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文檔簡介
湖北省天門市2024年高三3月高考適應性調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤;斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)在有一根金箠,長五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在細的一端截下一尺,重斤,問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設,假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數(shù)列,則從粗端開始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤2.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.3.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或4.已知直線:()與拋物線:交于(坐標原點),兩點,直線:與拋物線交于,兩點.若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.5.中國鐵路總公司相關負責人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列6.在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.17.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.8.已知為拋物線的準線,拋物線上的點到的距離為,點的坐標為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.9.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度10.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關系數(shù)為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關11.如圖,四邊形為正方形,延長至,使得,點在線段上運動.設,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.設雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),令,,若,表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),記數(shù)列的前項和為,則_________14.在中,角,,的對邊分別是,,,若,,則的面積的最大值為______.15.若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側(cè)棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________.16.在四棱錐中,是邊長為的正三角形,為矩形,,.若四棱錐的頂點均在球的球面上,則球的表面積為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過點(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點,過左焦點F的直線l交橢圓C于D,E兩點(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標準方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.18.(12分)已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍;(2)是否存在實數(shù),對于符合題意的任意,當時均有?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知兩數(shù).(1)當時,求函數(shù)的極值點;(2)當時,若恒成立,求的最大值.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,為側(cè)棱上一點,已知.(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(10分)已知拋物線:()上橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4.(1)求p的值;(2)設()為拋物線上的動點,過P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點.求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
依題意,金箠由粗到細各尺重量構(gòu)成一個等差數(shù)列,則,由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】設金箠由粗到細各尺重量依次所成得等差數(shù)列為,設首項,則,公差,.故選B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.2、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0,1),故選B.3、D【解析】
根據(jù)題意得,設與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.4、D【解析】
設,,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達定理,再由直線與拋物線的交點求出點坐標,最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應用,弦長公式的應用,屬于中檔題.5、D【解析】
由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識,是基礎題6、A【解析】
由題意得到關于的等式,結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.7、C【解析】
作出三棱錐的實物圖,然后補成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球,然后計算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示:將其補成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進行計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.8、B【解析】
設拋物線焦點為,由題意利用拋物線的定義可得,當共線時,取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點,準線,過作交于點,連接由拋物線定義,
,
當且僅當三點共線時,取“=”號,∴的最小值為.
故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質(zhì)的應用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,屬于中檔題.9、D【解析】
通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.10、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關系數(shù)為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關系數(shù)r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應從左到右是上升的,則變量x與y正相關,故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.11、C【解析】
以為坐標原點,以分別為x軸,y軸建立直角坐標系,利用向量的坐標運算計算即可解決.【詳解】以為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系,不妨設正方形的邊長為1,則,,設,則,所以,且,故.故選:C.【點睛】本題考查利用向量的坐標運算求變量的取值范圍,考查學生的基本計算能力,本題的關鍵是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?,是一道基礎題.12、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設,則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】
根據(jù)導數(shù)的運算,結(jié)合數(shù)列的通項公式的求法,求得,,,進而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),且,,可得,,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首項為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為,所以數(shù)列的前項和為,滿足,所以,即,又由表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的計算,以及等差數(shù)列的通項公式,累加法求解數(shù)列的通項公式,以及裂項法求數(shù)列的和的綜合應用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.14、【解析】
化簡得到,,根據(jù)余弦定理和均值不等式得到,根據(jù)面積公式計算得到答案.【詳解】,即,,故.根據(jù)余弦定理:,即.當時等號成立,故.故答案為:.【點睛】本題考查了三角恒等變換,余弦定理,均值不等式,面積公式,意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.15、【解析】
依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎題.16、【解析】
做中點,的中點,連接,由已知條件可求出,運用余弦定理可求,從而在平面中建立坐標系,則以及的外接圓圓心為和長方形的外接圓圓心為在該平面坐標系的坐標可求,通過球心滿足,即可求出的坐標,從而可求球的半徑,進而能求出球的表面積.【詳解】解:如圖做中點,的中點,連接,由題意知,則設的外接圓圓心為,則在直線上且設長方形的外接圓圓心為,則在上且.設外接球的球心為在中,由余弦定理可知,.在平面中,以為坐標原點,以所在直線為軸,以過點垂直于軸的直線為軸,如圖建立坐標系,由題意知,在平面中且設,則,因為,所以解得.則所以球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了幾何體外接球的問題,考查了球的表面積.關于幾何體的外接球的做題思路有:一是通過將幾何體補充到長方體中,將幾何體的外接球等同于長方體的外接球,求出體對角線即為直徑,但這種方法適用性較差;二是通過球的球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直,設半徑列方程求解;三是通過空間、平面坐標系進行求解.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2).【解析】
(1)利用離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組,求解即可.(2)把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標之間的關系,聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可求.【詳解】解:(1)設焦距為2c,由題意知:;解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知:F(﹣1,0),設l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直線l的方程為.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進行求解,面積問題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關鍵,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).18、(1);(2).【解析】
(1)對求導,對參數(shù)進行分類討論,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得.(2)先根據(jù),得,再根據(jù)零點解得,轉(zhuǎn)化不等式得,令,化簡得,因此,,最后根據(jù)導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性,確定對應函數(shù)最值,即得取值集合.【詳解】(1),當時,對恒成立,與題意不符,當,,∴時,即函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,∵和時均有,∴,解得:,綜上可知:的取值范圍;(2)由(1)可知,則,由的任意性及知,,且,∴,故,又∵,令,則,且恒成立,令,而,∴時,時,∴,令,若,則時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,∴,與不符;若,則時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,∴,與式不符;若,解得,此時恒成立,,即函數(shù)在單調(diào)遞增,又,∴時,;時,符合式,綜上,存在唯一實數(shù)符合題意.【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.19、(1)唯一的極大值點1,無極小值點.(2)1【解析】
(1)求出導函數(shù),求得的解,確定此解兩側(cè)導數(shù)值的正負,確定極值點;(2)問題可變形為恒成立,由導數(shù)求出函數(shù)的最小值,時,無最小值,因此只有,從而得出的不等關系,得出所求最大值.【詳解】解:(1)定義域為,當時,,令得,當所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有唯一的極大值點,無極小值點.(2)當時,.若恒成立,則恒成立,所以恒成立,令,則,由題意,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以所以,所以,故的最大值為1.【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)極值,研究不等式恒成立問題.在求極值時,由確定的不一定是極值點,還需滿足在兩側(cè)的符號相反.不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這里分離參數(shù)法起關鍵作用.20、(1),;(2).【解析】
(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標方程;(2)聯(lián)立極坐標方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標方程為:.轉(zhuǎn)換為
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