第02講 數(shù)列中的新定義綜合（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第02講數(shù)列中的新定義綜合（8類核心考點精講精練）新高考改革后，數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在考試中占據(jù)了重要的地位。數(shù)列的考查不僅限于傳統(tǒng)的等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，還涉及到了一些新的定義和概念。這些新定義通常要求考生具備較強的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維。在新定義數(shù)列的考題中，有以下幾種情況：新定義的數(shù)列類型：例如，斐波那契數(shù)列的變種、遞推數(shù)列、分段定義的數(shù)列等。這些數(shù)列的定義和性質(zhì)可能與傳統(tǒng)數(shù)列有所不同，需要考生仔細閱讀題目，準確理解新定義。數(shù)列性質(zhì)的探究：考生可能需要探究新定義數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系、特殊項的性質(zhì)等。這要求考生能夠靈活運用數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等數(shù)學(xué)工具。數(shù)列與函數(shù)、不等式等其他數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用：新定義數(shù)列的題目往往與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，考查考生的綜合運用能力。例如，數(shù)列與函數(shù)的圖像、數(shù)列與不等式的解法等。實際問題的數(shù)學(xué)建模：新高考數(shù)學(xué)注重考查學(xué)生的實際應(yīng)用能力，因此，數(shù)列問題可能會與實際問題相結(jié)合，要求考生建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題。為了應(yīng)對新定義數(shù)列的考題，考生需要：熟悉并掌握高中數(shù)學(xué)數(shù)列的基本概念和性質(zhì)。增強閱讀理解能力，準確把握新定義數(shù)列的特點。培養(yǎng)邏輯推理和創(chuàng)新思維，能夠獨立探究數(shù)列的性質(zhì)。加強與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，提高綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。注重實際問題的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，提升解決實際問題的能力?？傊?，新高考數(shù)學(xué)數(shù)列部分的考查更加注重考生的綜合能力，考生需要在平時的學(xué)習(xí)中注重基礎(chǔ)知識的積累，同時加強思維訓(xùn)練和實際應(yīng)用能力的培養(yǎng)?？键c一、斐波那契數(shù)列1．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，該數(shù)列的特點是：從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則是斐波那契數(shù)列中的第項．【答案】2025【分析】根據(jù)“斐波那契數(shù)列”的遞推關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】依題意有：，所以：，故答案為：2025.2．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）（多選）數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割該數(shù)列，從第三項開始，各項等于其前相鄰兩項之和，即（），則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推公式進行驗證．【詳解】由已知，A正確；，B正確；，C錯；，D正確，故選：ABD．3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為“兔子數(shù)列”，其通項公式為，設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用對數(shù)運算將變形化簡得到，結(jié)合的表達式可得，結(jié)合，即可求出答案.【詳解】因為，所以，即故，故，所以，由斐波那契數(shù)列可知，則，所以的最小值為9，故選：D.1．（2024·河南·模擬預(yù)測）我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計算機科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把斐波那契數(shù)列（，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列an，若數(shù)列an的前項和為，且，則的值可能是（

）A．100 B．201 C．302 D．399【答案】C【分析】根據(jù)題意求出an【詳解】因為，，所以，所以數(shù)列an，則，所以，，，.故選：C.2．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列定義為：，，，斐波納契數(shù)列有種看起來很神奇的巧合，如根據(jù)可得，所以，類比這一方法，可得（

）A．714 B．1870 C．4895 D．4896【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得，進而變形可得，據(jù)此可得，計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，即，兩邊同乘以，可得，則.故選：C.3．（2024·山東·模擬預(yù)測）（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，若用表示斐波那契數(shù)列的第項，則數(shù)列滿足：，.則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)題意求出斐波那契數(shù)列的前10項進行判斷，對于B，當時，，，，三式相加判斷，對于C，根據(jù)，對依次取1，2，……，2023，得到2023個式子相加進行判斷，對于D，由，得，對依次取1，2，……，2022，然后相加進行判斷.【詳解】對于A，由題意可知斐波那契數(shù)列的前10項為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，所以，所以A錯誤，對于B，當時，，，，所以三式相加得，所以，所以B正確，對于C，因為數(shù)列滿足：，，所以，，，……，，，，以上2023個等式相加得,因為，所以，所以C正確，對于D，因為，，所以，,,,……,,所以，所以D正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解斐波那契數(shù)列中項之間的關(guān)系，充分利用分析判斷，考查推理能力和理解能力，屬于較難題.考點二、差數(shù)列及階差數(shù)列1．（23-24高二上·云南昆明·期末）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數(shù)列2，3，4，5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．【答案】【分析】先得出遞推公式，并用疊加法求出通項公式，再用基本不等式求最小值.【詳解】數(shù)列的前六項分別為1，3，6，10，15，21，依題知，，，，，疊加可得：，整理得，當，，滿足，所以，所以，當且僅當時，即，時等號成立，又，所以等號取不到，所以最小值在時取得，當時，，所以最小值為.故答案為：2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得，利用累乘法求得的表達式，解數(shù)列不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知二階等比數(shù)列的二階公比為，則，故，將以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值隨n的增大而增大，且，當時，，當時，，故n的最小值為8，故選：B3．（2024·全國·模擬預(yù)測）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列……(1)求的二階差數(shù)列；(2)用含的式子表示的階差數(shù)列，并求其前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)差數(shù)列的定義，依次求出數(shù)列的一階差數(shù)列和二階差數(shù)列即得；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，猜想的階差數(shù)列為，接著運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明；再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求解即得.【詳解】（1）由差數(shù)列的定義，數(shù)列的一階差數(shù)列為數(shù)列的二階差數(shù)列為的一階差數(shù)列，即故數(shù)列的二階差數(shù)列為．（2）通過找規(guī)律得，的階差數(shù)列為，下面運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明：①當時，顯然成立；時，由（1）得結(jié)論也成立．②假設(shè)該結(jié)論對時成立，嘗試證明其對時也成立．由差數(shù)列的定義，的階差數(shù)列即的階差數(shù)列的一階差數(shù)列，即故該結(jié)論對時也成立，證畢．故的階差數(shù)列為．該數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故其前項和為故的階差數(shù)列為，其前項和為.1．（2024·四川自貢·一模）南末數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前項分別為，則該數(shù)列的第項（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“高階等差數(shù)列”的定義求得第項.【詳解】，設(shè)，，設(shè)，所以，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，所以.故選：D2．（2024·四川南充·三模）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的k階差分，其中．若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】D【分析】由數(shù)列的新定義計算即可.【詳解】由可得，，由可得，所以，故選：D.3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中.對正整數(shù)，稱為數(shù)列的階差分數(shù)列，其中已知數(shù)列的首項，且為的二階差分數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的一階差分數(shù)列，對，是否都有成立？并說明理由；（其中為組合數(shù)）(3)對于（2）中的數(shù)列，令，其中.證明：.【答案】(1)；(2)成立，理由見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）由二階差分數(shù)列的定義可得，將，可得，構(gòu)造等差數(shù)列即可求解；（2）由一階差分數(shù)列的定義可得，要證成立，即證，根據(jù)二項式定理即可證明；（3）作差可得，故，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可證明.【詳解】（1）因為為an的二階差分數(shù)列，所以，將，代入得，整理得，即，所以.故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此，，即.（2）因為為數(shù)列bn的一階差分數(shù)列，所以，故成立，即為.①當時，①式成立；當時，因為，且，所以①成立，故對都有成立.（3），因為，所以，故，即，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.考點三、平方數(shù)列與類平方數(shù)列1．（23-24高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”【答案】C【分析】對于AB，由題意得，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義分析判斷即可，對于CD，由平方遞推數(shù)列的定義分析判斷.【詳解】對于AB，因為是“平方遞推數(shù)列”，所以.又，所以則，，所以，不是等差數(shù)列，所以AB不正確.對于C，因為，所以是“平方遞推數(shù)列”，所以C正確.對于D，因為，所以不是“平方遞推數(shù)列”，D不正確.故選：C1．（2024·海南·模擬預(yù)測）（多選）已知數(shù)列an滿足：①；②，，，，則稱數(shù)列an為“類平方數(shù)列”，若數(shù)列bn滿足：①數(shù)列bn不是“類平方數(shù)列”；②將數(shù)列bn中的項調(diào)整一定的順序后可使得新數(shù)列成為“類平方數(shù)列”，則稱數(shù)列bn為“變換類平方數(shù)列”，則（

A．已知數(shù)列，則數(shù)列an為“類平方數(shù)列”B．已知數(shù)列an為：3，5，6，11，則數(shù)列aC．已知數(shù)列an的前頂和為，則數(shù)列an為“類平方數(shù)列”D．已知，.則數(shù)列an為“變換類平方數(shù)列”【答案】CD【分析】利用“類平方數(shù)列”的定義判斷AC；利用“變換類平方數(shù)列”的定義判斷BD.【詳解】對于A，，，當時，不是正整數(shù)的平方，數(shù)列an不為“類平方數(shù)列”，A錯誤；對于B，，當時，，即無論為數(shù)列的第幾項，都不可能為正整數(shù)的平方，數(shù)列an不為“變換類平方數(shù)列”，B錯誤；對于C，當時，，而滿足上式，則，當時，，數(shù)列an對于D，數(shù)列的4項依次為，將此數(shù)列調(diào)整為時，有，因此數(shù)列an為“變換類平方數(shù)列”，D正確.故選：CD考點四、數(shù)列的單調(diào)性1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）我們規(guī)定：若數(shù)列為遞增數(shù)列且也為遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.(1)已知：，，，數(shù)列中其中只有一個數(shù)列，它是：；請從另外兩個數(shù)列中任選一個證明其不是數(shù)列.(2)已知數(shù)列an滿足：，為an的前項和，試求an的通項并判斷數(shù)列是否為數(shù)列并證之.(3)已知數(shù)列an、bn均為數(shù)列，且，，求證：數(shù)列也為數(shù)列.【答案】(1)，證明見解析(2)，不是數(shù)列，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用冪函數(shù)的單調(diào)性可得與都是遞增數(shù)列；利用特殊項的大小比較可得an與bn均不是數(shù)列；（2）由已知等式變形裂項可得，再由累加法可求通項，進而可得，利用等差數(shù)列求和公式可得，由可證明不是數(shù)列；（3）由“數(shù)列”的定義可得，，結(jié)合不等式的性質(zhì)與放縮法得，由此分別證明與即可得證.【詳解】（1）空格處填.原因如下：因為，則，由冪函數(shù)與在上都是增函數(shù)，由，故數(shù)列與都是遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.若選an，下面證明an不是證明：由，則.故，所以不是遞增數(shù)列.故an不是數(shù)列；若選bn，下面證明bn不是證明：由，則.所以不是遞增數(shù)列.故bn不是數(shù)列.（2）由可得，所以設(shè)，則，，...，，累加得，又，故，所以.由，故an是以為首項，為公差的等差數(shù)列.所以，則，.即數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是遞增數(shù)列，故不是數(shù)列.（3）數(shù)列an、bn均為數(shù)列，且，，由題意可得，且，，由不等式的性質(zhì)可得，，又，則，所以為遞增數(shù)列，且有，則，故也是遞增數(shù)列，故為數(shù)列.1．（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）若數(shù)列的相鄰兩項或幾項之間的關(guān)系由函數(shù)確定，則稱為的遞歸函數(shù)．設(shè)的遞歸函數(shù)為．(1)若，（），證明：為遞減數(shù)列；(2)若，且，的前項和記為．①求；②我們稱為取整函數(shù)，亦稱高斯函數(shù)，它表示不超過的最大整數(shù)，例如，．若，求．【答案】(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)定義得出，再根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的求和公式即可求解①；結(jié)合①得出，當時，，所以；當時，由放縮得出，結(jié)合得出進而求解．【詳解】（1）證明：若，顯然．又，所以，，，，所以，．因為，，所以，，所以，所以是遞減數(shù)列．（2）①由題意得，又，所以，所以，所以是以為首項，6為公比的等比數(shù)列，則．②由①得，所以．當時，，所以；當時，．所以當時，，所以當時，，又，所以，所以，，所以，所以．【點睛】關(guān)鍵點睛：求解時，關(guān)鍵是求出的取值范圍，根據(jù)不等式放縮得出是解題關(guān)鍵．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個數(shù)，特別規(guī)定：若時，．(1)若，寫出，及的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；(3)設(shè)集合，，求證：且．【答案】(1)，，；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列bn的定義，分別求出，，；（2）假設(shè)，，均與數(shù)列bn是等差數(shù)列矛盾，進而得到數(shù)列an是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進而得到；（3）根據(jù)定義得到數(shù)列是遞增數(shù)列；用反證法證明，假設(shè)存在正整數(shù)，若，則推出，與假設(shè)矛盾，所以；，所以要證，只需證，且，能推出，所以，所以，所以結(jié)論成立.【詳解】（1）因為，所以，，由得，，所以，由得，，所以；（2）由題可知，所以，即，若，則，，所以，，與bn是等差數(shù)列矛盾，所以，設(shè)，因為an是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以，假設(shè)存在使得，設(shè)，由得，由得，，與bn是等差數(shù)列矛盾，所以對任意都有，所以數(shù)列an是等差數(shù)列，；（3）因為對于，，所以，所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列，先證明，假設(shè)，設(shè)正整數(shù)，由于，故存在正整數(shù)使得，所以，因為an是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以，所以，，所以，，又因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，與假設(shè)矛盾，所以；再證明，由題可知，所以要證，只需證，設(shè)且，因為數(shù)列是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以存在正整數(shù)，使得，令，若則，即，所以，所以，所以，若，則，所以所以，因為，所以，所以，所以；綜上所述，且.【點睛】方法點睛：新定義問題解題策略首先，明確新定義的特點；其次，根據(jù)定義中的步驟對具體題目進行運算；最后得到結(jié)論.考點五、數(shù)列的凹凸性1．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）定義：若對恒成立，則稱數(shù)列為“上凸數(shù)列”．(1)若，判斷是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請說明理由．(2)若為“上凸數(shù)列”，則當時，．（?。┤魯?shù)列為的前項和，證明：；（ⅱ）對于任意正整數(shù)序列（為常數(shù)且），若恒成立，求的最小值．【答案】(1)是，證明見解析(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性結(jié)合“上凸數(shù)列”定義判定即可；（2）（?。├谩吧贤箶?shù)列”定義及倒序相加法證明即可；令，利用條件及數(shù)列求和適當放縮計算即可.【詳解】（1）是“上凸數(shù)列”，理由如下：因為，令，則．當時，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以是“上凸數(shù)列”．（2）（?。┳C明：因為是“上凸數(shù)列”，由題意可得對任意，，所以，所以．（ⅱ）解：令，由（1）可得當時，是“上凸數(shù)列”，由題意可知，當時，．因為，即．所以，當且僅當時等號成立，所以．綜上所述，的最小值為．1．（24-25高三上·安徽亳州·開學(xué)考試）已知數(shù)列，對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．(1)判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請說明理由；(2)已知等差數(shù)列，首項為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；(3)證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對于任意的，當時，有”．【答案】(1)數(shù)列是“凹數(shù)列”，理由見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）計算出，故滿足“凹數(shù)列”的定義；（2）利用等差數(shù)列通項公式得到，由題意得對任意恒成立，化簡得到，得到答案；（3）先證明出必要性，放縮得到，故，再證明充分性，取，則有，即，所以為“凹數(shù)列”.【詳解】（1）因為，則，又，故，即，數(shù)列是“凹數(shù)列”．（2）因為等差數(shù)列bn的公差為，所以，因為數(shù)列是凹數(shù)列，所以對任意恒成立，即所以，即，因為，解得．所以的取值范圍為．（3）先證明必要性：因為為“凹數(shù)列”所以對任意的，都有，即，所以對任意的，當時，有，所以，又，所以．必要性成立，再證明充分性：對于任意的，當時，有，取，則有，即，所以為“凹數(shù)列”.【點睛】方法點睛：數(shù)列新定義問題，主要針對于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運用，對常見的求通項公式和求和公式要掌握牢固，同時涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項式定理，數(shù)列與排列組合等知識的綜合，要將“新”性質(zhì)有機地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問題.2．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，都有則稱數(shù)列是嚴格凹數(shù)列．(1)若數(shù)列，的通項公式分別為，判斷數(shù)列，是否為嚴格凹數(shù)列，無需說明理由；(2)證明：“對于任意正整數(shù)的，當時，有”是“數(shù)列為嚴格凹數(shù)列”的充要條件；(3)函數(shù)是定義在正實數(shù)集上的嚴格增函數(shù)，且數(shù)列是嚴格凹數(shù)列，嚴格增數(shù)列（正整數(shù)為常數(shù)且）各項均為互不相等的正整數(shù)，若恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．【答案】(1)不是嚴格凹數(shù)列；是嚴格凹數(shù)列.(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)定義條件分析驗證即可；（2）充分性，賦特值令可證；必要性，結(jié)合定義轉(zhuǎn)化為，再將拆項為，然后利用不等式放縮可得，同理可證，二者變形結(jié)合不等式傳遞性可得；（3）先舉特例探求條件，猜想結(jié)論并證明.結(jié)合是否為1，對給定常數(shù)，分與兩大類討論.特殊情況當時，利用定義分析證明即可.一般情況下，利用（2）結(jié)論結(jié)合可證明，利用該不等式，將“首尾兩項和”逐次放縮可得恒成立.【詳解】（1）an不是嚴格凹數(shù)列；b已知數(shù)列的通項公式為，所以，，則，所以，故數(shù)列不是嚴格凹數(shù)列．由數(shù)列的通項公式為，則，，，所以，故數(shù)列是嚴格凹數(shù)列．（2）證明充分性：若對于任意正整數(shù)的，當時，有.對于任意的，令，則滿足條件，，則有,即,所以數(shù)列為嚴格凹數(shù)列.證明必要性：若數(shù)列為嚴格凹數(shù)列，所以對任意的，都有，即.所以對任意的，當時，則有，所以有，由，則；又有，由，則；又因為，所以.故“對于任意正整數(shù)的，當時，有”是“數(shù)列為嚴格凹數(shù)列”的充要條件.（3）特例1：令，則函數(shù)y=fx所以，則，故數(shù)列是嚴格凹數(shù)列，且，令，且，則數(shù)列為嚴格增數(shù)列，給定常數(shù)時，要使不等式恒成立，則，即恒成立，即，解得.特例2：令，則函數(shù)y=fx所以，則，故數(shù)列是嚴格凹數(shù)列，且，嚴格增數(shù)列，給定常數(shù)時，要使不等式恒成立，則，即恒成立，即，解得或.猜想1：給定常數(shù)時，對任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，要使不等式恒成立，則.特例3：給定常數(shù)，時，對嚴格增數(shù)列，要使不等式恒成立，即使恒成立，注意到：對于函數(shù)，，嚴格增數(shù)列，為定義在正實數(shù)集上的嚴格增函數(shù)，滿足，且數(shù)列滿足，則，，當時，恒成立.考慮到滿足題意的函數(shù)若不斷逼近函數(shù)，則的值也不斷接近于的值，給出猜想2.猜想2：給定常數(shù)，時，對任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，要使不等式恒成立，則.證明：由題意數(shù)列是嚴格凹數(shù)列，則由（2）所證結(jié)論可得，對于任意，有，即，故對任意的，，由，所以，則；故對任意的，，又，所以，則；，依此類推可得，當，且，時，則.當時，令，故，又，則.由題意，數(shù)列為嚴格增數(shù)列（正整數(shù)為常數(shù)且），且各項均為互不相等的正整數(shù)，所以，且，則，，又，①若給定常數(shù)，對任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，則，要使，即恒成立.（i）若且時，任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，則即當時，，故不成立.當時，由，由單調(diào)性可得，恒成立.（ii）若且時，，則，而，又是定義在正實數(shù)集上的嚴格增函數(shù)，當時，，則，則.則當時，恒成立.由（i）（ii）可知，給定常數(shù)時，任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，要使恒成立，則.②若給定常數(shù)，時，任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，由，，.又是定義在正實數(shù)集上的嚴格增函數(shù)，則當時，，則恒成立.所以若給定常數(shù)，時，任意滿足題意的，數(shù)列，數(shù)列，要使不等式恒成立，則.綜上所述，給定常數(shù)，當時，要使恒成立，則；當時，要使恒成立，則.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵點在于理解“嚴格凹數(shù)列”的定義，挖掘定義條件的變式結(jié)論并應(yīng)用：如（2）問中拆項法中充分應(yīng)用了結(jié)論再進行放縮處理從而得證；再如（3）問中探究應(yīng)用結(jié)論再逐次放縮從而得到的取值范圍.考點六、數(shù)列的周期性1．（2024·上海青浦·二模）若無窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．(1)若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；(2)若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；(3)設(shè)是無窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．【答案】(1)是周期為的周期數(shù)列，理由見解析(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義，利用的周期，即可得出結(jié)果；（2）分與兩種情況討論，當，易得到是周期為1的周期數(shù)列，當時，構(gòu)造，則，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，可得出是嚴格增（或減）數(shù)列，從而可得出結(jié)果；（3）根據(jù)條件，利用充要條件的證明方法，即可證明結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以是周期為的周期數(shù)列．（2）①當時，，，所以當時，是周期為1的周期數(shù)列，②當時，記，則，，當且僅當時等號成立，即，所以在上嚴格增，若，則，即，進而可得，即是嚴格增數(shù)列，不是周期數(shù)列；同理，若，可得是嚴格減數(shù)列，不是周期數(shù)列．綜上，當時，是周期為1的周期數(shù)列；當時，不是周期數(shù)列．（3）必要性：若存在，使得是周期數(shù)列，設(shè)的周期為，則，所以是周期為的周期數(shù)列，充分性：若是周期數(shù)列，設(shè)它的周期為，記，則，是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；，是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；…，是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)；，令，則是連續(xù)函數(shù)，且，，所以存在零點，于是，取，則，從而，，……一般地，對任何正整數(shù)n都成立，即是周期為T的周期數(shù)列．（說明：關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的說明不作要求）【點睛】方法點晴：對于數(shù)列的新定義問題，解決問題的關(guān)鍵在于準確理解定義，并結(jié)合定義進行判斷或轉(zhuǎn)化條件.2．（2024·廣東珠?！ひ荒＃τ跀?shù)列an，若存在常數(shù)，，使得對任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列an是從第項起的周期為的周期數(shù)列．當時，稱數(shù)列an為純周期數(shù)列；當時，稱數(shù)列an為混周期數(shù)列．記x為不超過的最大整數(shù)，設(shè)各項均為正整數(shù)的數(shù)列an滿足：.(1)若對任意正整數(shù)都有，請寫出三個滿足條件的的值；(2)若數(shù)列an是純周期數(shù)列，請寫出滿足條件的的表達式，并說明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．【答案】(1),,(2)，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）分別取，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗證即可求解；（2）分別取，，，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗證得出猜想，并驗證猜想；（3）根據(jù)（2）的分析，時，滿足題意；再證明，當時，也存在使得即可.【詳解】（1）因為對任意整數(shù)都有，所以取，則，不符合題意；取，，，此時，數(shù)列為常數(shù)列；取，，，不符合題意；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為；所以滿足條件的三個的值為,,；（2）取，，，此時數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；取，則，，此時數(shù)列的通項公式為，為混周期數(shù)列；取，，，此時，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；取，，，，此時數(shù)列的通項公式為，為混周期數(shù)列；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為，為混周期數(shù)列；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為，為混周期數(shù)列；取，，，此時，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；根據(jù)上述計算得出猜想，當時，數(shù)列為常數(shù)列也是純周期數(shù)列，下面進行驗證：當時，，，，此時數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列；（3）首先，根據(jù)（2）的分析，發(fā)現(xiàn)當時，數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列，滿足題意；接下來證明，當時，也存在使得；因為，所以只需要證明數(shù)列中始終存在值為1的項即可，當時，顯然存在值為1的項，當時，有或，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)時，則，，所以，所以無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別的，當為奇數(shù)時，且，類似的，可得：無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別的，當為奇數(shù)時，且；所以無論無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；若，則恒為奇數(shù)且，于是，假設(shè)數(shù)列的且，所以，恒為奇數(shù)且，由于中僅有有限個正整數(shù)，故數(shù)列從某項起恒為常數(shù)；設(shè)為第一個值為的項，而，故，這與“是第一個值為的項”相矛盾，所以，數(shù)列除第一項外，還存在不屬于區(qū)間的項，假設(shè)這些不屬于區(qū)間的項全部屬于區(qū)間，那么也會出現(xiàn)類似的矛盾，所以，數(shù)列除第一項外，存在不屬于區(qū)間和的項，以此類推，數(shù)列一定存在小于值為的正整數(shù)的項，即存在值為的項，得證.【點睛】方法點睛：考查分段定義周期數(shù)列的相關(guān)知識，方法是給賦值，逐一根據(jù)已知題意進行驗證.3．（2024·湖南長沙·一模）對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的周期.若周期數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對每一個，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)周期數(shù)列的定義進行判斷即可；（2）根據(jù)同根數(shù)列的定義分類討論進行求解即可.【詳解】（1）均是周期數(shù)列，理由如下：因為，所以數(shù)列an因為，所以.所以數(shù)列bn（2）當是奇數(shù)時，首先證明不存在數(shù)列滿足條件.假設(shè)，即對于，都有.因為，所以，即，及.又時，，所以，與的最小值是矛盾.其次證明存在數(shù)列滿足條件.取及，對于，都有.當是偶數(shù)時，首先證明時不存在數(shù)列滿足條件.假設(shè)，即對于，都有.因為，所以，即，及.又時，，所以，與的最小值是矛盾.其次證明時存在數(shù)列滿足條件.取及對于，都有.綜上，當是奇數(shù)時，的最大值為；當是偶數(shù)時，的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解同根數(shù)列的定義，運用分類討論思想進行求解是解題的關(guān)鍵.1．（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）對于數(shù)列，若存在常數(shù)，，使得對任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列是從第項起的周期為的周期數(shù)列．當時，稱數(shù)列為純周期數(shù)列；當時，稱數(shù)列為混周期數(shù)列．記為不超過的最大整數(shù)，設(shè)各項均為正整數(shù)的數(shù)列滿足：.(1)若對任意正整數(shù)都有，請寫出三個滿足條件的的值；(2)若數(shù)列是常數(shù)列，請寫出滿足條件的的表達式，并說明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．【答案】(1),,；(2)，理由見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）分別取，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗證即可求解.（2）分別取，，，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗證得出猜想，并驗證猜想.（3）根據(jù)（2）的分析，時，滿足題意；再證明，當時，也存在使得即可.【詳解】（1）對任意整數(shù)都有，當時，，不符合題意；當時，，，數(shù)列為常數(shù)列；當時，，，不符合題意；當時，，，，數(shù)列的通項公式為；取時，，，，數(shù)列的通項公式為，所以滿足條件的三個的值為,,；（2）當時，，，此時數(shù)列為常數(shù)列；當時，則，，此時數(shù)列的通項公式為，不為常數(shù)列；當時，由（1）知，數(shù)列為常數(shù)列；當時，，，，此時數(shù)列的通項公式為，不為常數(shù)列；當時，由（1）知，數(shù)列的通項公式為，不為常數(shù)列；當時，由（1）知，數(shù)列的通項公式為，不為常數(shù)列；當時，，，數(shù)列為常數(shù)列，根據(jù)上述計算得出猜想，當時，數(shù)列為常數(shù)列，證明如下：當時，，，，所以當時，數(shù)列為常數(shù)列.（3）由（2）知，當時，數(shù)列為常數(shù)列，則存在使得；當時，也存在使得，而，則只需要證明數(shù)列中始終存在值為1的項即可，當時，則，即數(shù)列存在值為1的項，當時，有或，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)時，則，，則，于是，即無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有，特別地，當為奇數(shù)時，且，類似地，無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別地，當為奇數(shù)時，且，當且僅當取等號，因此無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有，若，則恒為奇數(shù)且，當且僅當取等號，于是假設(shè)數(shù)列的且，則恒為奇數(shù)且，當且僅當取等號，由于中僅有有限個正整數(shù)，則數(shù)列從某項起恒為常數(shù)，設(shè)為第一個值為的項，而，于是，有，這與“是第一個值為的項”相矛盾；因此數(shù)列除第一項外，還存在不屬于區(qū)間的項，假設(shè)這些不屬于區(qū)間的項全部屬于區(qū)間，那么也會出現(xiàn)類似的矛盾，則數(shù)列除第一項外，存在不屬于區(qū)間和的項，以此類推，數(shù)列一定存在小于值為的正整數(shù)的項，即存在值為的項，所以不論為何值，總存在使得.【點睛】方法點睛：考查分段定義周期數(shù)列的相關(guān)知識，方法是給賦值，逐一根據(jù)已知題意進行驗證.2．（23-24高三上·北京豐臺·期末）對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的周期．若周期數(shù)列，滿足：存在正整數(shù)，對每一個，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”．(1)判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列．如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；①；②(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；(3)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．【答案】(1)、均是周期數(shù)列，數(shù)列周期為1（或任意正整數(shù)），數(shù)列周期為6(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）由周期數(shù)列的定義求解即可；（2）由“同根數(shù)列”的定義求解即可；（3）是奇數(shù)時，首先證明不存在數(shù)列滿足條件，其次證明存在數(shù)列滿足條件.當是偶數(shù)時，首先證明時不存在數(shù)列滿足條件,其次證明時存在數(shù)列滿足條件．【詳解】（1）、均是周期數(shù)列，理由如下：因為，所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為1（或任意正整數(shù)）．因為，所以．所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6（或6的正整數(shù)倍）．（2）假設(shè)不成立，則有，即對于，都有．因為，，所以．又因為，，所以．所以，所以，與的最小值是3矛盾．所以．（3）當是奇數(shù)時，首先證明不存在數(shù)列滿足條件．假設(shè)，即對于，都有．因為，所以，即，及．又時，，所以，與的最小值是矛盾．其次證明存在數(shù)列滿足條件．取及，對于，都有．當是偶數(shù)時，首先證明時不存在數(shù)列滿足條件．假設(shè)，即對于，都有．因為，所以，即，及．又時，，所以，與的最小值是矛盾．其次證明時存在數(shù)列滿足條件．取及，對于，都有．綜上，當是奇數(shù)時，的最大值為；當是偶數(shù)時，的最大值為．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題(3)的突破口是利用“同根數(shù)列”的定義分類討論，當是奇數(shù)時，首先證明不存在數(shù)列滿足條件，其次證明存在數(shù)列滿足條件.當是偶數(shù)時，首先證明時不存在數(shù)列滿足條件，其次證明時存在數(shù)列滿足條件．考點七、數(shù)列的新概念1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）定義：已知數(shù)列的首項，前項和為.設(shè)與是常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列an的通項公式.【詳解】因為數(shù)列是“”數(shù)列，則，所以，而，，，，，，，，.故選：B2．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）對于無窮數(shù)列，若對任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列bn的通項公式為，試判斷數(shù)列bn是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列an①若an是“數(shù)列”，，且，求所有可能的取值；②若對任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列an為“數(shù)列”.【答案】(1)是，理由見解析(2)①的可能值為.②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，推得，取，得到，即可求解；（2）若an是“數(shù)列”，且為等差數(shù)列，得到，進而得到存在，使得，求得，得到的值，進而求得的可能值；②設(shè)數(shù)列an公差為，得到，求得，雞兒推得，得到答案.【詳解】（1）解：數(shù)列bn的通項公式為，對任意的，都有，取，則，所以bn是“數(shù)列”.（2）解：數(shù)列an①若an是“數(shù)列”，，且，則，對任意的，，由題意存在，使得，即，顯然，所以，即，.所以是8的正約數(shù)，即，時，；時；時；時.綜上，的可能值為.②若對任意，存在，使得成立，所以存在，設(shè)數(shù)列an公差為，則，可得，對任意，則，取，可得，所以數(shù)列an是“數(shù)列”.3．（2024·遼寧·三模）若實數(shù)列滿足，有，稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)判斷是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對于任意正整數(shù)，且，都有(3)已知數(shù)列為“數(shù)列”，且.令，其中表示中的較大者.證明：，都有.【答案】(1)數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”；(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義判斷可得出結(jié)論；（2）由可得出，利用累加法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得，以及，再結(jié)合可證得結(jié)論成立；（3）首先當或2024時的情況，再考慮時，結(jié)合（2）中結(jié)論考慮用累加法可證得結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以數(shù)列是“數(shù)列”，因為，所以數(shù)列不是“數(shù)列”；（2）令，因為數(shù)列為“數(shù)列”，所以從而，所以因為，所以，因為，所以.（3）當或2024時，，從而，當時，因為，由第(2)問的結(jié)論得，可推得，從而對于，由第(2)問的結(jié)論得，從而也成立，從而對于，由第(2)問的結(jié)論得，從而也成立，從而所以由條件可得，所以.【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列新定義的問題，處理此類問題時，通常根據(jù)題中的新定義，結(jié)合已知結(jié)論進行推導(dǎo)、求解；本題中，根據(jù)“數(shù)列”的定義“”結(jié)合作差法、不等式的性質(zhì)進行推理、證明不等式成立，并在推導(dǎo)時，充分利用已有的結(jié)論進行推導(dǎo)，屬于難題.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若無窮數(shù)列滿足：對于，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若一個公比為的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求的值；(2)若是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，在與之間依次插入數(shù)列中的項構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前30項的和．(3)若一個“數(shù)列"滿足，設(shè)數(shù)列的前項和為．是否存在正整數(shù)，使不等式對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)1622(3)存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列出“數(shù)列”的式子，變形后得，與無關(guān)，即可求解；（2）由題意確定數(shù)列中前30項含有的前7項和數(shù)列的前23項，結(jié)合等差和等比數(shù)列的前項和公式，即可求解；（3）首先求解出，可得數(shù)列的前項和，并假設(shè)存在，通過驗證求得，再利用放縮法，證明結(jié)論成立.【詳解】（1）數(shù)列是等比數(shù)列，則，，則，因為與無關(guān)，所以，即；（2）由題意可知，，而，所以，是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，而新數(shù)列中項（含）前共有項，令，結(jié)合，解得：，故數(shù)列中前30項含有的前7項和數(shù)列的前23項，所以數(shù)列中前30項的和；（3）因為數(shù)列是“數(shù)列”，，，，則，，得，所以數(shù)列的前項和，假設(shè)存在正整數(shù)，使得不等式，對一切都成立，即當時，，得，又為正整數(shù)，得下面證明：對一切都成立，由于，，所以，，所以存在，使不等式對一切都成立.【點睛】思路點睛：本題第3問首先利用特殊值，首先確定的值，再用到了放縮法，求和后說明存在.1．（2024·北京東城·二模）設(shè)無窮正數(shù)數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（

）A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列C．若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列D．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列【答案】C【分析】對于ABD：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合單調(diào)性可得，即可得結(jié)果.【詳解】對于選項AB：例題，可知即為等差數(shù)列也為等比數(shù)列，則，但不存在，使得，所以不為內(nèi)和數(shù)列，故AB錯誤；對于選項C：因為，對任意，，可知存在，使得，則，即，且內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，可知，所以其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；對于選項D：例如，顯然是所有正整數(shù)的排列，可知為內(nèi)和數(shù)列，且的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，但不是遞增數(shù)列，故D錯誤；故選：C.【點睛】方法點睛：對于新定義問題，要充分理解定義，把定義轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容，簡化理解和運算.2．（2024·湖北荊州·三模）“數(shù)列”定義：數(shù)列的前項和為，如果對于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)使則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項和為求證：數(shù)列是“數(shù)列”；(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”，且數(shù)列是首項為，公差小于的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；(3)若數(shù)列滿足：求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用求出，再利用題中“數(shù)列”的定義進行證明.（2）數(shù)列即是“數(shù)列”，又是等差數(shù)列，表示出通項公式和前項和，利用“數(shù)列”的定義求出公差，進而求出通項公式.（3）由（1），（2）求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）證明：當時，；當時，，所以，即.所以數(shù)列bn是“數(shù)列”.（2）設(shè)數(shù)列的公差為d,.對，使；取時，得，解得，，又，故，是小于2正整數(shù).此時對于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)使，故.（3），當時，，，，.當時，，滿足上式.綜上，.3．（2024·黑龍江·二模）如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”．(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說明理由；(2)已知正項數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)不是“型數(shù)列”，理由見解析；(2)【分析】（1）計算得出數(shù)列前兩項驗證即可得出結(jié)論，并證明即可；（2）利用為“型數(shù)列”和是等比數(shù)列，且不是“型數(shù)列”可求得的公比為，即可求出數(shù)列的通項公式為.【詳解】（1）易知當時，可得，即；而當時，，可得；此時，不滿足“型數(shù)列”定義，猜想：數(shù)列不是“型數(shù)列”，證明如下：由可得，當時，，兩式相減可得，可得，此時從第二項起，每一項與它前一項的比為，因此不是“型數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，易知，又因為數(shù)列不是“型數(shù)列”，可得可得，即得；又數(shù)列為“型數(shù)列”，可得；易知“型數(shù)列”為遞增數(shù)列，因此當趨近于正無窮大時，趨近于，即可得；綜上可得，即，可得；所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列；即可得，可得；所以數(shù)列的通項公式為.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）定義：若對于任意的，數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列是“數(shù)列”．(1)已知首項為1的等差數(shù)列是“數(shù)列”，且恒成立，求的取值范圍．(2)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”．記，若數(shù)列是“數(shù)列”．①求數(shù)列的通項公式．②是否存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出的所有值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②存在，【分析】（1）由等差數(shù)列是“數(shù)列”，可得其公差，利用等差數(shù)列的前項和公式將原不等式化為對任意的恒成立，再對的范圍進行分類討論即可得的取值范圍；（2）①分別求數(shù)列中的最小項，再根據(jù)是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”求的值；再分類討論并分別檢驗數(shù)列是否為“數(shù)列”，可得，即‘②根據(jù)題意得到關(guān)于的方程,并判斷的大小關(guān)系，分類討論，分別求得的值，再對結(jié)果進行檢驗即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為等差數(shù)列是“數(shù)列”，所以其公差．因為，所以，由題意，得對任意的恒成立，即對任意的恒成立．當時，恒成立，故；當時，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，因為，所以．綜上，，所以，即的取值范圍是．（2）①設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因為“數(shù)列”的每一項均為正整數(shù)，由得，所以且，所以在數(shù)列中，“”為最小項，在數(shù)列中，“”為最小項．若是“數(shù)列”，則只需，即，若數(shù)列不是“數(shù)列”，則，即，因為數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，所以，所以或．當時，，則，令，則，又，所以為遞增數(shù)列，又，所以對于任意的，都有，即，所以數(shù)列為“數(shù)列”，符合題意．當時，，則，因為，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，不合題意．綜上所述，數(shù)列的通項公式為；②假設(shè)存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列，則，即．由于，所以數(shù)列為遞減數(shù)列．因為，所以且至少為2，所以．易知，當時，，又，所以，這與矛盾，不合題意；當時，，所以，即，由于為遞減數(shù)列，故有唯一解，即．綜上，存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列．【點睛】破解新定義問題的攻略：（1）理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、操作步驟和結(jié)論．（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”，并歸納“舉例”提供的解題方法．（3）類比新定義的概念、原理、方法，解決問題．考點八、數(shù)列的新性質(zhì)1．（2024·山東青島·三模）（多選）若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（

）A．存在具有性質(zhì)的B．存在具有性質(zhì)的C．若具有性質(zhì)，則中至少有兩項相同D．存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項均不相同【答案】ACD【分析】對A、D：舉出符合題意的例子即可得；對B：根據(jù)所給定義，借助反證法設(shè)，，，中有個，個，從而有，推出矛盾；對C：，，，，中的最大值為，則存在，使得或，若存在，使，先證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，再對分類討論，即可得證；【詳解】對A：取數(shù)列，易得其滿足題意，此時該數(shù)列具有性質(zhì)，故A正確；對B：假設(shè)存在數(shù)列具有性質(zhì)，則，且，設(shè)中有個，則有個，則有，即，其與為整數(shù)矛盾，故假設(shè)錯誤，故B錯誤；對C：設(shè)，，，，中的最大值為，則存在，使得或，若存在，使，下證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，假設(shè)存在正整數(shù)使得，，，中各項均不為，令集合，設(shè)是集合中元素的最大值，則有，這與矛盾，所以，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，若，則，，，，的取值只能為，中的數(shù)，此時，，，，中必有兩項相同，若，則，，，，的取值只能為，，中的數(shù)，此時，，，，中必有兩項相同，若，則，，，，中一定有異于和的正整數(shù)，再由，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，所以，，，，中必有兩項相同，當，同理可證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，從而，，，，中必有兩項相同，故C正確；對D：取數(shù)列，此時該數(shù)列具有性質(zhì)，且中任意兩項均不相同，即存在，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是對“性質(zhì)”的定義的理解，靈活利用反證法是解答的關(guān)鍵.2．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項和為，若存在常數(shù)，使得對任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；(2)設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)①；②的最小值為4.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差，進而求出通項公式及前項和，再利用定義判斷即得.（2）①根據(jù)給定條件，可得，再按，探討，當時，，又按且討論得解；②由定義，消去結(jié)合基本不等式得，再迭代得，借助正項數(shù)列建立不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，則，于是，即，所以數(shù)列具有性質(zhì)．（2）①由數(shù)列具有性質(zhì)，得，又等比數(shù)列的公比為，若，則，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；當時，，而，整理得，若，則，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；若，則，當時，恒成立，滿足題意；當且時，，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；所以.②由，得，即，因此，即，則有，由數(shù)列各項均為正數(shù)，得，從而，即，若，則，與為任意正整數(shù)相矛盾，因此當時，恒成立，符合題意，所以的最小值為4．【點睛】易錯點睛：等比數(shù)列公比q不確定，其前n項和直接用公式處理問題，漏掉對的討論.1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果無窮數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.(1)若等比數(shù)列的前項和為，且公比，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”；(2)若等差數(shù)列的首項，公差，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”，當且僅當；(3)如果各項均為正整數(shù)的無窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)”，且四個數(shù)中恰有兩個出現(xiàn)在數(shù)列中，求的所有可能取值之和.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)，【分析】(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可；(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合題目的定義求解即可；(3)利用枚舉法，結(jié)合題目的新定義求解即可.【詳解】（1）解得：則即且若則則當對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)使得則等比數(shù)列an滿足性質(zhì).（2）因為數(shù)列bn具有“性質(zhì)”，則若數(shù)列具有性質(zhì)則，則，又則則，，則，又則當時上式成立，當時.，則因為則時，則則則則反之，若則則上面各式成立，則數(shù)列bn具有“性質(zhì)”綜上數(shù)列bn具有“性質(zhì)”，當且僅當.（3）從這四個數(shù)中任選兩個，共有以下6種情況：，；，；，;，;，;，.①對于，因為為正整數(shù)，可以認為an是等比數(shù)列中的項，，首項的最小值為1.下面說明此數(shù)列具有性質(zhì)P：=，=，任取，，則，為正整數(shù)，因此此數(shù)列具有性質(zhì)P，②對于，.因為為正整數(shù)，認為是等比數(shù)列an中的項，，首項的最小值為，下面說明此數(shù)列不具有性質(zhì)P：，，若不為等比數(shù)列an中的項，因此此數(shù)列不具有性質(zhì)P，同理可得，；，；，；，每組所在等比數(shù)列an【點睛】方法點睛：1.求解新定義運算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進行求解.2.對于新型數(shù)列，首先要了解數(shù)列的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將新定義的數(shù)列類比已經(jīng)學(xué)習(xí)了的等比、等差數(shù)列求解.計算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識求解.2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）若項數(shù)為的數(shù)列滿足兩個性質(zhì)：①；②存在，使得，并記是數(shù)列的最大項，．則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若，寫出所有具有性質(zhì)的數(shù)列；(2)數(shù)列具有性質(zhì),若，求的最大項的最大值；(3)數(shù)列具有性質(zhì),若，且還滿足以下兩條性質(zhì)：（ⅰ）對于滿足的項和，在的余下的項中，總存在滿足的項和，使得；（ⅱ）對于滿足的項和，在的余下的項中，總存在滿足的項和，使得．求滿足上述性質(zhì)的的最小值．【答案】(1)或或；(2)(3)4067【分析】（1）由條件②入手知或，或，由此得到數(shù)列的所有可能值，再驗證條件即可；（2）結(jié)合條件②的比值關(guān)系，由不等式性質(zhì)分別利用累乘法可得兩個通項范圍，兩式相乘可得，再給出一個最大項的最大值為的數(shù)列即可；（3）根據(jù)題意數(shù)列滿足的性質(zhì)，將數(shù)列分為項數(shù)滿足與前后兩部分研究，由性質(zhì)可得兩部分分別具有“不減”與“不增”性質(zhì)，再由求解最小值，使前部分各項盡可能大，后部分各項盡可能小，由此得到取最小值時的數(shù)列.【詳解】（1）所有具有性質(zhì)的數(shù)列有三個：或或.理由如下：當，即數(shù)列有項，且，條件②由存在，即存在，使得.故或，或.由，可知或，或，故滿足題意的數(shù)列可能有；；；.（i）令，條件②為存在，使得，由，數(shù)列，滿足題意；數(shù)列與，都有，數(shù)列，均不合題意；（ii）再令，條件②為存在，使得，由，數(shù)列，也不合題意；數(shù)列，；數(shù)列與，都有；這3個數(shù)列均滿足題意；綜上所述，所有具有性質(zhì)的數(shù)列有三種：或或.（2）當時，．由，累乘得①；又由，累乘得②；將①②相乘得，又，所以．給出數(shù)列，通項公式為.數(shù)列的最大項為.綜上所述，數(shù)列的最大項的最大值為.（3）①討論滿足的項的取值情況：因為數(shù)列滿足：當時，則有恒成立.所以，又因為當，都有，所以或，當時，，此時，這與“在剩下的項中總存在滿足的項和，使得”矛盾，所以，同理可得，，要使得值要盡量小，則需要每項盡可能大，，則或，若，，由，同樣不存在項和，使得，故，驗證知，前項滿足條件“在剩下的項中總存在滿足的項和，使得”；再由每項盡可能大的原則，且滿足，且前項也滿足條件“在剩下的項中總存在滿足的項和，使得”；同理，，由對稱性同理可得，最后6項為，.當中間各項為公比為2的等比數(shù)列時，可使得值最小，且的最小值為，滿足已知條件．②討論滿足的項的取值情況：因為數(shù)列滿足：當時，則有恒成立.類比①可知，，，．綜上所述，的最小值為.故滿足上述性質(zhì)的的最小值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵主要有以下兩點：一是新定義具有性質(zhì)的數(shù)列單調(diào)性的理解，由條件②，存在，使得，將抽象的符號語言轉(zhuǎn)化，可以把分段數(shù)列單調(diào)性形象理解為：前段“不減性”與“不增性”；二是取最值時的特殊數(shù)列探究，根據(jù)數(shù)列變化的規(guī)律，確定好每段的前后6項后，為使取最小值，則數(shù)列各項增減最快即可，即前段中間的數(shù)列為公比為2等比數(shù)列，而后段中間的數(shù)列則為公比為的等比數(shù)列.一、填空題1．（2023·陜西銅川·一模）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為1，那么這個數(shù)列的前2024項和.【答案】1012【分析】直接根據(jù)等和數(shù)列的概念找出規(guī)律然后求和.【詳解】由等和數(shù)列概念可得，，，，，所以.故答案為：10122．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項和為，則下列結(jié)論中正確的是．①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”【答案】①②④【分析】對于①取分析判斷，對于②④取分析判斷，對于③，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于①：例如，則為等差數(shù)列，可得，則，所以，，故、均為嚴格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故①正確；對于②，例如，則為等比數(shù)列，可得，則，所以，，故、均為嚴格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故②正確；對于③，假設(shè)存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為為嚴格增數(shù)列，則，又因為為嚴格增數(shù)列，所以，即當時，恒成立，取，滿足，可知必存在，使得成立，又因為為嚴格增數(shù)列，所以對任意正整數(shù)，則有，即，對任意正整數(shù)，則有，即，故當時，不存在正整數(shù)，使得，故③不成立；對于④，例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴格增數(shù)列，可得，所以，，故、均為嚴格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故④正確.故答案為：①②④.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）將正整數(shù)n分解為兩個正整數(shù)，的積，即，當，兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為12的最優(yōu)分解，當，是n的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，對分奇數(shù)和偶數(shù)進行討論，進而可以得到的表達式，再利用等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】當時，，所以，當時，，則，故數(shù)列的前2024項的和為.故選：C.4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）若對項數(shù)為的數(shù)列中的任意一項，也是該數(shù)列中的一項，則稱這樣的數(shù)列為“可倒數(shù)數(shù)列”.已知正項等比數(shù)列是“可倒數(shù)數(shù)列”，其公比為，所有項和為，寫出一個符合題意的的值.【答案】或（答案不唯一）【分析】由題意依次得出，，進一步結(jié)合已知列方程求出即可.【詳解】已知正項等比數(shù)列是“可倒數(shù)數(shù)列”，首先，若，結(jié)合，解得，此時，但不在這5個數(shù)中，矛盾，故，則若，則也在數(shù)列中，若在數(shù)列中，則（且）也在數(shù)列中，因為正項等比數(shù)列是“可倒數(shù)數(shù)列”，所以數(shù)列嚴格單調(diào)，而，所以只能，（否則，不妨設(shè)，那么或一定有三個數(shù)小于1，而他們的倒數(shù)都大于1，這必定導(dǎo)致有一個數(shù)的倒數(shù)不在中），從而，所以，解得或（舍去），所以解得或.故答案為：或（答案不唯一）.5．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列（）的前項和為，且滿足，.設(shè)為正整數(shù).若存在“數(shù)列”（），對任意正整數(shù)，當時，都有成立，則的最大值為.【答案】5【分析】根據(jù)可得，即可判斷數(shù)列bn為等差數(shù)列，即可求出通項公式；根據(jù)題意有，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可求解.【詳解】由，得，則，則，當時，由，得，整理得，所以數(shù)列bn所以，則，因為數(shù)列為“數(shù)列”，設(shè)公比為，所以，因為，所以，其中，當時，有；當時，有，設(shè)，則，當，f′x>0，單調(diào)遞增；當，f′x<0因為，所以，取，當時，，即，經(jīng)檢驗知也成立，因此所求的最大值不小于5，若，分別取，得，且，從而且，所以不存在，所以，綜上，所求的最大值為5.故答案為：5二、多選題6．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若對，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項和是，則下列說法一定正確的是（

）A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列【答案】BCD【分析】考慮常數(shù)列可以判定A錯誤，代入等差比數(shù)列公式可判斷BCD說法正確【詳解】等差數(shù)列若為常數(shù)列，則，無意義，所以等差數(shù)列不一定是等差比數(shù)列，A選項錯誤；若公比為的等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則不是常數(shù)列，，，即該數(shù)列的公比與公差比相同，B選項正確.若數(shù)列是等差比數(shù)列，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項正確；若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，則，所以數(shù)列等差比數(shù)列，故D選項正確故選：BCD.7．（23-24高三上·上海普陀·期末）對于無窮數(shù)列，給出如下三個性質(zhì)：①；②對于任意正整數(shù)，都有；③對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得定義：同時滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說法正確的是（

）A．若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”B．若，則為“t數(shù)列”C．若，則為“s數(shù)列”D．若等比數(shù)列為“t數(shù)列”則為“s數(shù)列”【答案】C【分析】設(shè)，可判定A錯誤；對于，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，不存在，使得，可判定B錯誤；若，推得滿足①②，可判定C正確；設(shè)，取，可判定D錯誤.【詳解】設(shè)，此時滿足，也滿足，，即，，為“s數(shù)列”，因為，所以A錯誤；若，則，滿足①，，令，若為奇數(shù)，此時，存在，且為奇數(shù)時，此時滿足，若為偶數(shù)，此時，則此時不存在，使得，所以B錯誤；若，則，滿足①，，，因為，所以，，滿足②，所以C正確；不妨設(shè)，滿足，且，，當為奇數(shù)，取，使得；當為偶數(shù)，取，使得，所以an為“數(shù)列”，但此時不滿足，，不妨取，則，而，則an為“數(shù)列”，所以D錯誤.故選：C.8．（2024·河北承德·二模）對于給定的數(shù)列，如果存在實數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，則下列說法正確的是（

）A．等差數(shù)列是“線性數(shù)列”B．等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C．若且，則D．若且，則是等比數(shù)列的前項和【答案】AB【分析】對A，B根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進行判斷；由構(gòu)造法，根據(jù)數(shù)列遞推公式求出通項公式可判斷C;設(shè)且，可判斷D錯誤.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，故A正確；數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，故B正確；設(shè)，則，解出，則，因此，故錯誤；若且，則，數(shù)列的前項和為0，顯然D錯誤.故選：.9．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在股票市場中，股票的價格是有界的，投資者通常會通過價格的變化來確保自己的風(fēng)險，這種變化的價格類似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無窮大）的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，如數(shù)列，顯然對一切正整數(shù)都有，而的極限為，即數(shù)列既有界也收斂.如數(shù)列，顯然對一切正整數(shù)都有，但不存在極限，即數(shù)列有界但不收斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式（遞推公式）列出數(shù)列的前幾項，結(jié)合所給定義判斷即可.【詳解】對于A：因為，所以，所以，但是的極限不存在，即有界但不收斂，故A正確；對于B：因為，所以，所以，且的極限為，所以有界且收斂，故B錯誤；對于C：因為，所以，，所以，所以，但是的極限不存在，所以有界但不收斂，故C正確；對于D：因為，所以，所以的極限為，且，所以有界且收斂，故D錯誤；故選：AC.10．（2024·河南·一模）對于數(shù)列（），定義為，，…，中最大值（）（），把數(shù)列稱為數(shù)列的“M值數(shù)列”.如數(shù)列2，2，3，7，6的“M值數(shù)列”為2，2，3，7，7，則（

）A．若數(shù)列是遞減數(shù)列，則為常數(shù)列B．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有C．滿足為2，3，3，5，5的所有數(shù)列的個數(shù)為8D．若，記為的前n項和，則【答案】ABD【分析】由“M值數(shù)列”的定義，對選項中的結(jié)論進行判斷.【詳解】若數(shù)列是遞減數(shù)列，則是，，…，中最大值（）（），所以，為常數(shù)列，A選項正確；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則是，，…，中最大值（）（），所以，即，B選項正確；滿足為2，3，3，5，5，則，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5，所有數(shù)列的個數(shù)為，C選項錯誤；若，則數(shù)列中奇數(shù)項構(gòu)成遞增的正項數(shù)列，偶數(shù)項都是負數(shù)，則有，所以，D選項正確.故選：ABD.三、解答題11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有個.(1)寫出所有4的1增數(shù)列；(2)當時，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.【答案】(1)所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3(2)7【分析】（1）利用給定的新定義，求出所有符合條件的數(shù)列即可.（2）運用給定的新定義，分類討論求出結(jié)果即可.【詳解】（1）由題意得，則或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3.（2）當時，因為存在的6增數(shù)列，所以數(shù)列的各項中必有不同的項，所以且，若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，所以，不符合題意，所以若，滿足要求的數(shù)列中有三項為1，兩項為2，符合的6增數(shù)列.所以，當時，若存在的6增數(shù)列，的最小值為7.12．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)對數(shù)列1，2進行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列1，3，2；第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構(gòu)造，第次得到的數(shù)列的所有項之和記為.(1)設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為，則，請用含的代數(shù)式表達出，并推導(dǎo)出與滿足的關(guān)系式；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)證明：【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)新數(shù)列構(gòu)造的定義，直接求解即可；（2）根據(jù)遞推公式構(gòu)造，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式求解即可；（3）利用放縮可得，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式證明即可.【詳解】（1）設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為，則，根據(jù)題意可得第次構(gòu)造后得到的數(shù)列為，，，所以，即與滿足的關(guān)系式為.（2）由，可得，且，，所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，即.（3）由（2）得，所以13．（2024·貴州貴陽·二模）給定數(shù)列，若滿足且，對于任意的，都有，則稱數(shù)列an為“指數(shù)型數(shù)列".(1)已知數(shù)列an滿足，判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列"？若是，請給出證明，若不是，請說明理由;(2)若數(shù)列an是“指數(shù)型數(shù)列”，且，證明:數(shù)列an【答案】(1)不是，理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“指數(shù)型數(shù)列"的定義可做判斷，證明時利用遞推式推出數(shù)列是等比數(shù)列，求出，再結(jié)合定義即可證明；（2）由遞推式可得，繼而假設(shè)數(shù)列中存在三項構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合可推出矛盾，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）數(shù)列不是指數(shù)型數(shù)列；證明：由，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且，，所以數(shù)列不是指數(shù)型數(shù)列，（2）因為數(shù)列是指數(shù)型數(shù)列，故對于任意的，有，，適合該式；假設(shè)數(shù)列中存在三項構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則由，得，所以，當為偶數(shù)時，是偶數(shù)，而是奇數(shù)，是偶數(shù)，故不能成立；當為奇數(shù)時，是偶數(shù)，而是偶數(shù)，是奇數(shù)，故也不能成立．所以，對任意不能成立，即數(shù)列的任意三項都不成構(gòu)成等差數(shù)列．14．（2024·湖北·模擬預(yù)測）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，歐拉函數(shù)是指，對于一個正整數(shù)n，小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的正整數(shù)（包括1）的個數(shù)，記作，例如，．(1)求，，；(2)設(shè)，，求數(shù)列an的前項和；(3)設(shè)，，數(shù)列bn的前項和為，證明：，【答案】(1)；；．(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的定義，結(jié)合小于等于和的數(shù)的特征，即可求解；（2）由（1）的結(jié)果可知，，再利用裂項相消法，即可求解；（3）由（1）知，，再利用放縮法，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.【詳解】（1）1到6中與6互質(zhì)的只有1和5，所以；1到中，被3整除余1和被3整除余2的數(shù)都與互質(zhì)，所以；1到中，所有奇數(shù)都與互質(zhì)，所以．（2），從而．（3）證明：，從而，證畢．15．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，若，且，，則將k的最大值記為，例如：，．(1)求，，；(2)設(shè)．（i）求數(shù)列的通項公式，（ii）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)新定義，直接求解；（2）由題意可得，得出，利用相加相消法求和即可得解.【詳解】（1）依題意可得：表示所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，因為與互質(zhì)的數(shù)為，所以；因為與互質(zhì)的數(shù)為，，所以；因為與互質(zhì)的數(shù)為，，所以．（2）（i）因為中與互質(zhì)的正整數(shù)只有奇數(shù)，所以中與互質(zhì)的正整數(shù)個數(shù)為，所以，所以．（ii）因為，所以，，所以．【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列新定義，找到項之間的規(guī)律，從而求出通項公式.16．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：①；②.(1)若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項（，用表示）；(2)若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項（，用表示）；(3)記階“曼德拉數(shù)列”的前項和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.【答案】(1)或(2)或(3)不能，理由見解析【分析】（1）結(jié)合曼德拉數(shù)列的定義，分公比是否為1進行討論即可求解；（2）結(jié)合曼德拉數(shù)列的定義，首先得,然后分公差是大于0、等于0、小于0進行討論即可求解；（3）記中非負項和為，負項和為，則，進一步，結(jié)合前面的結(jié)論以及曼德拉數(shù)列的定義得出矛盾即可求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.若，則由①得，得，由②得或.若，由①得，，得，不可能.綜上所述，.或.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，即，當時，“曼德拉數(shù)列”的條件①②矛盾，當時，據(jù)“曼德拉數(shù)列”的條件①②得，，，即，由得，即，.當時，同理可得，即.由得，即，.綜上所述，當時，，當時，.（3）記中非負項和為，負項和為，則，得，，，即.若存在，使，由前面的證明過程知：，，，，，，，，且.若數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”，記數(shù)列的前項和為，則.，又，，.又，，，，，，又與不能同時成立，數(shù)列不為階“曼德拉數(shù)列”.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是得到，，，，，，，，且，由此即可順利得解.17．（2024·廣東梅州·二模）已知an是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為an的“生成數(shù)列”．(1)若，求其生成數(shù)列的前項和；(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當時，，，，是等差數(shù)列．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而得出{pn}的通項，由分組求和法及等比數(shù)列的前n項和公式進行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合生成數(shù)列的定義進行證明即可；（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義分類討論進行證明即可．【詳解】（1）因為關(guān)于單調(diào)遞增，所以，，于是，的前項和．（2）由題意可知，，所以，因此，即是單調(diào)遞增數(shù)列，且，由“生成數(shù)列”的定義可得．（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當時，是等差數(shù)列．當是一個常數(shù)列，則其公差必等于0，，則，因此是常數(shù)列，也即為等差數(shù)列；當是一個非常數(shù)的等差數(shù)列，則其公差必大于0，，所以要么，要么，又因為是由正整數(shù)組成的數(shù)列，所以不可能一直遞減，記，則當時，有，于是當時，，故當時，，…，因此存在正整數(shù)，當時，，…是等差數(shù)列．綜上，命題得證．【點睛】方法點睛：常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和bn分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列等.18．（2024·山東濰坊·二模）數(shù)列中，從第二項起，每一項與其前一項的差組成的數(shù)列稱為的一階差數(shù)列，記為，依此類推，的一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，記為，…．如果一個數(shù)列的p階差數(shù)列是等比數(shù)列，則稱數(shù)列為p階等比數(shù)列．(1)已知數(shù)列滿足，．（ⅰ）求，，；（ⅱ）證明：是一階等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列為二階等比數(shù)列，其前5項分別為，求及滿足為整數(shù)的所有n值．【答案】(1)（?。?，，；（ⅱ）證明見解析(2)當時，為整數(shù).【分析】（1）（?。└鶕?jù)的定義，結(jié)合通項公式求解即可；（ⅱ）根據(jù)遞推公式構(gòu)造即可證明；（2）由題意的二階等差數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，可