高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 3.1導(dǎo)數(shù)的概念

第三章

導(dǎo)數(shù)與微分第三章導(dǎo)數(shù)與微分

在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中，當(dāng)研究運(yùn)動(dòng)的各種形式時(shí)，都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢程度，如物體運(yùn)動(dòng)的速度、線速度、化學(xué)反應(yīng)速度以及生物繁殖率等；而當(dāng)物體沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，還需要考慮速度的方向，即曲線的切線問題．所有這些在數(shù)量上都?xì)w結(jié)為函數(shù)的變化率，即導(dǎo)數(shù)．

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

第三節(jié)函數(shù)的微分

第四節(jié)MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（三）

導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家

Ferma在研究極值問題中提出.微積分學(xué)的創(chuàng)始人:英國(guó)數(shù)學(xué)家

Newton德國(guó)數(shù)學(xué)家

Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)

描述函數(shù)變化快慢微分

描述函數(shù)變化程度導(dǎo)數(shù)的概念速度切線導(dǎo)數(shù)的概念

本節(jié)由實(shí)例給出了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)的概念，由此歸納出了求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般法則，介紹了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并給出了可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系.兩個(gè)實(shí)例

兩個(gè)實(shí)例：

微分學(xué)的第一個(gè)最基本的概念——導(dǎo)數(shù)，來源于實(shí)際中兩個(gè)最典型的樸素概念：速度與切線.兩個(gè)實(shí)例

兩個(gè)實(shí)例

引例3.1：

變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)自原點(diǎn)開始作直線運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)方程，現(xiàn)在求質(zhì)點(diǎn)

在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

當(dāng)時(shí)間

在

有一增量

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)

在

這段時(shí)間內(nèi)走過的路程為圖3.1于是，比值兩個(gè)實(shí)例

引例3.1：

變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)自原點(diǎn)開始作直線運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)方程，現(xiàn)在求質(zhì)點(diǎn)

在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.圖3.1

當(dāng)時(shí)間

在

有一增量

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)

在

這段時(shí)間內(nèi)走過的路程為引例3.2：

平面曲線的切線斜率

設(shè)

為曲線

上的一點(diǎn)，當(dāng)自變量

在點(diǎn)

處取得增量

時(shí)，在曲線

相應(yīng)地得到另一點(diǎn)連接此兩點(diǎn)得割線

，設(shè)其與

軸的夾角為

，則割線的斜率為.兩個(gè)實(shí)例

兩個(gè)實(shí)例

圖3.1引例31：

變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)自原點(diǎn)開始作直線運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)方程，現(xiàn)在求質(zhì)點(diǎn)

在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

當(dāng)時(shí)間

在

有一增量

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)

在

這段時(shí)間內(nèi)走過的路程為于是，比值兩個(gè)實(shí)例

設(shè)

為曲線

上的一點(diǎn)，當(dāng)自變量

在點(diǎn)

處取得增量

時(shí)，在曲線

相應(yīng)地得到另一點(diǎn)連接此兩點(diǎn)得割線

，設(shè)其與

軸的夾角為

，則割線

的斜率為.兩個(gè)實(shí)例

引例3.2：

平面曲線的切線斜率思路分析思路分析（1）求函數(shù)增量

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)（2）求比值

x

x

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)（3）求極限1.函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)導(dǎo)數(shù)的定義

定義3.1：

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，導(dǎo)數(shù)的定義

定義3.1設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，即：記為：若極限存在，則稱此極限值為函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo).1.函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)如果極限不存在，則稱函數(shù)

在點(diǎn)

不可導(dǎo).若令

，則有

，當(dāng)

時(shí)

，可得等價(jià)表達(dá)式導(dǎo)數(shù)的定義左右導(dǎo)數(shù)

既然極限問題有左極限、右極限之分，而函數(shù)

在點(diǎn)

的導(dǎo)數(shù)是用一個(gè)極限式定義的，自然就有左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的問題.導(dǎo)數(shù)的概念定義3.2

若

和

分別記為函數(shù)

在點(diǎn)

處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，則可定義如下：導(dǎo)數(shù)的概念定理3.1根據(jù)左、右極限的性質(zhì)，有下面定理：

函數(shù)

在點(diǎn)

的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等的充要條件是函數(shù)

在點(diǎn)

可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)的概念若函數(shù)

在

內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)

在內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值是隨

的變化而變化的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記為

，

或顯然，函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)

等于

在點(diǎn)

處的函數(shù)值，即：

根據(jù)左、右極限的性質(zhì)，有下面定理：導(dǎo)數(shù)的概念引例3.3:【變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度】

我們知道，變速直線運(yùn)動(dòng)的速度

是距離

對(duì)時(shí)間

的導(dǎo)數(shù)，即

或

，而速度

也是時(shí)間

的函數(shù)，它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)則是物體在時(shí)刻

的瞬時(shí)加速度，即

這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

或

叫做

對(duì)

的二階導(dǎo)數(shù)，記作

或

.導(dǎo)數(shù)的概念定義3.3

如果函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，則稱

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)

在點(diǎn)

處的二階導(dǎo)數(shù)，記為

或.類似地，如果二階導(dǎo)數(shù)

的導(dǎo)數(shù)仍然存在，就將二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的三階導(dǎo)數(shù)，記為

或.一般地，如果

階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，就稱

階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)

的

階導(dǎo)數(shù)，記為或高階導(dǎo)數(shù)

（2）算比值：（3）取極限：求

的導(dǎo)數(shù)．例3.1（1）求增量：

解：習(xí)題講解即：類似地，有（2）算比值：（3）取極限：設(shè)

求例3.2（1）求增量：

解：習(xí)題講解由

知

求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，一般是先求導(dǎo)函數(shù)，然后求導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，所以，

即可.

一般地，對(duì)于冪函數(shù)

（

為任意實(shí)數(shù)），有：

求已知函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

的運(yùn)算，稱為求導(dǎo)運(yùn)算.由導(dǎo)數(shù)定義，只要計(jì)算極限導(dǎo)數(shù)的概念（1）

（

為常數(shù)）;（2）

（

為任意實(shí)數(shù)）；（3）

（4）（5）

（6）（7）

（8）基本導(dǎo)數(shù)公式（9）

（10）

（11）

（12）（13）

（14）（15）

（16）基本導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的定義例3.3解:先求一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)

的二階導(dǎo)數(shù).再求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)思考與練習(xí)設(shè)

求

.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例3.2可知，函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)

的幾何意義是曲線

在點(diǎn)

處切線的斜率，即若

存在不為零，曲線

在點(diǎn)

處的切線方程為

法線方程為若

則曲線

在點(diǎn)

處的切線平行于

軸，切線方程為

法線方程為若

則曲線

在點(diǎn)

處的切線垂直于

軸，切線方程為

法線方程為導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例3.4求拋物線

在點(diǎn)

處的切線方程和法線方程.

解：因?yàn)?/p>

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線

在點(diǎn)處的切線斜率為

因此，所求的切線方程為即

法線方程為

即習(xí)題講解例3.5問：曲線

上在哪一點(diǎn)的切線平行于直線

解:因?yàn)?/p>

且所求切線與直線

平行，得

即

解得

即曲線

在

處的切線平行于直線習(xí)題講解求曲線

在點(diǎn)

處的切線方程和法線方程.思考與討論定理3.2可導(dǎo)與連續(xù)

如果函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，則它在點(diǎn)

處一定連續(xù).證：由

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，即

而

所以故函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù).

注：（1）函數(shù)

在

處連續(xù)，但在點(diǎn)

處不一定可導(dǎo);（2）若

在

處不連續(xù)，則一定在點(diǎn)

處不可導(dǎo).即

所以

在

處不可導(dǎo).討論函數(shù)

在

處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.例3.6解：函數(shù)

在

的左、右導(dǎo)數(shù)分別為可導(dǎo)與連續(xù)

討論函數(shù)

在

處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.例3.

7解：（1）連續(xù)性：因?yàn)?/p>

由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義知，

在

處連續(xù).（2）可導(dǎo)性：因?yàn)?/p>

極限不存在，所以

在

處不可導(dǎo).可導(dǎo)與連續(xù)

思考與討論討論：

函數(shù)

在

和

處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.升學(xué)直通車

1.