92正弦定理與余弦定理的應(yīng)用課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

人教B版

數(shù)學(xué)

必修第四冊(cè)第九章解三角形9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解并掌握實(shí)際問(wèn)題中的名稱術(shù)語(yǔ).2.會(huì)建立實(shí)際應(yīng)用題的三角形模型,并能運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決問(wèn)題.3.提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中有關(guān)的名稱、術(shù)語(yǔ)1.甲身高1.8m,他站在離旗桿底部20m的M處,此時(shí)他看旗桿的頂端A的仰角為60°,由此能否求得旗桿的高度?提示:能.如圖,旗桿高OA=OB+AB=1.8+20×tan

60°=1.8+(m).2.在解決三角形應(yīng)用題時(shí),經(jīng)常出現(xiàn)一些有關(guān)的名稱與術(shù)語(yǔ),如鉛垂平面、仰角、俯角、方向角、方位角等.(1)鉛垂平面是指與水平面

垂直

的平面.(2)仰角與俯角是指在同一鉛垂平面內(nèi),視線與水平線的夾角,當(dāng)視線在水平線之

上

時(shí),稱為仰角,當(dāng)視線在水平線之

下

時(shí),稱為俯角(如圖①所示).圖①

(3)方位角:從某點(diǎn)的指

北

方向線起依

順時(shí)針

方向到目標(biāo)方向線間的水平角,如:圖②表示的方位角是60°,或稱北偏東60°.(4)方向角:從指定

方向線

到

目標(biāo)方向線

間的水平角,如南偏西60°指以正南方向?yàn)槭歼?順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°.圖②

3.在300m高的山頂上,測(cè)得山下有一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為

m.

答案:200解析:如圖,由題意知,在Rt△CDB中,CD=300

m,∠BCD=90°-60°=30°,【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無(wú)法求得.(

)(2)已知三角形的兩角和一邊,可以解三角形.(

)(3)視線與水平線的夾角就是仰角.(

)(4)從指北方向開(kāi)始,逆時(shí)針轉(zhuǎn)75°到目標(biāo)位置,則方位角為75°.(

)×√××合作探究釋疑解惑探究一測(cè)量距離問(wèn)題分析:DE=AB-AD-BE,因此只要求出AB的長(zhǎng)即可,而在△ACB中,已知AC,BC及其夾角,故可用余弦定理.【例1】

為了開(kāi)鑿隧道,要測(cè)量隧道始端D和末端E間的距離,為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)點(diǎn)C,如圖,測(cè)得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,又測(cè)得A,B兩點(diǎn)到隧道口的距離AD=80m,BE=40m(A,D,E,B在一條直線上),計(jì)算隧道DE的長(zhǎng).(精確到0.1m)解:在△ABC中,AC=400

m,BC=600

m,∠ACB=60°.由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos

60°,所以DE=AB-AD-BE≈409.2(m).即隧道DE長(zhǎng)約為409.2

m.在本例中,若已知角B,角C,BC,AD,BE的值,能否求DE的長(zhǎng)?延伸探究提示:能.∵A=π-B-C,所以DE=AB-AD-BE.反思感悟在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題,再將已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角問(wèn)題,最后利用正弦定理或余弦定理解三角形.【變式訓(xùn)練1】

如圖,在河岸邊有一點(diǎn)A,河對(duì)岸有一點(diǎn)B,要測(cè)量A,B兩點(diǎn)間的距離,測(cè)量者在與A同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C,測(cè)得AC=120m,∠BAC=45°,∠BCA=75°,求A,B兩點(diǎn)間的距離.探究二測(cè)量高度問(wèn)題分析:欲求雕像的高度h,可在△BPO,△APO,△AOB中找出OP(h),OA,OB的關(guān)系,用正弦定理或余弦定理去解決.【例2】

如圖所示,地面上有一雕像OP,為了測(cè)得它的高度h(單位:m),現(xiàn)在地面上取兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A與B,AB=20m,在A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角∠OAP=30°,在B處測(cè)得點(diǎn)P的仰角∠OBP=45°,又測(cè)得∠AOB=60°,求雕像的高度h(精確到1米).在Rt△OBP中,∠BOP=90°,∠OBP=45°,故OB=OP=h.在△ABO中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,反思感悟解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟(1)畫(huà)圖:根據(jù)已知條件畫(huà)出示意圖.(2)分析三角形:分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形.(3)求解:運(yùn)用正弦定理、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運(yùn)用平面幾何知識(shí),注意方程思想的運(yùn)用.【變式訓(xùn)練2】

某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位:m).如圖所示,豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.該小組已測(cè)得一組α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值.探究三與角度有關(guān)的問(wèn)題【例3】

如圖,在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A為

的B處有一艘巡邏船,在A處北偏西75°方向,距A為2nmile的C處的快艇計(jì)劃以

的速度追趕巡邏船,此時(shí)巡邏船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向行駛,問(wèn)快艇沿什么方向行駛才能最快追上巡邏船?并求出所需要的時(shí)間.分析:平面上的追及問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.設(shè)在D處追上巡邏船,根據(jù)題意,△ABC可解,因?yàn)橐獾氖恰鰾CD,所以可求出關(guān)聯(lián)邊BC.∠BAC=45°+75°=120°.根據(jù)余弦定理,得所以∠ABC=45°.所以點(diǎn)B在點(diǎn)C的正東方向,∠CBD=90°+30°=120°.在△BCD中,根據(jù)正弦定理,得反思感悟1.測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.2.在解三角形問(wèn)題中,求某些角的度數(shù)時(shí),最好用余弦定理求角.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在區(qū)間(0,π)內(nèi)是單調(diào)遞減的,而正弦函數(shù)在區(qū)間(0,π)內(nèi)不單調(diào),一個(gè)正弦值可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)角,但角在區(qū)間

上時(shí),用正弦定理、余弦定理皆可.解:如圖所示,設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B,開(kāi)始影響?zhàn)B殖基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C,養(yǎng)殖基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為D,則B,C,D在一條直線上,且AD=20,AC=20.在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理得∴∠BAC=30°,又B位于A南偏東60°,60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向,又∠ADC=45°,【易錯(cuò)辨析】

因忽視題設(shè)條件或定理應(yīng)用不當(dāng)致誤【典例】

已知A船在燈塔C北偏東80°方向,距離燈塔C2km處,B船在燈塔C北偏西40°方向,A,B兩船的距離為3km,求B船到燈塔C的距離.錯(cuò)解:如圖所示,由題意知AB=3km,AC=2km,∠ACB=120°.∵∠ACB=120°,∴∠ABC為銳角,以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解中未應(yīng)用“大角對(duì)大邊”原理,產(chǎn)生增根,致問(wèn)題錯(cuò)誤.正解:如圖所示,由題意知AB=3km,AC=2km,∠ACB=120°.∵∠ACB=120°,∴∠ABC為銳角,1.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),畫(huà)出圖形后應(yīng)用正弦定理或余弦定理求解,得到的結(jié)果要檢驗(yàn)其是否符合實(shí)際意義,這點(diǎn)容易被忽略而造成多解.2.注意“大邊對(duì)大角”和“大角對(duì)大邊”原理的應(yīng)用.3.求角時(shí),最佳選擇是余弦定理;求邊時(shí),最佳選擇是正弦定理.防范措施【變式訓(xùn)練】

已知海島A四周8海里內(nèi)有暗礁,有一貨輪由西向東航行,望見(jiàn)島A在北偏東75°,繼續(xù)航行

海里后,見(jiàn)此島在北偏東30°,若貨輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn),有無(wú)觸礁危險(xiǎn)?隨堂練習(xí)答案:D2.一船向正北勻速行駛,某時(shí)刻該船與其正西方兩座相距10nmile的燈塔恰好在同一直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見(jiàn)其中一座燈塔在南偏西60°方向上,另一座燈塔在南偏西75°方向上,則該船的速度是(

)A.8nmile/h B.9nmile/hC.10nmile/h D.12nmile/h答案:C解析:如圖所示,由題意知AB=10,∠BDC=60°,∠ADC=75°,DC⊥AC,∴∠DBC=30°,∠BDA=∠A=15°.∴BD=AB=10.3.(多選題)為了測(cè)量B,C之間的距離,在河岸A,C處測(cè)量,如圖,測(cè)得下面四組數(shù)據(jù),不合理的是(

)A.c與α B.c與b

C.b,c與β D.b,α與γ解析:因?yàn)闇y(cè)量者在A,C處測(cè)量,所以較合理的應(yīng)該是b,α與γ,故選ABC.答案:ABC4.如圖,測(cè)量河對(duì)岸塔高AB時(shí),選擇與塔底在同一水平面的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C與D,已知測(cè)得∠BCD=75°,∠BDC=45°,CD=60m.在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°,則塔高為

.

5.一艘輪船從A處出發(fā),以40nmile/h的速度沿東偏南50°方向直線航行,30min后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,