河南省九師聯(lián)盟高二上學期11月質量檢測數(shù)學試卷（含答案解析）

河南省九師聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月質量檢測數(shù)學試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊第一章～第三章第3節(jié).一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用直線傾斜角概念即可.【詳解】直線垂直于軸，所以其傾斜角為.故選：B.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程公式，即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：A.3.過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】通過直線過原點，和不過原點兩種情況討論即可.【詳解】當直線過原點時，其方程是，符合題意;當直線不過原點時，設直線方程為，代入，可得：，解得：，所以方程是.故選：C.4.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)方程表示雙曲線得出或，再結合充分必要定義判斷即可.【詳解】方程表示雙曲線，則，解得或，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量垂直的坐標表示，得到，即可求解.【詳解】因為，且，所以，解得.故選：C.6.已知，若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】出及的圖像，結合圖像即可求解.【詳解】由題意，表示焦點在軸上的橢圓的上半部分，且左頂點為，當直線經(jīng)過點時，，當直線與橢圓相切時，由，得，所以，解得（負根舍去），當直線與半橢圓有兩個交點時，根據(jù)圖象，的取值范圍為.故選：A.7.已知是橢圓的一個焦點，是的上頂點，BF的延長線交于點，若，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設是橢圓的左焦點，是的右焦點，由得到，再結合余弦定理，二倍角公式即可求解.【詳解】不妨設是橢圓的左焦點，是的右焦點，的焦距為2c，連接，則，又，所以.在中，由余弦定理得，所以，即，所以.故選：D.8.已知圓，過軸上的點作直線與圓交于A，B兩點，若存在直線使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】有直線過圓心時，最大，構造不等式，即可求解.【詳解】結合圖像易知對于給定的點，當直線過圓心時，AB最大，最小，此時有最大值，又，所以，所以，即，解得.故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.平行六面體的底面ABCD是正方形，，則下列說法正確的是（）A.B.C.四邊形面積為D.若，則點在平面內【答案】ACD【解析】【分析】由平方可判斷A，由空間向量線性運算可判斷B，通過說明，可判斷C，由四點共面可判斷D.【詳解】因為，所以，，故A正確;因為，故B錯誤；因為，所以，四邊形為矩形，其面積，故C正確；因為，由于，所以四點共面，即在平面內，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過的直線與交于A，B兩點（A在第一象限），D（0,1），E為上的動點，則下列結論正確的是（）A.滿足為直角三角形的點有且僅有2個B.過點且與有且僅有一個公共點的直線恰有3條C.若在直線上的射影為，則D.若直線的傾斜角為，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線和圓的交點個數(shù)判斷A，分斜率是否存在設直線聯(lián)立方程組應用判別式判斷B，數(shù)形結合根據(jù)三點共線判斷距離和的最小值判斷C，設直線聯(lián)立方程組結合焦半徑公式計算判斷D.【詳解】對于A，顯然滿足的點恰有1個，又以DF為直徑的圓與拋物線在第一象限有1個交點，當時，，所以滿足為直角三角形的點恰有3個，故A錯誤；對于B，當直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個公共點；當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立消得，當時，方程為，此時直線與拋物線只有一個交點；當時，則，解得.綜上所述，過點與有且僅有一個公共點的直線有3條，故B正確;對于C，如圖所示，拋物線的焦點為，當且僅當在線段DF上時取等號，故C正確；對于D，因為，直線的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立得，解得，所以，則，故D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是拋物線定義，距離和的轉化是解題的關鍵，的判斷關鍵也是定義的應用.11.關于曲線，下列說法正確的是（）A.曲線關于直線對稱B.曲線圍成的區(qū)域面積小于2C.曲線上的點到軸、軸的距離之積的最大值是D.曲線上的點到軸、軸的距離之和的最大值是【答案】ABC【解析】【分析】代入對稱點判斷曲線對稱判斷A,找到曲線圍成的面積小于圍成的面積判斷B,根據(jù)基本不等式得出乘積的最大值判斷C,應用基本不等式求和的最大值判斷D.【詳解】對于方程，以代替，同時以代替方程不變，所以曲線關于對稱，故A正確；對于B，設分別為與圖象上第一象限內的點，，則，所以在的下方，所以曲線圍成的面積小于圍成的面積，圍成的面積為，故B正確；對于C，因為，等號僅當時成立，所以曲線上的點到軸、軸的距離之積，故C正確;對于D，因為，所以，等號僅當時成立，所以曲線上的點到軸、軸的距離之和的最小值為，故D錯誤.故選:ABC.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量是實數(shù)，則的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】計算出，得到，故當時，取最小值為3.【詳解】因為，所以，所以當時，取最小值，且最小值為3.故答案為：313.如圖是正在施工建設的濟新黃河三峽大橋鳥瞰圖，該橋是世界首座獨塔地錨式回轉纜懸索橋，大橋主跨長約500米，主塔的高約100米.纜懸索是以為頂點并開口向上的拋物線的一部分，則主塔頂端點到拋物線的焦點的距離為___________米.【答案】725【解析】【分析】建系，得到相應拋物線方程即可求解.【詳解】以為坐標原點，過且與主塔AB平行的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設拋物線的方程為，則100，解得，所以拋物線的準線方程為.故答案為：72514.設直線與圓交于A，B兩點，對于任意的實數(shù)，在軸上存在定點，使得的平分線在軸上，則的值為______.【答案】3【解析】【分析】將直線與圓的方程聯(lián)立，將問題轉化為，然后根據(jù)韋達定理求解.【詳解】設，由題得，即，整理得，又，所以，整理得，由聯(lián)立得，所以，代入①并整理得，此式對任意的都成立，所以.故答案為：3【點睛】關鍵點點睛：本題考查的是直線與圓的綜合問題，關鍵是把軸是這句話轉化為，進而利用韋達定理求解，在利用韋達定理的求解的過程中，運用了設而不求的思想.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點，直線方程為.（1）證明：無論取何值，直線必過第三象限；（2）若點A，B到直線的距離相等，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）或.【解析】【分析】（1）分離參數(shù)得出直線的定點，再根據(jù)定點在第三象限即可得證；（2）法一：根據(jù)點到直線距離公式轉化距離相等求解計算；法二：由距離相等得出直線平行或者過線段中點計算即可.【小問1詳解】直線的方程為，即，所以直線過定點，因為位于第三象限，所以無論取何值，直線必過第三象限.【小問2詳解】法一：由點到直線的距離公式知：，即，所以或，解得或.法二：若點A、B到直線l的距離相等，則直線或直線l經(jīng)過線段AB的中點，當時，，解得，線段AB的中點坐標為，即，當直線經(jīng)過線段AB的中點時，，解得，綜上，或.16.已知拋物線與圓相交于、兩點，且.（1）求拋物線的方程;（2）若直線與相交于、兩點，是的焦點，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱性，設，將點的坐標代入圓的方程，求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）設Mx1,y1、N【小問1詳解】因為，根據(jù)圓與拋物線的對稱性，不妨設，因為點在圓上，所以，解得（負值舍去），所以的方程是.【小問2詳解】由消去并整理得，設Mx1,y1由韋達定理可得，，所以，，所以的周長為.17.設，圓的圓心在軸的正半軸上，且過中的三個點.（1）求圓的方程；（2）若圓上存在兩個不同的點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分析法確認哪三個點，再利用求圓心和半徑來寫出圓的方程；（2）利用點滿足的條件是另一個圓上的點，所以可知兩個圓相交，即可求解參數(shù).【小問1詳解】若圓經(jīng)過A，C，則圓心必在AC的垂直平分線上，不符合圓在軸正半軸；根據(jù)題意得圓只能過點A，B，D三點，因為，所以的中點為，兩點的斜率為，利用互相垂直的兩直線斜率之積為，可知兩點的中垂線斜率為，所以由點斜率式可得線段AB的垂直平分線的方程為，整理得：又因為，所以的中點為，兩點的斜率不存在，所以線段AD的垂直平分線的方程為聯(lián)立方程組解得所以圓心為，即圓心到點的距離為半徑，即半徑為2，所以圓方程為【小問2詳解】設存在點，因為，所以有，化簡得，所以，且滿足這個方程的點可以理解為一個圓上的點，而點又在圓上且有兩個點，所以這兩個圓應該相交，此兩圓的圓心分別為和，所以圓心距為，而兩圓的半徑分別為和2，則有，解得.18.已知是橢圓上的一點，是的一個焦點，為坐標原點.（1）求的方程;（2）是上的四個點，與相交于點.①若分別為與軸的正半軸的交點，求直線的斜率;②若直線的斜率為，求面積的最大值，并求出此時直線的方程.【答案】（1）（2）①；②1，或.【解析】【分析】（1）由，可求，再結合，求得即可求解；（2）①由點坐標求得與方程，聯(lián)立橢圓方程，求得坐標即可求解；②設由弦長公式及點到線的距離公式，表示出面積，進而可求解.【小問1詳解】因為是橢圓上的一點，所以，即，又，又，所以，故的方程為【小問2詳解】①若A，B分別為橢圓與x，y軸的正半軸的交點，則，則直線的方程是，即，代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，因為，所以，則，即，直線的方程是，即，代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，因為，所以，則，即，所以.②因為直線AB斜率為，所以可設直線AB的方程為，代入消去并整理得，設Ax1,，又點到直線AB的距離，所以的面積，等號僅當，即時成立，顯然滿足，所以面積的最大值是1.此時，直線AB的方程是，即或19.在平面直角坐標系xOy中，若在曲線的方程中，以且代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關于原點的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.（1）若不過原點的直線通過關于原點的“伸縮變換”得到的曲線是，證明:是與平行的直線;（2）已知伸縮比時，曲線通過關于原點的“伸縮變換”得到的曲線是，且與軸有A，B兩個交點（在的左側），過點且斜率為的直線與在軸的右側有，兩個交點.①求的取值范圍;②若直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】（1）證明見解析（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)伸縮比的定義，計算證明即可.（2）①直曲聯(lián)立，借助韋達定理計算即可；②