高等數(shù)學(xué)(工科類)課件 第七章 多元函數(shù)微積分_第1頁
高等數(shù)學(xué)(工科類)課件 第七章 多元函數(shù)微積分_第2頁
高等數(shù)學(xué)(工科類)課件 第七章 多元函數(shù)微積分_第3頁
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文檔簡介

新時代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)(工科類)知識目標(biāo)了解多元函數(shù)的概念,理解二元函數(shù)極限及連續(xù)的概念,掌握二元函數(shù)極限的求法.理解偏導(dǎo)數(shù)的概念,掌握偏導(dǎo)數(shù)(一階及高階)的計算,會求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).理解全微分的概念,掌握全微分的計算方法.理解曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線等概念,并掌握它們的方程的求解方法.理解多元函數(shù)極值的概念,會求二元函數(shù)的極值.理解二重積分的概念及二重積分的性質(zhì),掌握二重積分的簡單計算.第七章多元函數(shù)微積分

第一節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)情景與問題

引例1身體質(zhì)量指數(shù)BMI是國際上衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個常用指標(biāo),它的計算與體重

(單位:千克)和身高

(單位:米)相關(guān):BMI=

,BMI由19世紀(jì)中期比利時的通才凱特勒最先提出.BMI正常值在20至25之間,低于18.5為體重不足,超過25為超重,30以上則屬肥胖.引例2由物理學(xué)知識,運動物體的動能

與物體的質(zhì)量

和運動的速度

兩個量之間滿足以下的關(guān)系:.引例3在周長為

的所有三角形中,求出面積最大的三角形.分析設(shè)三角形的三邊長分別為

則面積為

于是,所討論問題便轉(zhuǎn)化為:在

條件下求函數(shù)的最大值問題.

上述各例所討論的函數(shù)都涉及到了多個自變量,去掉它們的具體實際意義,只保留數(shù)量關(guān)系,便可抽象出多元函數(shù)的概念.抽

理7.1.1二元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1.二元函數(shù)的概念

定義7.1設(shè)有三個變量

,如果當(dāng)變量

在它們的變化范圍

中任意取一對值

時,按照給定的對應(yīng)關(guān)系

,變量

都有唯一確定的數(shù)值與它們對應(yīng),則稱

是關(guān)于

的二元函數(shù),記為

其中

稱為自變量,

稱為因變量.

稱為函數(shù)的定義域,所有函數(shù)值的集合

稱為函數(shù)的值域.

類似地可以定義三元函數(shù)

以及

元函數(shù)

.多于一個自變量的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).引例1、2得到的BMI=,是二元函數(shù),引例3是三元函數(shù).同一元函數(shù)一樣,定義域和對應(yīng)關(guān)系是二元函數(shù)定義的兩要素.對于以解析式表示的二元函數(shù)

其定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

一般來說一元函數(shù)的定義域往往是一個或者幾個區(qū)間,而二元函數(shù)的定義域通常是平面上的某個區(qū)域.二元函數(shù)定義域的區(qū)域可能是全部

坐標(biāo)面,可能是一條直線,也可能是由曲線所圍成的部分平面等等.圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界,包含全部邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域;不包括邊界上任何點的區(qū)域稱為開區(qū)域.能被包含在以原點為圓心的某一圓內(nèi)的區(qū)域稱為有界區(qū)域,否則稱為無界區(qū)域.例1求下列函數(shù)的定義域

,并畫出的

圖形

.(1);解當(dāng)根式內(nèi)的表達(dá)式非負(fù)時函數(shù)才有意義,所以定義域為

表示在平面上以原點為圓心,以3為半徑的圓以及圓的內(nèi)部全部點構(gòu)成的閉區(qū)域(圖7-1).圖7-1所以函數(shù)的定義域是

以為

邊界的矩形閉區(qū)域(圖7-2).圖7-2

解因為要使

有意義,應(yīng)有即(2).例2求用形如

的不等式組來表示平面閉區(qū)域

,

所圍成.解先作出區(qū)域

的圖形(圖7-3),再將

投影到

軸上,得到區(qū)間

,則區(qū)域

內(nèi)任一點的橫坐標(biāo)滿足不等式

.在

內(nèi)任取一點

,作平行于

軸的直線,則由對于所給的

,

內(nèi)對應(yīng)點的縱坐標(biāo)

滿足:,因此區(qū)域

可以用不等式組表示為圖7-3另一方面,若將

投影到

軸上,則在

軸上得到區(qū)間

.在區(qū)間

內(nèi)任取一點

,作平行于

軸的直線,則由圖可知,對于所給的

內(nèi)對應(yīng)點的橫坐標(biāo)

滿足:

,因此區(qū)域

可以用不等式組表示為圖7-3

一元函數(shù)一般表示平面上的一條曲線,二元函數(shù)

在幾何上通常表示空間曲面(圖7-4).設(shè)點

是二元函數(shù)的定義域

內(nèi)的任一點,則相應(yīng)的函數(shù)值是

,于是,有序數(shù)組

確定了空間一點

.當(dāng)點

內(nèi)變動時,對應(yīng)的點

就在空間變動,一般形成一張曲面,即為二元函數(shù)

的圖像,其定義域

就是空間曲面在

面的投影.圖7-42.二元函數(shù)的極限與連續(xù)定義7.2設(shè)函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義(點

可以除外),如果當(dāng)點

以任意方式無限趨向于點

時,對應(yīng)的函數(shù)值

趨向于一個確定的常數(shù)

,則稱

為函數(shù)

當(dāng)

時的極限.記為或.注意:與一元函數(shù)的極限不同的是二元函數(shù)極限要求點

以任意方式趨向于點

時,函數(shù)值

都趨向于同一個確定的常數(shù)

.因此,如果當(dāng)

沿著兩條不同的路徑趨向于

時,函數(shù)

趨向于不同的值,那么可以斷定函數(shù)極限一定不存在.例3求極限:(1)(2)解(1)令

,則,(2).本例表明,二元函數(shù)的極限問題有時可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題.例4討論函數(shù)

當(dāng)

時的極限.解當(dāng)點

沿

趨向于點

時.顯然當(dāng)

取不同的值時,

也不同,所以函數(shù)的極限不存在.

啟迪:一元函數(shù)與二元函數(shù)的極限研究方法具有很大的不同.在研究一元函數(shù)時,自變量在鄰域內(nèi)(區(qū)間)趨于某點的方式只有左右兩種,分別對應(yīng)左極限和右極限,但對于二元函數(shù)來說,自變量的鄰域是在二維平面內(nèi)的區(qū)域,它趨于某點的方式是任意的,有無窮多種,我們就需要從整體的角度,去觀察函數(shù)值的變化情況.推展開來,我們在實際生活中也不能用孤立、片面的觀點來看問題,要通過持續(xù)學(xué)習(xí)來獲得足夠的判斷力,從而能整體、全面地去觀察、了解和認(rèn)識事物.下面給出二元函數(shù)連續(xù)性的定義.定義7.3設(shè)函數(shù)

在點

的某個鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)點

趨向于點

時,函數(shù)

的極限存在,且等于它在點

處的函數(shù)值,即則稱函數(shù)

在點

處連續(xù).在上邊的定義中,若令

,則得到連續(xù)的另一個等價定義:定義7.3’

設(shè)函數(shù)

在點

的某個鄰域內(nèi)有定義,若當(dāng)自變量

的增量

趨向于零時,對應(yīng)函數(shù)的全增量

也趨于零,即,

則稱函數(shù)

在點

處連續(xù).同一元函數(shù)一樣,二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)及復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù);同時也有結(jié)論“多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)”.與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似,在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)也有以下結(jié)論.定理7.1

最值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取得到最大值和最小值.定理7.2

介值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)可取得介于它的最大值和最小值之間的任何值至少一次.

以上關(guān)于二元函數(shù)極限與連續(xù)的討論可以推廣到三元及以上的函數(shù).7.1.2偏導(dǎo)數(shù)1.一階偏導(dǎo)數(shù)

在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們曾經(jīng)研究過函數(shù)

的導(dǎo)數(shù),即函數(shù)

對于自變量

的變化率

.對于多元函數(shù),我們也常常遇到研究它對某個自變量的變化率問題,這就產(chǎn)生了偏導(dǎo)數(shù)的概念.定義7.4設(shè)函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義.若存在,則稱此極限值為函數(shù)

在點

處對

的偏導(dǎo)數(shù),記為或或;即同理,可定義

在點

處對

的偏導(dǎo)數(shù):如果函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)每一點

處對

的偏導(dǎo)數(shù)都存在,這個偏導(dǎo)數(shù)仍是

的函數(shù),稱為函數(shù)

對自變量

的偏導(dǎo)函數(shù),簡稱偏導(dǎo)數(shù),記為或.類似地,可定義函數(shù)

對自變量

的偏導(dǎo)數(shù),記為

或偏導(dǎo)數(shù)

也稱為一階偏導(dǎo)數(shù).上述二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義可以推廣到多元函數(shù).如

元函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)被定義為:方法:從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出,求二元函數(shù)對某一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時,實際上只需將另一個自變量看成常數(shù),再按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可.例5求函數(shù)

在點

處的兩個偏導(dǎo)數(shù).解因為

所以例6求函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù).解按偏導(dǎo)數(shù)定義有例7求

的偏導(dǎo)數(shù).解把

看成是常數(shù),對

求導(dǎo),得.觀察到此函數(shù)自變量具有對稱性,因此有

,

.例8已知理想氣體的狀態(tài)方程

(

常數(shù)),求證

.證明因為

;

,

;

,

,所以.注意:這個例子說明,偏導(dǎo)數(shù)

,

的記號是一個整體,不能看成

或者

之商.例9求二元函數(shù)

在點

處的兩個偏導(dǎo)數(shù).解,類似地可求得.在例4中,我們已指出

在點

處極限不存在,所以不連續(xù),然而本例表明該函數(shù)在

處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在.另外也可證明函數(shù)

在點

處是連續(xù)的,但在該點的偏導(dǎo)數(shù)卻不存在.所以,二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在這兩個條件之間沒有必然關(guān)系.2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)

在點

處導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點處切線的斜率,而二元函數(shù)

在點

處的偏導(dǎo)數(shù),實際上就是一元函數(shù)

分別在點

處的導(dǎo)數(shù).因此二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義也是曲線切線的斜率.

是曲線

在點

處切線的斜率(圖7-5),即

;

是曲線在點

處切線的斜率,即.2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖7-53.高階偏導(dǎo)數(shù)

函數(shù)

的兩個偏導(dǎo)數(shù)

、

一般仍然是

的函數(shù),可以對其繼續(xù)求偏導(dǎo)數(shù)(如果存在的話),且稱它們?yōu)楹瘮?shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同,二元函數(shù)有下列四種二階偏導(dǎo)數(shù):純偏導(dǎo)數(shù):

,

;混合偏導(dǎo)數(shù):

.類似地,可以定義多元函數(shù)的三階、四階、…、

階偏導(dǎo)數(shù),二階及以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例10求

的所有二階偏導(dǎo)數(shù).解因為

,所以

,

,

.注意:上例中的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等,這并非偶然,在此不加證明地給出二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等的充分條件.定理7.3如果函數(shù)

在區(qū)域上的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)

,

連續(xù),那么在區(qū)域

上必有.例11求函數(shù)

的所有二階偏導(dǎo)數(shù).解函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)為:

,,因此,

,

, .例12設(shè)

,求

.解,

7.1.3全微分1.全微分的概念

在一元函數(shù)

中,若

,那么函數(shù)的微分

是函數(shù)的增量

的線性主部,可用

近似代替

,其誤差是的高階無窮?。畬τ诙瘮?shù)來說,計算全增量

比較復(fù)雜.類似于一元函數(shù),我們用自變量

的線性函數(shù)來近似地代替函數(shù)的全增量,從而引入如下定義.定義7.5設(shè)函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義,且函數(shù)在該點處的全增量

可表示為其中

,

無關(guān),

的高階無窮小,即

,則稱

為函數(shù)

在點

的全微分,記作

,即這時也稱函數(shù)

在點

處可微.

當(dāng)函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)各點處都可微時,那么稱函數(shù)

內(nèi)可微.像一元函數(shù)一樣,規(guī)定

,則全微分也可寫為定理7.4(可微的必要條件)如果函數(shù)

在點

可微,則(1)

在點

處連續(xù);(2)

在點

處偏導(dǎo)存在,且

,即

在點

的全微分為證明由函數(shù)

在點

可微,可得

,其中

.(1)因為

,所以

.即

在點處連續(xù).(2)對于偏增量來說,

,此時的

,對偏增量除以求極限得同理可證

.定理7.5(可微的充分條件)如果函數(shù)

在點

的某一領(lǐng)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)

連續(xù),則函數(shù)在該點處可微.

證明從略.

以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件,可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù).例13求函數(shù)

的全微分.解因為

,

,所以例14求函數(shù)

在點

處的全微分.解因為

,

處連續(xù),所以函數(shù)點

處可微,且2.近似計算

多元函數(shù)的全微分也可以用于近似計算.對于可微的二元函數(shù)

,因為

是一個比

高階的無窮小量,所以有近似公式上式也可以寫成例15計算

的近似值.解設(shè)函數(shù)

,顯然要計算的值就是.取

,由于

,又

,

,有

.所以例16一個圓錐的底面半徑和高度分別為

,這兩個量的可能誤差為

,用微分的方法估計該圓錐體積的最大誤差.解設(shè)圓錐的底面半徑為

,高為

,根據(jù)圓錐的體積公式有

,得體積的全微分為取

,得即圓錐體積的最大誤差為

.3.全微分的幾何意義

類似一元微分的幾何意義,可以得到二元函數(shù)全微分(圖7-6)的幾何意義為:函數(shù)在點

處切平面上的點與曲面

上點

軸坐標(biāo)之差.圖7-6想一想:古時候的人們?yōu)槭裁凑J(rèn)為地球是方的?

函數(shù)微分是在“以直代曲,以線性代非線性”的思想下做的一種近似,根據(jù)全微分的定義有

,也就是說微分是實現(xiàn)增量線性化的一種數(shù)學(xué)模型.對于三維空間中的曲面來說,微分的的實質(zhì)就是:局部區(qū)域像張平面.當(dāng)可微函數(shù)的自變量改變很小時,函數(shù)增量可以近似看作一個二維線性函數(shù)——平面.如果視地球表面為一個二元函數(shù),那么在人的肉眼范圍內(nèi),也就是當(dāng)自變量增量很小的時候(相對于地球半徑),所看到的地球表面(就是函數(shù)的增量)幾乎就是平的.在科技欠發(fā)達(dá)的時候,人類的視野十分有限,自然會認(rèn)為地球是方的.4.復(fù)合函數(shù)的微分法下面不加證明地給出多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.定理7.6若

是關(guān)于

的可微函數(shù),

是關(guān)于

的可微函數(shù),則

是關(guān)于

的可微函數(shù),并且.由變量關(guān)系圖7-7看到,從函數(shù)

到自變量

有兩條路徑:

,沿第一條路徑有

,沿第二條路徑有

,兩項相加就得到公式.我們形象地把復(fù)合函數(shù)的微分法稱為鏈?zhǔn)椒▌t.鏈?zhǔn)椒▌t可以根據(jù)具體情形推廣使用.圖7-7推論7.1若

,

都是可微函數(shù),則定理7.7若

是關(guān)于

的可微函數(shù),

是關(guān)于

的可微函數(shù)(圖7-8),則

有對

的偏導(dǎo)數(shù),并且,例17設(shè)

,求

.解由定理7.6得圖7-8例18設(shè)

,求

.解由定理7.7得例19設(shè)

,求

.解設(shè)

,則

,于是有該函數(shù)的變量關(guān)系實際如圖7-9.圖7-9注意:一般地,我們用

表示函數(shù)

對第個

中間變量的偏導(dǎo)數(shù),如上題中將

記為

,將

記為

.啟迪:在多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t中,我們感受到了思維的魔力,整個過程結(jié)構(gòu)清晰,層層遞進,在解題中體會到了數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.“書山有路勤為徑,學(xué)海無涯苦作舟”,讓我們暢游在知識的海洋中感受數(shù)學(xué)的魅力吧.7.1.4偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.空間曲線的切線和法平面設(shè)空間曲線

(圖7-10)的參數(shù)方程為曲線上對應(yīng)于

的點分別為

假定

均可導(dǎo),且

不全為零.則割線

的方程為圖7-10圖7-10當(dāng)

沿著曲線

趨于

時,割線的極限位置

即是

處的切線.上式分母同時除以

當(dāng)

(即

)時,對上式取極限,即得曲線在點

的切線方程向量

是切線

的方向向量,稱為切線向量.切線向量的方向余弦即為切線的方向余弦.通過點

與切線垂直的平面稱為曲線在

點的法平面,它是以切線向量

為法向量的平面.因此法平面方程為例20求螺旋線

對應(yīng)點的切線及法平面方程.解易得

對應(yīng)的點為

.因為

,所以切線向量

.因此,曲線在點

處的切線方程為在點

處的法平面方程為:即例21求曲線

上點

處的切線和法平面方程.解把

看作參數(shù),此時曲線方程為

且所以,曲線在點

處的切線方程為:

;法平面方程為:

,即.2.曲面的切平面與法線設(shè)曲線

是曲面

上過點的任意一條曲線(如圖7-11),

的方程為

,與點

相對應(yīng)的參數(shù)為

,假定函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零,則曲線

處的切線向量為.

圖7-11因

上,故有

.此恒等式左端為復(fù)合函數(shù),在

時的導(dǎo)數(shù)為記

,上式則說明

,即

互相垂直.由于曲線

是曲面上過

的任意一條曲線,所以在曲面

上所有過

點的曲線的切線都與同一向量

垂直,故這些切線位于同一個平面上.這個平面稱為曲面在

處的切平面.向量

是切平面的法向量,稱為曲面在

處的法向量.切平面方程為過點

且與切平面垂直的直線稱為曲面

在點

處的法線,其方程為

若曲面方程

由給出,則可令

.于是,此時,曲面在

處的切平面方程為法線方程為例22求橢球面

在點

處的切平面和法線方程.解

設(shè)

,則故在點

處橢球面的切平面方程為即

.法線方程為.例23求旋轉(zhuǎn)拋物面

在點

處的切平面方程和法線方程.解由

.則切平面方程為

,即

.法線方程為.3.二元函數(shù)的極值在實際問題中,會遇到求多元函數(shù)最大值或最小值的問題,這里我們只討論二元函數(shù)的情形,三元以上函數(shù)的情形可類似討論.與一元函數(shù)相類似,二元函數(shù)的最大值、最小值常與極大值、極小值相聯(lián)系,因此下面先討論極值問題.定義7.6設(shè)函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義,如果對于該鄰域內(nèi)異于

的任意一點

,都有或,則稱函數(shù)在

處有極大值(或極小值).稱點

為函數(shù)的極大值點(或極小值點).極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點.定理7.8(極值點的必要條件)設(shè)函數(shù)

在點

的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在,且點

為極值點,則證明因為點

是函數(shù)

的極值點,所以當(dāng)

固定為

時,

為一元函數(shù)

的極值點.由一元函數(shù)極值點的必要條件,有

,幾何上表現(xiàn)為:對應(yīng)于

的曲面

上的點

有平行于

軸的切線.同理可證

.滿足方程組

的點

稱為函數(shù)

的駐點.與一元函數(shù)一樣,駐點不一定是極值點.那么,如何判斷一個駐點是否是極值點呢?下面不加證明地給出極值點的判定定理.定理7.9(極值存在的充分條件)設(shè)函數(shù)

在點

的某個領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且

是駐點.令

,

,

,

,則(1)當(dāng)

時,點

是函數(shù)

的極值點,且當(dāng)

時,點

是極大值點;當(dāng)

時,點

是極小值點.(2)當(dāng)

時,點

不是極值點.(3)當(dāng)

時,點

可能是極值點,也可能不是極值點.例24求函數(shù)

的極值.解(1)求偏導(dǎo)數(shù),解方程組得駐點:

、

、

.(2)求出二階偏導(dǎo)數(shù) (3)列表判斷極值點討論如下:駐點結(jié)論1206-72極小值120-672無極值-120672無極值-120-6-72極大值與一元函數(shù)類似,二元可微函數(shù)的極值點一定是駐點,但對不可微函數(shù)來說卻不一定.例如:點

是函數(shù)

的極小值點,但它并不是駐點,因為函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)并不存在.4.二元函數(shù)的最值

我們已經(jīng)知道,有界閉區(qū)域

上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.如果使函數(shù)取得最值的點在區(qū)域

的內(nèi)部,則對可微函數(shù)來講,這個點必然是函數(shù)的駐點,然而,函數(shù)的最值也可能在該區(qū)域的邊界上取得.因此,求有界閉區(qū)域

上可微的二元函數(shù)的最值時,求出函數(shù)在

內(nèi)的駐點及在

的邊界上的最值,比較這些值,其中最大(小)者,就是該函數(shù)在區(qū)域上

的最大(?。┲担▽τ诓豢晌⒑瘮?shù),還應(yīng)求出連續(xù)而不可微點處的函數(shù)值加以比較.)求二元函數(shù)在區(qū)域上的最值往往比較復(fù)雜,但在實際問題中,若由分析可知二元函數(shù)的最值一定存在時,如果目標(biāo)函數(shù)的駐點唯一,且無其他可疑極值點,那么這個駐點即是極值點.例25在

坐標(biāo)面上找出點

,使它到三點

距離的平方和為最?。庠O(shè)

到三點距離的平方和為

,有對

求偏導(dǎo)數(shù),解方程組

得駐點

.由問題的實際意義,到三點距離平方和最小的點一定存在,函數(shù)

可微且只有一個駐點,因此

即為所求之點.例26某工廠要用鐵板做一個體積為

的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?解設(shè)水箱的長、寬分別為x、y,則高為

,水箱所用材料的面積為令

得駐點

根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)必存在,可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為

,高為

時,水箱所用材料最?。畱?yīng)用與實踐案例1邊緣檢測是圖像處理和計算機視覺中的基本問題,檢測的目的是標(biāo)識數(shù)字圖像中亮度變化明顯的點,是特征提取中的一個重要研究領(lǐng)域,它能大幅度地減少數(shù)據(jù)量,并且剔除可能不相關(guān)的信息,保留圖像重要的結(jié)構(gòu)屬性.幾種最常用的經(jīng)典圖像邊緣提取算子,都是基于微分的理論得以實現(xiàn)的.以圖7-12為例,簡要分析圖像邊緣檢測原理.圖7-12解在圖像處理中認(rèn)為,灰度值變化劇烈的地方就是邊緣.變化劇烈程度,其實就是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)定義為,但數(shù)字圖像是離散的二維函數(shù),

不能無限小,圖像是按照像素來離散的,因此最小的

就是1像素,于是圖像的微分就可以記為它們分別是圖像在點

方向和

方向上的梯度,即兩個相鄰像素之間的差值.設(shè)圖像在某區(qū)域的灰度值為

,則

方向上的微分相減的結(jié)果能反映圖像亮度的變化率:像素值保持不變的區(qū)域,相減的結(jié)果為0,即像素為黑;像素值變化劇烈的區(qū)域,相減的差越大,則得到的像素就越亮,圖像的豎直邊緣得到增強.但對于二維圖像來說,僅僅得到

或者

方向的邊緣是不夠的,更需要考慮的是邊緣到底是什么走向,所以要用到不同方向上的梯度,并由此衍生出一系列的算子,圖7-13展示了不同算子的邊緣檢測效果.歡迎有興趣的同學(xué)參閱專業(yè)書籍進行更深入學(xué)習(xí).圖7-13幾種經(jīng)典圖像邊緣提取算子效果圖案例2日常生活中罐裝食品很多,如飲料,調(diào)味品,熟食等,體積相同的罐頭可做成尺寸不同的形狀.設(shè)有一個半徑為

,高為

的圓柱形罐頭外殼,當(dāng)其半徑

或高

有微小改變量時,都會引起容積產(chǎn)生相應(yīng)的改變量.試比較容積

對半徑

和高

的微小變化的敏感度.解計算

的全微分,有于是容積的改變量這表明半徑

的變化要比高

的變化所造成的容積

的改變約敏感10倍,也表明,當(dāng)半徑有微小減少時,必須使高明顯地增加,才能保持容積不變.因此,將一個罐頭外殼的半徑取得比標(biāo)準(zhǔn)的小一些,小得使人不易注意到,而增加高度使容積保持不變,可使人感到容積比原來標(biāo)準(zhǔn)的大了許多,這也是將啤酒罐做得又細(xì)又高的原因,當(dāng)然,將它做得又細(xì)又高也便于握持.案例3某零售商公司為提高產(chǎn)品銷量,通過報紙和電視臺做銷售產(chǎn)品廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入R(萬元)與報紙廣告費用

(萬元)和電視廣告費用

(萬元)的關(guān)系有如下的公式:

.如果零售商公司有足夠的廣告費用支出預(yù)算,求最優(yōu)廣告策略.解零售商公司的純銷售收入為令

得駐點

(萬元);

(萬元).又因為,

,

,所以,函數(shù)

在點

取得極大值,又因為是唯一極值點,故為最大值.因此,即最優(yōu)廣告策略為報紙廣告費用為0.75萬元,而電視廣告費用為1.25萬元.第七章多元函數(shù)微積分

第二節(jié)多重積分情景與問題引例1曲頂柱體的體積.設(shè)有一曲頂柱體,它的底面

是平面上的有界閉區(qū)域

,側(cè)面是以

的邊界曲線為準(zhǔn)線,母線平行

于軸的柱面,它的頂是由二元非負(fù)連續(xù)函數(shù)

所表示的曲面(圖7-14),求其體積.分析采用類似于求曲邊梯形面積的方法,通過分割、局部近似、累加求和、取極限來研究曲頂柱體的體積.圖7-14分析采用類似于求曲邊梯形面積的方法,通過分割、局部近似、累加求和、取極限來研究曲頂柱體的體積.(1)分割:將區(qū)域

任意分割成個

小區(qū)域(子域):

,并用

表示第

個子域的面積.然后對每個子域,作以它的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于

軸的柱面,這些柱面把原來的曲頂柱體分成

個小曲頂柱體.(2)近似:在將小曲頂柱體近似地看成平頂柱體,用子域

內(nèi)的任意一點

對應(yīng)的函數(shù)值

為它的高,則小曲頂柱體的體積:(3)求和:將這

個小平頂柱體的體積

相加,得到原曲頂柱體體積的近似值,即(4)極限:將區(qū)域

無限細(xì)分,每個子域趨向于縮成一點,這個近似值就趨向于原曲頂柱休的體積,即其中

是這

個子域的最大直徑(有界閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域中任意兩點間距離的最大值).引例2平面薄片的質(zhì)量.設(shè)有一平面薄板,在

平面上占有區(qū)域

,其質(zhì)量分布的面密度(單位面積上的質(zhì)量)函數(shù)是

上的連續(xù)函數(shù),,試求薄板的質(zhì)量

.分析仍然采用微元法的思想.圖7-15(1)分割:將區(qū)域

任意分割成

個小塊(圖7-15):

,并用

表示第

個小塊的面積.(2)近似:當(dāng)

直徑很小時,可以認(rèn)為在

上的質(zhì)量分布是均勻的,用

內(nèi)的任意一點

處的密度

為它的面密度,則第

個小塊的質(zhì)量為:(3)求和:薄板的質(zhì)量可以表示為(4)極限:用

表示這

個小塊的最大直徑,當(dāng)

時,上邊和式的極限就是薄片的質(zhì)量,即抽象推理7.2.1二重積分的概念與性質(zhì)上面兩個例子雖然來自不同的領(lǐng)域,但解決問題的辦法卻是一樣的,都?xì)w結(jié)為二元函數(shù)在平面區(qū)域上和式的極限.而這種案例在物理、力學(xué)、幾何及工程技術(shù)中有許多,抽去它們的具體意義,我們就得到二重積分的定義.定義7.7設(shè)函數(shù)

是定義在有界閉區(qū)域

上的有界函數(shù),將閉區(qū)域

任意分割成

個子域

,其面積也用

表示.在每個子域

上任取一點

,作和

.如果當(dāng)各個子域的直徑的最大值

趨于零時,上邊和式的極限存在,且此極限與區(qū)域

的分割方法以及點

的取法無關(guān),則稱此極限為函

數(shù)

在閉區(qū)域

上的二重積分,記作

,即

此時稱

上可積,其中

稱為二重積分號,

稱為被積函數(shù),

稱為積分表達(dá)式,

稱為面積微元,

為積分區(qū)域,

為積分變量.當(dāng)

時,二重積分

的幾何意義就是圖7-14所示的曲頂柱體的體積;當(dāng)

時,柱體在

平面的下方,二重積分表示該柱體體積的相反值,所以

的值是

平面上下方柱體體積的代數(shù)和.由于二重積分和定積分本質(zhì)都是和式的極限,所以它們有著相似的性質(zhì),下面給出二重積分的基本性質(zhì)(以下所遇到的函數(shù)假設(shè)均可積).性質(zhì)1被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分號前面,即性質(zhì)2函數(shù)和或差的二重積分等于各個函數(shù)二重積分的和或差,即性質(zhì)3如果積分區(qū)域

被分成兩個子區(qū)域

,則在

上的二重積分等于各個子區(qū)域

上二重積分的和,即性質(zhì)4如果在區(qū)域

上,

,且

的面積為

,則性質(zhì)5如果在區(qū)域

上,

,則有

.性質(zhì)6假設(shè)

在閉區(qū)域

上的最大值和最小值分別為

,

的面積為

,則

性質(zhì)7(二重積分中值定理)假設(shè)

在閉區(qū)域

上連續(xù),

的面積為

,則在

上至少存在一點,使得

.例1試估計二重積分

的值.

解被積函數(shù)

處取得最小值

,在

處取得最大值

,積分區(qū)域的面積

.根據(jù)性質(zhì)6,7.2.2二重積分的計算用二重積分的定義(即和式的極限)來計算二重積分比較困難,我們通常用計算兩次定積分的辦法來解決.由二重積分定義知當(dāng)

在閉區(qū)域

上可積時,其積分值與區(qū)域的分割方式無關(guān),因此可以采取特殊的分割方法來簡化計算.1.在直角坐標(biāo)下計算二重積分在直角坐標(biāo)系中,用分別平行于

軸和

軸的直線將區(qū)域

分成許多小矩形,這時面積元素

,二重積分也可記為.圖7-16(2)若區(qū)域

可用不等式組表示為

,其中

上連續(xù),則稱

型區(qū)域(圖7-17).在討論二重積分之前,先介紹下面兩種類型的區(qū)域.(1)若區(qū)域

可用不等式組表示為

,其中

上連續(xù),則稱

型區(qū)域(圖7-16).圖7-17由二重積分幾何意義知,

的值等于一個以

為底,以曲面

為頂?shù)那斨w的體積,我們用微元法解決二重積分的計算.下面以

型區(qū)域為例進行講解.圖7-18選

為積分變量,

,任取子區(qū)間

.設(shè)

表示過點

且垂直

軸的平面與曲頂柱體相交的截面的面積(圖7-18),則曲頂柱體體積

的微元為于是曲頂柱體體積為 由圖可見該截面是一個以區(qū)間

為底邊,以曲線

(此時

是固定的)為曲邊的曲邊梯形,其面積可表示為 .

代入上邊曲頂柱體的體積,就得到二重積分在上邊的積分過程中,第一次積分時,把

視為常量,對變量

進行積分,它的積分限一般是關(guān)于

的函數(shù);第二次是對變量

積分,它的積分限是常量.這種先對一個變量積分,再對另一個變量積分的方法,稱為累次積分(二次積分)法,上邊先積

后積

的積分通常也可以寫成拾趣:大家有沒有注意到,上述求二重積分的過程,就如同求一個面包的體積呢?如果把面包坐落在

坐標(biāo)面上,將上表面視為函數(shù)

,則一小片面包的切面面積就是

,其體積就是我們的體積微元

,將所有面包片的體積加起來(積分)就是整個面包的體積了(如圖7-19所示).數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系如此緊密,讓我們在生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),并用數(shù)學(xué)的眼光和思維,讓生活變得更美好吧!圖7-19對于

型區(qū)域,先積

后積

,我們可以類似得到例2將二重積分

化為兩種不同次序的累次積分.其中

是由

所圍成的矩形區(qū)域.解先畫出積分區(qū)域

(圖7-20).如果先積

后積

,有如果先積

后積

,有圖7-20 例3將二重積分

化為兩種不同次序的累次積分.其中

是由

軸所圍成的區(qū)域.解先畫出積分區(qū)域

(圖7-21).求出邊界曲線交點

、

.

如果先積

后積

,可以將區(qū)域

投影到

軸上得區(qū)間

,0和2就是對

積分的下限和上限,在

上任取一點

,過

作與

軸平行的直線,發(fā)現(xiàn)

在不同的區(qū)間

上時,區(qū)域

的邊界曲線是不同的,因此要將

分成兩個區(qū)域

(圖7-21),分別在兩個小區(qū)域上進行累次積分,并由積分域的可加性,得圖7-21 如果先積

后積

,可以將

區(qū)域投影到

軸上得區(qū)間

,0和1就是對

積分的下限和上限,在

上任取一點

,過

作與

軸平行的直線,與

的邊界交兩點

,它們就是對

積分的下限和上限(圖7-22),所以有累次積分的計算關(guān)鍵是根據(jù)所給積分域,定出兩次定積分的上下限,可以根據(jù)以上例題的方法進行直觀的確定.圖7-22例4計算二重積分

,其中區(qū)域

為由

圍成的區(qū)域.解先畫出積分區(qū)域

的圖形(如圖7-23),這是一個

型區(qū)域,則思考:如果化為先

的二次積分,又應(yīng)該怎么計算(提示:

).圖7-23例5計算二重積分

,其中區(qū)域

為由

圍成的區(qū)域.解先畫出

區(qū)域的圖形(如圖7-24),這是一個

型區(qū)域.則此題若先積

后積

,則需分塊考慮,計算較麻煩,讀者不妨嘗試一下.圖7-24例6計算

,其中

由直線

軸所圍成.解求出邊界區(qū)域交點

、

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