河南省信陽(yáng)市商城縣2024屆高三下學(xué)期三模考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆河南省信陽(yáng)市商城縣高三三模考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可解出集合B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】；根據(jù)集合交集的概念得到．故選C．【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運(yùn)算．2.已知集合，，則子集的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】先求得，然后求得子集的個(gè)數(shù).【詳解】，所以子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B3.若是純虛數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義可得，，即可求出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求出.【詳解】是純虛數(shù)，，且，即且，即，則，則.故選：C.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，下列結(jié)論成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】由題意得，對(duì)于A，，得，故A正確，對(duì)于B，，而不確定，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，取值不確定，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：A5.《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成，其中“”表示一個(gè)陽(yáng)爻，“”表示一個(gè)陰爻).若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)八卦圖可知：8個(gè)卦中含有兩個(gè)以上陽(yáng)爻的有1個(gè)，有兩個(gè)陽(yáng)爻的有3個(gè)，分別為離、巽、兌，有一個(gè)陽(yáng)爻的有3個(gè)，分別為震、艮、坎，無(wú)陽(yáng)爻的有1個(gè)，為坤，選的兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻，可以從有兩個(gè)陽(yáng)爻的離、巽、兌中選一個(gè)，另一個(gè)選坤，這種選法有種；也可以從有一個(gè)陽(yáng)爻的震、艮、坎中選兩個(gè)，這種選法有種，從八卦中任取兩卦的選法有種，則從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為.故選：.6.，為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①若，，則②若，，則③若，，則④若，，，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】①，若，，則，①正確.②，若，，則m，n有可能平行或異面；②不正確.③，若，，由線面垂直的判定定理可得，，③正確.④，若，，，因?yàn)閙不一定在平面內(nèi)，所以m不一定垂直，④不正確，故選：B.7.已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先研究函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性以及奇偶性），再將不等式轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)單調(diào)性得，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)，顯然定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以時(shí)，是增函數(shù)，從而在上是增函數(shù)，∴，即，∴，∴，∴不等式的解集為，故選：A．8.設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式可得，求出右邊的最小值，進(jìn)而可得的最大值．【詳解】因?yàn)?，若，可得，設(shè)，只需要小于等于右邊的最小值即可，則，令，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則事件相互獨(dú)立與事件互斥不能同時(shí)成立B.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值為1C.五位同學(xué)站成一排拍照，其中甲不能站在最左邊的位置，則不同的排隊(duì)方法有120種D.若隨機(jī)變量，且，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件、互斥事件、平均數(shù)、排列、正態(tài)分布等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若相互獨(dú)立，則不互斥；若互斥，則不相互獨(dú)立，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，解得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，五位同學(xué)站成一排拍照，其中甲不能站在最左邊的位置，則不同的排隊(duì)方法有種，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：AD10.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線AP與BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為非零常數(shù)m，那么下列說(shuō)法中正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是圓心在原點(diǎn)的圓C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線【答案】BD【解析】【分析】設(shè)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件，求得軌跡方程，然后根據(jù)平方項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)，同號(hào)異號(hào)，同號(hào)時(shí)相等與否分類討論.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以.當(dāng)時(shí)，，即，加上A，B兩點(diǎn)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，加上A，B兩點(diǎn)表示圓心在原點(diǎn)的圓，故B正確.當(dāng)時(shí)，，加上A，B兩點(diǎn)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，加上A，B兩點(diǎn)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故D正確.故選：BD11.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增D.的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱中心性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B，可根據(jù)對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)的函數(shù)值特征即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對(duì)于D，求出平移后的解析式并根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由知，是圖象的兩個(gè)對(duì)稱中心，則是函數(shù)f(x)的最小正周期的整數(shù)倍，即，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋允莊(x)的對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于C，由解得，當(dāng)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，則f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C不正確；對(duì)于D，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.為了支持“新冠肺炎”的湖北抗疫工作，上海市某醫(yī)院某科室擬從2名男性，3名女性醫(yī)務(wù)人員中抽調(diào)兩人前往湖北支援，則抽調(diào)的兩人剛好為一男一女的概率為________.【答案】【解析】【分析】本題首先可以令2名男性分別為、，3名女性分別為、、，然后列出抽調(diào)兩人的所有可能情況，再然后列出剛好為一男一女的所有可能情況，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】令2名男性分別為、，3名女性分別為、、，從中抽調(diào)兩人的所有可能情況為：、、、、、、、、、共十種，滿足剛好為一男一女的所有可能情況：、、、、、共六種，則抽調(diào)的兩人剛好為一男一女的概率，故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的相關(guān)概率計(jì)算，能否列出所有的可能情況以及滿足限制條件的所有可能情況是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.13.設(shè)函數(shù)，_________．【答案】【解析】【分析】分別求得和，由此求得.【詳解】，，所以，，所以.故答案為：14.已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為，過(guò)作平面使得，且棱，分別與平面交于點(diǎn)，，若異面直線，所成角的正切值為，則三棱錐的體積為____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)異面直線，所成角，求出，然后設(shè)出，利用余弦定理可表示出，然后再次利用余弦定理可求解出，然后計(jì)算三棱錐的體積.【詳解】由題，因?yàn)?，平面，所以，異面直線，所成角為，且．設(shè)（），則，于是，解得．又因?yàn)榈酌嫱饨訄A半徑為，所以三棱錐的高為，所以，從而．故答案為：.【點(diǎn)睛】一般求幾何體的體積與表面積可利用，一是求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解；二是幾何體展開、折疊問(wèn)題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.四、解答題：本題共5小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，，設(shè)公比為，所以，所以，，所以；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?6.如圖，平行六面體的底面是菱形，且．試用盡可能多的方法解決以下兩問(wèn)：（1）若，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)二面角的定義作圖分析確定二面角的平面角，計(jì)算二面角的平面角可結(jié)合直角三角形中的邊角關(guān)系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值；（2）可先猜測(cè)的值，然后證明平面，根據(jù)平行六面體法人幾何性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理證明、或者補(bǔ)形證明、或者利用空間向量的線性運(yùn)算證明．【小問(wèn)1詳解】連接、設(shè)和交于，連接，作，垂足為，作，垂足為，連接．四邊形是菱形，，又，．又，，△△，，，，又，，平面平面，又平面，．是二面角的平面角．方法一：∵，可得，，又．因?yàn)槠矫?，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，∴．又，∴，∴．方法二：在中，．由余弦定理知，又，∴，∴，即．∴是中點(diǎn)，．方法三：∵，，∴，即．∴，∴，，．∴，故．小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，能使平面．方法一：由前知平面，∴．當(dāng)時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形．同的證法可得，而平面，故平面．方法二：∵，∴．由題設(shè)可知三棱錐是正三棱錐，設(shè)與相交于．∵，且，∴．又是正三角形的邊上的高和中線，∴點(diǎn)是正三角形的中心．∴平面，即平面．方法三：如圖，沿面補(bǔ)一個(gè)全等的平行六面體．∴．若平面，則平面．∴．令．由余弦定理可知，．又，則，即．∴，解得或（舍）．由此可知當(dāng)時(shí)，平面．方法四：如圖，若平面，則與成的角．過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則．四邊形為平行四邊形．設(shè)，，則．∵，∴．∴，．在Rt中，，即，∴，解得或（舍去）．由此可知當(dāng)時(shí)，平面．方法五：記，菱形邊長(zhǎng)為．∵是菱形，∴．又，∴平面，得，要使平面，還需．由，則，得，即時(shí)成立．17.金華軌道交通金義東線金義段已于今年1月開通試運(yùn)行，全長(zhǎng)58.4公里，從金華站到義烏秦塘站一路經(jīng)過(guò)17座車站．萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)站是目前客流量最大的站點(diǎn)，某小組在萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)站作乘客流量來(lái)源地相關(guān)調(diào)查，從上車人群中隨機(jī)選取了200名乘客，記錄了他們從來(lái)源地到萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)站所花費(fèi)時(shí)間t．得到下表：時(shí)間t（min）人數(shù)（人）106070302010（1）從在萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客花費(fèi)時(shí)間t大于或等于18min的概率；（2）估計(jì)所有在萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)站上車乘客花費(fèi)時(shí)間t的中位數(shù)；（3）已知的10人，其平均數(shù)和方差分別為2，1；的60人，其平均數(shù)和方差分別為9，2，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)和方差．注：已知的平均數(shù)為a，方差為b，的平均數(shù)為c，方差為d，的平均數(shù)為e，則的方差為．【答案】（1）0.3；（2）；（3）平均數(shù)為8，方差為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定r數(shù)表，利用古典概率公式計(jì)算即得.（2）利用頻率分布表估算中位數(shù)的方法，求出中位數(shù).（3）利用分層抽樣的平均數(shù)、方差的求法計(jì)算得解..【小問(wèn)1詳解】花費(fèi)時(shí)間t大于或等于18min的乘客人數(shù)為60，所以該乘客花費(fèi)時(shí)間t大于或等于18min的概率.【小問(wèn)2詳解】由表格數(shù)據(jù)知：花費(fèi)時(shí)間小于分鐘的頻率為，花費(fèi)時(shí)間小于分鐘的頻率為，因此花費(fèi)時(shí)間t的中位數(shù)，，解得：，所以估計(jì)所有在萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)站上車的乘客花費(fèi)時(shí)間t的中位數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)；方差.18.已知函數(shù).（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，并求函數(shù)的最小正周期；（2）若點(diǎn)是圖象對(duì)稱中心，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），最小正周期為；（2）或.【解析】【分析】（1）利用降冪公式、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)，代入周期公式計(jì)算周期；（2）由對(duì)稱中心的性質(zhì)可知，結(jié)合求出，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；（2）由，點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則，得，，由，解得，得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．19.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象上相鄰最高點(diǎn)的距離為．（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，若