高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 第三節(jié) 初等函數(shù)概述

第一章函數(shù)第一章函數(shù)

函數(shù)是數(shù)學(xué)的基本概念，也是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象。本章將介紹函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)與初等函數(shù)的基本知識(shí)，為極限與連續(xù)的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。

第一節(jié)函數(shù)的概念

第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

第三節(jié)初等函數(shù)的概述

第四節(jié)MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（一）

第三節(jié)初等函數(shù)的概述引例1.3【生活中的函數(shù)】

函數(shù)在數(shù)學(xué)這個(gè)大家庭中是一個(gè)必不可少的成員，而且在生活中也同樣隨處可見(jiàn)。例如，細(xì)胞的分裂數(shù)量隨時(shí)間的變化可以用指數(shù)函數(shù)表示；利潤(rùn)隨銷售時(shí)間的變化、自由落體時(shí)速度隨時(shí)間的變化等，?？紤]用冪函數(shù)解決。又如，建筑施工時(shí)某物體高度的測(cè)量，確定航海行程問(wèn)題，確定光照及房屋建造合理性及河寬的測(cè)量都可以利用三角函數(shù)。這些形形色色的函數(shù)，都在用不同的方法、不同的角度表示著自然界中變量與變量之間的關(guān)系,很多都是本節(jié)要講的基本初等函數(shù).1.基本初等函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)的概述常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

高中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)中的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，在系統(tǒng)總結(jié)復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)函數(shù)的表達(dá)式、定義域、值域、圖像及性質(zhì)的基礎(chǔ)上，再介紹復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)。第三節(jié)初等函數(shù)的概述1.常數(shù)函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閱吸c(diǎn)集當(dāng)時(shí)，圖形為平行于軸的一條直線，當(dāng)時(shí)，圖形與軸重合。有界無(wú)單調(diào)性偶函數(shù)（時(shí)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)）周期函數(shù)（無(wú)最小正周期）

（為常數(shù)）第三節(jié)初等函數(shù)的概述2.冪函數(shù)（為常數(shù)）冪的底數(shù)是自變量、指數(shù)是常量、系數(shù)是1，定義域、值域依指數(shù)的取值而定。圖像特征及其性質(zhì)：（1）所有冪函數(shù)在上都有定義，并且圖像都通過(guò)點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，無(wú)單調(diào)性。（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)。第三節(jié)初等函數(shù)的概述

動(dòng)腦筋想一想？（1）有界性、周期性；（2）是冪函數(shù)嗎？第三節(jié)初等函數(shù)的概述3.指數(shù)函數(shù)冪的底數(shù)是常量、指數(shù)是自變量、系數(shù)是1。圖像特征及其性質(zhì)：曲線過(guò)點(diǎn)，圖像在軸上方。定義域?yàn)橹涤驗(yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；（2）當(dāng)

時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)。第三節(jié)初等函數(shù)的概述

動(dòng)腦筋想一想？（1）有界性、奇偶性、周期性；（2）特殊指數(shù)函數(shù)圖像特征與性質(zhì)如何？第三節(jié)初等函數(shù)的概述4.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)是常量、真數(shù)是自變量。定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閳D像特征及其性質(zhì)：曲線過(guò)點(diǎn)，圖像在軸右邊。（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)。第三節(jié)初等函數(shù)的概述

動(dòng)腦筋想一想？（1）有界性、奇偶性、周期性；（2）特殊對(duì)數(shù)函數(shù)圖像特征與性質(zhì)如何？（3）在同一直角坐標(biāo)系中，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像有何特點(diǎn)？第三節(jié)初等函數(shù)的概述5.三角函數(shù)（1）正弦函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閳D像特征及其性質(zhì)：曲線過(guò)原點(diǎn)，有界，無(wú)單調(diào)性，奇函數(shù)，周期為。（2）余弦函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閳D像特征及其性質(zhì)：有界，無(wú)單調(diào)性，偶函數(shù)，周期為。第三節(jié)初等函數(shù)的概述（3）正切函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閳D像特征及其性質(zhì)：曲線過(guò)原點(diǎn)，無(wú)界，無(wú)單調(diào)性，奇函數(shù)，周期為。（4）余切函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閳D像特征及其性質(zhì)：無(wú)界，無(wú)單調(diào)性，周期為。第三節(jié)初等函數(shù)的概述（5）正割函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)樾再|(zhì)：無(wú)界，無(wú)單調(diào)性，偶函數(shù)，周期為。（6）余割函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)樾再|(zhì)：無(wú)界，無(wú)單調(diào)性，奇函數(shù)，周期為。第三節(jié)初等函數(shù)的概述6.反三角函數(shù)（1）反正弦函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)樾再|(zhì)：曲線過(guò)原點(diǎn)，有界，增函數(shù)，奇函數(shù)，非周期函數(shù)。（2）反余弦函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閳D像特征及其性質(zhì)：有界，減函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，非周期函數(shù)。第三節(jié)初等函數(shù)的概述（3）反正切函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閳D像特征及其性質(zhì)：曲線過(guò)原點(diǎn)，有界，增函數(shù)，奇函數(shù)，非周期函數(shù)。（4）反余切函數(shù)圖像特征及其性質(zhì)：有界，減函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，非周期函數(shù)。定義域?yàn)橹涤驗(yàn)榈谌?jié)初等函數(shù)的概述定義1.3設(shè)函數(shù),且函數(shù)的值域全部或部分包含在函數(shù)的定義域內(nèi)，那么通過(guò)的聯(lián)系成為的函數(shù)，我們把叫做的復(fù)合函數(shù)，記作，其中叫做中間變量。第三節(jié)初等函數(shù)的概述

動(dòng)腦筋

想一想？下列兩組函數(shù)能否復(fù)合而成一個(gè)新的函數(shù)？（1）與；（1）不能；（2）能。（2）與；第三節(jié)初等函數(shù)的概述例1.12

試求由函數(shù)

，

復(fù)合而成的函數(shù)。注意：不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合。例如：

是不可以復(fù)合的。第三節(jié)初等函數(shù)的概述例1.12

指出下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)：（1）

；

（2）

。解（1）

；（2）

。

有時(shí)，一個(gè)復(fù)合函數(shù)可能由三個(gè)或更多的函數(shù)復(fù)合而成。

分析個(gè)函數(shù)是由哪些函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的過(guò)程復(fù)合而成的，稱為復(fù)合函數(shù)的分解，分解的順序常是由外向內(nèi)，一直分解到在引入中間變量后，使得每一個(gè)函數(shù)都是基本初等函數(shù)或是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的簡(jiǎn)單函數(shù)為止。第三節(jié)初等函數(shù)的概述定義1.4由六類基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例如，等等都是初等函數(shù)。3.初等函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)的概述在自變量不同的范圍內(nèi)由不同的式子表示的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。例如，函數(shù)

。第三節(jié)初等函數(shù)的概述tuOsE案例1.5

【脈沖電壓】

已知一個(gè)三角脈沖電壓，其波形如圖所示。求電壓u與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。解

由圖可知，u隨t變化的規(guī)律在各段時(shí)間區(qū)間內(nèi)是各不相同的，所以要分段進(jìn)行考慮：當(dāng)t≤0時(shí)，函數(shù)的圖形是橫軸的一部分，因此u=0。當(dāng)0≤t<

時(shí)，函數(shù)的圖形是連接原點(diǎn)(0,0)與點(diǎn)(,E)的直線段，于是

。當(dāng)

≤t<s時(shí)，函數(shù)的圖形是連接點(diǎn)(,E)與點(diǎn)(s,0)的直線段，故第三節(jié)初等函數(shù)的概述tuOsE案例1.5

【脈沖電壓】

當(dāng)

≤t<s時(shí)，函數(shù)的圖形是連接點(diǎn)(,E)與點(diǎn)(s,0)的直線段，故

，即

。

當(dāng)t≥s時(shí)，函數(shù)的圖形是橫軸的一部分，因此u=0。歸納上述討論可知，u與t的函數(shù)關(guān)系式可寫成分段的形式：

第三節(jié)初等函數(shù)的概述學(xué)有所思(1)任意兩個(gè)函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)?(2)分段函數(shù)是不是初等函數(shù)?一般不是初等函數(shù)！升學(xué)直通車

1.函數(shù)

是（

）（A）偶函數(shù)

（B）奇函數(shù)

（C）非奇非偶函數(shù)

（D）無(wú)法判斷奇偶性小結(jié)本次課主要介紹了六類基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)和分段函數(shù)。通過(guò)學(xué)習(xí)，要求掌握六類基本初等函數(shù)的特性和圖形，學(xué)會(huì)如何把