第七章：空間向量與立體幾何（模塊綜合調(diào)研卷）（A4版-教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習考點幫

Page第七章：空間向量與立體幾何（模塊綜合調(diào)研卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點，則（

）A． B．平面BCEC． D．平面【答案】B【分析】對于A，說明異面即可判斷；對于B，說明平面平面即可判斷；對于C，可以用反證法導(dǎo)出矛盾，進而判斷；對于D，顯然不垂直.【詳解】對于A，設(shè)為中點，則，但相交，所以異面，故A錯誤；對于B，設(shè)的中點為H，則，，因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又因為平面，故平面平面，又平面，故平面BCE，選項B正確．對于C，在中，，，故EF與不可能垂直（否則垂直平分，會得到，這與矛盾），C選項錯誤．對于D，易知平面，又，故D選項錯誤．故選：B.2．已知是三個不同的平面，為兩條不同直線，則下列說法正確的是：（

）.A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】對于ABD：以正方體或正四棱錐為載體，舉反例說明即可；對于C：根據(jù)線面平行、面面平行的性質(zhì)分析判斷.【詳解】在正方體中，對于選項A：例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，則平面平面，即，取平面平面，滿足，但，故A錯誤；對于選項B：例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，則平面平面，即，取，滿足，但平面與平面不相互垂直，故B錯誤；對于選項C：因為，可知相交，設(shè)，又因為，則，又因為，，，則，所以，故C正確；對于選項D：在正四棱錐中例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，則平面平面，平面平面，即，滿足，但平面與平面不一定垂直，故D錯誤；故選：C.3．圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐內(nèi)切球半徑為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由等面積法先求出圓錐底面圓的半徑，再由等面積法求出圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑即可得解.【詳解】若圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則，其中為圓錐底面圓的半徑，根據(jù)對稱性，圓錐內(nèi)切球半徑為圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓圓心為點，圓錐底面圓心為點，為圓錐的母線，設(shè)，由題意，由等面積法有.故選：C.4．已知正方體中，E為中點，則異面直線與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，，根據(jù)異面直線所成角的定義，轉(zhuǎn)化為求（或其補角），然后在中用余弦定理即可解得.【詳解】連接，，如圖：因為為正方體可得，所以（或其補角）是異面直線與CE所成角，設(shè)正方體的棱長為，，，在中，，所以異面直線與CE所成角的余弦值是.故選：D.5．如圖，攬月閣位于西安市雁塔南路最高點，承接大明宮、大雁塔，是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點和標志性建筑，可近似視為一個正四棱臺，現(xiàn)有一個攬月閣模型塔底寬，塔頂寬約，側(cè)面面積為，據(jù)此計算該攬月閣模型體積為（

）A．1400 B．2800 C． D．8400【答案】B【分析】設(shè)斜高，利用側(cè)面積求出斜高，求出棱臺的高，利用臺體體積公式得到答案.【詳解】如圖，正四棱臺底面邊長分別為和，側(cè)面積為，設(shè)為斜高，可得，解得，即，∴棱臺的高，∴，棱臺的體積為.故選：B.6．在四面體中，與互相垂直，，且，則四面體體積的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．4.5【答案】A【分析】由橢圓定義可知，點與點都在以為焦點的橢圓上，由到中點距離取最大值時得到，故此時體積最大.【詳解】由題可知，點在平面內(nèi)以為焦點的橢圓上，點在平面內(nèi)以為焦點的橢圓上，所以焦距為，即，由橢圓定義可知長軸長為，即，所以到中點距離的最大值為短半軸長，所以中，，，所以，又，所以當AD垂直平面時四面體體積最大，最大值為，故選：A.7．已知三棱錐中，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理可得，點在底面的投影即為的外心，再利用正弦定理求得外接圓的半徑，然后找到球心的大致位置，根據(jù)半徑相等列等式求解即可.【詳解】過點作平面，垂足為，連接、、，因為，所以，故點是底面的外心，設(shè)外接圓的半徑，由正弦定理，所以，，所以，，設(shè)三棱錐的外接球球心為，顯然在線段上，設(shè)，三棱錐的外接球的半徑為，則，，又，所以，，，三棱錐的外接球的體積為.故選：C.8．在直四棱柱中，，，點在側(cè)面內(nèi)，且，則點軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，結(jié)合已知得，再結(jié)合平面幾何知識即可求解.【詳解】如圖所示，過點作，過點作，因為四棱柱是直四棱柱，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，因為直線平面，所以，因為，，所以，又因為，所以，因為點在側(cè)面內(nèi)，所以在平面直角坐標系中來研究點軌跡的長度，如圖所示：點的運動軌跡為以點為圓心、半徑為2的圓在正方形內(nèi)部的弧，顯然，，所以，所以.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．如圖，點是正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中滿足平面的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【分析】結(jié)合題目條件，根據(jù)線面平行的判斷定理，構(gòu)造線線平行，證明線面平行.【詳解】對A：如圖：

連接，因為為正方體棱的中點，所以，又，所以，平面，平面，所以平面.故A正確；對B：如圖：

因為是正方體棱的中點，所以，，，所以，同理：，.所以5點共面，所以平面不成立.故B錯誤；對C：如圖：

因為是正方體棱的中點，所以，，所以.平面，平面，所以平面.故C正確；對D：如圖：

因為為正方體棱的中點，連接交于，連接，則為的中位線，所以，平面，平面，所以平面.故D正確.故選：ACD10．如圖，在正三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點，，則下列說法正確的是（

）A．若，則異面直線和所成的角的余弦值為B．若，則點C到平面的距離為C．存在，使得平面D．若三棱柱存在內(nèi)切球，則【答案】AB【分析】根據(jù)題設(shè)條件建系，寫出相關(guān)點的坐標，求出相關(guān)向量的坐標，利用向量夾角的坐標公式求解判斷A項，利用點到平面的距離公式計算判斷B項，利用向量數(shù)量積的結(jié)果排除C項，根據(jù)內(nèi)切球的特征求出其半徑即可排除D項.【詳解】如圖，過點作的平行線，交于點，則平面，又，故可分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系.則.對于A，依題意，，則，由，可得異面直線和所成的角的余弦值為，故A正確；對于B，依題意，，設(shè)平面的法向量為，則故可取，又故點C到平面的距離為，故B正確；對于C，設(shè)，則，，由可得，與不垂直，故不存在，使得平面，即C錯誤；對于D，若三棱柱存在內(nèi)切球，不妨設(shè)其半徑為，則，且內(nèi)切球在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)切圓，故由,解得，，故D錯誤.故選：AB.11．在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（

）A．若平面，則動點的軌跡是一條長為的線段B．不存在點，便得平面C．三棱錐的最大體積為D．若且與平面所成的角最大時，三棱錐的體積為【答案】BCD【分析】在取點，使得，證得平面平面，進而得到平面，可判定A不正確；以為原點，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，根據(jù)，得出矛盾，可判定B正確；利用向量的數(shù)量積的運算及三角形的面積公式，求得,在求得點到平面的最大距離，結(jié)合體積公式，可判定C正確；根據(jù)題意，求得點點的軌跡，結(jié)合線面角的公式，求得時，取得最大值，進而求得三棱錐的體積，可判定D正確.【詳解】對于A中，如圖所示，分別在取點，使得，可得，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，又由，且平面，平面，所以平面，又因為，且平面，所以平面平面，且平面平面，若平面，則動點的軌跡為線段，且，所以A不正確；對于B中，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，設(shè)，可得，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，可得，所以，若平面，則，所以存在，使得，則，所以不存在點，使得平面，所以B正確；對于C中，由，可得，則，所以，所以,要使得三棱錐的體積最大，只需點到平面的距離最大，由，可得點到平面的距離，因為，所以當時，即點與點重合時，可得，所以三棱錐的最大體積為，所以C正確；對于D中，在正方體中，可得平面，且平面，所以，則，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，則，所以，即，又由，設(shè)與平面所成的角，所以，因為，可得，當且僅當時，等號成立，所以，即時，與平面所成的角最大值，即，可得，則點到平面的距離為，此時三棱錐的體積為，D正確.故選：BCD.【點睛】方法點撥：求解立體幾何中的動態(tài)問題與存在性問題的策略：1、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；2、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時，用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的關(guān)鍵.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知圓錐的底面周長為，其側(cè)面積與半徑為的球的表面積相等，則該圓錐的體積為．【答案】【分析】根據(jù)題意求圓錐的底面半徑和母線長，進而求圓錐的高和體積.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長為，則，解得．因為半徑為的球的表面積為，即，解得，則圓錐的高．所以該圓錐的體積．故答案為：．13．若將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，八個頂點共截去八個三棱錐，可得到一個有十四個面的多面體.它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，如圖所示，已知該多面體過A，B，C三點的截面面積為，則其棱切球（球與各棱相切）的表面積為.【答案】【分析】設(shè)，外接球的半徑為，根據(jù)該幾何體的對稱性可知該幾何體的棱切球即為底面棱長為2，側(cè)棱長為的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半徑，即可由球的表面積公式即可求解．【詳解】設(shè)，外接球的半徑為，該多面體是由棱長為的正方體沿正方體各棱的中點截去8個三棱錐所得，如圖，過，，三點的截面為正六邊形，其面積，即，根據(jù)該幾何體的對稱性可知該幾何體的棱切球即為底面棱長為2，側(cè)棱長為的正四棱柱的棱切球，故，即，故該多面體的棱切球的表面積為．故答案為：．14．已知長方體的表面積為8，所有棱長和為16，則長方體體積的最大值為.【答案】【分析】由題意可得，，則，從而可設(shè)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得最值.【詳解】設(shè)該長方體的長、寬、高分別為、、，由長方體的對稱性，不妨設(shè)，則有，即，，即，則即，即，即，令，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，即長方體體積的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助題目條件，得到，將多變量轉(zhuǎn)化為單變量，從而可構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)單調(diào)性即可得最值.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．如圖，在直三棱柱中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求點E到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算，即可求解.【詳解】（1）因為為直三棱柱，所以，又D，E，分別為AB，BC的中點，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）

因為為直三棱柱，且，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，且，則，則，，由可得，即，且，解得，設(shè)，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個法向量為，又，即，所以點E到平面的距離.16．如圖1，在菱形中，，沿將向上折起得到棱錐.如圖2所示，設(shè)二面角的平面角為.(1)當為何值時，三棱錐和四棱錐的體積之比為；(2)當時，求平面與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，結(jié)合圖形，得，即，再由相似三角形的性質(zhì)即得；（2）由條件推得為直二面角的平面角，利用其建系，寫出相關(guān)點的坐標，分別求出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求得.【詳解】（1）由圖知，，從而，因，故,則,于是，；（2）因為菱形的對角線互相垂直，設(shè)與的交點為，由可知O點為線段EF的中點，在翻折的過程中，始終有，所以二面角的平面角為，以為坐標原點，分別為軸?軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，可得，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則令，則，可取因平面,故平面的法向量可取為，由題意可得，因，故.17．如圖所示，在等腰梯形中，，，，E為CD中點，AE與BD相交于點O，將沿AE折起，使點D到達點P的位置（平面）．(1)求證：平面平面PBC；(2)若，試判斷線段PB上是否存在一點Q（不含端點），使得直線PC與平面所成角的正弦值為，若存在，求Q在線段PB上的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，Q是PB的中點．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理可得答案；（2）以O(shè)為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，求出平面AEQ的法向量，由線面角的向量求法求出可得答案.【詳解】（1）如圖，在原圖中連接BE，由于，，，所以四邊形ABED是平行四邊形．由于，所以四邊形ABED是菱形，所以．由于，，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以，所以．在翻折過程中，，保持不變，即，保持不變．由于，OP，平面POB，所以平面POB，由于平面PBC，所以平面平面PBC；（2）由上述分析可知，在原圖中，，所以，所以．折疊后，若，則，所以，由于，，平面ABCE，所以平面ABCE．所以O(shè)E，OB，PO兩兩相互垂直．由此以O(shè)為原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，設(shè)，，，，，設(shè)平面AEQ的法向量為，則，令得，故，設(shè)直線PC與平面AEQ所成角為θ，則，所以，，，解得，所以，因為，，、的中點坐標為，即Q是PB的中點．18．正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點.(1)求四面體的體積；(2)是否存在側(cè)棱上一點，使面與面所成角的正切值為？若存在，請描述點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在側(cè)棱上一點，使面與面所成角的正切值為，此時或【分析】（1）連接，交于點，過作于點，根據(jù)位置可得，以為底，為高可得四面體體積；（2）以為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用坐標法，結(jié)合二面角確定點位置.【詳解】（1）如圖所示，連接，交于點，過作于點，由四棱錐為正四棱錐，且為底面中心，得，，平面，，，又，，平面，平面，又，則，因為為上靠近的三等分點，則，且平面，所以；（2）設(shè)平面與平面所成角為，則，，如圖所示，以為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，因為為上