2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六單元　第二十三講　圓的有關(guān)概念及性質(zhì)（含答案）

6年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二十三講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)學(xué)生版知識(shí)要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練習(xí)1.圓的定義及性質(zhì)(1)定義:在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形.

(2)軸對(duì)稱性:圓是,任何一條都是它的對(duì)稱軸.

(3)旋轉(zhuǎn)不變性:圍繞著它的任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度都能與原來的圓重合

1.(教材再開發(fā)·湘教九下P46習(xí)題2.1T2改編)下列說法中正確的個(gè)數(shù)有()①平分弦的直徑一定垂直于弦;②圓是軸對(duì)稱圖形,每一條直徑都是對(duì)稱軸;③直徑是弦;④長(zhǎng)度相等的弧是等弧.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.垂徑定理及推論(1)垂徑定理:垂直于弦的直徑,并且平分弦所對(duì)的.

(2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑,并且平分弦所對(duì)的.

2.(2024·新疆中考)如圖,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足為E.若CD=8,OD=5,則BE的長(zhǎng)為()A.1 B.2 C.3 D.43.弧、弦、圓心角的關(guān)系(1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧,所對(duì)的弦也.

(2)推論:在同圓或等圓中,①如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角,所對(duì)的弦.

②如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角,所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別.

3.(教材再開發(fā)·湘教九下P49T1改編)如圖,在☉O中AB=CD,∠AOB=45°,則∠COD=()A.60° B.45° C.30° D.40°4.圓周角定理及推論(1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的.

(2)推論:①半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是,90°的圓周角所對(duì)的弦是.

②在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓周角,它們所對(duì)的弧一定.

4.如圖,A,B,C為☉O上的三個(gè)點(diǎn),∠AOB=80°,則∠C的度數(shù)為()A.30° B.35° C.40° D.45°5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(1)性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形對(duì)角.

(2)推論:圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的.

5.(2024·吉林中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,過點(diǎn)B作BE∥AD,交CD于點(diǎn)E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數(shù)是()A.50° B.100° C.130° D.150°考點(diǎn)圓的基本性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算(一題多設(shè)問)【例】如圖,點(diǎn)A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直徑.連接AB,BC,CD,AD,DB,OD,OB.AC與BD交于點(diǎn)F,請(qǐng)回答下列問題:問題1若∠ACB=30°,則∠BOC=,∠BDC=,∠AOB=,∠ADB=.

問題2若∠BAC=40°,則∠OBC=.

問題3若☉O的半徑為2,∠AOB=∠AOD=60°,則AB=,AD=.

問題4若AB=CD,∠BOC=100°,則∠AOB=,∠COD=.

問題5若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,則BD=.

問題6若AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,BD=8,AF=2,求☉O的半徑.問題7若AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,BD=8,☉O的直徑為10,求AF的長(zhǎng).問題8已知∠BOD=130°,則∠BAD=.

問題9已知∠ACB=30°,若點(diǎn)E是圓上異于A,B,C的另一點(diǎn),則∠AEB的度數(shù)是.

【滿分技法】1.在解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算問題時(shí),一般先判斷角是圓周角還是圓心角;再轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角或圓心角,利用同弧所對(duì)的圓周角相等,同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解;當(dāng)角是圓周角時(shí),也可考慮圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或等腰三角形的性質(zhì),求解角的度數(shù).提醒:當(dāng)點(diǎn)在圓上的位置不確定時(shí),一定要考慮優(yōu)弧或劣弧的不同情況,避免漏解.2.在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等.3.垂徑定理基本圖形計(jì)算中的“四變量”“兩關(guān)系”(1)四變量:如圖,設(shè)弦長(zhǎng)為a,圓心到弦的距離(弦心距)為d,半徑為r,弧的中點(diǎn)到弦的距離(弓形高)為h,這四個(gè)變量知任意兩個(gè)即可求其他兩個(gè).(2)兩關(guān)系:①(a2)2+d2=r2;②h+d=注意:計(jì)算時(shí)常通過作半徑或過圓心作弦的垂線段來構(gòu)造直角三角形.1.(2024·湖南中考)如圖,AB,AC為☉O的兩條弦,連接OB,OC,若∠A=45°,則∠BOC的度數(shù)為()A.60° B.75° C.90° D.135°2.(2024·長(zhǎng)沙中考)如圖,在☉O中,弦AB的長(zhǎng)為8,圓心O到AB的距離OE=4,則☉O的半徑長(zhǎng)為()A.4 B.42 C.5 D.523.(2022·株洲中考)如圖所示,等邊△ABC的頂點(diǎn)A在☉O上,邊AB,AC與☉O分別交于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F是劣弧DE上一點(diǎn),且與D,E不重合,連接DF,EF,則∠DFE的度數(shù)為()A.115° B.118° C.120° D.125°4.(多選題·2023·湘潭中考)如圖,AC是☉O的直徑,CD為弦,過點(diǎn)A的切線與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B,若AB=AC,則下列說法正確的是(ABD)A.AD⊥BC B.∠CAB=90°C.DB=AB D.AD=125.(2023·株洲中考)如圖所示,點(diǎn)A,B,C是☉O上不同的三點(diǎn),點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,連接BO,CO,并延長(zhǎng)線段BO交線段AC于點(diǎn)D.若∠A=60°,∠OCD=40°,則∠ODC=度.

6.(2022·長(zhǎng)沙中考)如圖,A,B,C是☉O上的點(diǎn),OC⊥AB,垂足為點(diǎn)D,且D為OC的中點(diǎn),若OA=7,則BC的長(zhǎng)為.

2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二十三講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)教師版知識(shí)要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練習(xí)1.圓的定義及性質(zhì)(1)定義:在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形.

(2)軸對(duì)稱性:圓是軸對(duì)稱圖形,任何一條過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸.

(3)旋轉(zhuǎn)不變性:圍繞著它的圓心任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度都能與原來的圓重合

1.(教材再開發(fā)·湘教九下P46習(xí)題2.1T2改編)下列說法中正確的個(gè)數(shù)有(A)①平分弦的直徑一定垂直于弦;②圓是軸對(duì)稱圖形,每一條直徑都是對(duì)稱軸;③直徑是弦;④長(zhǎng)度相等的弧是等弧.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.垂徑定理及推論(1)垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

2.(2024·新疆中考)如圖,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足為E.若CD=8,OD=5,則BE的長(zhǎng)為(B)A.1 B.2 C.3 D.43.弧、弦、圓心角的關(guān)系(1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等.

(2)推論:在同圓或等圓中,①如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弦相等.

②如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等.

3.(教材再開發(fā)·湘教九下P49T1改編)如圖,在☉O中AB=CD,∠AOB=45°,則∠COD=(B)A.60° B.45° C.30° D.40°4.圓周角定理及推論(1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

(2)推論:①半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是90°,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

②在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓周角相等,它們所對(duì)的弧一定相等.

4.如圖,A,B,C為☉O上的三個(gè)點(diǎn),∠AOB=80°,則∠C的度數(shù)為(C)A.30° B.35° C.40° D.45°5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(1)性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).

(2)推論:圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

5.(2024·吉林中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,過點(diǎn)B作BE∥AD,交CD于點(diǎn)E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數(shù)是(C)A.50° B.100° C.130° D.150°考點(diǎn)圓的基本性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算(一題多設(shè)問)【例】如圖,點(diǎn)A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直徑.連接AB,BC,CD,AD,DB,OD,OB.AC與BD交于點(diǎn)F,請(qǐng)回答下列問題:問題1若∠ACB=30°,則∠BOC=120°,∠BDC=60°,∠AOB=60°,∠ADB=30°.

問題2若∠BAC=40°,則∠OBC=50°.

問題3若☉O的半徑為2,∠AOB=∠AOD=60°,則AB=2,AD=2.

問題4若AB=CD,∠BOC=100°,則∠AOB=80°,∠COD=80°.

問題5若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,則BD=3.

問題6若AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,BD=8,AF=2,求☉O的半徑.【解析】設(shè)☉O的半徑為r,∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4.∵AF=2,則OF=r-2.在Rt△OBF中,OB2=BF2+OF2,即r2=16+(r-2)2,解得r=5.∴☉O的半徑為5.問題7若AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,BD=8,☉O的直徑為10,求AF的長(zhǎng).【解析】∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4,∵☉O的直徑為10,∴☉O的半徑OB=5.由勾股定理得OF=52∴AF=5-3=2.即AF的長(zhǎng)為2.問題8已知∠BOD=130°,則∠BAD=115°.

問題9已知∠ACB=30°,若點(diǎn)E是圓上異于A,B,C的另一點(diǎn),則∠AEB的度數(shù)是30°或150°.

【滿分技法】1.在解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算問題時(shí),一般先判斷角是圓周角還是圓心角;再轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角或圓心角,利用同弧所對(duì)的圓周角相等,同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解;當(dāng)角是圓周角時(shí),也可考慮圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或等腰三角形的性質(zhì),求解角的度數(shù).提醒:當(dāng)點(diǎn)在圓上的位置不確定時(shí),一定要考慮優(yōu)弧或劣弧的不同情況,避免漏解.2.在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等.3.垂徑定理基本圖形計(jì)算中的“四變量”“兩關(guān)系”(1)四變量:如圖,設(shè)弦長(zhǎng)為a,圓心到弦的距離(弦心距)為d,半徑為r,弧的中點(diǎn)到弦的距離(弓形高)為h,這四個(gè)變量知任意兩個(gè)即可求其他兩個(gè).(2)兩關(guān)系:①(a2)2+d2=r2;②h+d=注意:計(jì)算時(shí)常通過作半徑或過圓心作弦的垂線段來構(gòu)造直角三角形.1.(2024·湖南中考)如圖,AB,AC為☉O的兩條弦,連接OB,OC,若∠A=45°,則∠BOC的度數(shù)為(C)A.60° B.75° C.90° D.135°2.(2024·長(zhǎng)沙中考)如圖,在☉O中,弦AB的長(zhǎng)為8,圓心O到AB的距離OE=4,則☉O的半徑長(zhǎng)為(B)A.4 B.42 C.5 D.523.(2022·株洲中考)如圖所示,等邊△ABC的頂點(diǎn)A在☉O上,邊AB,AC與☉O分別交于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F是劣弧DE上一點(diǎn),且與D,E不重合,連接DF,EF,則∠DFE的度數(shù)為(C)A.115° B.118° C.120° D.125°4.(多選題·20