高等數(shù)學（工科類）課件 第八章 行列式、矩陣與線性方程組

新時代高職數(shù)學系列教材高等數(shù)學（工科類）知識目標理解行列式的概念和性質(zhì)；掌握行列式的計算方法；了解克拉默法則.理解矩陣的概念；掌握矩陣的線性運算、乘法運算和方陣的行列式；理解逆矩陣和伴隨矩陣的概念；掌握逆矩陣存在的充要條件.了解矩陣的初等變換；會將一個矩陣利用初等行變換化為行階梯矩陣以及行最簡矩陣；會用矩陣的初等變換求矩陣的秩和可逆矩陣的逆矩陣.會根據(jù)線性方程組的增廣矩陣的秩判定方程組是否無解、有唯一解或有無窮多解；掌握用矩陣的初等變換求線性方程組通解的方法.第八章行列式、矩陣與線性方程組

第一節(jié)行列式情景與問題引例1

平面上兩條直線（）平行或重合的條件是

約定符號，則此二直線平行或重合的條件是.或引例2

對二元一次方程組進行加減消元得到約定符號，則當時原方程組的解為引例3

我們學習過兩個向量的向量積是約定符號以上三個引例中約定的符號分別稱為二階行列式和三階行列式.一般地,二階行列式記為

三階行列式記為

在車站開始檢票時，有名旅客在候車室排隊等候進站,檢票開始后,仍有旅客來排隊進站，設旅客按固定的速度增加，檢票的速度也是固定的,若開一個檢票口，則需30分鐘才可以將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢;若開放兩個檢票口,則需10分鐘便可將排隊等候的旅客全部檢票完畢;如果要在5分鐘內(nèi)將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來到站的旅客能隨到隨檢,則至少要同時開放幾個檢票口?

分析本題涉及的是檢票問題，采用“設輔助元”列方程解決，但這類方程中的未知數(shù)多于方程個數(shù)，需要討論才能得出結果，難度較大.若采用本節(jié)學習的行列式及相關性質(zhì)求解就會大大降低難度.在本節(jié)，我們將把二、三階行列式的概念推廣到階行列式，由淺入深方便掌握，并給出階行列式的性質(zhì)和計算方法，以便應用于實際問題的解決.

在本節(jié)，我們將把二、三階行列式的概念推廣到

階行列式，由淺入深方便掌握，并給出階行列式的性質(zhì)和計算方法，以便應用于實際問題的解決.引例4定義(8.1)個數(shù)排列成行列,算式稱為階行列式.其中稱為行列式的第行第列的元素().在行列式中，劃掉第行和第列后，剩下的元素按照原來的位置保持不變構成的階行列式稱為元素的余子式，記為,而將稱為元素的代數(shù)余子式.當時,規(guī)定行列式的值設階行列式的值已定義,則規(guī)定階行列式的值其中為行列式中元素的代數(shù)余子式,抽象推理8.1.1階行列式的定義式(8.1)注意:一個階行列式表示一個數(shù)值，這個值是其第1行所有元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和.我們常將行列式的這個定義簡稱為階行列式按第1行展開.當然，也可將該行列式按其他行展開.顯然，時，式(8.1)為這正是引例2中對二階行列式的約定；時，式(8.1)為

=式(8.2)可以看出，三階行列式展開后，一共有項；每一項是來自行列式的不同行不同列的3個元素之積；每一項的3個元素的行指標若按1，2，3的順序排列，則其列指標剛好是1，2，3的一個排列，這種排列無重復無遺漏；每一項帶一個符號，帶正號有項，帶負號也有項.我們很容易將這些結論推廣到階行列式.引例3中計算兩個向量的向量積，就是三階行列式按第一行展開.例1

計算三階行列式（1）（2）．解（1）

注意:三階行列式的計算，也可以按照式(8.2)那樣順次寫出6項，比如例1中行列式：這種計算三階行列式的方法稱為沙路法(圖8-1).(2)圖8-1例2

計算四階行列式.解例3

計算下三角行列式解特別地，階對角行列式==8.1.2行列式的性質(zhì)定義(8.2)

將行列式的行、列互換得到的新行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式,記為.定理(8.1)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即例如,這個性質(zhì)表明,在階行列式中，行與列的地位是對等的，行所具有的性質(zhì)，對于列也同樣成立.由定理8.1和例3，立即得到上三角行列式定理(8.2)互換行列式的任意兩行(列)的位置，行列式的值反號．例如,行列式,而.推論1如果行列式有兩行(列)的對應元素相同,則行列式等于零.定理8.3行列式等于任意一行(列)所有元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和.即

，；或，,推論2若行列式某行（列）的元素全為0,則行列式為零.定理8.4行列式某行（列）所有元素同乘以常數(shù),等于以數(shù)乘此行列式.例如，推論3如果行列式某兩行(列)元素對應成比例,則此行列式為零定理8.5如果行列式中某一行（列）的元素都是兩項之和，則此行列式等于兩個行列式之和，這兩個行列式分別以這兩項為所在行（列）對應位置的元素，其它行(列)的元素與原行列式相同．

定理8.6將行列式的某一行（列）的元素都乘以常數(shù)加到另一行（列）的對應元素上，行列式的值不變．定理8.7(克拉默(Cramer)法則)對于個方程個未知量的線性方程組

記系數(shù)行列式為,而中的第列換成常數(shù)列，其它列不變所構成的行列式記為().例如，例如，式(8.3)則當系數(shù)行列式時,方程組(8.3)存在唯一解,并且其解為證明從略.注意定理中并不表示階行列式，可從前后語義中區(qū)分.如果，線性方程組(8.3)成為

稱式(8.4)為齊次線性方程組.顯然，由定理8.7，如果，方程組(8.4)只有零解.于是我們有式(8.4)推論4齊次線性方程組(8.4)有非零解的充要條件是系數(shù)行列式.例4計算行列式.解一般地講,計算行列式的方法靈活,綜合性較強,難度較大.通常是利用行列式的性質(zhì)，將其化簡為上三角行列式后求值；或?qū)⑵浠癁槟承校校┑脑囟鄶?shù)為，再按這行（列）展開從而降階，直至化為二、三階行列式求值．約定:表示行，表示列；表示第行的倍加到第行；表示交換兩列等等.例5計算行列式．解利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角行列式,再計算．8.1.3行列式的計算例6計算行列式.解行列式的第2列的元素已有兩個為零,再將化為零，則本列只剩一個元素非零,若再按第2列展開,則可以將原4階行列式化成一個3階行列式．例7解線性方程組解因為系數(shù)行列式,故由克拉默法則知,此方程組有唯一解.

所以方程組的解為

,,,應用與實踐案例1某廠生產(chǎn)甲、乙、丙和丁四種機器，它們主要由、、和四種零件裝配而成，每臺機器所需零件數(shù)如表8-1所示.表8-1四種機器所需零件數(shù)對照表

按照生產(chǎn)計劃，現(xiàn)已購回零件1250個，零件850個，零件1130個，零件1050個．問該廠原計劃裝配機器甲、乙、丙和丁各多少臺？機器零件甲乙丙丁A2134B1241C3122D2331解設原計劃裝配機器甲、乙、丙、丁分別為臺，則可建立線性方程組為因為系數(shù)行列式，故由克拉默法則，此方程組有唯一解.又，故所以該廠原計劃裝配機器甲210臺，乙80臺，丙90臺和丁120臺.案例2江堤邊一洼地發(fā)生管涌，江水不斷地涌出.假定每分鐘涌出的水量相等.如果用兩臺抽水機抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺抽水機抽水，16分鐘可抽完.如果要在10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機多少臺？解設抽水前已涌出水量m3,管涌每分鐘涌出m3，每臺抽水機每分鐘可抽水m3,再設需要臺抽水機在10分鐘抽完.那么，由題得：該關于的齊次線性方程組有非零解，因此由定理8.7的推論4知，系數(shù)行列式.解得,即需要6臺抽水機同時抽水.案例3有三片牧場，場上的草是一樣的密，而且長得一樣快.它們的面積是公頃、10公頃和24公頃.第一片牧場飼養(yǎng)12頭牛可以維持4星期,第二片牧場飼養(yǎng)21頭?？梢跃S持9星期.問在第三片牧場上飼養(yǎng)多少頭牛恰好可以維持18個星期?(這是17世紀英國著名數(shù)學家、科學家牛頓在他的名著“普通算術”中提出的問題.)解設每公頃原有草千克，每星期每公頃生長新草千克，第三片牧場可飼養(yǎng)頭牛，每頭牛每星期吃千克草,則由題得：化簡得：關于的齊次線性方程組有非零解，因此由定理8.7的推論4知，系數(shù)行列式解得,即第三片牧場上飼養(yǎng)36頭牛恰好可以維持18個星期.第八章行列式、矩陣與線性方程組第二節(jié)矩陣及其運算情景與問題引例1數(shù)字圖像處理(DigitalImageProcessing)又稱為計算機圖像處理，它是指將圖像信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號并利用計算機對其進行處理的過程.它已被廣泛應用于航空航天、機器人視覺、生物醫(yī)學工程、工業(yè)檢測、軍事制導、遙感成像、文化藝術等領域.變換方法、統(tǒng)計方法、微分方法等數(shù)學方法是數(shù)字圖像處理的主要方法，而實現(xiàn)圖像的數(shù)字化是其基礎.以圖像鏡像變換為例,設原圖像高寬分別為和，則水平鏡像將原圖中坐標為的像素點變換到坐標,垂直鏡像則將之變?yōu)?其具體變換表達形式如下：根據(jù)上述變換，可實現(xiàn)圖像的鏡像變換,如圖8-2所示，圖(a)為原始圖像，圖(b)和圖(c)分別為水平和垂直鏡像變換效果.圖8-2圖像鏡像變換效果圖引例2某超市計劃在今年各季度銷售三種飲料,計劃數(shù)如表8-2所示(單位:件).季度飲料一二三四120310470200300460480300380650710350表8-2各季度三種飲料銷售計劃數(shù)其計劃銷售數(shù)量可用一個3行4列的數(shù)表來表示:引例3某航空公司在四個城市開通若干航線，如圖8-3所示.如果開通航線用1表示，沒有開通用0表示，那么四城市間的航線可用以下數(shù)表來表示：圖8-3引例4個未知量個方程的線性方程組(8.3)的未知量系數(shù)和常數(shù)項按原來的次序可用一個行列的數(shù)表來表示:由上述引例可以看出,大量的生產(chǎn)實際問題都可以用一個具有行和列的數(shù)表來描述.我們將這樣的數(shù)表稱為矩陣.8.2.1矩陣的概念定義8.3由個數(shù)(=1,2,…,;=1,2,…,)排成行列的數(shù)表

稱為行列矩陣，簡稱矩陣.矩陣通常用大寫拉丁字母黑體表示.一個行列矩陣記為,不需要指明行和列時,下標可省略.若矩陣的第行第列處的元素是,則矩陣又可簡記為當矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等時,則稱之為階矩陣,或階方陣.當或時,矩陣只有一行或只有一列,即或,分別稱之為行矩陣和列矩陣.行(列)矩陣又稱為行(列)向量,并且常用小寫拉丁字母黑體表示.為了節(jié)省篇幅，列向量往往寫成行向量的轉(zhuǎn)置.所有元素全為零的矩陣稱為零矩陣,記為或.將矩陣的各元素都取相反數(shù)得到的矩陣,稱為矩陣的負矩陣,記為.在階方陣中,從左上角到右下角的對角線稱為主對角線,從右上角到左下角的對角線稱為次對角線.主對角線下方(或上方)的元素全為零的階方陣,稱為階上(或下)三角矩陣.上、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣.如果一個階矩陣既是上三角陣又是下三角陣,則稱為階對角矩陣.主對角線上元素分別為的對角矩陣記為

主對角線上元素相同且非零的階對角矩陣稱為階數(shù)量矩陣.主對角線上元素都是1的階數(shù)量矩陣稱為階單位矩陣,記作或.8.2.2矩陣的運算定義8.4如果兩個矩陣的行、列數(shù)都相同，則稱它們是同型矩陣．定義8.5如果兩個矩陣=和=是同型矩陣，且其對應元素相等，即,則稱矩陣與相等，記為=．定義8.6設兩個矩陣=和=是同型矩陣，為實常數(shù)．規(guī)定(1)與的和為(2)與的差為(3)與的數(shù)乘為.求兩個矩陣的和(或差)的運算稱為矩陣的加法(或減法).矩陣的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.設都是矩陣,為常數(shù)，矩陣的線性運算滿足以下運算規(guī)則:(1)；(2)；(3)

；(4)；(5)；(6)；(7)；(8),

.例1已知=，=，求＋,．解＋==；定義8.7設矩陣,，規(guī)定與的乘積是一個矩陣,其中(=1,2,…，；=1,2,…，).與的乘積記作,即.注意：矩陣與矩陣能夠相乘的條件是：的列數(shù)=的行數(shù)．例2設,，,求和.解

例3設，求和.解

,從上面的例子可以看出：矩陣乘法不滿足交換律，即矩陣乘法滿足下面的運算規(guī)則：(1)(結合律)；(2)(左分配律）；(右分配律）；(3)(數(shù)因子結合律)；(4),．注意：方陣可以與自身相乘，規(guī)定，一般個方陣的乘積記為.設有個方程個未知量的線性方程組.

記系數(shù)矩陣為,未知量向量為,常數(shù)項向量為,矩陣與拼接的矩陣(稱為增廣矩陣)，則線性方程組的矩陣形式為．定義8.8設矩陣，將其行、列互換而得到的矩陣，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記為.例如，．矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算規(guī)則：(1)；(2)；(3);(4)．例4設，.驗證：．解

因為==，所以=；而=,所以．定義8.9由方陣的元素按原來的次序所構成的行列式稱為方陣的行列式,記為,或.設矩陣都是階方陣,為常數(shù),則方陣的行列式滿足下述運算規(guī)則：(1)；(2)；(3).例5設,,求,和解；.由上例可以看出,一般地(1)；(2)定義8.10對于階方陣，如果存在一個矩陣，使得

成立，則稱矩陣是可逆矩陣（或稱可逆），并稱矩陣是矩陣的逆矩陣，記為注意：(1)可逆矩陣一定是方陣,并且其逆矩陣是同階方陣；(2)如果矩陣可逆，則其逆矩陣是唯一的；(3)滿足式(8.5)的矩陣與互為逆矩陣,即.式(8.5)啟迪：對立和統(tǒng)一是矛盾的兩個根本屬性，矛盾的對立屬性稱作斗爭性，矛盾的統(tǒng)一屬性稱作同一性。同一性是指矛盾雙方的相互依存、相互貫通；斗爭性是指矛盾雙方的相互排斥、相互沖突、相互否定、相互離異的趨勢.在線性代數(shù)中，很多概念體現(xiàn)了“對立與統(tǒng)一”的辯證關系，比如：矩陣的可逆與不可逆、向量組的相關與不相關、方程組的有解和無解、方陣的可對角化與不可對角化等等.這些概念彼此對立，又相互統(tǒng)一，由于對立而能由此知彼，因為統(tǒng)一而能互相表示，從而形成了整個線性代數(shù)知識體系的對立與統(tǒng)一.8.2.3逆矩陣逆矩陣的求法.定義8.11設方陣的行列式中元素的代數(shù)余子式為，稱矩陣為矩陣的伴隨矩陣．規(guī)定1階方陣的伴隨矩陣為1階單位矩陣.例6求矩陣=的伴隨矩陣,并驗證.解由于,所以的伴隨矩陣且有

=同理=

.所以.一般地,對于任何方陣,都有.定理8.8階矩陣可逆的充要條件是.當可逆時,=．證明從略.此定理不僅回答了在什么情況下方陣可逆,而且給出了逆矩陣的計算方法.下述定理指明了逆矩陣的運算性質(zhì).若稱矩陣A為奇異矩陣；若，稱矩陣為非奇異矩陣.定理8.9設矩陣與是同階可逆矩陣,常數(shù),則(1)；(2)；(3)；(4)．此定理表明，若與是同階可逆矩陣,則對于任意常數(shù)，都可逆.但要注意矩陣可逆,而不一定可逆.例7判斷矩陣是否可逆.若可逆,求．解因為所以可逆．又中元素的代數(shù)余子式,,,,,,,,.由定理8.8知,例8已知，，，求矩陣.解的逆矩陣，由兩邊同時左乘得=定義8.12對矩陣A的行進行以下三種變換都叫做矩陣的初等行變換．(1)將矩陣的某兩行元素互換(互換兩行,記作)；(2)用一個非零常數(shù)遍乘矩陣的某一行元素（遍乘第行，記作）；(3)將矩陣某一行的所有元素乘以常數(shù)加到另一行的對應元素上(第行的倍加到第行,記作).以上三種變換分別簡稱為對行的對換變換、倍乘變換和倍加變換.把定義中的“行”換成“列”,就得矩陣的初等列變換的定義(所用記號將“”換成“”).矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.下面主要討論初等行變換.定義8.13若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成B,則稱矩陣A與B等價,并用記號表示.例如,在計算行列式的時候,我們曾經(jīng)用定義8.12中提到的幾種操作將行列式化為上三角行列式,然后很方便地得到行列式的值.下面我們先通過一個例子,對矩陣作類似的初等行變換看有什么結果.例9已知矩陣,試對其作初等行變換.解

對于矩陣,是通過一系列初等行變換由矩陣得到,并且可畫一條階梯線,線的下方全是零,每個臺階只有一行,臺階數(shù)就是非零行行數(shù),每個臺階線上從左至右的第一個元是非零元(稱為首非零元).即的零行位于下方,并且各非零行的首非零元的列指標隨行指標的增大而嚴格增大,這樣的矩陣被稱為行階梯矩陣.對于矩陣,也是行階梯矩陣,而且非零行的首非零元均為1,且首非零元所在列的其它元都是零.這樣的矩陣稱為行最簡矩陣.我們不加證明地給出以下重要結論:定理8.10任一矩陣都可以經(jīng)過一系列初等行變換化為行階梯矩陣和行最簡矩陣.對于三階以上的矩陣，用伴隨矩陣法求逆矩陣運算量較大．下面我們介紹用初等行變換求逆矩陣的方法．定理8.11階方陣可逆的充要條件是.證明從略.此定理表明,階可逆矩陣的行最簡矩陣是階單位矩陣.設階矩陣是可逆矩陣,根據(jù)定理8.11,用矩陣與階單位矩陣拼成一個矩陣，對這個矩陣作初等行變換，將其化為行最簡矩陣,則矩陣由一個單位矩陣和一個階矩陣構成,即.定理8.12對于階矩陣,若，則矩陣可逆,并且.證明從略.這個定理給出了判斷一個階矩陣是否可逆,以及當可逆時求逆矩陣的方法.例10用初等行變換求矩陣的逆矩陣．解=

，

故矩陣可逆,且逆矩陣為．想一想：學到這里我們對這兩點已不容置疑：只有方陣討論其逆矩陣才有意義；只有非奇異矩陣可逆.但事實果真如此嗎？記得小學階段的偶次方根經(jīng)驗不？負數(shù)不能開平方！但拓展到復數(shù)領域，任何實數(shù)均有偶次根，可能還不止一個呢！那么，奇異陣有逆矩陣不？不是方陣的矩陣有逆矩陣不？8.2.4矩陣的秩在矩陣理論中，矩陣的秩是一個重要的概念,它是矩陣的一個數(shù)量特征,在討論線性方程組的解時有重要應用.為了建立矩陣秩的概念,我們首先給出子式的定義.定義8.14在矩陣中任取行列，位于這些行列交叉處的個元素，按原來的次序組成的階行列式稱為矩陣的階子式．例如：，以下行列式分別為其一階、二階和三階子式:,,,,,．

定義8.15矩陣的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩，記為．規(guī)定零矩陣的秩為,即．根據(jù)矩陣秩的定義,下述兩條性質(zhì)顯然成立：(1)若為矩陣,則；(2)．例11求矩陣的秩．解共有4個三階子式,即

,,,而二階子式,所以矩陣的秩.定理8.13一個行階梯矩陣的秩等于它的非零行行數(shù)．定理8.14若矩陣，則．即初等變換不改變矩陣的秩.證明從略.根據(jù)此定理,用初等行變換把矩陣化成行階梯矩陣，則矩陣的秩等于此行階梯矩陣非零行行數(shù)．例12設矩陣,,求．解

由最后的行階梯矩陣可知:,.由矩陣的秩的定義可知,對于階方陣，如果，則其行列式不等于零，反之亦然.于是，階矩陣可逆的充要條件是.應用與實踐案例1密碼學中將尚未轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息稱為明文，由密碼表示的信息稱為密文，從明文到密文的處理過程稱為加密,反之稱為解密.現(xiàn)假定空格和26個小寫英文字母依次對應026的整數(shù)作為編碼.約定明文由英文單詞(小寫)和空格組成，其中兩個單詞之間只留一個空格.將明文從左到右每3個字符分為一組(不足3個字符時用空格代替),對應的3個整數(shù)構成3維行向量，加密后仍為3維行向量.假設3維行向量為明文中一個組，為了使加密后的行向量分量仍為整數(shù)，選取一個行列式為的3階加密矩陣對進行加密，對應的密文滿足.現(xiàn)需要傳送的明文為“action”,請按要求適當選取一個加密矩陣，計算密文，并說明解密方法.解取，則.可以作加密矩陣.明文“action”編碼后對應的3維行向量為,加密后的密文為

接收方收到密文后，只需計算就可得到明文編碼:從而按照編碼規(guī)則可翻譯出原文“action”.探究：該案例中介紹的信息加密方法較為簡單，破解難度不大，而在實際生活中，加密信息的方法要復雜得多，破解的難度很大，對傳輸信息的安全性要求更高.那么還有哪些方法和技術呢？窗體頂端信息化是21世紀人類社會活動的主要特征，隨著信息網(wǎng)絡在全社會的滲透，網(wǎng)絡空間已成為繼海、陸、空、天后的第五空間.網(wǎng)絡空間安全是一個攻守博弈的過程，正與邪的轉(zhuǎn)化僅在一念之間.在全新形勢下，我們應如何響應“網(wǎng)絡強國”號召，聚焦國家重大戰(zhàn)略需求，為國家網(wǎng)絡信息安全貢獻力量呢？案例2某地對城鄉(xiāng)人口流動作年度調(diào)查,發(fā)現(xiàn)有一個穩(wěn)定的朝城鎮(zhèn)流動的趨勢．每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn)，而城鎮(zhèn)居民有1%遷居農(nóng)村．假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?，并且人口流動的這種趨勢繼續(xù)下去，那么年后城鎮(zhèn)和農(nóng)村人口分布如何?解設開始時城鎮(zhèn)人口為鄉(xiāng)村人口為,年以后城鎮(zhèn)人口為,鄉(xiāng)村人口為.一年后,或?qū)懗删仃囆问?/p>

兩年后,或?qū)懗删仃囆问?/p>

一般地,年以后，城鎮(zhèn)人口和農(nóng)村人口可由下式求出：案例3某地供電部門鼓勵用戶夜間用電，實行分時段計費.現(xiàn)知甲、乙兩用戶在某月的用電數(shù)及交費情況如表8-3所示：問當?shù)匕滋旌鸵归g的電價各是多少？解設當?shù)匕滋炫c夜間的電價分別為元/kWh和元/kWh,=,=,=，用電時段與度數(shù)用戶白天(kwh)夜間(kwh)交費(元)甲12015092.70乙132174104.22表8-3用戶用電數(shù)和交費情況則．所以.即白天的電價為0.46元/kWh,夜間的電價為0.25元/kWh．第八章行列式、矩陣與線性方程組第三節(jié)線性方程組求解情景與問題引例1《九章算術》與線性方程組線性代數(shù)就是從解線性方程組等問題發(fā)展起來的一門數(shù)學學科.關于線性代數(shù)方程組的求解在我國的《九章算術》一書中的第八章“方程”就有所涉及.其采用分離系數(shù)的方法來表示線性方程組，實際上相當于現(xiàn)在的矩陣；并使用直除法求解線性方程組，這基本上與矩陣的初等變換也是一致的.這可以說是世界上最早的完整的線性方程組的解法.從時間維度來看，《九章算術》寫成于公元一世紀左右，是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學書籍，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系.而西方關于線性方程組的研究直到17世紀才由萊布尼茲建立了完整的理論體系．我國古代數(shù)學家在這一問題上的研究早于西方一千余年，這是非常值得驕傲的偉大成就.引例2用消元法解線性方程組

分析在消元時，我們將方程組的變化過程與增廣矩陣的變化過程相對照(方程組里忽略未知量,號和等號就是增廣矩陣,故未單獨列出增廣矩陣)，注意每一步得到新方程組和新增廣矩陣，是使用完全相同的初等變換(既表示第個方程，也表示增廣矩陣的第行)：

(1)(2)

(3)(4)不難看出，消元得到的每個新方程組一定是同原方程組同解的.從最后一個方程得到，將其代入第二個方程得，再將，代入第一個方程得到.這樣，我們就得到方程組的解為：.事實上后面這幾步的操作為：

(5)(6)

(7)(8)通常把(1)—(4)稱為消元過程，把(5)—(8)稱為回代過程.我們看到，式(4)對應的矩陣是行階梯矩陣，而式(8)對應的矩陣是行最簡矩陣.引例3用消元法解線性方程組分析(1)(2)

(3)(4)式(3)對應的矩陣是行階梯矩陣，而式(4)對應的矩陣是行最簡矩陣.從式(4)可以看出，此線性方程組未知量是3個，獨立的方程卻只有2個，方程的解可以有無窮多.事實上，對于方程組(4),我們把未知量(行最簡矩陣非零行的首非零元對應的未知量)留在等號左邊，而將未知量移到等號右邊，

令，就得到方程組的全部解，其中可取任何實數(shù)，即,

.我們總是把一個線性方程組的解寫成上述形式，稱為方程組的通解.在本節(jié)，我們將給出線性方程組解的判定定理，并由上述引例總結出解線性方程組的一般方法.抽象推理8.3.1線性方程組的解向量我們知道，對于一般的個方程個未知量的線性方程組(8.9)

可用矩陣表示為

.（8.11）當時，方程組(8.11)稱為非齊次線性方程組，時,方程組(8.11)成為，稱為齊次線性方程組.線性方程組(8.9)的解記為

,稱為線性方程組(8.9)的解向量,亦簡稱為解.

因為，所以齊次線性方程組一定有零解.8.3.2線性方程組解的判定我們知道,齊次線性方程組總是有解的,但是非齊次線性方程組則不一定.線性方程組沒有解，有唯一解或有無窮多解，都可以根據(jù)增廣矩陣的秩來判斷.定理8.15線性方程組有解的充分必要條件是．證明從略.注意：對于線性方程組,由于增廣矩陣比系數(shù)矩陣多且只多一列，故要么，要么，于是我們可得推論1對于個方程個未知量的非齊次線性方程組,(1)無解的充分必要條件是；(2)有唯一解的充分必要條件是；(3)有無窮多解的充分必要條件是.推論的證明從略.對于齊次線性方程組，由于

，一定有，由定理8.15，必有解，事實上零解就是其解.結合推論1，我們?nèi)菀椎玫剑和普?對于個方程個未知量的齊線性方程組,(1)只有零解的充分必要條件是；(2)有非零解的充分必要條件是.定理8.15以及上述兩個推論是判定一個線性方程組是否無解、有唯一解和有無窮多解的重要定理.由推論2，我們還可以直接得到：推論3對于個方程個未知量的齊線性方程組,當時,必有非零解.推論4個未知量個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是.推論4就是克拉默法則(定理8.7)的推論.例1判斷下列線性方程組是否有解：(1)(2)解(1)因為,,所以該非齊次線性方程組有無窮多解；(2)因為,,所以該非齊次線性方程組無解.例2判斷齊次線性方程組是否有非零解.解將系數(shù)矩陣化為行階梯矩陣：

,由此可知,,所以該方程組有非零解.8.3.3線性方程組的求解由引例2和引例3，我們可以看出，消元法解線性方程組，其消元過程是將方程組化為行階梯方程組的過程，等價地是將其增廣矩陣利用對應的初等行變換化為行階梯矩陣的過程；而回代是將行階梯矩陣進一步化為行最簡矩陣的過程.因此，在解線性方程組時，我們可以用增廣矩陣的初等行變換代替具體的消元化簡過程.結合前述解的判定定理，我們可以得到用矩陣的初等變換解線性方程組的一般步驟：(1)寫出增廣矩陣.(2)把增廣矩陣化成行階梯矩陣,并根據(jù)其非零行行數(shù)確定和，如果,原方程組無解；如果,原方程組有解，繼續(xù)后面步驟.(3)有解時，進一步把化為行最簡矩陣，如果，則可由行最簡矩陣直接寫出原方程組的唯一解；如果，原方程組有無窮多解，繼續(xù)后面步驟.(4)寫出與行最簡矩陣對應的線性方程組,并保留中個非零行的首非零元所對應的未知量在等號左邊,其余個未知量作為自由未知量移到等號右邊.(5)將自由未量分別取不同的任意值,寫出通解.注意：無論是非齊次線性方程組()還是齊次線性方程組，上述解法都適用.不過，對于齊次線性方程組，只需對系數(shù)矩陣施行初等行變換.例3解非齊次線性方程組

解方程組的增廣矩陣=,先用初等行變換化為行階梯矩陣：

.

由于,方程組有唯一解.將進一步化為行最簡矩陣：

.所以，原方程組的唯一解為，即.例4求解線性方程組解對方程組的增廣矩陣作初等行變換化為行階梯矩陣,再化為行最簡矩陣：

于是得與原方程組同解的線性方程組

保留未知量和在等號左邊,將作為自由未知量移到等號右邊得

令,立即得原方程組的通解：

，.例5解齊次線性方程組解對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行階梯矩陣：

.因為，由定理7.15的推論2知，原方程組有無窮多非零解.進一步將化為行最簡矩陣：

.矩陣對應的齊次線性方程組為

它與原方程組同解.保留的首非零元對應的未知量在等號左邊,將作為自由未知量移至等號右邊有

令,可得原方程組的通解

,其中取任意實數(shù).探究：在科學與工程中的許多重要領域，如計算電磁學、計算化學、計算流體力學、生命科學、結構力學、天文學、空氣動力學、醫(yī)學、系統(tǒng)科學、經(jīng)濟學、社會科學以及其他軟科學中所建立的數(shù)學模型常常是偏微分方程，由于所描述實際問題的結構與現(xiàn)象的復雜性，從而導致模型的偏微分方程很難求得精確解，于是人們就通過有限元、有限差分法或無網(wǎng)格方法等進行離散，并將偏微分方程轉(zhuǎn)化為大規(guī)模稀疏線性代數(shù)系統(tǒng).當系統(tǒng)的規(guī)模不斷擴大時，如何保證快速求解且保證精度成為研究熱點，這也是目前仍在繼續(xù)研究的重大課題之—.大家熟知的互聯(lián)網(wǎng)搜索引擎Google,就主要建立在經(jīng)典算法PageRank基礎上，而PageRank的技術基礎便是求解線性代數(shù)系統(tǒng)或?qū)凝R次線性代數(shù)系統(tǒng).目前關于該算法的研究已取得了若干重大成果，并已廣泛應用在基因測序、癌癥研究、交通網(wǎng)絡等領域.有興趣的讀者可以參閱該方面書籍進行深入研究.應用與實踐案例1在研究鋼板