第11章-11.1-余弦定理-課件

11.1余弦定理第十一章解三角形1.掌握余弦定理的表示形式及推論、證明方法.2.會運用余弦定理解決基本的解三角形問題.學習目標內容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一余弦定理在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有余弦定理語言敘述三角形任何一邊的平方等于________________________________________________________公式表達a2＝________________，b2＝________________，c2＝__________________其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC知識梳理余弦定理推論cosA＝______________，cosB＝______________，cosC＝______________思考

在a2＝b2＋c2－2bccosA中，若A＝90°，公式會變成什么？答案a2＝b2＋c2，即勾股定理.知識梳理知識點二解三角形我們把三角形的三個角和三條邊叫作三角形的

.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作

.元素解三角形知識梳理1.余弦定理適用于任何三角形.(

)2.在△ABC中，已知兩邊及夾角時，△ABC不一定唯一.(

)3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，則角C為直角.(

)4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，則角C為鈍角.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×知識梳理2題型探究PARTTWO一、已知兩邊及一角解三角形解由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA題型探究解由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.當a＝3時，A＝30°，C＝120°；A＝90°，C＝60°.題型探究已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊.反思感悟2解得c＝2.題型探究3解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即3b2－8b－3＝0，題型探究二、已知三邊解三角形題型探究題型探究已知三角形的三邊解三角形的方法利用余弦定理求出三個角的余弦值，進而求出三個角.反思感悟跟蹤訓練2

在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.解∵a>c>b，∴A為最大角.由余弦定理的推論，得又∵0°<A<180°，∴A＝120°，∴最大角A為120°.題型探究三、余弦定理的簡單應用例3

(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋

ac，則角B的大小是A.45° B.60°

C.90° D.135°√又0°<B<180°，所以B＝45°.題型探究(2)在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試判斷該三角形的形狀.解由acosB＋acosC＝b＋c并結合余弦定理，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因為b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.題型探究(1)利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉化思想解決問題，一般有兩條思考路線①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關系.②先化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關系.(2)判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結論①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.反思感悟跟蹤訓練3在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形√解析在△ABC中，因為A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，結合A＝60°，可得△ABC一定是等邊三角形.題型探究四、余弦定理在實際問題中的應用例4如圖所示為起重機裝置示意圖.支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5m，求起吊的貨物與岸的距離AD.題型探究解在△ABC中，AC＝15m，由余弦定理得題型探究在Rt△ACD中，題型探究解決實際問題其實只比解三角形多一步，即把實際問題中涉及的量納入到圖形中.這一過程中要特別注意準確理解和翻譯相關術語.反思感悟跟蹤訓練4某觀測站C與兩燈塔A，B的距離分別為3km和5km，測得燈塔A在觀測站C北偏西50°，燈塔B在觀測站C北偏東70°，求兩燈塔A，B之間的距離.解依題意知△ABC中，AC＝3km，BC＝5km，∠ACB＝120°.由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49.∴AB＝7km.即兩燈塔A，B之間的距離為7km.題型探究3隨堂演練PARTTHREE12345√解析設第三條邊長為x，隨堂演練12345√解析∵a>b>c，∴C為最小角且C為銳角，隨堂演練12345√隨堂演練123454.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c2＝bccosA＋cacosB＋abcosC，則△ABC是______三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)即c2＝a2＋b2，所以△ABC為直角三角形.直角隨堂演練123455.如圖，在高速公路建設中需要確定隧道的長度，工程技術人員已測得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點間的距離為

km.解析在△ABC中，AC＝BC＝1km，C＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cosC＝12＋12－2×1×1×cos120°＝3.隨堂演練1.知識清單：(1)余弦定理.(2)余弦定理的簡單應用.(3)余弦定理在實際問題中的應用2.方法歸納：化歸轉化、數(shù)形結合.3.常見誤區(qū)：不要忽略三角形中的隱含條件.課堂小結4課時對點練PARTFOUR1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝

，b＝2，c＝5，則A的大小為A.30° B.60°

C.45° D.90°12345678910111213141516√又0°<A<180°，所以A＝60°.基礎鞏固123456789101112131415162.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，則角A等于A.30° B.45°

C.60° D.90°解析由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，√所以△ABC為直角三角形，A＝30°.基礎鞏固123456789101112131415163.(多選)在△ABC中，已知a＝8，b＝7，B＝60°，則c的值為A.3B.4C.5D.6√√解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即72＝82＋c2－16ccos60°，即c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.基礎鞏固12345678910111213141516√解析由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cosC)＝2ab(1＋cos60°)＝3ab＝4，基礎鞏固12345678910111213141516√基礎鞏固12345678910111213141516所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.基礎鞏固123456789101112131415166.為了開鑿隧道，要測量隧道上D，E間的距離，為此在山的一側選取適當點C，如圖，測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，又測得A，B兩點到隧道口的距離AD＝80m，BE＝40m(A，D，E，B在一條直線上)，則隧道DE的長為

m.基礎鞏固12345678910111213141516解析在△ABC中，AC＝400m，BC＝600m，∠ACB＝60°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°，基礎鞏固12345678910111213141516基礎鞏固12345678910111213141516解析由余弦定理，可得基礎鞏固123456789101112131415168.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的兩個根，C＝60°，則c＝

.解析由題意得，a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，基礎鞏固12345678910111213141516∴A＝120°.基礎鞏固12345678910111213141516解由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，化簡，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).基礎鞏固12345678910111213141516基礎鞏固12345678910111213141516解在△ABC中，由余弦定理，得所以在△ACD中，由余弦定理得，基礎鞏固12345678910111213141516基礎鞏固12345678910111213141516√解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，綜合運用12345678910111213141516√解析設該等