備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題107二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布含詳解

專題10.7二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布

三I題型目錄

題型一兩點分布

題型二超幾何分布

題型三二項分布

題型四二項分布的概率最大問題

題型五一項分布與超幾何分布的綜合

題型六正態(tài)分布求概率

題型七正態(tài)分布的對稱

題型八正態(tài)分布的實際應(yīng)用

才典例集練

題型一兩點分布

例1.隨機變量X服從兩點分布，且戶(X=l)=0.2,令y=3X—2,則尸(y=-2)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

例2.已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且P(X=0)=3-4尸(X=l),則隨機變量X的方差為.

舉一反三

2

練習(xí)1.已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足P(X=0)=9p(；=])，且尸(X=0)<尸(X=l),則

E(X)=()

A-1B-?C-iD.：

練習(xí)2.某企業(yè)擬定4種改革方案,經(jīng)統(tǒng)計它們在該企業(yè)的支持率分別為歷=0.9,p2=0.75,0=0.3.p.,=0.2,

用“。=1”表示員工支持第i種方案，用'<=()''表示員工不支持第i種方案[=123,4),那么方差。?),。仁)，

。依30低）的大小關(guān)系為（）

A.。信）＜。4）＜。倡）＜。（當(dāng)）

B.。仁）〈力侑）＜。（芻）＜。值）

C.。（〈）＜。右）＜。（。）＜。值）

D.。仔）＜。仁）＜力仁）＜。侑）

練習(xí)3.（多選）若隨機變量X服從兩點分布，其中P（X=O）=；,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（X=1）=￡（X）B.E（3X+2）=4

C.O（3X+2）=4D.O（X）=[

練習(xí)4.（多選）隨機變量X服從兩點分布，若尸（X=0）=《，則下列結(jié)論正確的有（）

3

A.P（X=1）=：B.O(X)=^

C.E（2X+1）=1D.O（2X+l）=j

練習(xí)5.已知隨機變量X服從兩點分布，且P（X=0）=2/,P^x=\）=a,那么。=

題型二超幾何分布

例3.（多選）某單位推出了10道有關(guān)二十大的測試卷供學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)和測試，乙能答對其中的6道題，規(guī)定每次測試

都是從這10道題中隨機抽出4道，答對一題加10分，答錯一題或不答減5分，最終得分最低為0分，則下列說法正

確的是（）

1Q

A.乙得40分的概率是高B.乙得25分的概率是《

C.乙得10分的概率是13D.乙得0分的概率是麗1

例4.某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，其中有

體育鍛煉習(xí)慣的有45人.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖.記分數(shù)在600分以上的

為優(yōu)秀，其余為合格.

(1)請完成下列2x2列聯(lián)表.根據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，分析成績優(yōu)秀與體育鍛煉有沒有關(guān)系.

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計

合格25

優(yōu)秀10

合計100

(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人口隨機抽取5人進行進一步調(diào)查，記抽到5人中

優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列.

n(ad-bc)2

附：z2=其中〃=。+/?+。+〃.

(〃+/?)(<?++d)，

P(/叫0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

舉一反三

練習(xí)6.第三十一屆世界大學(xué)生夏季運動會于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕.來自113個國家和地區(qū)

的6500名運動員在此屆運動會上展現(xiàn)了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優(yōu)異的狀態(tài)譜寫了青春、團結(jié)、

友誼的新篇章.外國運動員在返家時紛紛購買紀念品，尤其對中國的唐裝頗感興趣.現(xiàn)隨機對200名外國運動員(其

中男性120名，女性8()名)就是否有興趣購買唐裝進行了解，統(tǒng)計結(jié)果如下:

有興趣無興趣合計

男性運動員8040120

女性運動員404080

合計12080200

(1)是否有99%的把握認為“外國運動員對唐裝感興趣與性別有關(guān)”;

(2)按分層抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，再從中任意抽取3名運動員作進一步采訪，記3名運動員中

男性有X名，求X的分。列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

參考公式：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

P(K2>%)0.1500.1000.0500.0250.0100.001

即2.0722.7063.8415.0246.63510.828

練習(xí)7.某乒乓球隊訓(xùn)練教官為了檢驗學(xué)員某項技能的水平，隨機抽取100名學(xué)員進行測試，并根據(jù)該項技能的評

價指標(biāo),按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,950[95,100]分成8組,得到如圖所示的頻率分布直

方圖.

頻率

(1)求。的值，并估計該項技能的評價指標(biāo)的中位數(shù)(精確到0.1);

⑵若采用分層抽樣的方法從評價指標(biāo)在[70,75)和[85,90)內(nèi)的學(xué)員中隨機抽取12名，再從這12名學(xué)員中隨機抽取

5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項技能的評價指標(biāo)在[70,75)內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

練習(xí)8.一個口袋中有4個白球，2個黑球，每次從袋中取出一個球

(I)若不放回的取2次球，求在第次取出白球的條件下，第二次取出的是黑球的概率；

(2)若不放回的取3次球，求取出白球次數(shù)X的分布列及E(X).

練習(xí)9.某公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品，每批產(chǎn)品進入市場之前，需要對其進行檢測，現(xiàn)從某批產(chǎn)品中隨機抽取9箱進

行檢測，其中有5箱為一等品.

(1)若從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是■等品的概率；

(2)若從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取3箱，記〈表示抽到?等品的箱數(shù)，求看的分布列和期望.

練習(xí)10.下表為某班學(xué)生理科綜合能力測試成績（百分制）的頻率分布表，已知在［80,90）分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為

21.

分數(shù)段[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]

頻率0.10.150.20.20.150.1*

⑴求測試成績在［95,100］分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)；

⑵現(xiàn)欲從［95,100］分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出2人參加物理興趣小組，若其中至少有一名男生的概率為：，求［95,1001分

數(shù)段內(nèi)男生的人數(shù)；

（3）若在［65,70）分數(shù)段內(nèi)的女生為4人，現(xiàn)欲從［65,70）分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出3人參加培優(yōu)小組，4為分配到此組

的3名學(xué)生中男生的人數(shù).求4的分布列及期望筑

題型三二項分布

例5.某地區(qū)對某次考試成績進行分析，隨機抽取100名學(xué)生的A,5兩門學(xué)科成績作為樣本.將他們的A學(xué)科成

績整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績達到70分為良好.已知他們中B學(xué)科良好的有50人，兩門學(xué)科均良

并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為這次考試學(xué)生的A學(xué)科良

好與B學(xué)科良好有關(guān);

B學(xué)科良好8學(xué)科不夠良好合計

A學(xué)科良好

人學(xué)科不夠良好

合計

（2）用樣本頻率估計總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學(xué)生中隨機抽取3人，記這3人中A,8學(xué)科均良好的人數(shù)

為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

*〃(＜以一反)，

附:其中〃=a+8+c+d.

(a+Z?)(c+J)(?++4)

p(Y次)0.)50.100.050.0250.0100.0050.0010.15

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072

例6.近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，已逐

漸成為社交平臺發(fā)展的新方向，同時出現(xiàn)了利用短視頻平臺進行直播銷售的模式.已知甲公司和乙公司兩家購物平臺

所售商品類似，存在競爭關(guān)系.現(xiàn)對某時段100名觀看過這兩家短視頻的用戶與使用這兩家購物平臺購物的情況進行

調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

選擇甲公司購物平臺選擇乙公司購物平臺合計

用戶年齡段為19~24歲302050

用戶年給段為25~34歲203050

合計5050100

(1)能否有95%的把握認為使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)？

(2)為了了解用戶觀看兩家短視頻后選擇哪家公司購物的原因，用頻率近似概率，從觀看過這兩家短視頻的年齡段為

1924歲和2534歲的用戶中各抽取2名用戶進行回訪，求抽出的4人中選擇甲公司購物的人數(shù)恰好為2的概率.

參考公式：z2=-；~""a：｝)~,其中〃=〃+Z?+c+d.

(a+h)(c+d)[a+c)(b+d)

尸(1.k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

舉一反三

練習(xí)11.某數(shù)學(xué)興擲小組設(shè)計了一個開肓盒游戲：在編號為1到4號的四個箱子中隨機放入獎品，每個箱子中放入

的獎品個數(shù)4滿足PC=〃)02=1,2,3,4,5),每個箱子中所放獎品的個數(shù)相互獨立.游戲規(guī)定：當(dāng)箱子中獎品

的個數(shù)超過3個時，可以從該箱中取走一個獎品，否則從該箱中不取獎品.每個參與游戲的同學(xué)依次從I到4號箱

子中取獎品，4個箱子都取完后該同學(xué)結(jié)束游戲.甲、乙兩人依次參與該游戲.

(I)求甲能從1號箱子中取走一個獎品的概率；

⑵設(shè)甲游戲結(jié)束時取走的獎品個數(shù)為X,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望;

(3)設(shè)乙游戲結(jié)束時取走的獎品個數(shù)為V,求Y的數(shù)學(xué)期望.

練習(xí)12.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7:30之前到校的概率均為假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，

且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.

(I)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列；

(2)設(shè)M為事件”上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求

事件M發(fā)生的概率.

練習(xí)13.某公司使用甲、乙兩臺機器生產(chǎn)芯片，已知每天甲機器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為94%；乙

機器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為95%,已知兩臺機器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響.現(xiàn)對某天生產(chǎn)的芯片進

行抽樣.

(1)從所有芯片中任意抽取一個，求該芯片是不合格品的概率；

(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機抽取3個芯片，記其中由乙機器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望

石⑻.

練習(xí)14.卡塔爾世界杯的吉祥物“拉伊卜”弓I發(fā)網(wǎng)友和球迷喜愛，并被親切地稱為“餃子皮某公司被授權(quán)銷售以“拉

伊卜”為設(shè)計主題的精制書簽.該精制書簽的生產(chǎn)成本為50元/個，為了確定書簽的銷售價格，該公司對有購買精制

書簽意向的球迷進行了調(diào)查，共收集了200位球迷的心理價格來估計全部球迷的心理價格分布.這200位球迷的心理

價格對應(yīng)人數(shù)比練習(xí)分布如下圖：

若只有在精制書簽的銷售價格不超過球迷的心理價格時，球迷才會購買精制書簽.公司采用常見的優(yōu)餓營銷的方法刺

激球迷購買產(chǎn)品，規(guī)定每位球迷最多只能購買一個該精制書簽.設(shè)每位球迷是否購買該精制書簽相互獨立，精制書簽

的銷售價格為x元/個(60<x<90).

(1)若x=80,已知某時段有3名球迷有購買意向而咨詢公司，設(shè)X為這3名球迷中購買精制書簽的人數(shù)，求X的

分布列和期望；

(2)假設(shè)共有Z名球迷可能購買該精制書簽，請比較當(dāng)精制書簽的售價分別定為70元和80元時，哪種售價對應(yīng)的總

利潤的期望最大？

練習(xí)15.“雙減”政策執(zhí)行以來,中學(xué)牛有更多的時間參加志愿朋務(wù)和體育鍛煉等課后活動.某校為「解學(xué)牛課后活

動的情況，從全校學(xué)生中隨機選取100人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間(單位：小時)，分別位于區(qū)間［7,9),

[9,11),[11J3),[13,15),[15,17),[17,19],用頻率分布直方圖表示如下，假設(shè)用頻率估計概率，且每個學(xué)生參加

課后活動的時間相互獨立.

,頻率/組距

0.200……-……——―

0.125-----------------j—

0.075...............l

。0叫.05丁0……++]—-卜-卜卜|,

O“791113151719時間/小時

(I)估計全校學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間[13,17)的概率;

(2)從全校學(xué)生中隨機選取3人，記J表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間[15,17)的人數(shù)，求＜的分布列和數(shù)

學(xué)期望E(J).

題型四二項分布的概率最大問題

例7.若*~8(201),則P(X=6取得最大值時，k=

例8.某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為

了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調(diào)查，得到

的情況如表所示：

用時/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人數(shù)1721139

女性人數(shù)810166

以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過1Q秒的概率，每位

盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測

試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是()

A.3B.4C.5D.6

舉一反三

練習(xí)16.設(shè)隨機變量X?5(〃,〃)，記&=0,1,2,.在研究〃人的最大值時，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)

并證明了如下正確結(jié)論：若(〃+1)〃為正整數(shù)，當(dāng)&=5+1)〃時，P*=Pi，此時這兩項概率均為最大值；若(〃+l)P

不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)k取5+1)〃的整數(shù)部分時，〃《取最大值.某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實時記

錄點數(shù)I出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲到第20次時，記錄到此時點數(shù)I出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100

次投擲試驗中，點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大.

練習(xí)1〉近年來，隨著智能手機的普及，網(wǎng)絡(luò)購物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進入了我們的生活，改變了

我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的

市民認定為“不喜歡網(wǎng)上買菜".某市"社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)ICO名市民，得到

的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計6040100

(I)是否有99.9%的把握認為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)？

(2)M社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從A,B兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.如果周

4

一選擇A平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為不；如果周一選擇3平臺買菜，那么周二選擇3平臺買菜的

概率為g，求李華周二選擇平臺8買菜的概率：

⑶用頻率估計概率，現(xiàn)從“社區(qū)市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為Y,事件“X=K'

的概率為尸(X=k),求使P(X=k)取得最大值時的k的值.

參考公式：參=立瑞瑪研其中…+0+~.

P（K2之k°）0.10.050.00.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

練習(xí)18.為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年

禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP,參加各種學(xué)習(xí)活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人

賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比

賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)

積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分,

獲得第2、3、4名的得I分：后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計，小明每天在第1

局四人賽中獲得3分、2分、1分的概率分別為，，1在第2局四人賽中獲得2分、I分的概率分別為!，

42444

(I)設(shè)小明每天獲得的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為:，每局是否贏得比賽相

4

互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？

練習(xí)19.在卜余年的學(xué)習(xí)生活中，部分學(xué)生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習(xí)慣.某研究小組為研究轉(zhuǎn)筆與學(xué)習(xí)成績好差的關(guān)系，

從全市若干所學(xué)校中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習(xí)慣的有45人.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生

近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖.記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.

(1)請完成下列2x2列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下，認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆

有關(guān).

上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計

合格25

優(yōu)秀1()

合計100

(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取1()人,再從這10人內(nèi)隨機抽取5人進行進一步調(diào)查，記抽到5人中

合格的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學(xué)生中隨機抽取20人進行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為女的概率為汽火)，

當(dāng)P(幻取最大值時，求A的值.

附：八(i)(；喘？)伍+獷其中〃

P(爐叫0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

練習(xí)20.某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，一般地，果徑越大售價越高.為

幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計了一套方案，并在兩片果園中進行對比實驗，其中實驗園采用實

驗方案，對照園未采用.實驗周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機選取100個果實，按果徑分成5組進行統(tǒng)計：

[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46)(單位：mm).統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達到36

nun及以上的為“大果

實驗園

(1)估計實驗園的“大果”率;

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對照園選取的100個果實中抽取10個，再從這10個果實中隨機抽取3個，記其中“大

果”的個數(shù)為X,求X的分布列；

⑶以頻率估計概率，從對照園這批果實中隨機抽取〃03,個，設(shè)其中恰有2個“大果嗎勺概率為尸(〃)，

當(dāng)P(〃)最大時,寫出〃的值.

題型五二項分布與超幾何分布的綜合

例9.2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評比活動，學(xué)生會成員隨機抽取了12間寢室進行量化評估，

其中有4間寢室被評為優(yōu)秀寢室.

(1)現(xiàn)從這12間寢室中隨機抽取3間，求有I間優(yōu)秀的概率；

(2)以這12間寢室的評估情況來估計全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間，記X表示抽到優(yōu)秀

的寢室同數(shù)，求X的分布列和期望.

例10.某學(xué)校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.

(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為從學(xué)校全體男生中隨機選取3人，記X為3人

中身高不超過a的人數(shù)，以頻率估計概率求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑵從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有"(2=1,2,,30)個男生的概率為

P伏)，求使得P伙)取得最大值的々的值.

舉一反三

練習(xí)21.2022年2月2()日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動了我

國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動，某校組織了一次全校冰雪運動知識競賽，并抽取了100

名參賽學(xué)生的成績制作成如下頻率分布表：

競賽得分[50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻率0.10.10.30.30.2

(1)如果規(guī)定競賽得分在(80,90］為“良好”，競賽得分在(90,100］為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，

使用分層抽樣抽取10個學(xué)生，問各抽取多少人？

(2)在(1)條件下，再從這10學(xué)生中抽取6人進行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；

(3)以這100名參賽學(xué)生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率.現(xiàn)從該

校學(xué)生中隨機抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

練習(xí)22.某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現(xiàn)場設(shè)置了抽

獎環(huán)節(jié).在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案.抽

獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎，

否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進行.活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普

法宣傳人人參與'卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是，掃黑除惡利國利民'卡的概率是，.”

(1)求抽獎?wù)攉@獎的概率；

(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剌下8張卡片按照

之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值.

練習(xí)23.某試驗機床生產(chǎn)了12個電子元件，其中8個合格品，4個次品.從中隨機抽出4個電子元件作為樣本,

用X表示樣木中合格品的個數(shù).

(1)若有放回的抽取，求X的分布列與期望；

(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比練習(xí)與總體中合格品的比練習(xí)之差的絕對值不超過二的概率.

4

3

練習(xí)24.甲、乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是乙能答對其中的

5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，答對一題加10分，答錯一題(不答視為答錯)

減5分，至少得15分才能入選.甲乙兩人的答題情況相互獨立

(1)求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求甲、乙兩人同時入選的概率；

練習(xí)2f.某學(xué)校實行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個試卷中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通

過初試，已知甲、乙兩人參加初試，在這8個試卷中甲能答對6個，乙能答對每個試卷的概率為且甲、乙兩人

是否答對每個試卷互不影響.

(1)試通過概率計算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；

(2)若答對一題得5分，答錯或不答得()分，記乙答題的得分為，，求V的分布列.

題型六正態(tài)分布求概率

例II.已知某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標(biāo)4N05,0.0025),單位為cm.該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在(14915.05)的數(shù)

量為818600,則可以估計該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在15.15以上的數(shù)量為()

參考數(shù)據(jù)：若&貝I」尸(〃一b<4?4+b)=0.6827,。(〃-2。<€?〃+2。)=0.9545,

-3b<弊〃+3b)=0.9973.

A.1587B.2275C.2700D.1350

例12.?批燈泡的使用時間X(單位：小時)服從正態(tài)分布N0OOOQ4OO2),則這批燈泡使用時間在(9200,10800］內(nèi)

的概率是.

舉一反三

練習(xí)26.甲、乙兩地舉行數(shù)學(xué)聯(lián)考，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：甲地學(xué)生的成績X~N(四乙地學(xué)生的成績

y?N3W)(6>0).下圖分別是其正態(tài)分布的密度曲線，則()

(若隨機變量XN(〃,/),則P(〃-b<XW〃+b)=0.6827,P(〃-2b<XW〃+2b)=0.9545,

尸（〃一女r<X?〃+女r）=0.9973）

A.甲地數(shù)學(xué)的平均成績比乙地的高B.甲地數(shù)學(xué)成績的離散程度比乙地的小

C.P（90<X<94）>P（82<X<90）D.若d=8,則P（92WY<124卜0.84

練習(xí)27.某田地生長的小麥的株高X服從正態(tài)分布N（IOO[6）,則P（96KXK1O8卜（）

（附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（〃,4），則+o卜0.6827,尸（以―2bWZW〃+2。卜0.9545,

P（//-3<T<Z<//+3tr）?0.9973）

A.0.6827B.0.8186C.0.9545D.0.9759

練習(xí)28.（多選）已知在一次數(shù)學(xué)測驗中，某校1000學(xué)生的成績服從正態(tài)分布M100,100）,其中90分為及格線，

120分為優(yōu)秀線，則對于該校學(xué)生成績，下列說法正確的有（參考數(shù)據(jù)：①P（〃-b<XW〃+b）=0.6827；②

P（〃-2<TVXW〃+2b）=0.9545；③P（〃-3b<XW〃+3b）=0.9973.）（）

A.標(biāo)準差為100

B.及格率超過86%

C.得分在（70,130]內(nèi)的人數(shù)約為997

D.得分低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等

練習(xí)29.（多選）裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡

稱：膨脹系數(shù)）.某坡璃廠自兩條硼碎坡地的生產(chǎn)線，具中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅坡埔的膨脹系數(shù)X~N（4.7,0.01）,乙

生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)X2~N（4.6,0.04）,則下列選項正確的是（）.（附：若XN（4,4）,則

尸（〃一b?X?〃+b）a0.6826,P（//-2a<X<//+2<y）?0.9544,P（//-3<T<X<//+3a）*0.9974）

A.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在（4.5,4.8）的概率約為0.7685

B.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中

C.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過5,則乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準的概率更大

D.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為4.7±0.1,則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準的概率約為乙生產(chǎn)線

的2倍

練習(xí)30.假設(shè)某個地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為口0（單位：cm,下同），標(biāo)準差為10.在該地區(qū)

任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：

⑴不高于170的概率；

⑵在區(qū)間［160,180］內(nèi)的概率；

（3）不高于180的概率.

題型七正態(tài)分布的對稱

例13.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（4,〃），若尸（XKl+2a）+P（XKl—.）=1,則。=（）

A.-1B.0C.2D.6

例14.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（〃,/），且P（X"）=0.5,P（X<b）=4P（X>b）t則0（XM2a—〃）=,

舉一反三

練習(xí)31.（多選）設(shè)隨機變量E服從正態(tài)分布"（〃，力，若尸e<2）=Pe>4）=a,則下列結(jié)論正確的為（）

A.〃=3B.P（3<<f<4）=l-2?

C.。⑷=近D.P（2<^<3）=--u

練習(xí)32.已知隨機變量X~N（1,4）,若尸（Xva+3）=尸”>2。-4）,則實數(shù)。的值為.

練習(xí)33.設(shè)隨機變量4服從正態(tài)分布向量:二（1,2）與向量力=（￡-1）的夾角為銳角的概率是：，則〃=

練習(xí)34.已知隨機變量X~N（〃,b2）,且其正態(tài)曲線在（Y,80）上是增函數(shù)，在（80,一）上是減函數(shù)，且

P（72<X<88）^0.6827.

（I）求參數(shù)〃.。的值.

⑵求P（64<X<72）.

附：若X?則P(〃一bK>K〃+cr)R().6827,P(/z-2<T<X<//+2<T)?0.9545

練習(xí)35.（多選）若J則P（〃—b?g<〃+b）=0.6827,2（以一2。<4?〃+2。）=0.9545.己知€~%（6,4）,

且P（44〃?+2）=P（gN2，〃+l）,則（）.

A.m=3B.in=1

C.P（4<^<10）=0.8186D.P（4<^<10）=0.1814

題型八正態(tài)分布的實際應(yīng)用

例15.零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)

檢部門隨機抽查了100個零件的直徑進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如下表：

零件直徑（單位：厘米）[1.0J.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

零件個數(shù)1025302510

已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布o?分別為這100個零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間

的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點值代表）.

（1）分別求〃的值；

（2）試估計這批零件直徑在［1.044,1.728］的概率；

⑶隨機抽查2000個零件，估計在這2（）00個零件中，零件的直徑在［1044,1.728］的個數(shù).

參考數(shù)據(jù)：70X）52?0.228:若隨機變量4N（〃,b2）,則尸（〃一b4g?〃+o）*0.6827,

P（X/-2o-<<<//+2o■卜0.9545,尸Q-3bWJW〃+3o■卜0.9973.

例16.某校舉辦顛乒乓球比賽，現(xiàn)從高一年級1000名學(xué)生中隨機選出40名學(xué)生統(tǒng)計成績，其中24名女生平均成

績?yōu)?0個，標(biāo)準差為4；16名男生平均成績?yōu)?0個，標(biāo)準差為6.

（I）高一年級全員參加顛球比賽的成績近似服從正態(tài)分布N（〃,4），若用這40名參賽的同學(xué)的樣本平均數(shù)［和標(biāo)準

差$（四舍五入取整數(shù)）分別作為〃，。，估計高一年級顛球成績不超過60個的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；

（2）顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學(xué)爭奪冠亞軍，如果甲每局比賽獲勝的概率為彳，在甲獲勝的條件

下，求其前2局獲勝的概率.

附：若X~N（MCT2）,則P（|X-“Wcr）=0.6827,P（|XW2。）=0.9545,P（|X-//|<3cr）=0.9973.

舉一反三

練習(xí)36.河北省高考從2018年秋季高中入學(xué)的新生開始新模式，即3+1+2模式；2021年開始，高考總成績由語數(shù)

外+物理、歷史(選I門)+化學(xué)、生物、政治、地理(選2門)等六門科目構(gòu)成.現(xiàn)將每門選考科目的考生原始

成績從高到低劃分為A、歹、B、C+、。、。，、。、E共8個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比練

習(xí)分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績計入考生總成績時，將A至七等級內(nèi)的考生

原始成績，依照等比練習(xí)轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到［9U00］、［81,90］、［71,80］、［61,70］、［51.60］、［41,50］、［31,40］、

［21,30］八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個

選考科目進行測試，其中化學(xué)考試原始成績基本服從正態(tài)分布N(60,169).

⑴求化學(xué)原始成績在區(qū)間(47,86)的人數(shù)；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區(qū)間［61,80］的人數(shù)，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

(附：若隨機變量4?則〃+。卜0.6827,P(//-2<T<^^//+2a)?0.9545,

-3。<JW"+3。卜0.9973)

練習(xí)37.根據(jù)以往大量的測量知某加工廠生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑尺寸X服從正態(tài)分布N(〃Q2),并把鋼管內(nèi)徑在

內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，鋼管內(nèi)徑在++2。)內(nèi)的產(chǎn)品稱為二等品，一等品與二等品統(tǒng)稱為正品,

其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品回收.現(xiàn)從該企'也生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取1000件，測得鋼管內(nèi)徑的樣本數(shù)據(jù)的頻率分

(1)通過檢測得樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準差5=0.3,用樣本平均數(shù)x作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準差s作為。的估計值，根據(jù)

所給數(shù)據(jù)求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的鋼管內(nèi)徑尺寸范圍；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)

(2)假如企業(yè)包裝時要求把2個?等品和〃("大2,〃eN)個二等品裝在同?個箱了中，質(zhì)檢員從某箱了中摸出兩件產(chǎn)

品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同，則該箱產(chǎn)品記為4否則該箱產(chǎn)品記為從

①試用含〃的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；

②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為8的概率為了（〃），求當(dāng)〃為何值時，/（〃）取得最大值，并求出最大值.

參考數(shù)據(jù)：36.2x0.2+36.4x0.25+36.6x0.7+36.8x0.84-37x1.1+37.2x0.8+37.4x0.65

+37.6x0.4+37.8x0.1=185

練習(xí)38.十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧

奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日

脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：

頻率

0.18------------------

0.14-------------

So6

So5

o3

OS.o2

C9

II13151719212325收入在元）

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入元（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；

⑵由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布其中〃近似為年平均收入了，人近

似為樣本方差/，經(jīng)計算得/=6.92,利用該正態(tài)分布，求：

①在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準，則最低年收入大

約為多少千元？

②為了調(diào)研“精準扶貧，不落一人'’的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相

獨立，記這1000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為J,求￡?）.

附參考數(shù)據(jù)：痣滅=2.63，

若隨機變量X服從正態(tài)分布NT”?），則

P（//-<r<X<z/+o-）?0.6827,

P（〃一2。工XW〃+2。）、0.9545,

尸（〃一3。KXK〃+3。）*0.9973.

練習(xí)39.全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強國必先強農(nóng)，農(nóng)強方能國強.某市為

了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟情況.隨機抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入工（單位：萬元）進行調(diào)查,并繪制得到如下圖所示

的頻率分布直方圖.

⑴求這200()戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)了和樣本方差1(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表).

(2)由直方圖可認為農(nóng)戶家庭年收入X近似服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均數(shù)工，V近似為樣本方

差一.

①估計這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元(含9.52)的戶數(shù)？(結(jié)果保留整數(shù))

②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機抽取4戶，即

年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為久求P(g<3).(結(jié)果精確到0.001)

附：①疝。1.52；②若X則P(〃-b<X<〃+b)=0.6827,P(〃-2b<X<〃+2。)=0.9545；(3)

0.841354?0.501.

練習(xí)40.某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：

上一關(guān)不通過則不進入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否

通過相互獨立，已知甲、乙、內(nèi)三人都參加了該項闖關(guān)活動.

(1)若甲第一關(guān)通過的概率為彳，第二關(guān)通過的概率為：，求甲可以進入第三關(guān)的概率；

(2)已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)

放獎勵.

①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，己知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明

理由；

②丙得知他的分數(shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分數(shù)為201分，351分以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計

學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附：若隨機變量Z~N(〃,/)，則尸(〃一bKXK〃+b)p().6827：P(//-2<T<X<//+2<T)?0.9545；

P(X/-3O-<X<//+3<T)?0.9973.

專題10.7二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布

三I題型目錄

題型一兩點分布

題型二超幾何分布

題型三二項分布

題型四二項分布的概率最大問題

題型五一項分布與超幾何分布的綜合

題型六正態(tài)分布求概率

題型七正態(tài)分布的對稱

題型八正態(tài)分布的實際應(yīng)用

才典例集練

題型一兩點分布

例1.隨機變量X服從兩點分布，且戶(X=l)=0.2,令y=3X—2,則尸(y=-2)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

【答案】D

【分析】根據(jù)兩點分布的性質(zhì)求出p(x=o),則p(y=-2)=p(x=o).

【詳解】因為隨機變量X服從兩點分布，且P(X=l)=0.2,

所以P(X=0)=l-P(X=l)=l-0.2=0.8,

由y=3x-2,所以p(y=-2)=p(x=o)=o.8.

故選：D

例2.已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且P(X=0)=3-4戶(X=l),則隨機變量X的方差為.

【答案】I

【分析】因為圖散型隨機變量丫服從兩點分布，設(shè)P(x=0)=〃-所以P(X=1)=1-",由題意可求出月二;，所

以可求出。(X).

【詳解】因為離散型隨機變量X服從兩點分布，設(shè)P（X=O）=〃],所以P（X=l）=l-〃|,

所以，代入P（x=o）=3—4P（X=1）有：P1=3-4（1-72,）,

I2

解得：Pl=-?P（X=1）=1-/?=-,

JJ!

17?

因為離散型隨機變量X服從兩點分布：所以。（X）=QX寸?

JJ7

故答案為：.

舉一反三

2

練習(xí)1.已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足尸（X=0）=9p0,且P（X=O）＜P（X=l）,則

￡（%）=（）

A.-B.1C.\D.-

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