第9章-9.2.3-第1課時-向量的數(shù)量積(一)-課件

9.2.3向量數(shù)量積（一）第九章平面向量1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做

的功.2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.3.會計(jì)算平面向量的數(shù)量積.學(xué)習(xí)目標(biāo)內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點(diǎn)練1知識梳理PARTONE知識點(diǎn)一向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a和b，它們的夾角是θ，我們把數(shù)量__________叫作向量a和b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝__________.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為___.思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案

在實(shí)數(shù)中，若a≠0，且a·b＝0，則b＝0；但是在數(shù)量積中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因?yàn)槠渲衋有可能垂直于b.|a|·|b|cosθ|a||b|cosθ0知識梳理知識點(diǎn)二投影向量投影投影知識梳理知識點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.知識梳理1.兩個向量的數(shù)量積是一個向量.(

)2.向量a在向量b上的投影向量一定與b共線.(

)3.若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角.(

)4.若a≠0，則對任一非零向量b都有a·b≠0.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×××知識梳理2題型探究PARTTWO一、求兩向量的數(shù)量積例1已知正三角形ABC的邊長為1，求：題型探究題型探究題型探究定義法求平面向量的數(shù)量積若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ.運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.反思感悟0－16－16題型探究二、投影向量例2已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求a在b上的投影向量.解

∵|b|＝1，∴b為單位向量.題型探究延伸探究

本例改為求b在a上的投影向量.題型探究投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量為|a|cosθ

e(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b的夾角θ的余弦值決定.(2)向量a在向量b上的投影向量為反思感悟跟蹤訓(xùn)練2

已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量.解

∵a·b＝|a||b|cosθ，題型探究3隨堂演練PARTTHREE12345√隨堂演練解析

設(shè)a與b的夾角為θ，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.2.已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，則向量a與b的夾角為A.60° B.120°

C.135° D.150°12345√隨堂演練3.(多選)對于任意向量a，b，c，下列命題中不正確的是A.若a·b＝0，則a與b中至少有一個為0B.|a＋b|＝|a|＋|b|C.若a⊥b，則a·b＝0D.|a|＝12345√√隨堂演練解析

a·b＝0?a⊥b或a＝0或b＝0，所以A錯誤；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，知|a＋b|≤|a|＋|b|，只有當(dāng)a，b同向時取“＝”，所以B錯誤；由數(shù)量積的性質(zhì)知，C正確；因?yàn)閍·a＝|a||a|cos0＝|a|2，所以|a|＝

，所以D正確.12345隨堂演練12345√隨堂演練123455.已知|a|＝2，|b|＝3，且a與b的夾角為60°，與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為____.e隨堂演練1.知識清單：(1)向量數(shù)量積的定義.(2)投影向量.(3)向量數(shù)量積的性質(zhì).2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：向量夾角共起點(diǎn)；a·b>0?兩向量夾角為銳角，a·b<0?兩向量夾角為鈍角.課堂小結(jié)4課時對點(diǎn)練PARTFOUR12345678910111213141516√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√基礎(chǔ)鞏固3.如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10N，方向與水平面成60°角.則當(dāng)小車向前運(yùn)動10m時，力F做的功為A.100J B.50J

C.50J D.200J12345678910111213141516√解析

由題意，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos60°＝50(J).基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析

設(shè)a與b的夾角為θ，基礎(chǔ)鞏固5.(多選)已知向量a，b和實(shí)數(shù)λ，則下列選項(xiàng)中正確的是A.若a與b是兩個單位向量，則a2＝b2B.|a·b|＝|a||b|C.λ(a＋b)＝λa＋λbD.|a·b|≤|a||b|12345678910111213141516√√解析

選項(xiàng)B中，|a·b|＝||a||b|cosθ|，其中θ為a與b的夾角，故B錯誤.√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516－1基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固7.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在向量b上的投影向量為________.12345678910111213141516解析

設(shè)a與b的夾角為θ，∵a·b＝|a||b|cosθ＝12，又|b|＝5，基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析

設(shè)a與b的夾角為θ，由題意知|a|＝|b|＝1，基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415169.已知|a|＝5，|b|＝4，(1)若a與b的夾角為θ＝120°.①求a·b；②求a在b上的投影向量.解

a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516(2)若a∥b，求a·b.解

∵a∥b，∴a與b的夾角為θ＝0°或180°.當(dāng)θ＝0°時，a·b＝|a||b|cos0°＝20.當(dāng)θ＝180°時，a·b＝|a||b|cos180°＝－20.基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151610.已知向量a，b的夾角為30°，且|a|＝

，|b|＝2，求向量p＝a＋b與q＝a－b的夾角θ的余弦值.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，連接OC，AB，交于點(diǎn)D，由題意知△ABO為直角三角形，基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√綜合運(yùn)用解析

對于選項(xiàng)A，根據(jù)投影向量的定義，知A錯誤；對于選項(xiàng)B，∵a·b＝|a||b|cosθ<0，則cosθ<0，又∵0≤θ≤π，對于選項(xiàng)C，若△ABC是等邊三角形，對于選項(xiàng)D，a·b＝0?a⊥b或a＝0或b＝0，故D錯誤.12345678910111213141516綜合運(yùn)用12345678910111213141516√解析

由題意知∠ABC＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA綜合運(yùn)用1234567891011121314151613.定義：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于A.8 B.－8 C.8或－8 D.6√綜合運(yùn)用12345678910111213141516等邊三角形－8綜合運(yùn)用12345678910111213141516因?yàn)?°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等邊三角形.綜合運(yùn)用15.已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為________.12345678910111213141516解析

由題意可畫出圖形，如圖所示，在△OAB中，因?yàn)椤螼AB＝60°