2024年中考模擬試卷數(shù)學（江蘇南京卷）

2024年中考第三次模擬考試（南京卷）數(shù)學注意事項：1．本試卷共6頁．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．2．請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應的答案標號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效．4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共6個小題，每小題2分，共12分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．在這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．3 B．0 C． D．2．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．3．如圖所示幾何體是由一個四棱柱上放置一個球體得到的，它的左視圖是（

）A． B． C． D．4．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．20235．如圖，已知正方形的邊長為1，連接、，平分交于點，則長（

）A． B． C． D．6．如圖，的頂點是坐標原點，在軸的正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象經過點，，則的值為（）A． B．2 C． D．3第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個小題，每小題2分，共20分）7．因式分解：．8．今年春節(jié)電影《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生》、《熊出沒?逆轉時空》在網(wǎng)絡上持續(xù)引發(fā)熱議，根據(jù)貓眼專業(yè)版數(shù)據(jù)顯示，截至月日時，年春節(jié)檔新片總票房突破億元，創(chuàng)造了新的春節(jié)檔票房紀錄，則其中數(shù)據(jù)億用科學記數(shù)法表示為．9．若，則的值為；10．一個圓錐的底面直徑是，母線長是，則它的側面積是．11．已知實數(shù)、y，如果，那么；12．已知一元二次方程的兩根為、，則．13．春節(jié)期間，小宇去表哥家拜年，好學的他發(fā)現(xiàn)在表哥新裝修的房子里，鋼琴房的背景墻上有用巖板作的幾何圖案造型．如圖，這個圖案是由正六邊形、正方形及拼成的（不重疊，無縫隙），則的度數(shù)是．14．某市新建一座景觀橋．如圖，橋的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度為80米，橋拱的最大高度為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細），則與的距離為4米的景觀燈桿的高度為米．15．如圖在中，為直徑，為弦，點為弧的中點，以點為切點的切線與的延長線交于點．若則．16．如圖，直角坐標系中，平行四邊形的頂點B在x軸的正半軸上，A、C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經過點A，與交于點D，軸于點E，連結并延長交的延長線于點F，反比例函數(shù)的圖象經過點F，連結，則的面積為．三、解答題（本大題共11個小題，共88分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．先化簡，再求值：，其中．18．解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來．19．隨著科幻電影的崛起，層出不窮的“硬核科技”元素也引起人們的熱烈討論，例如太空電梯，數(shù)字生命，重核聚變行星發(fā)動機，超級量子計算機，人工智能，機械外骨骼等．強大的科技會促使科幻走進現(xiàn)實，為激發(fā)學生對科技的熱情，某校七、八年級舉辦了青少年科技創(chuàng)新大賽，賽后從兩個年級中各隨機抽取50名學生的成績（百分制）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．七年級學生成績的頻數(shù)分布直方圖如圖所示．（數(shù)據(jù)分為5組：，，，，）b．七年級學生成績在這一組的是：，，，，，，，，，，，，，，，；c．七、八年級學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)如表：年級統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)七年級八年級根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)表中的值為；(2)小佳此次大賽的成績?yōu)榉?，在被抽取的名學生中，他的成績超過了一半以上的同學，請判斷小佳是哪個年級的學生，并說明理由；(3)若成績分及以上為優(yōu)秀，七年級共有學生名，估計本次大賽七年級學生成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．20．隨著社會經濟發(fā)展和物質消費水平的大幅度提高，我國每年垃圾產生量迅速增長，為了倡導綠色社區(qū)，做好垃圾分類工作，某社區(qū)成立了甲、乙兩個檢查組，采取隨機抽查的方式對轄區(qū)內四個小區(qū)進行抽查，并且每個小區(qū)不重復檢查．(1)若由甲組對四個小區(qū)進行抽查，則抽到B小區(qū)的概率是________；(2)若甲、乙兩組同時抽查，請用畫樹狀圖法或列表法求出甲組抽到C小區(qū)，同時乙組抽到D小區(qū)的概率．21．如圖，在平行四邊形中，于點，延長至點，使得，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求的長．22．如圖所示，折線是一段登山石階，其中，部分的坡角為，部分的坡角為，．(1)求石階路（折線）的長．(2)如果每級石階的高不超過，那么這一段登山石階至少有多少級臺階？（最后一級石階的高度不足時，按一級石階計算．可能用到的數(shù)據(jù)：，）23．一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于A,B兩點，其中．(1)求反比例函數(shù)表達式；(2)結合圖像，直接寫出時，x的取值范圍；(3)若把一次函數(shù)的圖像向下平移b個單位，使之與反比例函數(shù)的圖像只有一個交點，請直接寫出b的值．24．如圖，中，，以為直徑的與相交于點，與的延長線相交于點，過點作交于點．(1)求證：直線與相切；(2)如果，的長為2，求的長．25．閱讀材料：尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學課題，是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．無刻度直尺在作圖時只可用來畫直線、射線或線段．請根據(jù)以上材料按要求進行作圖．(1)如圖1，在中，，請用無刻度直尺與圓規(guī)在邊上作出一點O，使得過點C且與相切．（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）(2)如圖2，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，點A，B，C，D是網(wǎng)格的四個格點，且．①作圖：請在圖2中僅用無刻度直尺作出一點O，使得過點C且與相切于點D；（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）②若此網(wǎng)格中每個小正方形邊長為1，則的半徑為________．（可利用圖2備用圖計算）26．定義：若一動點P到一條線段的兩個端點的距離滿足，則稱P為線段的點，但點P不是線段的點．(1)如圖1，在中，，，若點C是線段的點，求的長．(2)如圖2，在中，D是邊上一點，連結，若點A分別是線段，線段的點．求證：C是線段的點（提示：證明與相似）．(3)如圖3，在菱形中，，，點E，F(xiàn)分別是，上的點，且滿足．連結，若點E是線段的點．求的長．27．在平面直角坐標系中為，拋物線（、為常數(shù)）的對稱軸為直線，與軸交點坐標為．(1)求此拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)點、點均在這個拋物線上（點在點的左側），點A的橫坐標為m，點的橫坐標為．將此拋物線上兩點之間的部分（含兩點）記為圖象．①當點在軸上方，圖象的最高與最低點的縱坐標差為6時，求的值；②設點，點，將線段繞點逆時針旋轉后得到線段，連接，當（不含內部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個公共點時，求的取值范圍．

2024年中考第三次模擬考試（南京卷）數(shù)學·全解全析注意事項：1．本試卷共6頁．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．2．請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應的答案標號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效．4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共6個小題，每小題2分，共12分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．在這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．3 B．0 C． D．【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的大小比較，根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小，進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴．∴在這四個數(shù)中，最大的數(shù)是3．故選：A．2．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘除法，合并同類項，根據(jù)相關運算法則計算出各選項的結果后再判斷即可【詳解】解：A.，故選項A計算錯誤，不符合題意；B.，計算正確，符合題意；C.，故選項C計算錯誤，不符合題意；D.，故選項D計算錯誤，不符合題意；故選：B3．如圖所示幾何體是由一個四棱柱上放置一個球體得到的，它的左視圖是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．根據(jù)左視圖的意義和畫法可以得出答案．【詳解】解：球的左視圖是一個圓，長方體的左視圖是一個長方形，該幾何體的左視圖是一個圓與一個長方形，故選：B．4．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．2023【答案】A【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與判別式的關系，當，方程無實數(shù)根；，方程有兩個相等的實數(shù)根；，方程有兩個不相等的實數(shù)根．根據(jù)判別式的意義得到，然后解關于的不等式，最后對選項進行判斷即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根∴解得．∴m的值可能是0．故選：A．5．如圖，已知正方形的邊長為1，連接、，平分交于點，則長（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質：對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角，角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等以及勾股定理的運用．過作于，根據(jù)正方形的性質和角平分線的性質以及勾股定理即可求出的長．【詳解】解：過作于，四邊形是正方形，，平分交于點，，正方形的邊長為1，，，∵，，，，故選：C．6．如圖，的頂點是坐標原點，在軸的正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象經過點，，則的值為（）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】過點作于，過點作軸于，根據(jù)平行四邊形的性質及矩形的判定證明四邊形為矩形，得，再證（），得，利用三線合一得，從而有，于是根據(jù)反比例函數(shù)的意義即可得解．【詳解】解：過點作于，過點作軸于，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，即，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴在和中，，∴（），∴，∵，，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經過點，∴，∴，∴，∴，∴．故選：．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個小題，每小題2分，共20分）7．因式分解：．【答案】【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)提公因式法分解因式求解即可．【詳解】解：，故答案為：．8．今年春節(jié)電影《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生》、《熊出沒?逆轉時空》在網(wǎng)絡上持續(xù)引發(fā)熱議，根據(jù)貓眼專業(yè)版數(shù)據(jù)顯示，截至月日時，年春節(jié)檔新片總票房突破億元，創(chuàng)造了新的春節(jié)檔票房紀錄，則其中數(shù)據(jù)億用科學記數(shù)法表示為．【答案】【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，理解定義是關鍵．絕對值大于的數(shù)可以用科學記數(shù)法表示，一般形式為，為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少，據(jù)此可以解答．【詳解】解：．故答案為：．9．若，則的值為；【答案】【分析】本題考查分式的化簡求值．根據(jù)得出，再代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．10．一個圓錐的底面直徑是，母線長是，則它的側面積是．【答案】【分析】本題考查的是圓錐的側面積的計算，圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，圓錐的側面積：．根據(jù)圓錐的側面積公式計算即可．【詳解】解：圓錐的底面直徑是，則圓錐的底面周長為：，所以圓錐的側面積＝母線長底面周長．故答案為：．11．已知實數(shù)、y，如果，那么；【答案】3【分析】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式，當時有意義，也考查了算術平方根．根據(jù)二次根式有意義的條件得到得，即可求解y，即可得到的值．【詳解】解：由題意得：，解得，∴，∴，故答案為：3．12．已知一元二次方程的兩根為、，則．【答案】54【分析】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形，熟知“，是一元二次方程的兩根時，，”是解題的關鍵．先根據(jù)題意得出與的值，代入變形后的代數(shù)式進行計算即可．【詳解】解：一元二次方程的兩根為、，，，．故答案為：54．13．春節(jié)期間，小宇去表哥家拜年，好學的他發(fā)現(xiàn)在表哥新裝修的房子里，鋼琴房的背景墻上有用巖板作的幾何圖案造型．如圖，這個圖案是由正六邊形、正方形及拼成的（不重疊，無縫隙），則的度數(shù)是．【答案】/15度【分析】本題考查了平面鑲嵌（密鋪）和正多邊形的內角和，等腰三角形的判定和性質，正六邊形的每個內角為，即可求，正方形每個內角為，即可求，進而求的大小，根據(jù)即可求的度數(shù)．【詳解】解：∵正六邊形的每個內角為，正方形每個內角為，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．14．某市新建一座景觀橋．如圖，橋的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度為80米，橋拱的最大高度為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細），則與的距離為4米的景觀燈桿的高度為米．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式的知識，建立合適的平面直角坐標系是解題的關鍵．以所在直線為軸、所在直線為軸建立坐標系，可設該拋物線的解析式為，將點坐標代入求得拋物線解析式，再求當時的值即可．【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標系，設拋物線表達式為，由題意可知，的坐標為，，，，時，，答：與距離為4米的景觀燈桿的高度為米，故答案為：．15．如圖在中，為直徑，為弦，點為弧的中點，以點為切點的切線與的延長線交于點．若則．【答案】/【分析】本題考查了圓的切線的性質，垂徑定理的推理，平行線分線段成比例，勾股定理的綜合，掌握圓的基礎知識是解題的關鍵．根據(jù)垂徑定理的推理可得，根據(jù)切線的性質可得，由此證得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，設，可用含的式子表示出的長，在直角中根據(jù)勾股定理可求出，由此即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵點為弧BD中點，∴弧BC=弧CD，∴，∵是切線，∴，∴，∵，∴，∴設，則，，∴，，在中，，∴，故答案為：．16．如圖，直角坐標系中，平行四邊形的頂點B在x軸的正半軸上，A、C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經過點A，與交于點D，軸于點E，連結并延長交的延長線于點F，反比例函數(shù)的圖象經過點F，連結，則的面積為．【答案】【分析】根據(jù)的幾何意義，得出，結合點F在第三象限，故再設設的解析式為，運用待定系數(shù)法求，得出，根據(jù)平行四邊形的性質以及相似三角形的性質，得出，結合，代入數(shù)值進行化簡，即可作答．【詳解】解：設∵反比例函數(shù)的圖象經過點A，∴∵連結并延長交的延長線于點F，反比例函數(shù)的圖象經過點F，設把代入，解得∴，∴，則，解得∵點F在第三象限，∴（正值已舍去），∴或，∵軸于點E，∴點E的坐標為，設的解析式為把和代入，得解得∴的解析式為，∵點D在上，且在上∴整理得即∴∵點D在第一象限∴如圖：過點D作軸∵四邊形是平行四邊形∴∴∵∴則，即，∴，則，∴，∵，∴．故答案為：．三、解答題（本大題共11個小題，共88分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】化簡后，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，代入計算即可，本題考查了分式化簡求值，特殊角的函數(shù)值，熟練化簡，熟記函數(shù)值是解題的關鍵．【詳解】解：原式

，∴原式．18．解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，在數(shù)軸上表示見解析【分析】本題考查了解一元一次不等式組，并在數(shù)軸上表示．分別解出每一個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”得出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示即可．正確解不等式組是解題的關鍵．【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴該不等式組的解集為：．在數(shù)軸上表示為：19．隨著科幻電影的崛起，層出不窮的“硬核科技”元素也引起人們的熱烈討論，例如太空電梯，數(shù)字生命，重核聚變行星發(fā)動機，超級量子計算機，人工智能，機械外骨骼等．強大的科技會促使科幻走進現(xiàn)實，為激發(fā)學生對科技的熱情，某校七、八年級舉辦了青少年科技創(chuàng)新大賽，賽后從兩個年級中各隨機抽取50名學生的成績（百分制）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．七年級學生成績的頻數(shù)分布直方圖如圖所示．（數(shù)據(jù)分為5組：，，，，）b．七年級學生成績在這一組的是：，，，，，，，，，，，，，，，；c．七、八年級學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)如表：年級統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)七年級八年級根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)表中的值為；(2)小佳此次大賽的成績?yōu)榉?，在被抽取的名學生中，他的成績超過了一半以上的同學，請判斷小佳是哪個年級的學生，并說明理由；(3)若成績分及以上為優(yōu)秀，七年級共有學生名，估計本次大賽七年級學生成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．【答案】(1)(2)七年級(3)【分析】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，平均數(shù)、中位數(shù)，樣本估計總體；（1）根據(jù)中位數(shù)的定義，即可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)的意義，即可求解；（3）根據(jù)樣本估計總體，用乘以七年級優(yōu)秀人數(shù)的占比，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，第和個數(shù)分別為為，∴（2）解：小佳是七年級的學生，理由：他的成績超過了一半以上的同學，七年級的成績的中位數(shù)為，∴小佳是七年級的學生；（3）解：估計本次大賽七年級學生成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為（人）20．隨著社會經濟發(fā)展和物質消費水平的大幅度提高，我國每年垃圾產生量迅速增長，為了倡導綠色社區(qū)，做好垃圾分類工作，某社區(qū)成立了甲、乙兩個檢查組，采取隨機抽查的方式對轄區(qū)內四個小區(qū)進行抽查，并且每個小區(qū)不重復檢查．(1)若由甲組對四個小區(qū)進行抽查，則抽到B小區(qū)的概率是________；(2)若甲、乙兩組同時抽查，請用畫樹狀圖法或列表法求出甲組抽到C小區(qū)，同時乙組抽到D小區(qū)的概率．【答案】(1)(2)【分析】此題考查列表法與樹狀圖法，解題關鍵在于根據(jù)題意畫出樹狀圖．（1）直接利用概率公式求解可得；（2）畫樹狀圖列出所有等可能結果，根據(jù)概率公式求解可得．【詳解】（1）解：由甲組對四個小區(qū)進行抽查，則抽到B小區(qū)的概率是；（2）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數(shù)，其中甲組抽到C小區(qū)，同時乙組抽到D小區(qū)的結果數(shù)為1，∴甲組抽到C小區(qū)，同時乙組抽到D小區(qū)的概率為．21．如圖，在平行四邊形中，于點，延長至點，使得，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了矩形的判定與性質，平行四邊形的性質，勾股定理以及逆定理；（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)垂直，即可求證；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，求得是直角三角形，等面積法求得，勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，，平行四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，，，，是直角三角形，，的面積，，由（）得：，四邊形是矩形，，，，．22．如圖所示，折線是一段登山石階，其中，部分的坡角為，部分的坡角為，．(1)求石階路（折線）的長．(2)如果每級石階的高不超過，那么這一段登山石階至少有多少級臺階？（最后一級石階的高度不足時，按一級石階計算．可能用到的數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)120米(2)472級【分析】（1）根據(jù)，可得，結合，計算即可．（2）先計算的長度，單位化成厘米后除以20，計算即可．本題考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的鉛直高度與對應的水平距離的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系和等腰直角三角形的性質．【詳解】（1）∵，∴，∵，∵．（2）∵，∴，∵，∵，，∴，∴（級）．答：這一段登山石階至少有472級臺階．23．一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于A,B兩點，其中．(1)求反比例函數(shù)表達式；(2)結合圖像，直接寫出時，x的取值范圍；(3)若把一次函數(shù)的圖像向下平移b個單位，使之與反比例函數(shù)的圖像只有一個交點，請直接寫出b的值．【答案】(1)(2)或(3)1或9【分析】（1）將代入得，，則，將代入得，可得，，進而可得反比例函數(shù)表達式；（2）聯(lián)立，整理得，，可求滿足要求的解或，將代入得，，則，然后數(shù)形結合求不等式的解集即可；（3）由題意知，平移后的解析式為，聯(lián)立得，，整理得，，由圖像只有一個交點，可得，計算求解然后作答即可．【詳解】（1）解：將代入得，，∴，將代入得，，解得，，∴反比例函數(shù)表達式為；（2）解：聯(lián)立，整理得，，∴，解得，或，經檢驗，或是原分式方程的解，將代入得，，∴，∴由圖像可知，的解集為或；（3）解：由題意知，平移后的解析式為，聯(lián)立得，，整理得，，∵圖像只有一個交點，∴，解得，或，∴b的值為1或9．24．如圖，中，，以為直徑的與相交于點，與的延長線相交于點，過點作交于點．(1)求證：直線與相切；(2)如果，的長為2，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質和解直角三角形，解答本題的關鍵是作出輔助線．（1）先連接，由于是直徑以及，即可得出，進而得出，，即可證得結論；（2）連接，，先證明，則，再證明，則在中利用正弦的定義求出，接著在中利用正弦的定義求出，則可求出，所以，從而得到的長．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，，，，，，，，而為的半徑，直線與相切；（2）解：連接，，如圖，，，，，為直徑，，，，，，在中，，，在中，，，，即，，，．25．閱讀材料：尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學課題，是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．無刻度直尺在作圖時只可用來畫直線、射線或線段．請根據(jù)以上材料按要求進行作圖．(1)如圖1，在中，，請用無刻度直尺與圓規(guī)在邊上作出一點O，使得過點C且與相切．（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）(2)如圖2，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，點A，B，C，D是網(wǎng)格的四個格點，且．①作圖：請在圖2中僅用無刻度直尺作出一點O，使得過點C且與相切于點D；（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）②若此網(wǎng)格中每個小正方形邊長為1，則的半徑為________．（可利用圖2備用圖計算）【答案】(1)見詳解(2)①見詳解②【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖，圓的切線判定，勾股定理，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質等；（1）作出的平分線交于，即可求解；（2）①連接，作的垂直平分線，過作的垂線，交的垂直平分線于，即可求解；②由可判定，由全等三角形的性質得，，由可判定，由相似三角形的性質得，求出，由勾股定理得，即可求解；掌握作法，能利用判定方法及性質進行求解是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖，是所求作的點；（2）解：①如圖，是所求作的點；②如圖，由圖得：，，，由作圖過程得：，，在和中，()，，，，，，，，，解得：，，；故答案：．26．定義：若一動點P到一條線段的兩個端點的距離滿足，則稱P為線段的點，但點P不是線段的點．(1)如圖1，在中，，，若點C是線段的點，求的長．(2)如圖2，在中，D是邊上一點，連結，若點A分別是線段，線段的點．求證：C是線段的點（提示：證明與相似）．(3)如圖3，在菱形中，，，點E，F(xiàn)分別是，上的點，且滿足．連結，若點E是線段的點．求的長．【答案】(1