2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2不等式2.2.2不等式的解集學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)1

PAGE2.2.2不等式的解集素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．會(huì)求二元一次不等式組的解集．2．理解肯定值的幾何意義，并會(huì)解肯定值不等式．3．駕馭數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)潔應(yīng)用.在本節(jié)學(xué)習(xí)中，能借助數(shù)軸求出不等式的解集，在解含肯定值不等式時(shí)可用分類探討思想去肯定值號(hào)，也可用肯定值的幾何意義脫去肯定值號(hào)，通過對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)可提升自己的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理.必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問1．不等式的解集與不等式組的解集不等式的全部解組成的集合稱為不等式的解集．構(gòu)成不等式組的各個(gè)不等式的解集的交集稱為不等式組的解集．思索1：不等式的解與解集的區(qū)分和聯(lián)系是什么？提示：(1)不等式的解是指滿意這個(gè)不等式的未知數(shù)的一個(gè)值，而不等式的解集是指滿意這個(gè)不等式的未知數(shù)的全部值．不等式的解是不等式的解集中的一個(gè)．(2)不等式的解集必需滿意兩個(gè)條件：一是解集內(nèi)的數(shù)都是不等式的解；二是解集外的數(shù)都不是不等式的解．2．簡(jiǎn)潔的肯定值不等式的解法(1)肯定值不等式的定義：含有肯定值的不等式．(2)肯定值不等式的解集.不等式(m>0)不等式的解集|x|<m{x|－m<x<m}|x|>m{x|x>m或x<－m}(3)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.思索2：若m＝0或m<0時(shí)，不等式的解集是怎樣的？提示：不等式m＝0m<0|x|<m??|x|>m{x∈R|x≠0}R3．肯定值不等式的幾何意義(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式：數(shù)軸上兩點(diǎn)A(a)，B(b)之間的距離__AB＝|a－b|__.(2)數(shù)軸上兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：數(shù)軸上兩點(diǎn)A(a)，B(b)的中點(diǎn)坐標(biāo)x＝eq\f(a＋b,2).(3)肯定值不等式的幾何意義．不等式(m>0)解集的幾何意義|x|<m數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離小于m的全部數(shù)的集合|x|>m數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于m的全部數(shù)的集合|x－b|<m數(shù)軸上與表示b的點(diǎn)的距離小于m的全部數(shù)的集合|x－b|>m數(shù)軸上與表示b的點(diǎn)的距離大于m的全部數(shù)的集合思索3：不等式|x＋1|≤3的解集的幾何意義是什么？提示：數(shù)軸上與表示－1的點(diǎn)的距離小于或等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的全部數(shù)組成的集合．基礎(chǔ)自測(cè)1．不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是(A)A．(－∞，3] B．(－∞，－3]C．[3，＋∞) D．[－3，＋∞)解析：原不等式可化為2x＋9≥3x＋6，即x≤3.2．已知集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z)，則M∩N＝(D)A．{x|0<x≤2，x∈R} B．{x|0<x≤2，x∈Z}C．{－1，－2,1,2} D．{1,2,3}解析：由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3.所以N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．3．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2>0，,2x＋1>0))的解集為__(－eq\f(1,2)，2)__.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2>0,2x＋1>0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2,x>－\f(1,2)))，∴不等式組的解集為(－eq\f(1,2)，2)．4．不等式|x－3|<2的解集為__(1,5)__.解析：∵|x－3|<2，∴－2<x－3<2，∴1<x<5，∴解集為(1,5)．5．若A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)分別為A(2)，B(－4)，則|AB|＝__6__，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為__M(－1)__.解析：|AB|＝|xB－xA|＝|－4－2|＝6，xM＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(2－4,2)＝－1.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難類型不等式組的解集┃┃典例剖析__■典例1解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>1，,x－2<0；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(x＋1,2)>\f(1,2)，,x＋8<4x－1.))思路探究：分別求出各不等式的解集，再求出各個(gè)解集的交集，并在數(shù)軸上表示出來即可．解析：(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，解不等式x－2<0，得x<2，則不等式組的解集為{x|－1<x<2}．將解集表示在數(shù)軸上如下：(2)解不等式x－eq\f(x＋1,2)>eq\f(1,2)，得x>2，解不等式x＋8<4x－1，得x>3，則不等式組的解集為{x|x>3}，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：歸納提升：解不等式(組)的留意點(diǎn)(1)移項(xiàng)要變更項(xiàng)的符號(hào)．(2)利用性質(zhì)3時(shí)要變更不等號(hào)的方向．(3)不等式組的解集是構(gòu)成不等式組的各個(gè)不等式解集的交集．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,2x<5))的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是(C)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：分別解兩個(gè)不等式可得不等式組的解集為{x|－eq\f(1,3)<x<eq\f(5,2)}，故滿意題意的整數(shù)解為0,1,2，共3個(gè)．類型解肯定值不等式┃┃典例剖析__■典例2解不等式3≤|x－2|<4.思路探究：此題的不等式屬于肯定值的連不等式，求解時(shí)可將其化為肯定值的不等式組再求解．解析：原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|≥3，①,|x－2|<4.②))由①，得x－2≤－3，或x－2≥3，∴x≤－1，或x≥5.由②，得－4<x－2<4，∴－2<x<6.如圖所示，原不等式的解集為{x|－2<x≤－1，或5≤x<6}．歸納提升：肯定值不等式的解題策略：等價(jià)轉(zhuǎn)化法(1)形如|x|<a，|x|>a(a>0)型不等式：|x|<a?－a<x<a.|x|>a?x>a或x<－a.(2)形如a<|x|<b(b>a>0)型不等式：a<|x|<b(0<a<b)?a<x<b或－b<x<－a.┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2．不等式|2x＋1|>3的解集是__{x|x<－2或x>1}__.解析：由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}．類型數(shù)軸上的基本公式及應(yīng)用┃┃典例剖析__■典例3已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為A(－1)，B(3)，P(x)．(1)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離都是2時(shí)，求P(x)，此時(shí)P與線段AB是什么關(guān)系？(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)P(x)，使得P到A和B的距離都是3？若存在，求P(x)，若不存在，請(qǐng)說明理由．思路探究：依據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．解析：(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x＋1|＝2，,|x－3|＝2，))可以化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2，,x－3＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2，,x－3＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2，,x－3＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2，,x－3＝2.))解得x＝1.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1)，此時(shí)P為AB的中點(diǎn)．(2)不存在這樣的P(x)，理由如下：∵AB＝|1＋3|＝4<6，∴在線段AB上找一點(diǎn)P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不行能的．歸納提升：數(shù)軸上基本公式的應(yīng)用(1)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩點(diǎn)間的距離公式求距離，若已知兩點(diǎn)間的距離，也可用距離公式求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以解決三點(diǎn)共線問題．其中已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，可用公式求第三點(diǎn)的坐標(biāo)．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3．已知數(shù)軸上，A(－2)，B(x)，C(6)．(1)若A與C關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，求x的值；(2)若線段AB的中點(diǎn)到C的距離大于5，求x的取值范圍．解析：(1)由題意得B點(diǎn)為A、C的中點(diǎn)，∴x＝eq\f(－2＋6,2)＝2.(2)線段AB的中點(diǎn)為eq\f(－2＋x,2)，由題意得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋x,2)－6))>5，解得x>24或x<4.易混易錯(cuò)警示求解肯定值不等式時(shí)不理解肯定值的代數(shù)意義致錯(cuò)┃┃典例剖析__■典例4求不等式|x－1|＋|x－2|≥3的解集．錯(cuò)因探究：利用肯定值的代數(shù)意義去肯定值時(shí)，肯定要弄清各式值的正負(fù)，否則就會(huì)出錯(cuò)．解析：令x－1＝0，x－2＝0，解得x＝1，x＝2.當(dāng)x<1時(shí)，原不等式可化為1－x＋2－x≥3，解得x≤0.∴原不等式的解集為{x|x≤0}．當(dāng)1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為x－1＋2－x≥3,1≥3明顯不成立．∴原不等式的解集為?.當(dāng)x>2時(shí)，原不等式可化為x－1＋x－2≥3，解得x≥3.∴原不等式的解集為{x|x≥3}．綜上可知原不等式的解集為{x|x≤0或x≥3}．誤區(qū)警示：解肯定值不等式時(shí)留意：①利用肯定值的代數(shù)意義去掉肯定值符號(hào)時(shí)，各式值的正負(fù)必需弄清；②在利用零點(diǎn)分段法對(duì)肯定值進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，留意x的取值范圍，同時(shí)留意不要遺忘解集的確定．學(xué)科核心素養(yǎng)由不等式(組)的解集求參數(shù)的取值范圍┃┃典例剖析__■解這類題一般借助數(shù)軸，將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，然后將求得的不等式解集分三種狀況在數(shù)軸上表示出來，看哪些狀況符合題意．利用解集比照法求參數(shù)的取值范圍：解集比照法中，最關(guān)鍵的在于“對(duì)”，即在含參數(shù)的代數(shù)式與給出的解集之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而確定參數(shù)的值或取值范圍．典例5關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4＋x,3)>\f(x＋2,2)，,\f(x＋a,2)<0))的解集為{x|x<2}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__(－∞，－2]__.思路探究：先分別求出兩個(gè)不等式的解集，然后分狀況確定不等式組的解集，再與已知解集比照可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：解eq\f(4＋x,3)>eq\f(x＋2,2)得x<2；解eq\f(x＋a,2)<0得x<－a.當(dāng)－a>2，即a<－2時(shí)，原不等式組的解集為{x|x<2}．當(dāng)－a＝2，即a＝－2時(shí)，原不等式組的解集為{x|x<2}．當(dāng)－a<2，即a>－2時(shí)，原不等式組的解集為{x|x<－a}．所以當(dāng)不等式組的解集為x<2時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]．課堂檢測(cè)·固雙基1．不等式3x＋6≤2x的解集為(B)A．[－6，＋∞) B．(－∞，－6]C．[6，＋∞) D．(－∞，6]解析：移項(xiàng)得3x－2x≤－6，即x≤－6，故原不等式的解集為(－∞，－6]．2．不等式|x＋1|>3的解集是(A)A．{x|x<－4或x>2} B．{x|－4<x<2}C．{x|x<－4或x≥2} D．{x|－4≤x<2}解析：由|x＋1|>3，得x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.3．?dāng)?shù)軸上，已知點(diǎn)M(－2