（講評用卷）2024年河南某鄭州外國語一模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2024年河南某鄭州外國語一?！?shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.在?13，6，1.23，0A．?13

B．C．1.23 D．01.B【解析】6是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù).2.如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小正方體組成的，從左面觀察該幾何體，看到的形狀圖為（）2.B3.據(jù)利川市政府公布的工作報告顯示，2022年利川全年接待游客1816萬人次，實現(xiàn)旅游綜合收入99.44億元，連續(xù)三年上榜中國縣城旅游發(fā)展?jié)摿Π購娍h市．下列用科學記數(shù)法表示“99.44億”正確的是（）A．99.44×108 B．9.944×108C．9.944×109 D．9.944×109億3.C【解析】99.44億＝9944000000＝9.944×109．4.一根直尺和一個45°角的三角板按如圖方式疊合在一起，若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)是（）A．62° B．56° C．45° D．28°4.A【解析】如圖，∵AB∥CD，∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1+∠3＝90°，∵∠1＝28°，∴∠2＝∠3＝90°﹣28°＝62°．5.化簡2x?2x?A．1B．2xC．2D．﹣25.C【解析】原式=2x?2x?2?2x6.如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的點，

BC?＝DC?．若∠CBD＝35°，A．20° B．35° C．40° D．70°6.A【解析】如圖，連接OC，OD，∵∠CBD＝35°，∴∠COD＝2∠CBD＝70°，∵

BC?＝DC?，∴∠BOC＝∠COD＝70°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC﹣∠COD＝40°，∴∠ABD

7.下列關(guān)于方程x2﹣5x+7＝0的根結(jié)論正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有一個實數(shù)根 D．無實數(shù)根7.D【解析】由題意得，b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，∴方程沒有實數(shù)根．8.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.58.B【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD=12AC?BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=9.拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，與x軸的一個交點坐標為（4，0），拋物線的對稱軸是直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＝0；④方程ax2+bx+c＝2有兩個不相等的實數(shù)根；⑤若點A（m，n）在該拋物線上，則am2+bm+c≤a+b+c．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9.C【解析】由函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴?b2a=1，即2a+b＝0，故②正確；∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（4，0），且對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣2，0），將此點坐標代入函數(shù)表達式得，4a﹣2b+c＝0，故③正確；∵方程ax2+bx+c＝2的實數(shù)根，可看成函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象和直線y＝2交點的橫坐標，顯然函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與直線y＝2有兩個不同的交點，∴方程ax2+bx+c＝2有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，且開口向下，∴當x＝1時，函數(shù)有最大值a+b+c，則對于拋物線上的任意一點A（m，n），其函數(shù)值不大于a+b+c，即am2+bm+c≤a+b+c．故⑤正確；綜上所述，正確的10.如圖①，在△ABC中，∠B＝108°，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C→A勻速運動一周．若點P的運動速度為1cm/s，設(shè)點P的運動時間為t（s），AP的長度為v（cm），v與t的函數(shù)圖象如圖②所示．當BP恰好是∠ABC的一條三等分線時，t的值為（）

圖①

圖②A．5+2或5 B．5+3C．5+3或5 D．5+210.B【解析】如圖，BP，BP′是∠ABC的三等分線，根據(jù)函數(shù)圖象可知，AB＝BC＝2，∵∠ABC＝108°，∴∠A＝∠C＝∠ABP′＝∠CBP＝∠PBP′＝36°，∴∠APB＝∠ABP＝72°，∴AB＝AP＝2，同理CP′＝BC＝2，∵∠PBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△PBC∽△BAC，∴BCAC=PCBC，∴

22+PC=PC2，∴PC=5?1或?5?1（負值舍去），∴AB+BC+PC=5+3，AB+BC+CP二、填空題11.某輪船順水航行3h，已知輪船在靜水中的速度是akm/h，水流速度是bkm/h，輪船共航行

km．11.3（a+b）【解析】∵輪船在靜水中的速度是akm/h，水流速度是bkm/h，∴輪船順水航行的速度是（a+b）km/h，∴輪船順水航行3h共航行了3（a+b）km．12.已知x與y互為相反數(shù)，并且2x﹣y＝3，則xy的值為

．12.1【解析】∵x與y互為相反數(shù)，∴x+y＝0，∴

x+y=0①2x?y=3②，①+②得3x＝3，解得x＝1，∴y＝﹣13.在三張大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫一個數(shù)字，分別為1、6、6，現(xiàn)將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后從中任意摸出一張，記下數(shù)字后放回，攪勻后再任意摸出一張，記下數(shù)字，則兩次摸到不同數(shù)字的概率是

．13.4【解析】由題意畫樹狀圖如下，由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到不同數(shù)字的結(jié)果有4種，∴兩次摸到不同數(shù)字的概率為4914.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點為格點，已知Rt△ABC的三個頂點均在格點上，且∠BAC＝90°，點M為AC上一點，以點A為圓心，AM的長為半徑作圓與邊BC相切于點N，已知

MN?為該圓的一部分，則圖中由線段CN，CM及MN?所圍成的陰14.17【解析】如圖，連接AN，根據(jù)網(wǎng)格，可得AB=12+42=17，

AC=12+42=17，

BC=32+52=34，∴BC2＝AC2+AB2，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∵邊BC與MN?所在的圓相切于點N，15.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點P，Q分別為AB，BC上一個動點，將△PQB沿PQ折疊得到△PQD，點B的對應(yīng)點是點D，若點D始終在邊AC上，當△APD與△ABC相似時，AP的長為

．15.83或【解析】∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，當△APD與△ABC相似時，∵點D始終在邊AC上，根據(jù)折疊可知，PB＝PD，設(shè)AP＝x，則PB＝PD＝4﹣x，∴當△APD∽△ABC時，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴AP＝2DP，即x＝2（4﹣x），解得x

=83，∴AP

=83；當△APD∽△ACB時，∠APD＝∠ACB＝90°，∴DP＝AP?tan30°

=33AP，即4﹣x

=33x，解得x

=6?23，∴AP

=三、解答題16.（1）計算：

(?（2）化簡：（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x﹣1）．16.解：（1）(=1=1=2（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x﹣1）＝4x2﹣1﹣4x2+4x＝4x﹣1．17.為積極創(chuàng)建“全市兒童青少年近視防控示范學校”，培養(yǎng)學生良好的用眼習慣，某校本學期開展了正確用眼知識競賽，從中隨機抽取20份學生答卷，并統(tǒng)計成績（成績得分用x表示，單位：分），收集數(shù)據(jù)如下：86

82

90

99

98

96

90

100

89

8387

88

81

90

93

100

96

100

92

100整理數(shù)據(jù)：80≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤10034a8分析數(shù)據(jù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)92bc請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出上述表格中a，b，c的值；（2）該校有2700名學生參加了知識競賽，請估計成績不低于90分的人數(shù)；（3）請從中位數(shù)、眾數(shù)中選擇一個量，結(jié)合本題解釋它的意義．17.解：（1）5；91；100；【解法提示】∵20-3-4-8=5，∴a＝5；將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序重新排列為81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，其中位于中間的兩個數(shù)分別是90，92，∴b

=90+922=91，∵在這組數(shù)據(jù)中，100出現(xiàn)（2）估計成績不低于90分的人數(shù)是2700×1320答：估計成績不低于90分的人數(shù)是1755人；（3）中位數(shù)：在統(tǒng)計的問卷的成績中，最中間的兩個分數(shù)的平均數(shù)是91分；眾數(shù)：在統(tǒng)計的問卷的成績中，得100分的人數(shù)最多（答案不唯一，合理即可）．18.如圖，一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象交于A（﹣1，﹣3），B（3（1）求這兩個函數(shù)的表達式；（2）點C（0，m）為y軸上一個動點，請你利用尺規(guī)作圖，過圖中所標的C點作垂直于y軸的直線，分別交反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象于D，E兩點，當點E位于點D右方時，請直接寫出m的取值范圍．18.解：（1）∵點A（﹣1，﹣3）在反比例函數(shù)y=kx∴k＝3，∴反比例函數(shù)表達式為y=3∵B（3，n）點在y=3x的∴當x=3時，n＝1，∴B（3，1），∵點A（﹣1，﹣3），B（3，1）在一次函數(shù)y＝ax+b的圖象上，∴

?a解得

a=∴一次函數(shù)表達式為y＝x﹣2；（2）如圖，作出垂線如圖所示；點E位于點D右方時，由圖可知m＞1或﹣3＜m＜0．19.如圖①，日晷儀也稱日晷，是觀測日影計時的儀器．它是根據(jù)日影的位置，指定當時的時辰或刻數(shù)，是我國古代較為普遍使用的計時儀器．小東為了探究日晷的奧秘，在不同時刻對日晷進行了觀察．如圖②，日晷的平面是以點O為圓心的圓，線段BC是日晷的底座，點D為日晷與底座的接觸點（即BC與⊙O相切于點D）．點A在⊙O上，OA為某一時刻晷針的影長，AO的延長線與⊙O交于點E，與BC交于點B，連接AC，OC，CE，BD＝CD＝3dm，OA⊥AC．（1）求證：∠B＝∠ACO；（2）求CE的長．19.（1）證明：如圖，連接OD，∵BC與⊙O相切于點D，∴OD⊥BC，∵BD＝CD，OD＝OD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OD⊥BC，OA⊥AC，∴∠ODC＝∠OAC＝90°，在Rt△AOC與Rt△DOC中，OA∴Rt△AOC≌Rt△DOC（HL），∴∠ACO＝∠DCO，∴∠B＝∠ACO；（2）∵由（1）知，∠B＝∠ACO=∠OCB，∠BAC=90°，∴∠B+∠ACO+∠OCB=90°，∴∠B＝30°，∴

AC=12BC＝CD＝BD＝∴OA

=33AC

∴AE＝2OA＝2

3，∴CE

=AE220.如圖①，②分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，AB⊥BC于點B，底座BC＝1.3m，底座BC與支架AC所成的夾角∠ACB＝60°，點H在支架AF上，籃板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于點E，已知AH=22m，HF=2m，HE（1）求籃板底部支架HE與支架AF所成的夾角∠FHE的度數(shù)；（2）求籃板底部點E到地面的距離.（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈20.解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE

=H∴∠FHE＝45°，∴籃板底部支架HE與支架AF所成的夾角∠FHE的度數(shù)為45°；（2）如圖，延長FE交CB的延長線于點M，過點A作AG⊥FM于點G，過點H作HN⊥AG于點N，則四邊形ABMG和四邊形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB

=ABBC，∴AB＝tan60°?BC＝3×1.3=∴GM＝AB＝133在Rt△ANH中，∵sin∠FAN=HNAH，∠FAN＝∠∴HN＝sin45°?AH=2∴EM＝EG+GM

=12答：籃板底部點E到地面的距離大約是2.75m．21.某超市分兩次購進A，B兩種商品進行銷售，兩次購進同一種商品的進價相同，具體情況如表所示：購進數(shù)量（件）購進所需費用（元）種類AB第一次30402900第二次40302700（1）求A、B兩種商品每件的進價分別是多少元？（2）商場決定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售．為滿足市場需求，需購進A、B兩種商品共1000件，且A商品的數(shù)量不少于B種商品數(shù)量的4倍，請你求出獲利最大的進貨方案，并確定最大利潤．21.解：（1）設(shè)A，B兩種商品每件的進價分別是x元，y元，根據(jù)題意得，

30x解得

x=∴A，B兩種商品每件的進價分別是30元，50元；（2）設(shè)A商品a件，B商品(1000?a)件，利潤為m元，根據(jù)題意得，

a≥解得800≤a≤1000，m＝(45?30)a+(75?50)(1000?a)＝25000?10a，∵k＝?10＜0，∴m隨a的增大而減小，∴a＝800時，m的最大值為17000元，∴購進A商品800件，B商品200件，最大利潤為17000元．22.2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情．如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1：y

=?112x2

+76x+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y=?18x（1）當運動員運動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線C2的函數(shù)表達式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍．22.解：（1）將點（0，4）和（4，8）代入拋物線C2：y=?18x2+bx得

4=解得

b=∴拋物線C2的函數(shù)表達式為y=?18x2+（2）設(shè)運動員運動的水平距離為m米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得，?18m2

+32m+4

?（?112m2整理得，（m﹣12）（m+4）＝0，解得m1＝12，m2＝?4（舍去），故運動員運動的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米；（3）∵C1：y=?112x2+76x+1=?112（x當x＝7時，運動員到達坡頂，即?18×72+7b+4＞3解得b＞3523.下面是某數(shù)學興趣小組用尺規(guī)作圖“作一條線段的三等分點”的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖①，①分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑在AB兩側(cè)畫弧，四段弧分別交于點C，點D②連接AC，BC，AD，作射線BD；③以D為圓心，BD的長為半徑畫弧，交射線BD于點E；④連接CE，分別交AB，AD于點F，H，點且點F即為AB的三等分點（即AF=13任務(wù)：（1）填空：四邊形ADBC的形狀是

，你的依據(jù)是

；（2）在證明點F為AB的三等分點時，同學們有不同的思路．小明：我是先證明△AHC?△DHE，再通過證明△AHF∽△BCF得到結(jié)論的；小亮：我是通過證明一次三角形相似得到結(jié)論的；小穎：我是通過作輔助線．請你選擇一種自己喜歡的思路給出證明；（3）如圖②，若∠CAD＝60°，AC＝43，將CH繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點H的對應(yīng)點H′落在直線FD上時，請直接寫出DH′的長．23.解：（1）菱形；四條邊相等的四邊形是菱形；【解法提示】由作法可知，AC＝AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBC是菱形．（2）選小明的思路證明如下：由作圖可知，AC＝BC＝AD＝BD＝DE，∴四邊形ADBC是