)新的圖象（如圖2實(shí)線部分和虛線部分，），記為圖象L．若直線y=?x+n與該新圖象L恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出此時(shí)n的取值范圍．(3)在（2）件下的新圖象L，連接OP，若點(diǎn)D在新圖象L上且∠DBO+∠POB=90°，

專題13二次函數(shù)性質(zhì)壓軸（解析版）考點(diǎn)要求命題預(yù)測二次函數(shù)性質(zhì)壓軸在中考中，二次函數(shù)可以是以選擇、填空題的形式考察，也可以以解答題的形式考察，題目的難度都在中上等，也常作為中考中難度較大的一類壓軸題的問題背景，占的分值也較高。而考察的內(nèi)容主要有:二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、解析式的求法、幾何變化、以及函數(shù)與幾何圖形相關(guān)的綜合應(yīng)用等。其中，二次函數(shù)與其他綜合相關(guān)的實(shí)際問題，雖然不是壓軸出題，但是一般計(jì)算量較大，需要考試特別注意自己的計(jì)算不要有失誤。知識(shí)導(dǎo)圖

考點(diǎn)二次函數(shù)性質(zhì)壓軸真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式提分筆記求二次函數(shù)解析式的一般方法：1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)列出關(guān)于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.2）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k.根據(jù)頂坐標(biāo)點(diǎn)（h,k)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.3）交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).當(dāng)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0)、(x2,0)時(shí)，可設(shè)y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.二次函數(shù)的常見表達(dá)式：名稱解析式前提條件一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)已知拋物線上的無規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),常用一般式求其表達(dá)式.頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或者是對(duì)稱軸)時(shí)，常用頂點(diǎn)式求其表達(dá)式.交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若題目已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常用交點(diǎn)式求其表達(dá)式.相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.2)一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.1．（2022·山東泰安·中考真題）拋物線y=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)xx-2-101y0466下列結(jié)論不正確的是（

）A．拋物線的開口向下B．拋物線的對(duì)稱軸為直線x=C．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）D．函數(shù)y=ax2【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，由此逐一判斷各選項(xiàng)即可【詳解】解：由題意得4a?2b+c=0a?b+c=4解得a=?1b=1∴拋物線解析式為y=?x∴拋物線開口向下，拋物線對(duì)稱軸為直線x=12，該函數(shù)的最大值為令y=0，則?x解得x=3或x=?2，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），故C說法錯(cuò)誤，符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y=(x?2)20≤x≤3的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)y=14x【答案】712或【分析】根據(jù)題意求得點(diǎn)A3,0，B3,4，【詳解】由y=(x?2)20≤x≤3，當(dāng)x=0∴C0,4∵A3,0，四邊形ABCO∴B3,4①當(dāng)拋物線經(jīng)過O，B時(shí)，將點(diǎn)0,0，B3,4∴c=0解得：b=②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,C時(shí)，將點(diǎn)A3,0,C0,4代入∴c=4解得：b=?綜上所述，b=712或故答案為：712或?【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是【答案】y=?x【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，可確定a<0，對(duì)稱軸x=?【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax∴拋物線開口向上，即a<0，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c∴?b2a=0，即b=0∴二次函數(shù)的解析式可以是y=?x故答案為：y=?x【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)增減性和二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)確定系數(shù)的正負(fù)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）已知拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B3,0兩點(diǎn)，與y(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點(diǎn)，連接CP，則線段CP的長是______．注：拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸是直線【答案】(1)y=?(2)5【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)C,D的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A?1,0,B3,0代入y=?解得b=2c=3則該拋物線的解析式為y=?x（2）解：拋物線y=?x2+2x+3=?當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C(0,3)，∵P為BD的中點(diǎn)，且B3,0∴P(1+32,∴CP=(2?0)故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)之間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．題型02二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2020·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)y=x?ax?b?2，且(a<b)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m和n，且m<nA．m<a<n<b B．a(chǎn)<m<b<n C．m<a<b<n D．a(chǎn)<m<n<b【答案】C【分析】依題意畫出二次函數(shù)y=x?ax?b及【詳解】解：二次函數(shù)y=x?ax?b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，

，觀察圖象可知：m<a<b<n，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的圖象，依據(jù)題意畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇徐州·中考真題）若二次函數(shù)y=x2?2x?3的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于m，則m的值為【答案】4【分析】由拋物線解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)為（1，-4），由圖象上恰好只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m可得m=4．【詳解】解：∵y=x∴拋物線開口向上，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)為（1，-4），∴頂點(diǎn)到x軸的距離為4，∵函數(shù)圖象有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m，∴m=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東臨沂·中考真題）小明利用學(xué)習(xí)函數(shù)獲得的經(jīng)驗(yàn)研究函數(shù)y=x①當(dāng)x<?1時(shí)，x越小，函數(shù)值越??；②當(dāng)?1<x<0時(shí)，x越大，函數(shù)值越小；③當(dāng)0<x<1時(shí)，x越小，函數(shù)值越大；④當(dāng)x>1時(shí)，x越大，函數(shù)值越大．其中正確的是（只填寫序號(hào)）．【答案】②③④【分析】列表，描點(diǎn)、連線，畫出圖象，根據(jù)圖象回答即可．【詳解】解：列表，x??2.5?2?1?0.50.512?y?5.453?1?3.754.2535?描點(diǎn)、連線，圖象如下，根據(jù)圖象知：①當(dāng)x<?1時(shí)，x越小，函數(shù)值越大，錯(cuò)誤；②當(dāng)?1<x<0時(shí)，x越大，函數(shù)值越小，正確；③當(dāng)0<x<1時(shí)，x越小，函數(shù)值越大，正確；④當(dāng)x>1時(shí)，x越大，函數(shù)值越大，正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、反比例函數(shù)與不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)畫出函數(shù)圖象，利用圖象解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（2023·四川樂山·中考真題）定義：若x，y滿足x2=4y+t,y2=4x+t且x≠y（1）若P(3,m)是“和諧點(diǎn)”，則m=．（2）若雙曲線y=kx(?3<x<?1)存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍為【答案】?73<k<4【分析】（1）根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義得到32=4m+t,m2=4×3+t（2）設(shè)點(diǎn)a,b為雙曲線y=kx(?3<x<?1)上的“和諧點(diǎn)”，根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義整理得到a?ba+b+4=0，由a≠b得到a+b+4=0，則b=?a?4，由b=ka【詳解】解：（1）若P(3,m)是“和諧點(diǎn)”，則32則32∴32即m2+4m?21=0，解得∴m=?7，故答案為：?7（2）設(shè)點(diǎn)a,b為雙曲線y=k∴a2=4b+t,b即a2∴a+ba?b則a?ba+b+4∵a≠b，∴a+b+4=0，即b=?a?4，∵b=k∴k=ab=a?a?4=?a對(duì)拋物線k=?a+2∵?1<0，∴開口向下，當(dāng)a=?1時(shí)，k=??1+2當(dāng)a=?3時(shí)，k=??3+2∵對(duì)稱軸為a=?2，?3<a<?1，∴當(dāng)a=?2時(shí)，k取最大值為4，∴k的取值范圍為3<k<4，故答案為：3<k<4【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系提分筆記二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與a，b，c的關(guān)系符號(hào)圖象特征備注aa>0開口向上a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．a(chǎn)<0開口向下bb=0坐標(biāo)軸是y軸ab>0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)左同右異ab<0((a，b異號(hào)))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點(diǎn)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常見結(jié)論自變量x的值函數(shù)值圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置結(jié)論-24a-2b+cx軸的上方4a-2b+c>0x軸上4a-2b+c=0x軸的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx軸的上方a-b+c>0x軸上a-b+c=0x軸的下方a-b+c<01a+b+cx軸的上方a+b+c>0x軸上a+b+c=0x軸的下方a+b+c<024a+2b+cx軸的上方4a+2b+c>0x軸上4a+2b+c=0x軸的下方4a+2b+c<01．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖．拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)A?3,0和點(diǎn)B1,0，與y軸交于點(diǎn)C．下列說法：①abc<0；②拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1；③當(dāng)?3<x<0時(shí)，ax2+bx+c>0；④當(dāng)x>1時(shí)，yA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，可得a<0，c>0，根據(jù)A?3,0和點(diǎn)B1,0可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，即可判斷②；推出b=2a<0，即可判斷①；根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷③④；根據(jù)當(dāng)x=?1時(shí)，拋物線有最大值【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴a<0，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A?3,0和點(diǎn)B∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=?3+1∴?b∴b=2a<0，∴abc>0，故①錯(cuò)誤；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)?3<x<0時(shí)，拋物線的函數(shù)圖象在x軸上方，∴當(dāng)?3<x<0時(shí)，ax∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=?1且開口向下，∴當(dāng)x>?1時(shí)，y隨x的增大而減小，即當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小，故④錯(cuò)誤；∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=?1且開口向下，∴當(dāng)x=?1時(shí)，拋物線有最大值y=a?b+c，∴am∴am綜上所述，正確的有②③⑤，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線的性質(zhì)等等，熟練掌握拋物線的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)）關(guān)于直線x=1對(duì)稱．下列五個(gè)結(jié)論：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】由拋物線的開口方向、與y軸交點(diǎn)以及對(duì)稱軸的位置可判斷a、b、c的符號(hào)，由此可判斷①正確；由拋物線的對(duì)稱軸為x=1，得到?b2a=1，即可判斷②；可知x=2時(shí)和x=0時(shí)的y值相等可判斷③正確；由圖知x=1時(shí)二次函數(shù)有最小值，可判斷④錯(cuò)誤；由拋物線的對(duì)稱軸為x=1可得b=?2a【詳解】①∵拋物線的開口向上，∴a>0.∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c<0.由?b2a>0∴abc>0，故①正確；②∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，∴?b∴b=?2a，∴2a+b=0，故②正確；③由拋物線的對(duì)稱軸為x=1，可知x=2時(shí)和x=0時(shí)的y值相等．由圖知x=0時(shí)，y<0，∴x=2時(shí)，y<0．即4a+2b+c<0．故③錯(cuò)誤；④由圖知x=1時(shí)二次函數(shù)有最小值，∴a+b+c≤am∴a+b≤ama+b≤m(ax+b）故④錯(cuò)誤；⑤由拋物線的對(duì)稱軸為x=1可得?b∴b=?2a，∴y=ax當(dāng)x=?1由圖知x=?∴3a+c>0.故⑤正確．綜上所述：正確的是①②⑤，有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)位置．熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0圖像的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；④關(guān)于x的一元二次方程ax⑤若點(diǎn)m,y1，?m+2,y2均在該二次函數(shù)圖像上，則A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸、開口方向、與y軸的交點(diǎn)確定a、b、c的正負(fù)，即可判定①和②；將點(diǎn)3,0代入拋物線解析式并結(jié)合b=?2a即可判定③；運(yùn)用根的判別式并結(jié)合a、c的正負(fù)，判定判別式是否大于零即可判定④；判定點(diǎn)m,y1，?m+2,y【詳解】解：∵拋物線開口向上，與y軸交于負(fù)半軸，∴a>0，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴?b2a=1∴abc>0，即①正確，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0∴9a+3b+c=0∴9a+3?2a+c=0，即∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2∴?4ac>0，?4ak∴無法判斷b2?4ac?4ak2的正負(fù)，即無法確定關(guān)于∵m+∴點(diǎn)m,y1，?m+2,y∵點(diǎn)m,y1，∴y1綜上，正確的為①③⑤，共3個(gè)故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的y=ax4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為?3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=?1．下列結(jié)論：①abc<0；②3b+2c>0；③關(guān)于x的方程ax【答案】①③【分析】依據(jù)題意，根據(jù)所給圖象可以得出a>0，c<0，再結(jié)合對(duì)稱軸x=?1，同時(shí)令ax【詳解】解：由圖象可得，a>0，c<0，又?b∴b>0．∴abc<0．∴①正確．由題意，令ax∴ax又二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為?3∴ax2+(b?k)x+c=0的兩根之和為?3+2=?1∴?b?ka=?1∴6a+c=0．又b=2a，∴3b+c=0．∴3b+2c=c<0．∴②錯(cuò)誤，③正確．∵?b?ka=?1∴k=a．∴④錯(cuò)誤．故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型04根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解解題大招拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求其對(duì)稱軸.解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對(duì)稱軸可表示為直線x=x1解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=?b2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=?b3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對(duì)稱.1．（2023·浙江杭州·中考真題）設(shè)二次函數(shù)y=ax?mx?m?k(a>0,m,k是實(shí)數(shù))A．當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為?a B．當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為?2aC．當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為?a D．當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為?2a【答案】A【分析】令y=0，則0=ax?mx?m?k，解得：x1=m，x2=m+k，從而求得拋物線對(duì)稱軸為直線【詳解】解：令y=0，則0=ax?m解得：x1=m，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=當(dāng)k=2時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=m+1，把x=m+1代入y=ax?mx?m?2，得∵a>0∴當(dāng)x=m+1，k=2時(shí)，y有最小值，最小值為?a．故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)k=4時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=m+2，把x=m+2代入y=ax?mx?m?4，得∵a>0∴當(dāng)x=m+2，k=4時(shí)，y有最小值，最小值為?4a，故C、D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對(duì)稱軸．利用拋物線的對(duì)稱性求出拋物線對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為3，0A．a(chǎn)bc<0 C．4ac>b2 D．點(diǎn)【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出，a、b、c的正負(fù)，進(jìn)而得出abc的正負(fù)；利用對(duì)稱軸為直線x=1，可得出2a+b與0的關(guān)系；由拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，可得出b2與4ac的大小關(guān)系；由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為3，0【詳解】解：A、由二次函數(shù)的圖形可知：a>0，b<0，B、因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸是直線x=1，則?b2a=1C、因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2?4ac>0，即D、因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為3，0，且對(duì)稱軸為直線x=1，所以它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，正確求得a，b，c的正負(fù)以及巧妙利用拋物線的對(duì)稱軸是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A1,0、點(diǎn)B3,0，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)【答案】4【分析】與拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A1,0、點(diǎn)B3,0，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1+32=2，由CD∥x軸，可得【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1+3∵當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即C0,c∵CD∥x軸，∴C，D關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴D4,c∴CD=4?0=4；故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查的是利用拋物線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解對(duì)稱軸方程，熟練的利用拋物線的對(duì)稱性解題是關(guān)鍵．4．（2023·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Mx1,y1，N(1)若對(duì)于x1=1，x2=2有(2)若對(duì)于0<x1<1，1<x2【答案】(1)t=(2)t≤【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱軸即可求解；（2）根據(jù)題意可得x1,y1離對(duì)稱軸更近，x1<x2，則【詳解】（1）解：∵對(duì)于x1=1，x2∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=x∵拋物線的對(duì)稱軸為x=t．∴t=3（2）解：∵當(dāng)0<x1<1∴12<x∵y1<y∴x1,y1離對(duì)稱軸更近，x1∴x1即t≤1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．題型05利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值自變量取值范圍圖象最大值最小值全體實(shí)數(shù)a>0當(dāng)x=?b2aa<0當(dāng)x=?b2ax1≤x≤x2a>0當(dāng)x=x2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=?b2a當(dāng)x=x1時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y1當(dāng)x=?b2a當(dāng)x=x2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=x1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值y1a<0自行推導(dǎo).1．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線y=x2?2x?1，則當(dāng)0≤x≤3A．?2 B．?1 C．0 D．2【答案】D【分析】把拋物線y=x2?2x?1化為頂點(diǎn)式，得到對(duì)稱軸為x=1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為?2，再分別求出x=0【詳解】解：∵y=x∴對(duì)稱軸為x=1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為?2，當(dāng)x=0時(shí)，y=x2?2x?1=?1，當(dāng)x=3∴當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)的最大值為2，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+mx+m2?m（m為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值【答案】D【分析】將(0，6)代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出m的值，再利用對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，得出【詳解】解：將(0，6)代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+mx+m2∵二次函數(shù)y=x2+mx+m2∴m>0，∴m=3，∴y=x∴當(dāng)x=?23時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出m的值是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江紹興·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x(1)當(dāng)b=4,c=3時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)?1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍．(2)當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x>0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(1)①2,7；②當(dāng)?1≤x≤3時(shí)，?2≤y≤7(2)y=?【分析】（1）①將b=4,c=3代入解析式，化為頂點(diǎn)式，即可求解；②已知頂點(diǎn)2,7，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，得出當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值7，當(dāng)x=（2）根據(jù)題意x≤0時(shí)，y的最大值為2；x>0時(shí)，y的最大值為3，得出拋物線的對(duì)稱軸x=b2在y軸的右側(cè)，即b>0，由拋物線開口向下，x≤0時(shí)，y的最大值為2，可知c=2，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為3，求出【詳解】（1）解：①當(dāng)b=4,c=3時(shí)，y=?x∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,7．②∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,7．拋物線開口向下，當(dāng)?1≤x≤2時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y隨x增大而減小，∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值7．又2?∴當(dāng)x=?1∴當(dāng)?1≤x≤3時(shí)，?2≤y≤7．（2）∵x≤0時(shí)，y的最大值為2；x>0時(shí)，y的最大值為3，∴拋物線的對(duì)稱軸x=b2在∴b>0，∵拋物線開口向下，x≤0時(shí)，y的最大值為2，∴c=2，又∵4×?1∴b=±2，∵b>0，∴b=2，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?x【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·中考真題）已知二次函數(shù)y=x2+bx?3(1)該函數(shù)圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A坐標(biāo)為3,0，①則b的值是_________，點(diǎn)B的坐標(biāo)是_________；②當(dāng)0<y<5時(shí)，借助圖像，求自變量x的取值范圍；(2)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y>t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；(3)當(dāng)m<y<n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m<n），自變量x的取值范圍是1<x<2，求n和b的值以及m的取值范圍．【答案】(1)①?2,?1,0②?2<(2)t<?3?(3)b=?3,n=?5,m<?【分析】（1）①待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令y=0，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；②畫出函數(shù)圖像，圖像法求出x的取值范圍即可；（2）求出二次函數(shù)的最小值，即可得解；（3）根據(jù)當(dāng)m<y<n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m<n），自變量x的取值范圍是1<x<2，得到x=1和x=2關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，進(jìn)而求出b的值，得到n為x=1的函數(shù)值，求出n，推出直線y=m過拋物線頂點(diǎn)或在拋物線的下方，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵函數(shù)圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為3,0，∴0=3∴b=?2，∴y=∴當(dāng)y=0時(shí)，x2∴x1∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是?1,0；故答案為：?2，?1,0②y=列表如下：x??2?1134?y?50?405?畫出函數(shù)圖像如下：

由圖可知：當(dāng)0<y<5時(shí)，?2<x<（2）∵y=x∴當(dāng)x=?b2時(shí)，y有最小值為∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y>t總成立，∴t<?3?b（3）∵y=x∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為x=?b又當(dāng)m<y<n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m<n），自變量x的取值范圍是1<x<2，∴直線y=n與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為1,n,2,n，直線∴1,n,∴?b∴b=?3，∴y=x?∴n=1?當(dāng)x=32時(shí)，y有最小值∴m<?21

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題．題型06二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題提分筆記二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的根判別式Δ=b2-4ac2個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac>01個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=00個(gè)交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac<01．（2023·河北·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x2+m2x和y=xA．2 B．m2 C．4 D．【答案】A【分析】先求得兩個(gè)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：令y=0，則?x2+解得x=0或x=m2或x=?m或不妨設(shè)m>0，∵m，0和∴m2，0∴2m=m∴m=2或m=0（舍去），∵拋物線y=x2?m2的對(duì)稱軸為x=0∴這兩個(gè)函數(shù)圖象對(duì)稱軸之間的距離為2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．2．（2023·四川自貢·中考真題）經(jīng)過A(2?3b,m),B(4b+c?1,m)兩點(diǎn)的拋物線y=?12x2+bx?b2+2c（A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得對(duì)稱軸，進(jìn)而得出c=b?1，求得拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸有交點(diǎn)得出Δ=b2?4ac≥0，進(jìn)而得出b=2，則【詳解】解：∵拋物線y=?12∵拋物線經(jīng)過A(2?3b,m),B(4b+c?1,m)兩點(diǎn)∴2?3b+4b+c?12即c=b?1，∴y=?1∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，∴Δ=即b2即b2?4b+4≤0，即∴b=2，c=b?1=2?1=1，∴2?3b=2?6=?4,4b+c?1=8+1?1=8，∴AB=4b+c?1?2?3b故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，與x軸交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·云南·中考真題）已知拋物線y=?x2?3x+c經(jīng)過點(diǎn)（0，2），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)k是拋物線y=?x2?3x+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；M是拋物線y=?x2?3x+c(1)求c的值；(2)直接寫出T的值；(3)求k4【答案】(1)2(2)?(3)1【分析】（1）將點(diǎn)（0，2）帶入直接求解；（2）找到三個(gè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)之間的而關(guān)系，即可求解；（3）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，即可表示出k2+4【詳解】（1）解：∵將點(diǎn)（0，2）帶入y=?xc=2．（2）由（1）可知，拋物線的解析式為y=?x∵當(dāng)S=m時(shí)恰好有三個(gè)點(diǎn)M滿足，∴必有一個(gè)M為拋物線的頂點(diǎn)，且M縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．當(dāng)x=??32×(?1)即此時(shí)M（?32，114∴T=11（3）由題可知，?k2∴k則k=1【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、代數(shù)式求值等，屬于綜合題目，靈活運(yùn)用代數(shù)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（1）求b的值．（2）當(dāng)c>?1時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是________．（3）設(shè)m,0是該函數(shù)的圖像與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)?1<m<3時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）b=?1；（2）1；（3）a<0或a>4【分析】（1）將點(diǎn)?2,1,（2）先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；（3）分a<0和a>0兩種情況，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)?2,1,2,?3代入y=ax兩式相減得：?4b=4，解得b=?1；（2）由題意得：a≠0，由（1）得：y=ax則此函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c?1將點(diǎn)2,?3代入y=ax2?x+c解得?4a=c+1，則c?1下面證明對(duì)于任意的兩個(gè)正數(shù)x0,y∵(∴x0+當(dāng)c>?1時(shí)，c+1>0，則c+1c+1=c+1+1c+1即c?1故當(dāng)c>?1時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是1；（3）由4a?2+c=?3得：c=?4a?1，則二次函數(shù)的解析式為y=ax由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)a<0時(shí)，則當(dāng)x=?1時(shí)，y>0；當(dāng)x=3時(shí)，y<0，即a+1?4a?1>09a?3?4a?1<0解得a<0；②如圖，當(dāng)a>0時(shí)，∵當(dāng)x=?1時(shí)，y=a+1?4a?1=?3a<0，∴當(dāng)x=3時(shí)，y=9a?3?4a?1>0，解得a>4綜上，a的取值范圍為a<0或a>4【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．5．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(1,m),(3,n)在拋物線y=ax2(1)當(dāng)c=2,m=n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；(2)點(diǎn)(x0,m)(x0≠1)在拋物線上，若【答案】(1)（0，2）；2(2)t的取值范圍為32<t<2，x【分析】（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=2，可得拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；再根據(jù)題意可得點(diǎn)(1,m),(3,n)關(guān)于對(duì)稱軸為x=t對(duì)稱，可得t的值，即可求解；（2）拋物線與y軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=t的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，c），根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)x≤t時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>t時(shí)，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)(1,m)，點(diǎn)(3,n)，點(diǎn)（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)(1,m)在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)(3,n)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)c=2時(shí)，y=ax∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；∵m=n，∴點(diǎn)(1,m),(3,n)關(guān)于對(duì)稱軸x=t對(duì)稱，∴t=1+3（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=c，∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），∴拋物線與y軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=t的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，c），∵a>0，∴當(dāng)x≤t時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>t時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)點(diǎn)(1,m)，點(diǎn)(3,n)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，t<1，∵m<n<c,1＜3，∴2t＞3，即t>3當(dāng)點(diǎn)(1,m)在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)(3,n)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)(x0,m)此時(shí)點(diǎn)(3,n)到對(duì)稱軸x=t的距離大于點(diǎn)(1,m)到對(duì)稱軸x=t的距離，∴t?1<3?t，解得：t<2，∵m<n<c,1＜3，∴2t＞3，即t>3∴32∵(x0,m)，(1,m)∴t=x∴32<x∴t的取值范圍為32<t<2，x0【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型07二次函數(shù)與不等式高分秘籍二次函數(shù)與不等式的關(guān)系：b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點(diǎn)2個(gè)交點(diǎn)1個(gè)交點(diǎn)0個(gè)交點(diǎn)ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2x≠?取任意實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解【其它情況】1）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）上方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；2）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）下方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．1．（2021·廣西賀州·中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m交于A(?3,y1)，A．x≤?3或x≥1 B．x≤?1或x≥3 C．?3≤x≤1 D．?1≤x≤3【答案】D【分析】將要求的不等式抽象成兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關(guān)系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】∵y=kx+m與y=?kx+m關(guān)于y軸對(duì)稱拋物線y=ax2+c因此拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m的交點(diǎn)和與直線y=?kx+m設(shè)y=?kx+m與y=ax2+c交點(diǎn)為A'、B'，則∵a即在點(diǎn)A'∴ax2故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，解決函數(shù)問題更是如此．理解y=kx+m與y=?kx+m關(guān)于y軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江衢州·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2?4ax（a是常數(shù)，a<0）的圖象上有Am,y1和B2m,y2兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，BA．1<m<32 B．43<m<2 C．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件列出不等式，利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：∵a<0，∴y=?3a>0，∵點(diǎn)A，B都在直線y=?3a的上方，且y1可列不等式：4am∵a<0，可得4m設(shè)拋物線y1=4m∴4m2?8m+3<0可看作拋物線y當(dāng)y1=0時(shí)，可得解得m1∵4>0，∴y∴4m2?8m+3<0根據(jù)題意還可列不等式：am∵a<0，∴可得m2整理得?3m設(shè)拋物線y2=?3m∴?3m2+4m<0可看作拋物線y當(dāng)y2=0時(shí)，可得解得m1∵?3<0，∴拋物線y2∴?3m2+4m<0的解為m<0綜上所述，可得43故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,?2)(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)y≤?2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)y=x2+2x?5(2)?3≤x≤1【分析】（1）把A(1,?2)和B(0,?5)代入y=x（2）把y=?2代入函數(shù)解析式求解x的值，再利用函數(shù)圖象可得y≤?2時(shí)x的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,?2)∴c=?51+b+c=?2，解得：b=2∴拋物線為y=x∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：?1,?6；（2）當(dāng)y=?2時(shí)，x+12∴x+1解得：x1=1，

如圖，當(dāng)y≤?2時(shí)，∴?3≤x≤1．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象法解不等式，熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx?4的圖像與x (1)b=_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD=52；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)(k,0)作x軸的垂線l．已知在l(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)?1；(2)k≤?3；(3)3,?52或【分析】（1）把A(?2,0)代入y=1（2）過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)Dm,12m2平移后得拋物線為y=1（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為Pp,12p2?p?4，根據(jù)原拋物線y=1【詳解】（1）解：把A(?2,0)代入y=10=1解得b=?1，故答案為?1；（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵b=?1，∴二次函數(shù)的解析式為y=設(shè)Dm,∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD=∴tan∠AOD=解得m=?1或m=8（舍去），當(dāng)m=?1時(shí)，12∴D?1,?∵y=1∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為y=1把D?1,?52代入y=解得a=3或a=?1（舍去），∴平移后得拋物線為y=∵過點(diǎn)(k,0)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在y=12x+32?92的對(duì)稱軸x=?3的左側(cè)，y∴k≤?3；（3）解：由y=12x?12?∵頂點(diǎn)為Pp,q在y=∴q=1∴平移后的拋物線為y=12x?p∵原拋物線y=1∴原拋物線的頂點(diǎn)C1,?92∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，∴Q1,∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵△PCQ是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴QC∴p2?2p?7∴p=1（舍去），或p=3或p=?1，當(dāng)p=3時(shí)，12當(dāng)p=?1時(shí)，12∴點(diǎn)P坐標(biāo)為3,?52或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且自變量xx??101234?y?0?3?4?305?(1)求二次函數(shù)y=ax(2)若將線段AB向下平移，得到的線段與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q左邊），R為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)(3)若將線段AB先向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到的線段與二次函數(shù)y=1t(ax2【答案】(1)y(2)2(3)?1<t≤53且t≠0【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)y=ax（2）連接PR，QR，過點(diǎn)R作RM⊥PQ交PQ的延長線于點(diǎn)M，分別表示出RM、PM的長，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠RPQ（3）分t>0和t<0兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)?1,0，0,?3，1,?4a?b+c=0c=?3解得a=1b=?2∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c（2）如圖，連接PR，QR，過點(diǎn)R作RM⊥PQ交PQ的延長線于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，∴Qm,∵y=x∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線x=1對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)Pn,則m?1=1?n，解得n=2?m，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2?m,m當(dāng)x=m+2時(shí)，y=即Rm+則Mm+∴RM=mPM=m+2∴tan∠RPQ=即tan∠RPQ的值為2（3）由表格可知點(diǎn)A?1,0、B將線段AB先向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到A'0,3、由題意可得，二次函數(shù)y=1t(當(dāng)t>0時(shí)，拋物線y=1t(x2當(dāng)x=4時(shí)，1t即?3t解得t≤5∴t≤5當(dāng)x=0時(shí)，1t(x解得t>?1，∴0<t≤5此時(shí)滿足題意，當(dāng)t<0時(shí)，拋物線y=1t(x2?2x?3)=1解得t=?4此時(shí)滿足題意，將點(diǎn)A'0,3代入y=1t(將點(diǎn)B'4,3代入y=1t(∴?1<t<0，此時(shí)滿足題意，

綜上可知，?1<t≤53且t≠0或【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、不等式的應(yīng)用等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題高分秘籍二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2）平移與增加性變化如果平移后對(duì)稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會(huì)