2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2.3.1-2.3.2空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示空間向量基本定理課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修2-1

PAGEPAGE6課時(shí)作業(yè)7空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示空間向量基本定理時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．在以下三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(C)①三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面；②若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線；③若a，b是兩個(gè)不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，①②均正確．2．已知點(diǎn)A在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底i，j，k下的坐標(biāo)是(A)A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,12,10) D．(4,3,2)解析：設(shè)點(diǎn)A在基底a，b，c下對(duì)應(yīng)的向量為p，則p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底i，j，k下的坐標(biāo)為(12,14,10)．3．如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))，b＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，c＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，則(A)A．x＝2，y＝1，z＝eq\f(3,2)B．x＝2，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1D．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(3,2)解析：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′E,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝2a＋b＋eq\f(3,2)c.4．下列等式中，使M，A，B，C四點(diǎn)共面的個(gè)數(shù)是(B)①eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.A．1 B．2C．3 D．4解析：由題意，M，A，B，C四點(diǎn)共面，則eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)或eq\o(MC,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))(x，y∈R)．對(duì)于①，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))不滿意x＋y＋z＝1，不成立．對(duì)于②，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))滿意x＋y＋z＝1，成立．對(duì)于③，eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，可化為eq\o(MC,\s\up6(→))＝－eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MB,\s\up6(→))，成立．對(duì)于④，eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，可化為eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，不滿意x＋y＋z＝1，不成立．5．若O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則(D)A.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共線 B.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共線C.eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面解析：∵eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))三個(gè)向量共面，∴O，A，B，C四點(diǎn)共面．故選D.6．已知線段AB的長(zhǎng)度為6eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))與直線l的夾角為120°，則eq\o(AB,\s\up6(→))在l上的投影為(B)A．3eq\r(2) B．－3eq\r(2)C．3eq\r(6) D．－3eq\r(6)解析：AB在l上的投影為：|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°＝－3eq\r(2).7．在空間四邊形OABC中，G是△ABC的重心，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(OG,\s\up6(→))等于(A)A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．a(chǎn)＋b＋c D．3a＋3b＋3c解析：如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，則必過G點(diǎn)，則eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)c，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.8．已知{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，則α、β、γ分別為(A)A.eq\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2) B.eq\f(5,2)，1，eq\f(1,2)C．－eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2) D.eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2)解析：d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又因?yàn)閐＝e1＋2e2＋3e3，所以有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))二、填空題9．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，則eq\o(AC1,\s\up6(→))在eq\o(BA,\s\up6(→))上的投影是－2.解析：eq\o(AC1,\s\up6(→))在eq\o(BA,\s\up6(→))上的投影為|eq\o(AC1,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝eq\f(|AB|,|AC1|)＝eq\f(2,\r(22＋12＋12))＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，又|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\r(6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),3)))＝－2.10．空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，eq\o(MN,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(－eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．解析：∵OM＝2MA，點(diǎn)M在OA上，∴OM＝eq\f(2,3)OA，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝(－eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．11．如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M為PC的中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，以{eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，0，－eq\f(1,2))．解析：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).三、解答題12．已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DC1,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))的坐標(biāo)表示．解：∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1,1,1)．13．如圖，已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E在AC′上，且AEEC′＝12，點(diǎn)F，G分別是B′D′和BD′的中點(diǎn)，求下列各式中的x，y，z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).解：(1)∵AEEC′＝12，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F為B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分別為BD′、B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.——實(shí)力提升類——14．設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則x，y，z分別為(A)A.eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)C.eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3)解析：∵eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))]＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4