專項17-勾股定理與分類討論及方程思想-專題培優(yōu)

勾股定理與分類討論及方程思想-重難點培優(yōu)一．選擇題（共8小題）1．若一個三角形的三邊長為6，8，x，則此三角形是直角三角形時，x的值是（）A．8 B．10 C．27 D．10或272．已知一個三角形的三邊長分別為4，5，x，且此三角形是直角三角形，則x的值為（）A．41 B．3 C．3或41 D．以上都不對3．直角三角形的兩條邊長為5和12，它的斜邊長為（）A．13 B．119 C．13或119 D．13或124．麗麗想知道學(xué)校旗桿的高，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端上的繩子垂直到地面還多2米，當(dāng)她把繩子的下端拉開離旗桿6米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）A．4米 B．8米 C．10米 D．12米5．如圖，有一個水池，水面是一邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為（）尺．A．10 B．12 C．13 D．146．如圖，某校攀巖墻的頂部安裝了一根安全繩，讓它垂到地面時比墻高多出了2米，教練把繩子的下端拉開8米后，發(fā)現(xiàn)其下端剛好接觸地面（如圖），則此攀巖墻的高度是（）A．10米 B．15米 C．16米 D．17米7．古代數(shù)學(xué)的“折竹抵地”問題：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，問折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高25尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為5尺，問折處高幾尺？即：如圖，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，則AC等于（）尺．A．5 B．10 C．12 D．138．如圖，高速公路上有A、B兩點相距10km，C、D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務(wù)站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，則EB的長是（）kmA．4 B．5 C．6 D．20二．填空題（共8小題）9．在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹20米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米．10．已知直角三角形的三邊長為6，8，x，則以x為邊長的正方形的面積為．11．如圖一根竹子長為16米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處，折斷處離地面高度是米．12．《九章算術(shù)）“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何．”其大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？若設(shè)門的寬為x尺，根據(jù)題意列出的方程．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）13．《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B′（示意圖如圖，則水深為尺．14．如圖，商場（點M）距公路（直線l）的距離（MA）為3km，在公路上有一車站（點N），車站距商場（NM）為4km，公交公司擬在公路上建一個公交車站停靠站（點P），要求?？空镜缴虉雠c到車站的距離相等，則?？空镜杰囌镜木嚯x（NP）的長為．15．《九章算術(shù)》是我國古代一部著名的數(shù)學(xué)專著，其中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，問折者高幾何？其意思是：有一根與地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），現(xiàn)被大風(fēng)折斷成兩截，尖端落在地面上，竹尖與竹根的距離為三尺，問折斷處離地面的距離為．16．《九章算術(shù)》內(nèi)容豐富，與實際生活聯(lián)系緊密，在書上講述了這樣一個問題：“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈．將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時的位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上．問木桿長多少尺？”（說明：1丈＝10尺）設(shè)木桿長x尺，依題意，列方程是．三．解答題（共9小題）17．如圖，△ABC中AB＝13，BC＝14，AC＝15，BC邊上高為AD，求△ABC的面積．18．△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上的高AD長為12．求BC的長．19．如圖，在一棵樹的10米高B處有三只猴子，第一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘A處，第二只猴子直接從B處躍到A處，第三只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，假設(shè)其中兩只猴子所經(jīng)過的距離相等．（1）求第二只猴子經(jīng)過的直線距離；（2）求這棵樹的高度．20．鐵路上A，B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，請畫出E點位置（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）并求出E站應(yīng)建在離A站多少千米處？21．如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．（1）E站應(yīng)建在A站多少km處？（2）求兩村與土特產(chǎn)品收購站圍成的三角形的面積．22．如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得：（1）①若C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建立在離A站多少km處？②若E站到C、D站的距離之和最短，則E站應(yīng)建立在離A站多少km處？（2）受（1）小題第②問啟發(fā)，你能否解決以下問題：正數(shù)a、b滿足條件a+b＝5，且s=a2+16+b23．鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)收購站E．（1）在圖a中，若EC＝ED，則E站應(yīng)修建在離A站多少千米處．（2）在圖b中，若EC+ED值最小，則E點應(yīng)建在哪里，請求出這個最小值．24．某校機(jī)器人興趣小組在如圖所示的三角形場地上開展訓(xùn)練．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；機(jī)器人從點C出發(fā)，沿著△ABC邊按C→B→A→C的方向勻速移動到點C停止；機(jī)器人移動速度為每秒2個單位，移動至拐角處調(diào)整方向需要1秒（即在B、A處拐彎時分別用時1秒）．設(shè)機(jī)器人所用時間為t秒時，其所在位置用點P表示（機(jī)器人大小不計）．（1）點C到AB邊的距離是；（2）是否存在這樣的時刻，使△PBC為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．25．學(xué)校校內(nèi)有一塊如圖所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，計劃將這塊空地建成一個花園，以美化校園環(huán)境，預(yù)計花園每平方米造價為60元，學(xué)校修建這個花園需要投資多少元？

勾股定理與分類討論及方程思想-重難點培優(yōu)（解析版）一．選擇題（共8小題）1．若一個三角形的三邊長為6，8，x，則此三角形是直角三角形時，x的值是（）A．8 B．10 C．27 D．10或27【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可．【解析】∵一個三角形的兩邊長分別為6、8，∴可設(shè)第三邊為x，∵此三角形是直角三角形，∴當(dāng)x是斜邊時，x2＝62+82，解得x＝10；當(dāng)8是斜邊時，x2+62＝82，解得x＝27．故選：D．2．已知一個三角形的三邊長分別為4，5，x，且此三角形是直角三角形，則x的值為（）A．41 B．3 C．3或41 D．以上都不對【分析】由于此題中直角三角形的斜邊不能確定，故應(yīng)分5是直角三角形的斜邊和直角邊兩種情況討論．【解析】∵這個直角三角形的三邊長分別為4，5，x，∴①當(dāng)5是此直角三角形的斜邊時，由勾股定理得到：x=5②當(dāng)5是此直角三角形的直角邊時，設(shè)斜邊為x，則由勾股定理得到：x=5故選：C．3．直角三角形的兩條邊長為5和12，它的斜邊長為（）A．13 B．119 C．13或119 D．13或12【分析】只給出了兩條邊而沒有指明是直角邊還是斜邊，所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．一種是兩邊均為直角邊；另一種是較長的邊是斜邊，根據(jù)勾股定理可得出結(jié)論．【解析】當(dāng)12是直角邊時，斜邊長=5故它的斜邊長為13或12．故選：D．4．麗麗想知道學(xué)校旗桿的高，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端上的繩子垂直到地面還多2米，當(dāng)她把繩子的下端拉開離旗桿6米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）A．4米 B．8米 C．10米 D．12米【分析】據(jù)題意設(shè)旗桿的高為xm，則繩子的長為（x+2）m，再利用勾股定理即可求得繩子的長，即旗桿的高．【解析】設(shè)旗桿的高為xm，則繩子的長為（x+2）m．根據(jù)題意得：x2+62＝（x+2）2，解得x＝8．故旗桿的高為8米．故選：B．5．如圖，有一個水池，水面是一邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為（）尺．A．10 B．12 C．13 D．14【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【解析】設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：蘆葦長13尺．故選：C．6．如圖，某校攀巖墻的頂部安裝了一根安全繩，讓它垂到地面時比墻高多出了2米，教練把繩子的下端拉開8米后，發(fā)現(xiàn)其下端剛好接觸地面（如圖），則此攀巖墻的高度是（）A．10米 B．15米 C．16米 D．17米【分析】根據(jù)題意設(shè)攀巖墻的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的長，即攀巖墻的高．【解析】如圖：設(shè)攀巖墻的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴AB＝15．∴攀巖墻的高15米．故選：B．7．古代數(shù)學(xué)的“折竹抵地”問題：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，問折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高25尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為5尺，問折處高幾尺？即：如圖，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，則AC等于（）尺．A．5 B．10 C．12 D．13【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（25﹣x）尺，利用勾股定理解題即可．【解析】設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（25﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+52＝（25﹣x）2．解得：x＝12，答：折斷處離地面的高度為12尺．故選：C．8．如圖，高速公路上有A、B兩點相距10km，C、D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務(wù)站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，則EB的長是（）kmA．4 B．5 C．6 D．20【分析】根據(jù)題意設(shè)出BE的長為xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【解析】設(shè)BE＝x，則AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由題意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4km．所以，EB的長是4km．故選：A．二．填空題（共8小題）9．在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹20米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高15米．【分析】根據(jù)兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，將兩只猴子所走的路程表示出來，根據(jù)勾股定理列出方程求解．【解析】如圖，設(shè)樹的高度為x米，因兩只猴子所經(jīng)過的距離相等都為30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故這棵樹高15m．10．已知直角三角形的三邊長為6，8，x，則以x為邊長的正方形的面積為100或28．【分析】以x為邊長的正方形的面積是x2，所以只需求得x2即可．但此題應(yīng)分8為直角邊和為斜邊兩種情況考慮．【解析】當(dāng)較大的數(shù)8是直角邊時，根據(jù)勾股定理，得x2＝36+64＝100；當(dāng)較大的數(shù)8是斜邊時，根據(jù)勾股定理，得x2＝64﹣36＝28．所以以x為邊長的正方形的面積為100或28．11．如圖一根竹子長為16米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處，折斷處離地面高度是6米．【分析】子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x米，則斜邊為（16﹣x）米．利用勾股定理解題即可．【解析】設(shè)竹子折斷處離地面x米，則斜邊為（16﹣x）米，根據(jù)勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2解得：x＝6．∴折斷處離地面高度是6米，故答案為：6．12．《九章算術(shù)）“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何．”其大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？若設(shè)門的寬為x尺，根據(jù)題意列出的方程x2+（x+6.8）2＝102．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）【分析】設(shè)長方形門的寬x尺，則高是（x+6.8）尺，根據(jù)勾股定理即可列方程求解．【解析】設(shè)長方形門的寬x尺，則高是（x+6.8）尺，根據(jù)題意得x2+（x+6.8）2＝102，解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．則寬是6.8+2.8＝9.6（尺）．答：門的高是9.6尺，寬是2.8尺．故答案為：x2+（x+6.8）2＝102．13．《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B′（示意圖如圖，則水深為12尺．【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EB'的長為10尺，則B'C＝5尺，設(shè)出AB＝AB'＝x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【解析】依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深A(yù)C＝（x﹣1）尺，因為B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，蘆葦長13尺．故答案為：12．14．如圖，商場（點M）距公路（直線l）的距離（MA）為3km，在公路上有一車站（點N），車站距商場（NM）為4km，公交公司擬在公路上建一個公交車站停靠站（點P），要求停靠站到商場與到車站的距離相等，則停靠站到車站的距離（NP）的長為877km【分析】直接利用勾股定理得出AN的長，再利用勾股定理得出NP的長．【解析】連接MP，根據(jù)題意可得：MP＝NP，則在Rt△MNA中，MN2＝AM2+AN2，則42＝32+AN2，解得：AN=7設(shè)NP＝x，則AP=7?則在Rt△MPA中，MP2＝AM2+AP2，x2＝32+（7?x）2解得：x=8故答案為：87715．《九章算術(shù)》是我國古代一部著名的數(shù)學(xué)專著，其中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，問折者高幾何？其意思是：有一根與地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），現(xiàn)被大風(fēng)折斷成兩截，尖端落在地面上，竹尖與竹根的距離為三尺，問折斷處離地面的距離為4.55尺．【分析】設(shè)折斷后的竹子的高為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【解析】設(shè)折斷后的竹子高AC為x尺，則AB長為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，故答案為：4.55尺．16．《九章算術(shù)》內(nèi)容豐富，與實際生活聯(lián)系緊密，在書上講述了這樣一個問題：“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈．將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時的位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上．問木桿長多少尺？”（說明：1丈＝10尺）設(shè)木桿長x尺，依題意，列方程是102+（x﹣1）2＝x2．【分析】當(dāng)木桿的上端與墻頭平齊時，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長為x尺，則木桿底端離墻有（x﹣1）尺，根據(jù)勾股定理可列出方程．【解析】如圖，設(shè)木桿AB長為x尺，則木桿底端B離墻的距離即BC的長有（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故答案為：102+（x﹣1）2＝x2．三．解答題（共9小題）17．如圖，△ABC中AB＝13，BC＝14，AC＝15，BC邊上高為AD，求△ABC的面積．【分析】AD為高，那么題中有兩個直角三角形．AD在這兩個直角三角形中，設(shè)BD為未知數(shù)，可利用勾股定理都表示出AD長．求得BD長，再根據(jù)勾股定理求得AD長，進(jìn)而求出三角形的面積．【解析】設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，所以有132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，解得x＝5，在Rt△ABD中，AD=1所以△ABC的面積=118．△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上的高AD長為12．求BC的長．【分析】分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據(jù)勾股定理求得BD，CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC＝BD+CD，在鈍角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解析】分兩種情況：（1）如圖，銳角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的長為BD+DC＝5+9＝14；（2）鈍角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的長為DC﹣BD＝9﹣5＝4．綜上，BC的長為14或4．19．如圖，在一棵樹的10米高B處有三只猴子，第一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘A處，第二只猴子直接從B處躍到A處，第三只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，假設(shè)其中兩只猴子所經(jīng)過的距離相等．（1）求第二只猴子經(jīng)過的直線距離；（2）求這棵樹的高度．【分析】（1）直接利用勾股定理求得線段BA的長即可；（2）由題意知AD+DB＝BC+CA，設(shè)BD＝x，則AD＝30﹣x，且在直角△ACD中，CD2+CA2＝AD2，代入勾股定理公式中即可求x的值，樹高CD＝10+x．【解析】（1）由題意知：在Rt△ABC中，BC＝10米，AC＝20米，由勾股定理得：BA=BC2故第二只猴子經(jīng)過的直線距離是105米；（2）由題意知AD+DB＝BC+CA，且CA＝20米，BC＝10米，設(shè)BD＝x，則AD＝30﹣x，∵在Rt△ACD中：CD2+CA2＝AD2，即（30﹣x）2＝（10+x）2+202，解得x＝5米，故樹高為CD＝10+x＝15米．答：樹高為15米．20．鐵路上A，B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，請畫出E點位置（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）并求出E站應(yīng)建在離A站多少千米處？【分析】直接利用垂直平分線的作法得出符合題意的圖形，再利用垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案．【解析】如圖所示：點E即為所求；∵AD＝15km，BC＝10km，AB＝25km，∴設(shè)AE＝xkm，則EB＝（25﹣x）km，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，答：收購站E離A點的距離為10km．21．如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．（1）E站應(yīng)建在A站多少km處？（2）求兩村與土特產(chǎn)品收購站圍成的三角形的面積．【分析】（1）根據(jù)使得C，D兩村到E站的距離相等，需要證明DE＝CE，再根據(jù)△DAE≌△EBC，得出AE＝BC＝10km；（2）利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC＝90°，利用直角三角形面積求法得出答案．【解析】（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，（2）∵△DAE≌△EBC，∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DE=152+∴兩村與土特產(chǎn)品收購站圍成的三角形的面積為：12×DE×EC22．如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得：（1）①若C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建立在離A站多少km處？②若E站到C、D站的距離之和最短，則E站應(yīng)建立在離A站多少km處？（2）受（1）小題第②問啟發(fā)，你能否解決以下問題：正數(shù)a、b滿足條件a+b＝5，且s=a2+16+b2+9【分析】（1）①根據(jù)C、D兩村到E站的距離相等，利用對稱性即可求出E站離A站的距離；②根據(jù)E站到C、D站的距離之和最短，利用兩點之間線段最短即可求出E站離A站的距離；（2）受（1）小題第②問啟發(fā)，根據(jù)正數(shù)a、b滿足條件a+b＝5，且s=a2+16【解析】（1）①設(shè)AE＝xkm，則BE＝（25﹣x）km，在Rt△DAE中，DE2＝DA2+AE2＝225+x2在Rt△CBE中，CE2＝BE2+BC2＝（25﹣x）2+100，∵DE2＝CE2，∴x＝10，∴AE＝10km．答：E站應(yīng)建立在離A站10km處；②“將軍飲馬”問題，作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′交AB于點E′，即E′站到C、D站的距離之和最短，過點D′作D′F⊥CB的延長線于點F，則∠F＝90°，D′F＝AB＝25，CF＝CB+BF＝CB+AD′＝CB+AD＝25，∴D′F＝CF，∴CD′=252E′C+E′D的最小值即為CD′，此時∠BCE′＝45°，∴∠AE′D′＝∠CE′B＝45°，∴∠AD′E′＝∠ADE′＝45°，∴AE′＝AD＝15km．答：E站應(yīng)建立在離A站15km處；（2）同（1）②的方法：s=a則s表示點（a，0）到（0，4）和（5，3）距離之和的最小值，∴s的最小值=5故答案為：74．23．鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)收購站E．（1）在圖a中，若EC＝ED，則E站應(yīng)修建在離A站多少千米處．（2）在圖b中，若EC+ED值最小，則E點應(yīng)建在哪里，請求出這個最小值．【分析】（1）AE＝BC＝10km，證△ADE≌△BEC即可得DE＝CE．（2）由題意知，點E是點C關(guān)于AB的對稱點與點D的連線與AB軸的交點，利用勾股定理求解可得．【解析】（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（2