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文檔簡介
新時代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)(工科類)知識目標(biāo)了解多元函數(shù)的概念,理解二元函數(shù)極限及連續(xù)的概念,掌握二元函數(shù)極限的求法.理解偏導(dǎo)數(shù)的概念,掌握偏導(dǎo)數(shù)(一階及高階)的計算,會求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).理解全微分的概念,掌握全微分的計算方法.理解曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線等概念,并掌握它們的方程的求解方法.理解多元函數(shù)極值的概念,會求二元函數(shù)的極值.理解二重積分的概念及二重積分的性質(zhì),掌握二重積分的簡單計算.第七章多元函數(shù)微積分
第一節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)情景與問題
引例1身體質(zhì)量指數(shù)BMI是國際上衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個常用指標(biāo),它的計算與體重
(單位:千克)和身高
(單位:米)相關(guān):BMI=
,BMI由19世紀(jì)中期比利時的通才凱特勒最先提出.BMI正常值在20至25之間,低于18.5為體重不足,超過25為超重,30以上則屬肥胖.引例2由物理學(xué)知識,運動物體的動能
與物體的質(zhì)量
和運動的速度
兩個量之間滿足以下的關(guān)系:.引例3在周長為
的所有三角形中,求出面積最大的三角形.分析設(shè)三角形的三邊長分別為
則面積為
于是,所討論問題便轉(zhuǎn)化為:在
條件下求函數(shù)的最大值問題.
上述各例所討論的函數(shù)都涉及到了多個自變量,去掉它們的具體實際意義,只保留數(shù)量關(guān)系,便可抽象出多元函數(shù)的概念.抽
象
推
理7.1.1二元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1.二元函數(shù)的概念
定義7.1設(shè)有三個變量
和
,如果當(dāng)變量
在它們的變化范圍
中任意取一對值
時,按照給定的對應(yīng)關(guān)系
,變量
都有唯一確定的數(shù)值與它們對應(yīng),則稱
是關(guān)于
的二元函數(shù),記為
其中
稱為自變量,
稱為因變量.
稱為函數(shù)的定義域,所有函數(shù)值的集合
稱為函數(shù)的值域.
類似地可以定義三元函數(shù)
以及
元函數(shù)
.多于一個自變量的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).引例1、2得到的BMI=,是二元函數(shù),引例3是三元函數(shù).同一元函數(shù)一樣,定義域和對應(yīng)關(guān)系是二元函數(shù)定義的兩要素.對于以解析式表示的二元函數(shù)
其定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.
一般來說一元函數(shù)的定義域往往是一個或者幾個區(qū)間,而二元函數(shù)的定義域通常是平面上的某個區(qū)域.二元函數(shù)定義域的區(qū)域可能是全部
坐標(biāo)面,可能是一條直線,也可能是由曲線所圍成的部分平面等等.圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界,包含全部邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域;不包括邊界上任何點的區(qū)域稱為開區(qū)域.能被包含在以原點為圓心的某一圓內(nèi)的區(qū)域稱為有界區(qū)域,否則稱為無界區(qū)域.例1求下列函數(shù)的定義域
,并畫出的
圖形
.(1);解當(dāng)根式內(nèi)的表達(dá)式非負(fù)時函數(shù)才有意義,所以定義域為
表示在平面上以原點為圓心,以3為半徑的圓以及圓的內(nèi)部全部點構(gòu)成的閉區(qū)域(圖7-1).圖7-1所以函數(shù)的定義域是
以為
邊界的矩形閉區(qū)域(圖7-2).圖7-2
解因為要使
有意義,應(yīng)有即(2).例2求用形如
或
的不等式組來表示平面閉區(qū)域
,
由
所圍成.解先作出區(qū)域
的圖形(圖7-3),再將
投影到
軸上,得到區(qū)間
,則區(qū)域
內(nèi)任一點的橫坐標(biāo)滿足不等式
.在
內(nèi)任取一點
,作平行于
軸的直線,則由對于所給的
,
內(nèi)對應(yīng)點的縱坐標(biāo)
滿足:,因此區(qū)域
可以用不等式組表示為圖7-3另一方面,若將
投影到
軸上,則在
軸上得到區(qū)間
.在區(qū)間
內(nèi)任取一點
,作平行于
軸的直線,則由圖可知,對于所給的
,
內(nèi)對應(yīng)點的橫坐標(biāo)
滿足:
,因此區(qū)域
可以用不等式組表示為圖7-3
一元函數(shù)一般表示平面上的一條曲線,二元函數(shù)
在幾何上通常表示空間曲面(圖7-4).設(shè)點
是二元函數(shù)的定義域
內(nèi)的任一點,則相應(yīng)的函數(shù)值是
,于是,有序數(shù)組
確定了空間一點
.當(dāng)點
在
內(nèi)變動時,對應(yīng)的點
就在空間變動,一般形成一張曲面,即為二元函數(shù)
的圖像,其定義域
就是空間曲面在
面的投影.圖7-42.二元函數(shù)的極限與連續(xù)定義7.2設(shè)函數(shù)
在點
的某一鄰域內(nèi)有定義(點
可以除外),如果當(dāng)點
以任意方式無限趨向于點
時,對應(yīng)的函數(shù)值
趨向于一個確定的常數(shù)
,則稱
為函數(shù)
當(dāng)
時的極限.記為或.注意:與一元函數(shù)的極限不同的是二元函數(shù)極限要求點
以任意方式趨向于點
時,函數(shù)值
都趨向于同一個確定的常數(shù)
.因此,如果當(dāng)
沿著兩條不同的路徑趨向于
時,函數(shù)
趨向于不同的值,那么可以斷定函數(shù)極限一定不存在.例3求極限:(1)(2)解(1)令
,則,(2).本例表明,二元函數(shù)的極限問題有時可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題.例4討論函數(shù)
當(dāng)
時的極限.解當(dāng)點
沿
趨向于點
時.顯然當(dāng)
取不同的值時,
也不同,所以函數(shù)的極限不存在.
啟迪:一元函數(shù)與二元函數(shù)的極限研究方法具有很大的不同.在研究一元函數(shù)時,自變量在鄰域內(nèi)(區(qū)間)趨于某點的方式只有左右兩種,分別對應(yīng)左極限和右極限,但對于二元函數(shù)來說,自變量的鄰域是在二維平面內(nèi)的區(qū)域,它趨于某點的方式是任意的,有無窮多種,我們就需要從整體的角度,去觀察函數(shù)值的變化情況.推展開來,我們在實際生活中也不能用孤立、片面的觀點來看問題,要通過持續(xù)學(xué)習(xí)來獲得足夠的判斷力,從而能整體、全面地去觀察、了解和認(rèn)識事物.下面給出二元函數(shù)連續(xù)性的定義.定義7.3設(shè)函數(shù)
在點
的某個鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)點
趨向于點
時,函數(shù)
的極限存在,且等于它在點
處的函數(shù)值,即則稱函數(shù)
在點
處連續(xù).在上邊的定義中,若令
,則得到連續(xù)的另一個等價定義:定義7.3’
設(shè)函數(shù)
在點
的某個鄰域內(nèi)有定義,若當(dāng)自變量
的增量
趨向于零時,對應(yīng)函數(shù)的全增量
也趨于零,即,
則稱函數(shù)
在點
處連續(xù).同一元函數(shù)一樣,二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)及復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù);同時也有結(jié)論“多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)”.與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似,在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)也有以下結(jié)論.定理7.1
最值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取得到最大值和最小值.定理7.2
介值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)可取得介于它的最大值和最小值之間的任何值至少一次.
以上關(guān)于二元函數(shù)極限與連續(xù)的討論可以推廣到三元及以上的函數(shù).7.1.2偏導(dǎo)數(shù)1.一階偏導(dǎo)數(shù)
在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們曾經(jīng)研究過函數(shù)
的導(dǎo)數(shù),即函數(shù)
對于自變量
的變化率
.對于多元函數(shù),我們也常常遇到研究它對某個自變量的變化率問題,這就產(chǎn)生了偏導(dǎo)數(shù)的概念.定義7.4設(shè)函數(shù)
在點
的某一鄰域內(nèi)有定義.若存在,則稱此極限值為函數(shù)
在點
處對
的偏導(dǎo)數(shù),記為或或;即同理,可定義
在點
處對
的偏導(dǎo)數(shù):如果函數(shù)
在區(qū)域
內(nèi)每一點
處對
的偏導(dǎo)數(shù)都存在,這個偏導(dǎo)數(shù)仍是
的函數(shù),稱為函數(shù)
對自變量
的偏導(dǎo)函數(shù),簡稱偏導(dǎo)數(shù),記為或.類似地,可定義函數(shù)
對自變量
的偏導(dǎo)數(shù),記為
或偏導(dǎo)數(shù)
也稱為一階偏導(dǎo)數(shù).上述二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義可以推廣到多元函數(shù).如
元函數(shù)
對
的偏導(dǎo)數(shù)被定義為:方法:從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出,求二元函數(shù)對某一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時,實際上只需將另一個自變量看成常數(shù),再按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可.例5求函數(shù)
在點
處的兩個偏導(dǎo)數(shù).解因為
所以例6求函數(shù)
的偏導(dǎo)數(shù).解按偏導(dǎo)數(shù)定義有例7求
的偏導(dǎo)數(shù).解把
和
看成是常數(shù),對
求導(dǎo),得.觀察到此函數(shù)自變量具有對稱性,因此有
,
.例8已知理想氣體的狀態(tài)方程
(
常數(shù)),求證
.證明因為
,
;
,
;
,
,所以.注意:這個例子說明,偏導(dǎo)數(shù)
,
的記號是一個整體,不能看成
與
或者
與
之商.例9求二元函數(shù)
在點
處的兩個偏導(dǎo)數(shù).解,類似地可求得.在例4中,我們已指出
在點
處極限不存在,所以不連續(xù),然而本例表明該函數(shù)在
處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在.另外也可證明函數(shù)
在點
處是連續(xù)的,但在該點的偏導(dǎo)數(shù)卻不存在.所以,二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在這兩個條件之間沒有必然關(guān)系.2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)
在點
處導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點處切線的斜率,而二元函數(shù)
在點
處的偏導(dǎo)數(shù),實際上就是一元函數(shù)
及
分別在點
及
處的導(dǎo)數(shù).因此二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義也是曲線切線的斜率.
是曲線
在點
處切線的斜率(圖7-5),即
;
是曲線在點
處切線的斜率,即.2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖7-53.高階偏導(dǎo)數(shù)
函數(shù)
的兩個偏導(dǎo)數(shù)
、
一般仍然是
的函數(shù),可以對其繼續(xù)求偏導(dǎo)數(shù)(如果存在的話),且稱它們?yōu)楹瘮?shù)
的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同,二元函數(shù)有下列四種二階偏導(dǎo)數(shù):純偏導(dǎo)數(shù):
,
;混合偏導(dǎo)數(shù):
,
.類似地,可以定義多元函數(shù)的三階、四階、…、
階偏導(dǎo)數(shù),二階及以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例10求
的所有二階偏導(dǎo)數(shù).解因為
,
,所以
,
,
,
.注意:上例中的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等,這并非偶然,在此不加證明地給出二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等的充分條件.定理7.3如果函數(shù)
在區(qū)域上的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)
,
連續(xù),那么在區(qū)域
上必有.例11求函數(shù)
的所有二階偏導(dǎo)數(shù).解函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)為:
,,因此,
,
, .例12設(shè)
,求
.解,
7.1.3全微分1.全微分的概念
在一元函數(shù)
中,若
,那么函數(shù)的微分
是函數(shù)的增量
的線性主部,可用
近似代替
,其誤差是的高階無窮?。畬τ诙瘮?shù)來說,計算全增量
比較復(fù)雜.類似于一元函數(shù),我們用自變量
、
的線性函數(shù)來近似地代替函數(shù)的全增量,從而引入如下定義.定義7.5設(shè)函數(shù)
在點
的某一鄰域內(nèi)有定義,且函數(shù)在該點處的全增量
可表示為其中
與
,
無關(guān),
是
的高階無窮小,即
,則稱
為函數(shù)
在點
的全微分,記作
,即這時也稱函數(shù)
在點
處可微.
當(dāng)函數(shù)
在區(qū)域
內(nèi)各點處都可微時,那么稱函數(shù)
在
內(nèi)可微.像一元函數(shù)一樣,規(guī)定
,
,則全微分也可寫為定理7.4(可微的必要條件)如果函數(shù)
在點
可微,則(1)
在點
處連續(xù);(2)
在點
處偏導(dǎo)存在,且
,即
在點
的全微分為證明由函數(shù)
在點
可微,可得
,其中
.(1)因為
,所以
.即
在點處連續(xù).(2)對于偏增量來說,
,此時的
,對偏增量除以求極限得同理可證
.定理7.5(可微的充分條件)如果函數(shù)
在點
的某一領(lǐng)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)
連續(xù),則函數(shù)在該點處可微.
證明從略.
以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件,可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù).例13求函數(shù)
的全微分.解因為
,
,所以例14求函數(shù)
在點
處的全微分.解因為
,
點
處連續(xù),所以函數(shù)點
處可微,且2.近似計算
多元函數(shù)的全微分也可以用于近似計算.對于可微的二元函數(shù)
,因為
是一個比
高階的無窮小量,所以有近似公式上式也可以寫成例15計算
的近似值.解設(shè)函數(shù)
,顯然要計算的值就是.取
,由于
,又
,
,有
.所以例16一個圓錐的底面半徑和高度分別為
和
,這兩個量的可能誤差為
,用微分的方法估計該圓錐體積的最大誤差.解設(shè)圓錐的底面半徑為
,高為
,根據(jù)圓錐的體積公式有
,得體積的全微分為取
,得即圓錐體積的最大誤差為
.3.全微分的幾何意義
類似一元微分的幾何意義,可以得到二元函數(shù)全微分(圖7-6)的幾何意義為:函數(shù)在點
處切平面上的點與曲面
上點
的
軸坐標(biāo)之差.圖7-6想一想:古時候的人們?yōu)槭裁凑J(rèn)為地球是方的?
函數(shù)微分是在“以直代曲,以線性代非線性”的思想下做的一種近似,根據(jù)全微分的定義有
,也就是說微分是實現(xiàn)增量線性化的一種數(shù)學(xué)模型.對于三維空間中的曲面來說,微分的的實質(zhì)就是:局部區(qū)域像張平面.當(dāng)可微函數(shù)的自變量改變很小時,函數(shù)增量可以近似看作一個二維線性函數(shù)——平面.如果視地球表面為一個二元函數(shù),那么在人的肉眼范圍內(nèi),也就是當(dāng)自變量增量很小的時候(相對于地球半徑),所看到的地球表面(就是函數(shù)的增量)幾乎就是平的.在科技欠發(fā)達(dá)的時候,人類的視野十分有限,自然會認(rèn)為地球是方的.4.復(fù)合函數(shù)的微分法下面不加證明地給出多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.定理7.6若
是關(guān)于
的可微函數(shù),
和
是關(guān)于
的可微函數(shù),則
是關(guān)于
的可微函數(shù),并且.由變量關(guān)系圖7-7看到,從函數(shù)
到自變量
有兩條路徑:
和
,沿第一條路徑有
,沿第二條路徑有
,兩項相加就得到公式.我們形象地把復(fù)合函數(shù)的微分法稱為鏈?zhǔn)椒▌t.鏈?zhǔn)椒▌t可以根據(jù)具體情形推廣使用.圖7-7推論7.1若
,
都是可微函數(shù),則定理7.7若
是關(guān)于
的可微函數(shù),
和
是關(guān)于
的可微函數(shù)(圖7-8),則
有對
的偏導(dǎo)數(shù),并且,例17設(shè)
,求
.解由定理7.6得圖7-8例18設(shè)
,求
.解由定理7.7得例19設(shè)
,求
.解設(shè)
,則
,于是有該函數(shù)的變量關(guān)系實際如圖7-9.圖7-9注意:一般地,我們用
表示函數(shù)
對第個
中間變量的偏導(dǎo)數(shù),如上題中將
記為
,將
記為
.啟迪:在多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t中,我們感受到了思維的魔力,整個過程結(jié)構(gòu)清晰,層層遞進,在解題中體會到了數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.“書山有路勤為徑,學(xué)海無涯苦作舟”,讓我們暢游在知識的海洋中感受數(shù)學(xué)的魅力吧.7.1.4偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.空間曲線的切線和法平面設(shè)空間曲線
(圖7-10)的參數(shù)方程為曲線上對應(yīng)于
及
的點分別為
和
假定
均可導(dǎo),且
不全為零.則割線
的方程為圖7-10圖7-10當(dāng)
沿著曲線
趨于
時,割線的極限位置
即是
在
處的切線.上式分母同時除以
得
當(dāng)
(即
)時,對上式取極限,即得曲線在點
的切線方程向量
是切線
的方向向量,稱為切線向量.切線向量的方向余弦即為切線的方向余弦.通過點
與切線垂直的平面稱為曲線在
點的法平面,它是以切線向量
為法向量的平面.因此法平面方程為例20求螺旋線
在
對應(yīng)點的切線及法平面方程.解易得
對應(yīng)的點為
.因為
,所以切線向量
.因此,曲線在點
處的切線方程為在點
處的法平面方程為:即例21求曲線
上點
處的切線和法平面方程.解把
看作參數(shù),此時曲線方程為
且所以,曲線在點
處的切線方程為:
;法平面方程為:
,即.2.曲面的切平面與法線設(shè)曲線
是曲面
:
上過點的任意一條曲線(如圖7-11),
的方程為
,與點
相對應(yīng)的參數(shù)為
,假定函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零,則曲線
在
處的切線向量為.
圖7-11因
在
上,故有
.此恒等式左端為復(fù)合函數(shù),在
時的導(dǎo)數(shù)為記
,上式則說明
,即
與
互相垂直.由于曲線
是曲面上過
的任意一條曲線,所以在曲面
上所有過
點的曲線的切線都與同一向量
垂直,故這些切線位于同一個平面上.這個平面稱為曲面在
處的切平面.向量
是切平面的法向量,稱為曲面在
處的法向量.切平面方程為過點
且與切平面垂直的直線稱為曲面
在點
處的法線,其方程為
若曲面方程
由給出,則可令
.于是,此時,曲面在
處的切平面方程為法線方程為例22求橢球面
在點
處的切平面和法線方程.解
設(shè)
,則故在點
處橢球面的切平面方程為即
.法線方程為.例23求旋轉(zhuǎn)拋物面
在點
處的切平面方程和法線方程.解由
得
.則切平面方程為
,即
.法線方程為.3.二元函數(shù)的極值在實際問題中,會遇到求多元函數(shù)最大值或最小值的問題,這里我們只討論二元函數(shù)的情形,三元以上函數(shù)的情形可類似討論.與一元函數(shù)相類似,二元函數(shù)的最大值、最小值常與極大值、極小值相聯(lián)系,因此下面先討論極值問題.定義7.6設(shè)函數(shù)
在點
的某一鄰域內(nèi)有定義,如果對于該鄰域內(nèi)異于
的任意一點
,都有或,則稱函數(shù)在
處有極大值(或極小值).稱點
為函數(shù)的極大值點(或極小值點).極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點.定理7.8(極值點的必要條件)設(shè)函數(shù)
在點
的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在,且點
為極值點,則證明因為點
是函數(shù)
的極值點,所以當(dāng)
固定為
時,
為一元函數(shù)
的極值點.由一元函數(shù)極值點的必要條件,有
,幾何上表現(xiàn)為:對應(yīng)于
的曲面
上的點
有平行于
軸的切線.同理可證
.滿足方程組
的點
稱為函數(shù)
的駐點.與一元函數(shù)一樣,駐點不一定是極值點.那么,如何判斷一個駐點是否是極值點呢?下面不加證明地給出極值點的判定定理.定理7.9(極值存在的充分條件)設(shè)函數(shù)
在點
的某個領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且
是駐點.令
,
,
,
,則(1)當(dāng)
時,點
是函數(shù)
的極值點,且當(dāng)
時,點
是極大值點;當(dāng)
時,點
是極小值點.(2)當(dāng)
時,點
不是極值點.(3)當(dāng)
時,點
可能是極值點,也可能不是極值點.例24求函數(shù)
的極值.解(1)求偏導(dǎo)數(shù),解方程組得駐點:
、
、
、
.(2)求出二階偏導(dǎo)數(shù) (3)列表判斷極值點討論如下:駐點結(jié)論1206-72極小值120-672無極值-120672無極值-120-6-72極大值與一元函數(shù)類似,二元可微函數(shù)的極值點一定是駐點,但對不可微函數(shù)來說卻不一定.例如:點
是函數(shù)
的極小值點,但它并不是駐點,因為函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)并不存在.4.二元函數(shù)的最值
我們已經(jīng)知道,有界閉區(qū)域
上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.如果使函數(shù)取得最值的點在區(qū)域
的內(nèi)部,則對可微函數(shù)來講,這個點必然是函數(shù)的駐點,然而,函數(shù)的最值也可能在該區(qū)域的邊界上取得.因此,求有界閉區(qū)域
上可微的二元函數(shù)的最值時,求出函數(shù)在
內(nèi)的駐點及在
的邊界上的最值,比較這些值,其中最大(小)者,就是該函數(shù)在區(qū)域上
的最大(?。┲担▽τ诓豢晌⒑瘮?shù),還應(yīng)求出連續(xù)而不可微點處的函數(shù)值加以比較.)求二元函數(shù)在區(qū)域上的最值往往比較復(fù)雜,但在實際問題中,若由分析可知二元函數(shù)的最值一定存在時,如果目標(biāo)函數(shù)的駐點唯一,且無其他可疑極值點,那么這個駐點即是極值點.例25在
坐標(biāo)面上找出點
,使它到三點
距離的平方和為最?。庠O(shè)
到三點距離的平方和為
,有對
求偏導(dǎo)數(shù),解方程組
得駐點
.由問題的實際意義,到三點距離平方和最小的點一定存在,函數(shù)
可微且只有一個駐點,因此
即為所求之點.例26某工廠要用鐵板做一個體積為
的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?解設(shè)水箱的長、寬分別為x、y,則高為
,水箱所用材料的面積為令
得駐點
.
根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)必存在,可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為
,高為
時,水箱所用材料最?。畱?yīng)用與實踐案例1邊緣檢測是圖像處理和計算機視覺中的基本問題,檢測的目的是標(biāo)識數(shù)字圖像中亮度變化明顯的點,是特征提取中的一個重要研究領(lǐng)域,它能大幅度地減少數(shù)據(jù)量,并且剔除可能不相關(guān)的信息,保留圖像重要的結(jié)構(gòu)屬性.幾種最常用的經(jīng)典圖像邊緣提取算子,都是基于微分的理論得以實現(xiàn)的.以圖7-12為例,簡要分析圖像邊緣檢測原理.圖7-12解在圖像處理中認(rèn)為,灰度值變化劇烈的地方就是邊緣.變化劇烈程度,其實就是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).函數(shù)
的偏導(dǎo)數(shù)定義為,但數(shù)字圖像是離散的二維函數(shù),
和
不能無限小,圖像是按照像素來離散的,因此最小的
和
就是1像素,于是圖像的微分就可以記為它們分別是圖像在點
處
方向和
方向上的梯度,即兩個相鄰像素之間的差值.設(shè)圖像在某區(qū)域的灰度值為
,則
方向上的微分相減的結(jié)果能反映圖像亮度的變化率:像素值保持不變的區(qū)域,相減的結(jié)果為0,即像素為黑;像素值變化劇烈的區(qū)域,相減的差越大,則得到的像素就越亮,圖像的豎直邊緣得到增強.但對于二維圖像來說,僅僅得到
或者
方向的邊緣是不夠的,更需要考慮的是邊緣到底是什么走向,所以要用到不同方向上的梯度,并由此衍生出一系列的算子,圖7-13展示了不同算子的邊緣檢測效果.歡迎有興趣的同學(xué)參閱專業(yè)書籍進行更深入學(xué)習(xí).圖7-13幾種經(jīng)典圖像邊緣提取算子效果圖案例2日常生活中罐裝食品很多,如飲料,調(diào)味品,熟食等,體積相同的罐頭可做成尺寸不同的形狀.設(shè)有一個半徑為
,高為
的圓柱形罐頭外殼,當(dāng)其半徑
或高
有微小改變量時,都會引起容積產(chǎn)生相應(yīng)的改變量.試比較容積
對半徑
和高
的微小變化的敏感度.解計算
的全微分,有于是容積的改變量這表明半徑
的變化要比高
的變化所造成的容積
的改變約敏感10倍,也表明,當(dāng)半徑有微小減少時,必須使高明顯地增加,才能保持容積不變.因此,將一個罐頭外殼的半徑取得比標(biāo)準(zhǔn)的小一些,小得使人不易注意到,而增加高度使容積保持不變,可使人感到容積比原來標(biāo)準(zhǔn)的大了許多,這也是將啤酒罐做得又細(xì)又高的原因,當(dāng)然,將它做得又細(xì)又高也便于握持.案例3某零售商公司為提高產(chǎn)品銷量,通過報紙和電視臺做銷售產(chǎn)品廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入R(萬元)與報紙廣告費用
(萬元)和電視廣告費用
(萬元)的關(guān)系有如下的公式:
.如果零售商公司有足夠的廣告費用支出預(yù)算,求最優(yōu)廣告策略.解零售商公司的純銷售收入為令
得駐點
(萬元);
(萬元).又因為,
,
,
,所以,函數(shù)
在點
取得極大值,又因為是唯一極值點,故為最大值.因此,即最優(yōu)廣告策略為報紙廣告費用為0.75萬元,而電視廣告費用為1.25萬元.第七章多元函數(shù)微積分
第二節(jié)多重積分情景與問題引例1曲頂柱體的體積.設(shè)有一曲頂柱體,它的底面
是平面上的有界閉區(qū)域
,側(cè)面是以
的邊界曲線為準(zhǔn)線,母線平行
于軸的柱面,它的頂是由二元非負(fù)連續(xù)函數(shù)
所表示的曲面(圖7-14),求其體積.分析采用類似于求曲邊梯形面積的方法,通過分割、局部近似、累加求和、取極限來研究曲頂柱體的體積.圖7-14分析采用類似于求曲邊梯形面積的方法,通過分割、局部近似、累加求和、取極限來研究曲頂柱體的體積.(1)分割:將區(qū)域
任意分割成個
小區(qū)域(子域):
,并用
表示第
個子域的面積.然后對每個子域,作以它的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于
軸的柱面,這些柱面把原來的曲頂柱體分成
個小曲頂柱體.(2)近似:在將小曲頂柱體近似地看成平頂柱體,用子域
內(nèi)的任意一點
對應(yīng)的函數(shù)值
為它的高,則小曲頂柱體的體積:(3)求和:將這
個小平頂柱體的體積
相加,得到原曲頂柱體體積的近似值,即(4)極限:將區(qū)域
無限細(xì)分,每個子域趨向于縮成一點,這個近似值就趨向于原曲頂柱休的體積,即其中
是這
個子域的最大直徑(有界閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域中任意兩點間距離的最大值).引例2平面薄片的質(zhì)量.設(shè)有一平面薄板,在
平面上占有區(qū)域
,其質(zhì)量分布的面密度(單位面積上的質(zhì)量)函數(shù)是
上的連續(xù)函數(shù),,試求薄板的質(zhì)量
.分析仍然采用微元法的思想.圖7-15(1)分割:將區(qū)域
任意分割成
個小塊(圖7-15):
,并用
表示第
個小塊的面積.(2)近似:當(dāng)
直徑很小時,可以認(rèn)為在
上的質(zhì)量分布是均勻的,用
內(nèi)的任意一點
處的密度
為它的面密度,則第
個小塊的質(zhì)量為:(3)求和:薄板的質(zhì)量可以表示為(4)極限:用
表示這
個小塊的最大直徑,當(dāng)
時,上邊和式的極限就是薄片的質(zhì)量,即抽象推理7.2.1二重積分的概念與性質(zhì)上面兩個例子雖然來自不同的領(lǐng)域,但解決問題的辦法卻是一樣的,都?xì)w結(jié)為二元函數(shù)在平面區(qū)域上和式的極限.而這種案例在物理、力學(xué)、幾何及工程技術(shù)中有許多,抽去它們的具體意義,我們就得到二重積分的定義.定義7.7設(shè)函數(shù)
是定義在有界閉區(qū)域
上的有界函數(shù),將閉區(qū)域
任意分割成
個子域
,其面積也用
表示.在每個子域
上任取一點
,作和
.如果當(dāng)各個子域的直徑的最大值
趨于零時,上邊和式的極限存在,且此極限與區(qū)域
的分割方法以及點
的取法無關(guān),則稱此極限為函
數(shù)
在閉區(qū)域
上的二重積分,記作
或
,即
此時稱
在
上可積,其中
稱為二重積分號,
稱為被積函數(shù),
稱為積分表達(dá)式,
稱為面積微元,
為積分區(qū)域,
為積分變量.當(dāng)
時,二重積分
的幾何意義就是圖7-14所示的曲頂柱體的體積;當(dāng)
時,柱體在
平面的下方,二重積分表示該柱體體積的相反值,所以
的值是
平面上下方柱體體積的代數(shù)和.由于二重積分和定積分本質(zhì)都是和式的極限,所以它們有著相似的性質(zhì),下面給出二重積分的基本性質(zhì)(以下所遇到的函數(shù)假設(shè)均可積).性質(zhì)1被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分號前面,即性質(zhì)2函數(shù)和或差的二重積分等于各個函數(shù)二重積分的和或差,即性質(zhì)3如果積分區(qū)域
被分成兩個子區(qū)域
,則在
上的二重積分等于各個子區(qū)域
上二重積分的和,即性質(zhì)4如果在區(qū)域
上,
,且
的面積為
,則性質(zhì)5如果在區(qū)域
上,
,則有
.性質(zhì)6假設(shè)
在閉區(qū)域
上的最大值和最小值分別為
和
,
的面積為
,則
性質(zhì)7(二重積分中值定理)假設(shè)
在閉區(qū)域
上連續(xù),
的面積為
,則在
上至少存在一點,使得
.例1試估計二重積分
的值.
解被積函數(shù)
在
處取得最小值
,在
處取得最大值
,積分區(qū)域的面積
.根據(jù)性質(zhì)6,7.2.2二重積分的計算用二重積分的定義(即和式的極限)來計算二重積分比較困難,我們通常用計算兩次定積分的辦法來解決.由二重積分定義知當(dāng)
在閉區(qū)域
上可積時,其積分值與區(qū)域的分割方式無關(guān),因此可以采取特殊的分割方法來簡化計算.1.在直角坐標(biāo)下計算二重積分在直角坐標(biāo)系中,用分別平行于
軸和
軸的直線將區(qū)域
分成許多小矩形,這時面積元素
,二重積分也可記為.圖7-16(2)若區(qū)域
可用不等式組表示為
,其中
在
上連續(xù),則稱
為
型區(qū)域(圖7-17).在討論二重積分之前,先介紹下面兩種類型的區(qū)域.(1)若區(qū)域
可用不等式組表示為
,其中
在
上連續(xù),則稱
為
型區(qū)域(圖7-16).圖7-17由二重積分幾何意義知,
的值等于一個以
為底,以曲面
為頂?shù)那斨w的體積,我們用微元法解決二重積分的計算.下面以
型區(qū)域為例進行講解.圖7-18選
為積分變量,
,任取子區(qū)間
.設(shè)
表示過點
且垂直
軸的平面與曲頂柱體相交的截面的面積(圖7-18),則曲頂柱體體積
的微元為于是曲頂柱體體積為 由圖可見該截面是一個以區(qū)間
為底邊,以曲線
(此時
是固定的)為曲邊的曲邊梯形,其面積可表示為 .
將
代入上邊曲頂柱體的體積,就得到二重積分在上邊的積分過程中,第一次積分時,把
視為常量,對變量
進行積分,它的積分限一般是關(guān)于
的函數(shù);第二次是對變量
積分,它的積分限是常量.這種先對一個變量積分,再對另一個變量積分的方法,稱為累次積分(二次積分)法,上邊先積
后積
的積分通常也可以寫成拾趣:大家有沒有注意到,上述求二重積分的過程,就如同求一個面包的體積呢?如果把面包坐落在
坐標(biāo)面上,將上表面視為函數(shù)
,則一小片面包的切面面積就是
,其體積就是我們的體積微元
,將所有面包片的體積加起來(積分)就是整個面包的體積了(如圖7-19所示).數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系如此緊密,讓我們在生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),并用數(shù)學(xué)的眼光和思維,讓生活變得更美好吧!圖7-19對于
型區(qū)域,先積
后積
,我們可以類似得到例2將二重積分
化為兩種不同次序的累次積分.其中
是由
所圍成的矩形區(qū)域.解先畫出積分區(qū)域
(圖7-20).如果先積
后積
,有如果先積
后積
,有圖7-20 例3將二重積分
化為兩種不同次序的累次積分.其中
是由
和
軸所圍成的區(qū)域.解先畫出積分區(qū)域
(圖7-21).求出邊界曲線交點
、
和
.
如果先積
后積
,可以將區(qū)域
投影到
軸上得區(qū)間
,0和2就是對
積分的下限和上限,在
上任取一點
,過
作與
軸平行的直線,發(fā)現(xiàn)
在不同的區(qū)間
,
上時,區(qū)域
的邊界曲線是不同的,因此要將
分成兩個區(qū)域
和
(圖7-21),分別在兩個小區(qū)域上進行累次積分,并由積分域的可加性,得圖7-21 如果先積
后積
,可以將
區(qū)域投影到
軸上得區(qū)間
,0和1就是對
積分的下限和上限,在
上任取一點
,過
作與
軸平行的直線,與
的邊界交兩點
和
,它們就是對
積分的下限和上限(圖7-22),所以有累次積分的計算關(guān)鍵是根據(jù)所給積分域,定出兩次定積分的上下限,可以根據(jù)以上例題的方法進行直觀的確定.圖7-22例4計算二重積分
,其中區(qū)域
為由
圍成的區(qū)域.解先畫出積分區(qū)域
的圖形(如圖7-23),這是一個
型區(qū)域,則思考:如果化為先
后
的二次積分,又應(yīng)該怎么計算(提示:
).圖7-23例5計算二重積分
,其中區(qū)域
為由
圍成的區(qū)域.解先畫出
區(qū)域的圖形(如圖7-24),這是一個
型區(qū)域.則此題若先積
后積
,則需分塊考慮,計算較麻煩,讀者不妨嘗試一下.圖7-24例6計算
,其中
由直線
與
軸所圍成.解求出邊界區(qū)域交點
、
和
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