第05講 古典概率及概率的基本性質(zhì)（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第05講古典概率及概率的基本性質(zhì)（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第14題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率求離散型隨機(jī)變量的均值均值的性質(zhì)2024年新Ⅱ卷，第18題,17分利用對(duì)立事件的概率公式求概率獨(dú)立事件的乘法公式求離散型隨機(jī)變量的均值2023年新Ⅱ卷，第12題,5分利用互斥事件的概率公式求概率獨(dú)立事件的乘法公式獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題2022年新I卷，第5題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題2022年新Ⅱ卷，第19題,12分利用對(duì)立事件的概率公式求概率頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)計(jì)算條件概率2022年全國(guó)甲卷（理），第15題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率組合計(jì)數(shù)問(wèn)題2022年全國(guó)乙卷（理），第10題,5分利用互斥事件的概率公式求概率獨(dú)立事件的乘法公式2022年全國(guó)乙卷（理），第13題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題2021年全國(guó)甲卷（理），第10題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率不相鄰排列問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握古典概型的定義，并會(huì)相關(guān)計(jì)算2.理解并掌握概率的基本性質(zhì)3.會(huì)計(jì)算互斥事件及對(duì)立事件的概率【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般考查古典概型的概率計(jì)算及互斥、對(duì)立事件的辨析及計(jì)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練知識(shí)講解1．古典概型特點(diǎn)(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即有限性．(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f(m,n).求古典概型概率的步驟(1)判斷試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法(1)定義法判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．(2)集合法①若各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．考點(diǎn)一、古典概型的概率計(jì)算1．（2024·全國(guó)·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二、有無(wú)放回抽樣的概率1．（浙江·高考真題）在三張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各一張，另一張無(wú)獎(jiǎng)，甲乙兩人各抽取一張（不放回），兩人都中獎(jiǎng)的概率為．2．（浙江·高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則；．3．（2024·全國(guó)·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）盒中裝有1，2，3，4四個(gè)標(biāo)號(hào)的小球．小明在盒中隨機(jī)抽取兩次（不放回），則抽中的兩次小球號(hào)碼均為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東日照·三模）從標(biāo)有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率是（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）袋子里有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從袋子中有放回地依次隨機(jī)抽取四張卡片并記下卡片上數(shù)字，則有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是.考點(diǎn)三、判斷互斥事件與對(duì)立事件1．若干人站成一排，其中為互斥事件的是（

）A．“甲站排頭”與“乙站排頭” B．“甲站排頭”與“乙站排尾”C．“甲站排頭”與“乙不站排頭” D．“甲不站排頭”與“乙不站排頭”2．（2023·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件3．（2023·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）（多選）某個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)M=“該家庭中有男孩、又有女孩”，N=“該家庭中最多有一個(gè)女孩”，則下列結(jié)論正確的是()A．若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N互斥B．若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N不相互獨(dú)立C．若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N不互斥D．若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N相互獨(dú)立1．袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件，“兩枚結(jié)果相同”記為事件，那么事件與，與間的關(guān)系是（

）A．與，與均相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨(dú)立3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件“恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)”，事件“甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，事件“丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與是對(duì)立事件考點(diǎn)四、互斥事件的概率加法公式1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在古典概型中，若，為互斥但不對(duì)立事件，則（

）A． B．C． D．2．（天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿锳． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（

）．A． B． C． D．1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)事件，互斥，且，，則.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若，為兩個(gè)事件，則；③若事件，，兩兩互斥，則．A． B． C． D．3．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎录嗀與事件B是互斥事件，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)五、利用互斥事件概率公式求概率1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某單位電話總機(jī)室內(nèi)有兩部外線電話和，在同一時(shí)間內(nèi)，打入電話的概率是0.3，打入電話的概率是0.4，兩部同時(shí)打入電話的概率是0.1，則至少有一部電話打入的概率是．2．（22-23高一下·江西南昌·階段練習(xí)）已知事件兩兩互斥，若，，，則（）．A． B． C． D．3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結(jié)果相互獨(dú)立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（

）A． B． C． D．1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.752．（2023春·新疆烏魯木齊·高三?？茧A段練習(xí)）某家庭電話,打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接的概率為,響第二聲時(shí)被接的概率為,響第三聲時(shí)被接的概率為,響第四聲時(shí)被接的概率為,則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為()A． B． C． D．考點(diǎn)六、利用對(duì)立事件的概率公式求概率1．（2024·陜西·二模）從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中任選2人，則甲未被選中的概率為．2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是隨機(jī)事件，且，則．1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）某醫(yī)院需要從4名女醫(yī)生和2名男醫(yī)生中抽調(diào)3人參加社區(qū)的老年義診活動(dòng)，則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）由于天氣原因，夏季相關(guān)部門加大對(duì)水果儲(chǔ)運(yùn)環(huán)節(jié)的抽檢力度，堅(jiān)決杜絕腐爛變質(zhì)的水果流入市場(chǎng)，下表是對(duì)運(yùn)到倉(cāng)儲(chǔ)點(diǎn)的某種水果進(jìn)行抽檢后得到的數(shù)據(jù)．車輛甲乙丙丁抽檢數(shù)量/個(gè)35605055合格數(shù)量/個(gè)32564753若從運(yùn)到倉(cāng)儲(chǔ)點(diǎn)的四車水果中隨機(jī)抽出一個(gè)，則估計(jì)這個(gè)水果不能上市的概率為（

）A．0.06 B．0.08 C．0.1 D．0.121．（已知隨機(jī)事件，，中，與互斥，與對(duì)立，且，，則（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.82．（2024·山西太原·一模）甲，乙兩名同學(xué)要從A、B、C、D四個(gè)科目中每人選取三科進(jìn)行學(xué)習(xí)，則兩人選取的科目不完全相同的概率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽·期中）現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則下列事件中互為對(duì)立事件的是（

）A．恰好兩件正品與恰好四件正品B．至少三件正品與全部正品C．至少一件正品與全部次品D．至少一件正品與至少一件次品4．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學(xué)考試）若為隨機(jī)事件，且，則（

）A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，C．若為相互獨(dú)立事件，D．若，則5．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至少有一個(gè)白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③6．（24-25高三上·上海·開學(xué)考試）已知事件與事件是互斥事件，則（

）A． B．C． D．7．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）（多選）一個(gè)人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說(shuō)法正確的是（

）A．事件“兩次均擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件B．事件“最少一次擊中”與事件“最多一次擊中”為互斥事件C．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件D．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件8．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）從A，B等5處水樣監(jiān)測(cè)點(diǎn)中隨機(jī)選3處進(jìn)行水樣檢測(cè)，則A，B不同時(shí)入選的概率為．一、單選題1．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）從甲、乙等7名同學(xué)中隨機(jī)選2名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙至少一人入選的概率為.2．（23-24高二下·新疆·期中）某校開設(shè)美術(shù)、書法、籃球、足球和象棋興趣班．已知該校的學(xué)生小明和小華每人報(bào)名參加其中的兩種興趣班，且小明至少參加一種球類的興趣班，則小明和小華至少參加同一個(gè)興趣班的概率是（

）A． B． C． D．3．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）下列有關(guān)事件的說(shuō)法正確的是（

）A．若，則事件A，B為對(duì)立事件B．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大C．若A，B為互斥事件，則D．若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則4．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，箱子里有10個(gè)大小一樣的小球，其中紅色的5個(gè)，黃色的3個(gè)，藍(lán)色的2個(gè)，現(xiàn)從中任意取出3個(gè)，則其中至少含有兩種不同顏色的小球的概率為.5．（24-25高二上·江西宜春·階段練習(xí)）有一種珍惜物種，對(duì)于其每個(gè)個(gè)體，每天都會(huì)發(fā)生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不變，有的概率分裂成兩個(gè)，對(duì)所有新產(chǎn)生的生物每天也會(huì)發(fā)生上述事件，假設(shè)開始只有一個(gè)這樣的珍惜生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過(guò)，則的最大值為．1．（全國(guó)·高考真題）從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是A． B． C． D．2．（山東·統(tǒng)考高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點(diǎn)中任選一處，那么甲、乙兩位同學(xué)恰好選取同一處景點(diǎn)的概率是（

）A． B． C． D．3．（遼寧·高考真題）4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為A． B． C． D．4．（重慶·高考真題）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同．從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為A． B． C． D．5．（廣東·高考真題）在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是（

）A． B． C． D．6．（全國(guó)·高考真題）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．7．（全國(guó)·高考真題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A． B． C． D．8．（重慶·高考真題）從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（

）．A． B． C． D．9．（遼寧·高考真題）甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是，那么恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是A． B．C． D．10．（福建·高考真題）在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)黑球的概率等于A． B． C． D．11．（天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿锳． B． C． D．12．（湖北·高考真題）甲：、是互斥事件；乙：、是對(duì)立事件，那么A．甲是乙的充要條件 B．甲是乙的充分但不必要條件C．甲是乙的必要但不充分條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件13．（安徽·高考真題）袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）A． B． C． D．14．（陜西·高考真題）從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為A． B． C． D．15．（重慶·高考真題）從編號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是