湖北省武漢部分學校2024年高考信息歸集與命題預測：數(shù)學試題試卷

湖北省武漢部分學校2024年高考信息歸集與命題預測：數(shù)學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．本次模擬考試結束后，班級要排一張語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表，若化學排在生物前面，數(shù)學與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種2．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．3．已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．204．已知函數(shù)，關于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）5．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度6．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．107．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．58．已知集合，，則（）A． B．C． D．9．已知，，，是球的球面上四個不同的點，若，且平面平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．011．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點的橫坐標之和為（）A．2 B．4 C．5 D．612．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）某膳食營養(yǎng)科研機構為研究牛蛙體內的維生素E和鋅、硒等微量元素（這些元素可以延緩衰老，還能起到抗癌的效果）對人體的作用，現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進行抽樣試驗，則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．14．在中，，點是邊的中點，則__________，________.15．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級被抽取的人數(shù)為________．16．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為，，（且），則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（1）當時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：．18．（12分）在中，內角的對邊分別是，已知.（1）求角的值；（2）若，，求的面積．19．（12分）某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球（紅、黃、黑、白）.顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.（1）求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；（2）記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.21．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知：，：，：.（1）求與的極坐標方程（2）若與交于點A，與交于點B，，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用分步計數(shù)原理結合排列求解即可【詳解】第一步排語文，英語，化學，生物4種，且化學排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點睛】本題考查排列的應用，不相鄰采用插空法求解，準確分步是關鍵，是基礎題2、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.3、C【解析】

利用等差通項，設出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題，屬于基礎題4、D【解析】

原問題轉化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減．由，可得，即a＜2．∴實數(shù)a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題，關鍵在于等價轉化，將問題轉化為通過導函數(shù)討論函數(shù)單調性解決問題.5、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.6、C【解析】

根據(jù)復數(shù)模的性質計算即可.【詳解】因為，所以，，故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)模的定義及復數(shù)模的性質，屬于容易題.7、C【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【詳解】由，得，解得.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎題.8、A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質可知，再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運算可得.故選：A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎題.9、A【解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【詳解】如圖，取BC中點G，連接AG，DG，則，，分別取與的外心E，F(xiàn)，分別過E，F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故選A．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．10、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關系數(shù)的性質，可判斷②；根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1；兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數(shù)的絕對值越接近于0；故②為真命題；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數(shù)、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎題．11、B【解析】

由函數(shù)的性質可得：的圖像關于直線對稱且關于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關于對稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足，可得的圖像關于直線對稱且關于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關于對稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關系如圖所示，可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質，考查了數(shù)形結合的思想，掌握函數(shù)的性質是解題的關鍵，屬于中檔題.12、B【解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質的應用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

記只雌蛙分別為，只雄蛙分別為，從中任選只牛蛙進行抽樣試驗，其基本事件為，共15個，選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為，共9個，故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．14、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中，，，可得因為點是邊的中點，所以故答案為：；.【點睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應用，考查計算能力，屬于中檔題.15、【解析】

由三個年級人數(shù)成等差數(shù)列和總人數(shù)可求得高二年級共有人，根據(jù)抽樣比可求得結果.【詳解】設高一、高二、高三人數(shù)分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級被抽取的人數(shù)為人．故答案為：.【點睛】本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關知識，屬于基礎題.16、【解析】

利用等比數(shù)列的性質求得，進而求得，再利用對數(shù)運算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）沒有極值點；（2）證明見解析【解析】

（1）求導可得,再求導可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉化問題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設,則可整理為,設,利用導函數(shù)可得,即可求證.【詳解】（1）當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.（2）由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設,那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.18、（1）；（2）【解析】

（1）由已知條件和正弦定理進行邊角互化得，再根據(jù)余弦定理可求得值.（2）由正弦定理得，，代入得，運用三角形的面積公式可求得其值.【詳解】（1）由及正弦定理得，即由余弦定理得，，.（2）設外接圓的半徑為，則由正弦定理得，，，.【點睛】本題考查運用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，關鍵在于熟練地運用其公式，合理地選擇進行邊角互化，屬于基礎題.19、（1）；（2）20.【解析】

（1）1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；（2）的可能取值為：0，10，20，30，1．分別求出取各個值時的概率，即可求出分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，所以1名顧客摸球2次摸獎停止的概率．（2）的可能取值為：0，10，20，30，1．,∴隨機變量X的分布列為：X01020301P數(shù)學期望.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，屬于中檔題.20、（1）；（2）不存在.【解析】

（1）由已知，利用基本不等式的和積轉化可求，利用基本不等式可將轉化為，由不等式的傳遞性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值為，而，故不存在．【詳解】（1）由，得，且當時取等號．故，且當時取等號．所以的最小值為；（2）由（1）知，．由于，從而不存在，使得成立．【考點定位】基本不等式．21、（1）；（2）.【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調性得到函數(shù)最值，得到答案.【詳解】（1），①當時恒成立，所以單調遞增，因為，所以有唯一零點，即符合題意；②當時，令，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，函數(shù)。（i）當即,所以符合題意，（ii）當即時，因為，故存在,所以不符題意（iii）當時，因為，設，所以,單調遞增，即，故存在，使得，不符題意；綜上，的取值范圍為。（2）。①當時，恒成立，所以單調遞增，所以，即符合題意；②當時，恒成