（講評用卷）2024年河南開封二模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2024年河南開封二?！?shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.下列各數(shù)中，與|?2|相加等于0的數(shù)是（）A．2 B．?2C．12

D．1.B【解析】∵|?2|＝2，∴與|?2|相加等于0的數(shù)是?2．2.如圖是一個物體的三視圖，則這個物體可以是（）2.C【解析】根據(jù)主視圖發(fā)現(xiàn)該物體由兩層組成，根據(jù)左視圖和俯視圖確定該物體底層是長方體，第二層是圓柱，且圓柱的底面直徑等于長方體的寬.3.世界上最小的開花結果植物是澳大利亞的出水浮萍，這種植物的果實像一個微小的無花果，質量僅有0.000000076克，數(shù)據(jù)0.000000076用科學記數(shù)法表示為（）A．0.76×10?7

B．7.6×C．7.6×10?8

D．76×3.C【解析】0.000000076＝7.6×10?4.將一副三角尺如圖擺放，點D在AC上，延長EA交CB的延長線于點F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，則∠F的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°4.B【解析】∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°

?∠C＝90°

?30°＝60°．∵∠E＝45°，∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°

?∠E＝90°

?45°＝45°．∵∠FAB+∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠FAB＝180°

?60°

?45°＝75°，又∵∠ABF＝90°，∴∠F＝90°

?∠FAB＝90°

?75°＝15°．5.數(shù)形結合是我們解決數(shù)學問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝?x?1與y＝mx+n（m，n為常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點（1，?2），則不等式?x?1＜mx+n的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）5.A【解析】由一次函數(shù)的圖象可知，當x＞1時，一次函數(shù)y＝?x?1的圖象在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象的下方，∴不等式?x?1＜mx+n的解集是x＞1，∴在數(shù)軸上表示x＞1，只有選項A符合題意．6.如圖是一塊正方形草地，要在上面修建兩條交叉的小路，使得這兩條小路將草地分成面積相等的四部分，修路的方法有（）A．1種 B．2種 C．4種 D．無數(shù)種6.D【解析】由正方形是中心對稱圖形，可知經(jīng)過正方形的對稱中心作互相垂直的兩條直線，則這兩條直線把草地分成面積相等的四部分，即修路方法有無數(shù)種．7.若關于x的一元二次方程ax2

?2x

?1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的值可以是（）A．2

B．0C．-1 D．-27.A【解析】根據(jù)題意，得b2?4ac＝4?4a×(?1)＝4+4a＞0，解得a＞?1，又∵a

≠0，∴a的值可以是

8.如圖為小聰某次從家出發(fā)去公園游玩的行程，他離家的路程為s米，所經(jīng)過的時間為t分鐘．下列選項中的圖象，能近似刻畫s與t之間關系的是（）8.A【解析】由題意可知，小聰某次從家出發(fā)，s米表示他離家的路程，∴C、D錯誤；小聰在涼亭休息10分鐘，∴A正確，B錯誤．9.如圖，點A(3a，a)是反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象與⊙A．y=B．y=C．y=D．y9.D【解析】設圓的半徑是r．根據(jù)圓的對稱性及反比例函數(shù)的對稱性可得14πr2＝4π，解得r＝4(負值已舍去)．∵點A（3a，a）是反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象與⊙O的一個交點，∴3a2＝k且

(?3a)2+(?a)2=r=4，∴a210.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4

cm，AB＝5cm，點P從點A出發(fā)，沿AC以1cm/s的速度向點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿CB以2cm/s的速度向點B運動（當點Q運動到點B時，點P、Q同時停止運動）．在運動過程中，四邊形PABQ面積的最小值為（）A．152cm

2B．92cm

2C．154cm

2D．94cm

10.C【解析】設點P的運動時間為x，四邊形PABQ的面積為y，則AP＝x，CQ＝2x．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴CA

=AB2?BC2=3cm，∴CP＝3﹣x，∴y

=12×3×4

?12×2x·（3﹣x）＝（x

?32）2

+154，∴當x

=32時二、填空題11.北京冬季里某一天的氣溫為﹣3℃～3℃，﹣3℃的含義是

．11.零下3℃【解析】﹣3℃的含義是零下3℃．12.不等式組1?2x≥12.3【解析】1?2x≥?3①x+22＞?1②，解不等式①，得x≤2；解不等式②，得x＞∴不等式組的正整數(shù)解為1，2，∴不等式組的正整數(shù)解的和為1+2＝3.13.某校“綜合與實踐”小組為了解全校2400名學生的每周閱讀課外書的情況，隨機抽取部分學生進行問卷調查，繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖：（只能單選，每項含最小值，不含最大值）您平均每周閱讀課外書的時間大約是：A.8小時及以上B.6～8小時C.4～6小時D.0～4小時估計該校2400名學生中，平均每周閱讀課外書時間在“6小時及以上”的人數(shù)為

．13.1152名【解析】2400×（32%+16%）＝1152（名），∴估計該校2400名學生中，平均每周閱讀課外書時間在“6小時及以上”的人數(shù)為1152名.14.我國古代算書《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？”其大意是現(xiàn)有九百九十九文錢，共買甜果和苦果一千個．已知九個甜果十一文錢，七個苦果四文錢，請問甜果和苦果各買多少個？買甜果和苦果各需要多少文錢？設甜果買x個，苦果買y個，則可列方程組為

．14.x【解析】每個甜果的價格為119文，每個苦果的價格為47文，根據(jù)題意得，15.如圖，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝16，EF是△ABC的中位線，D是邊AB上一點，AD＝2，P是線段DB上的一個動點，連接EP，DF相交于點O．若△DOP是直角三角形，則OE的長是

．15.162929或【解析】∵∠A＝∠B＝45°，∴AC＝BC，∴∠C＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形.∵AB＝16，∴AC＝BC＝8

2.∵EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB，CF＝BF＝4

2，EF

=12AB＝8，∴∠EFO＝∠PDO．①當∠DOP＝90°時，如答案圖①，過點F作FH⊥AB于點H，∴△BHF是等腰直角三角形，∴BH＝FH＝4.∵AD＝2，∴DH＝16－2－4＝10.∵∠EFO＝∠PDO，∴tan∠EFO＝tan∠PDO，∴

OEOF=FHDH=410=25.設OE＝2x，OF＝5x.在Rt△OEF中，由勾股定理得OE2+OF2＝EF2，∴（2x）2+（5x）2＝82，解得x

=82929，即OE

=162929；②當∠OPD＝90°時，如答案圖②，過點F作FH⊥AB于點H，則FH＝BH＝EP＝AP＝4.∵AD＝2，∴PD＝4－2＝2，∵EF∥AB，∴△EFO∽△PDO，∴三、解答題16.化簡：

(xx+

解：原式＝[

x(x?解：原式

=

（1）甲同學解法的依據(jù)是

，乙同學解法的依據(jù)是

；（填序號）①等式的基本性質；②分式的基本性質；③乘法分配律；④乘法交換律．（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．16.解：（1）②，③；解：（2）若選擇甲同學的解法：(x＝[x(x?=x=2＝2x；若選擇乙同學的解法：(x=x=x＝x﹣1+x+1＝2x．（任選其一即可）17.2024年3月25日，是第29個全國中小學生安全教育日，為切實增強同學們的安全防范意識和避險能力，保障學生安全，提高學生面臨突發(fā)安全事件自救自護應變能力，某校在3月份開展了一系列的安全知識講座以及相應的安全演練，為了解學生對“安全知識”的掌握情況．學校分別從八年級和九年級隨機抽取各40名學生進行測試，并收集了這些學生的測試成績，整理和分析，研究過程中的部分信息如下：信息一：安全知識測試共10道題目，每題10分；信息二：九年級成績的頻數(shù)分布直方圖如下：信息三：八年級平均成績的計算過程如下：

60×3信息四：如表所示：

統(tǒng)計量年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差九年級82.580n118.75八年級80.5m70174.75根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）m＝

，n＝

；（2）你認為哪個年級的成績更加穩(wěn)定？請說明理由；（3）在本次測試中，九年級甲同學和八年級乙同學的成績均為80分，你認為兩人在各自年級中誰的成績排名更靠前？請說明理由．（4）學校安排七年級主辦一期安全知識宣傳板報，要求從A.交通安全，B.食品安全，C.消防安全，D.網(wǎng)絡與信息安全，E.心理健康與安全，請從中選擇兩個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求七年級選擇D和E的概率．17.解：（1）75，80；（2）由表知，九年級成績的方差為118.75，八年級成績的方差為174.75，∵118.75＜174.75，∴九年級成績更加穩(wěn)定；（3）乙同學成績排名更靠前.∵甲同學成績正好等于該年級成績的中位數(shù)，而乙同學成績大于該年級成績的中位數(shù)，∴乙同學成績排名更靠前；（4）根據(jù)題意列表如圖下：

第一次第二次ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）．B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由表可知，共有20種等可能的結果，其中七年級選擇D和E的結果有2種，∴七年級選擇D和E的概率為

22018.如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是BC?的中點，連接（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)，過點D作直線l垂直于直線AC；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若（1）中所作的直線l與直線AC交于點E，與AB的延長線交于點F．①判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；②若DF＝DA，

DE=3，則

BC?18.解：（1）如答案圖①，直線l即為所求；答案圖①（2）①如答案圖②，連接OD交BC于點G，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵EF⊥AC，∴∠CED＝90°．∵D是

B︵∴OD⊥BC，∴四邊形CEDG是矩形，∴∠ODE＝90°，

CG∵OD是⊙O的半徑，∴直線EF與⊙O相切；答案圖②②

4π【解法提示】如答案圖②，連接OD交BC于點G，∵D是

BC?的中點，∴∠BAD＝∠CAD，OD⊥BC，由①得，CG＝DE，∴

BC=2CG=23，∵DF＝DA，∴∠AFD＝∠BAD，∴∠AFD＝∠BAD＝∠CAD，∴∠ADE＝∠BAC＝2∠BAD，∵∠ADE+∠CAD＝90°，∴∠AFD＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，∴∠AOD＝120°，∵

sin∠BAC=BCAB，∴19.水龍頭關閉不嚴會造成滴水，為了調查漏水量與漏水時間的關系，某興趣小組進行以下試驗與探究：（1）試驗：在滴水的水龍頭下放置一個能顯示水量的容器量筒，每5min記錄一次容器中的水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經(jīng)有少量水，因而得到如表中的一組數(shù)據(jù)．時間t/min510152025…水量

y/mL173247a77…（2）探究：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，請判斷y

=k1t（k1≠0）和y＝k2t+b（k2≠0，k2，b為常數(shù)）哪個表達式能準確的反映水量y與時間t的函數(shù)關系？求出該表達式并寫出漏記的（3）應用：①興趣小組用100mL量筒進行測量，請估計在第30分鐘量筒是否滴滿？②成年人每天大約需飲水1600mL，請估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一位成年人飲用天數(shù)．19.解:（2）y＝k2t+b（k2≠0，k2，b為常數(shù)）能準確的反映水量y與時間t的函數(shù)關系，由題意得

5k解得

k2∴y與t的函數(shù)表達式為y＝3t+2，當t＝20時，y＝a＝3×20+2＝62；（3）①當t＝30時，y＝3×30+2＝92＜100，∴在第30分鐘量筒沒有滴滿；②當t＝30×24×60＝43

200時，y＝3×43200+2＝129602，129602÷1600＝81……2，∴水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一位成年人飲用81天．20.如圖①所示的手機平板支架由托板，支撐板和底座構成，如圖②所示是其側面結構示意圖．已知托板長AB＝150mm，支撐板長CD＝603mm，BC＝60mm，托板AB固定在支撐板頂端點C處，可繞C點旋轉，支撐板CD可繞點D轉動，（結果精確到0.1mm，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，5（1）若∠DCB＝75°，∠CDE＝60°，點A到底座DE的距離是

mm；（2）為了觀看舒適，在（1）中的∠DCB＝75°調整成90°，再將CD繞點D順時針旋轉，恰好使點B落在直線DE上，則CD順時針旋轉的角度為

°，此時點A到底座DE的距離與（1）中相比是增大了還是減小了？增大或減小了多少？20.解：（1）153.5；【解法提示】如答案圖①所示，過點C作CF⊥DE，垂足為F，過點A作AG⊥DE，交ED的延長線于點G，過點C作CH⊥AG，垂足為H，由題意得，CF＝GH，CH∥DE，∴∠DCH＝∠CDE＝60°，在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝60

3mm，∴CF＝CD?sin60°＝60

3×32=90（mm），∵∠DCB＝75°，∴∠ACH＝180°－∠DCB－∠DCH＝45°，∵AB＝150mm，BC＝60mm，∴AC＝AB－BC＝150﹣60＝90（mm），在Rt△ACH中，AH＝AC?sin45°＝90

×22=45

2（mm），∴AG＝AH+HG＝45

2+90≈153.5（mm），∴答案圖①（2）30；此時點A到底座DE的距離與（1）中相比是減小了23.7mm.【解法提示】（2）如答案圖②所示，過點A作AM⊥DE，垂足為M，∵∠DCB＝90°，CD＝60

3mm，BC＝60mm，∴tan∠D

=BCCD=60603=33，∴∠D＝30°，∴CD順時針旋轉的角度＝60°－30°＝30°；∵∠DCB＝90°，∠D＝30°，∴∠DBC＝90°－∠D＝60°，∵在Rt△ABM中，AB＝150mm，∴AM＝AB?sin60°＝150

×32=75

3（mm），∴此時點A到底座DE的距離為75

3mm，∵153.5

?75

3≈153.5答案圖②21.讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．某校為提高學生的閱讀品味，決定購買獲得茅盾文學獎的甲、乙兩種書．已知每本甲種書的價錢比每本乙種書的價錢多10元，若購買相同數(shù)量的甲、乙兩種書分別需花費1750元和1250元．（1）求甲、乙兩種書的單價；（2）如果學校決定再次購買甲、乙兩種書共100本，總費用不超過2800元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？21.解：（1）設甲種書的單價為x元，則乙種書的單價為（x﹣10）元，由題意得

1750x解得x＝35，經(jīng)檢驗，x＝35是原分式方程的解，且符合實際，∴x－10＝35－10＝25，答：甲、乙兩種書的單價分別為35元、25元；（2）設該校購買了甲種書m本，則購買了乙種書（100－m）本，則35m+25（100－m）≤2800，解得m≤30，∴該校最多可以購買30本甲種書．22.根據(jù)以下素材，探索并完成任務．

探究汽車剎車性能“道路千萬條，安全第一條”．剎車系統(tǒng)是車輛行駛安全重要保障，某學習小組研究了剎車性能的相關問題（反應時間忽略不計）．素材1剎車時間：駕駛員從開始踩剎車到汽車完全停止，汽車所行駛的時間．剎車距離：駕駛員從踩下剎車開始到汽車完全停止，汽車所行駛的距離．素材2汽車研發(fā)中心設計一款新型汽車，某興趣小組成員記錄了模擬汽車在公路上以某一速度勻速行駛時的剎車性能測試數(shù)據(jù)，具體如下：剎車后汽車行駛時間t（s）1234剎車后汽車行駛距離y（m）27486372素材3該興趣小組成員發(fā)現(xiàn)：①剎車后汽車行駛距離y（單位：m）與行駛時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關系y＝at2+bt（a≠0）、a、b為常數(shù)）；②剎車后汽車行駛距離y隨行駛時間t的增大而增大，當汽車剎車后行駛的距離最遠時，汽車完全停止．問題解決：請根據(jù)以上信息，完成下列任務．（1）任務一：求y關于t的函數(shù)表達式；（2）任務二：汽車司機發(fā)現(xiàn)正前方90m處有一個障礙物在路面，立刻剎車，判斷該車在不變道的情況下是否會撞到障礙物？請說明理由．22.解：（1）由題意，設y＝at2+bt+c，將（1，27），（2，48），（3，63）代入，得a+解得a=∴y關于t的函數(shù)表達式為：y＝﹣3t2+30t．（2）不會，理由如下：∵y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t－5）2+75，∴當t＝5時，汽車停下，行駛了75m，∵75＜90，∴該車在不變道的情況下不會撞到障礙物．23.問題情境：“綜合與實踐”課上，李老師進行如下操作，將圖①中的矩形紙片沿著對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ACB和△DEG，其中∠ACB＝∠DEG＝90°，∠A＝∠D，將△ACB和△DEG按圖②所示的方式擺放，其中點B與點G重合（標記為點B），并將△DEG繞點B旋轉，