江蘇鎮(zhèn)江市朱方高級中學2024-2025學年高二（上）數(shù)學第11周階段性訓練模擬練習（含解析）

江蘇鎮(zhèn)江市朱方高級中學2024-2025學年高二（上）數(shù)學第11周階段性訓練模擬練習一．選擇題（共6小題）1．已知點P在直線y＝﹣x﹣3上運動，M是圓x2+y2＝1上的動點，N是圓（x﹣9）2+（y﹣2）2＝16上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．13 B．11 C．9 D．82．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓C上存在點P使∠F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）3．如圖，空間四邊形OABC中，＝，＝，＝，點M在線段OA上，且OM＝2MA，點N為BC的中點，則＝（）A．﹣++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，，則異面直線AC1與BC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知直線l：x﹣y﹣2＝0與圓O：x2+y2＝1，過直線l上的任意一點P作圓O的切線PA，PB，切點分別為A，B，則∠APB的最大值為（）A． B． C． D．6．設(shè)橢圓C的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，過點F1的直線與橢圓C交于點P，Q，若|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝4|QF1|，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．二．多選題（共3小題）（多選）7．下列結(jié)論中正確的是（）A．已知直線l過點P（2，3），且在x，y軸上截距相等，則直線l的方程為x+y﹣5＝0 B．已知圓O：x2+y2＝4和圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，則圓O和圓C有4條公切線 C．若直線l：x﹣y+m＝0上存在點P，過點P作圓O：x2+y2＝4的切線PA，PB，切點分別為A，B，使得∠APB為直角，則實數(shù)m的取值范圍為[﹣4，4] D．已知圓C：（x﹣6）2+y2＝9，點M的坐標為（2，4），過點N（4，0）作直線l交圓C于A，B兩點，則的取值范圍是[8，12]（多選）8．過橢圓＝1的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（）A．△PQF2周長的最小值為18 B．四邊形PF1QF2可能為矩形 C．若直線PA斜率的取值范圍是[，]，則直線PB斜率的取值范圍是[，﹣] D．?的最小值為﹣1（多選）9．如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點E，F(xiàn)在四邊形A1B1C1D1所在的平面內(nèi)，若，AC⊥DF，則下述結(jié)論正確的是（）A．二面角A1﹣BD﹣A的平面角的正切值為2 B．CF⊥AC1 C．點E的軌跡是一個圓 D．直線DF與平面A1BD所成角的正弦值的最大值為三．填空題（共4小題）10．已知圓M：x2+（y﹣2）2＝1，Q是x軸上動點，QA，QB分別是圓M的切線，切點分別為A，B兩點，則直線AB恒過定點．11．已知點A，B為圓O：x2+y2＝13上兩動點，且，點P為直線上動點，則|PA|2+|PB|2的最小值為．12．已知正四面體P﹣ABC的棱長為1，空間中一點M滿足，其中x，y，z∈R，且x+y+z＝1．則的最小值．13．已知點P是橢圓上一動點，Q是圓（x+3）2+y2＝1上一動點，點M（6，4），則|PQ|﹣|PM|的最大值為．四．解答題（共5小題）14．已知圓O：x2+y2＝1和點．（1）過點M作圓O的切線，求切線的方程；（2）已知A（2，4），設(shè)P為滿足方程PA2+PO2＝34的任意一點，過點P向圓O引切線，切點為B，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點N，使得為定值？若存在，則求出定點N的坐標，并指出相應的定值；若不存在，則說明理由；（3）過點M作直線l交圓O于兩個不同的點C，D（線段CD不經(jīng)過圓心O），分別在點C，D處作圓O的切線，兩條切線交于點E，求證：點E在一條定直線上，并求出該直線的方程．15．已知圓C過兩點P（3，2），Q（5，4），圓心在直線x﹣y+1＝0上．（1）求圓C的方程；（2）若過點A（4，1）的直線l1與圓C交于點M，N兩點，且，求直線l1的方程；（3）若圓D的半徑為3，圓心在直線x﹣y+2＝0上，且與圓C外切，求圓D的方程．

16．已知圓O：x2+y2＝1，直線l1過點A（3，0），且與圓O相切．（1）求直線l1的方程；（2）設(shè)圓O與x軸交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2與點R，則直線QM交直線l2于點S．求證：以RS為直徑的圓C總過定點；并求出該定點的坐標．17．已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，點C是橢圓上異于A，B的動點，過原點O平行于AC的直線與橢圓交于點M，N，D為線段AC的中點，直線OD與橢圓E交于點P，Q，點P，C，M在x軸的上方．（1）設(shè)直線CQ，AQ分別與直線MN交于點E，F(xiàn)，且滿足S△QEF：S△QCA＝4：9，求點C的坐標；（2）求|PQ|?|MN|的最大值．18．已知F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓C上，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A為橢圓C的左頂點，過點F2的直線I交橢圓C于D、E兩點，，求直線l的方程．（3）若過橢圓上一點P（x0，y0）的切線方程為，利用上述結(jié)論，設(shè)d是從橢圓中心到橢圓在點Q處切線的距離，當Q在橢圓上運動時，判斷d2|QF1||QF2|是否為定值．若是求出定值，若不是說明理由．

參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．【解答】解：圓（x﹣9）2+（y﹣2）2＝16的圓心為C（9，2），半徑為4，圓x2+y2＝1的圓心為O（0，0），半徑為1，如圖所示，則|PC|﹣4≤|PN|≤|PC|+4，|PO|﹣1≤|PM|≤|PO|+1，所以|PM|+|PN|≥|PO|+|PC|﹣5，故求|PM|+|PN|的最小值可轉(zhuǎn)化為求|PC|+|PO|的最小值，設(shè)O（0，0）關(guān)于直線y＝﹣x﹣3的對稱點為G，設(shè)G坐標為（m，n），則，解得，故G（﹣3，﹣3），因為|PO|＝|PG|，可得，當P，G，C三點共線時，等號成立，所以|PM|+|PN|的最小值為13﹣5＝8．故選：D．2．【解答】解：設(shè)P（x0，y0），則|x0|＜a，又F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），又∠F1PF2為鈍角，當且僅當?＜0有解，即（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）＝（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+＜0，即有c2＞+有解，即c2＞（+）min．又＝b2﹣，∴+＝b2+∈[b2，a2），即（+）min＝b2．故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，∴＞，即e＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1．故選：A．3．【解答】解：＝，＝+﹣+，＝++﹣，＝﹣++，∵＝，＝，＝，∴＝﹣++，故選：A．4．【解答】解：連接AB1，因為BC∥B1C1，所以∠B1C1A等于異面直線AC1與BC所成的角，因為AB⊥AC，AB＝AC＝1，，所以BC＝B1C1＝，AC1＝AB1＝＝，在△AB1C1中，由余弦定理可得cos∠B1C1A＝＝＝．所以異面直線AC1與BC所成角的余弦值為．故選：C．5．【解答】解：若要∠APB最大，則只需銳角∠APO最大，只需sin∠APO＝＝最大，即|OP|最小，所以若|OP|最小，則OP⊥l，由垂徑定理有OP⊥AB，|OP|＝＝，此時sin∠APO＝，∠APO＝45°，即∠APB的最大值為．故選：C．6．【解答】解：如圖，因為|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝4|QF1|，所以|PF2|＝|F1F2|2c，可得|PF1|＝2a﹣2c，|QF1|＝，故|QF2|＝．過F2作F2N⊥PQ，在直角三角形NQF2中，|NF2|2＝（2c）2﹣（a﹣c）2，|QN|＝，由|NF2|2+|QN|2＝|QF2|2，可得7c2﹣12ac+5a2＝0．即可得7e2﹣12e+5＝0，∴e＝．故選：B．二．多選題（共3小題）7．【解答】解：對于A，當直線過原點時，直線方程為，滿足條件，∴A錯誤；對于B，圓O：x2+y2＝4的圓心為O（0，0），半徑r1＝2，圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的圓心為C（2，3），半徑r2＝1，則圓心距，又r1+r2＝3，由，可知|OC|＞r1+r2，∴兩圓相離，∴圓O與圓C共有4條公切線，∴B正確；對于C，連接OA，OB，OP，如圖，則易知四邊形OAPB為正方形，∴，∴點P的軌跡是圓心為O，半徑為的圓，又點P在直線l上，故直線l與該圓有公共點，∴圓心O到直線l的距離，∴﹣4≤m≤4，∴實數(shù)m的取值范圍為[﹣4，4]，∴C正確；對于D，取AB中點D，連接CD，如圖所示：則CD⊥ND，∴點D的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為G（5，0），半徑r＝1，∵，∴|MG|﹣r≤|MD|≤|MG|+r，即4≤|MD|≤6，∴，∴的取值范圍是[8，12]，∴D正確．故選：BCD．8．【解答】解：橢圓＝1的a＝5，b＝4，c＝3，由|OP|＝|OQ|，|OF1|＝|OF2|，可得四邊形PF1QF2為平行四邊形，則|QF2|＝|PF1|，所以△PQF2的周長為|PQ|+|QF2|+|PF2|＝|PQ|+（|PF1|+|PF2|）＝|PQ|+2a≥|2b+2a＝8+10＝18，即△PQF2的周長的最小值為18，故A正確；若四邊形PF1QF2為矩形，則PF1⊥PF2，即有|OP|＝|OF1|＝c，但c＝3＜b＝4，所以P不存在，故B錯誤；設(shè)P（m，n），則16m2+25n2＝400，又A（﹣5，0），B（5，0），可得kPA?kPB＝?＝＝＝﹣，若直線PA斜率的取值范圍是[，]，則kPB＝﹣?∈[，﹣]，故C正確；設(shè)P（m，n），又F1（﹣3，0），B（5，0），則?＝（﹣3﹣m，﹣n）?（5﹣m，﹣n）＝（m+3）（m﹣5）+n2＝m2+n2﹣2m﹣15＝m2﹣2m﹣15+16（1﹣）＝m2﹣2m+1＝（m﹣）2﹣，因為∈[﹣5，5]，所以當m＝時，?取得最小值﹣，故D錯誤．故選：AC．9．【解答】解：對于A，連接AC，BD相交于O，連接OA1，由于AO⊥BD，且A1B＝DA1＝AB，故AO⊥BD，因此∠A1OA為二面角A1﹣BD﹣A的平面角，故，故A錯誤，對于C：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，AE?平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1E，故，則有A1E＝1，所以點E的軌跡是以A1為圓心，1為半徑的圓，故選項C正確；對于B：在正方體中，平面ABCD⊥平面B1BDD1，且兩平面交線為BD，AC⊥BD，AC?平面ABCD，故AC⊥平面B1BDD1，因為AC⊥DF，則DF?平面B1BDD1，故F在B1D1上，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為點F的軌跡是線段B1D1，設(shè)，則F（2λ，2﹣2λ，2），則A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），C1（2，2，2），，，故，進而可得，故CF⊥AC1，B正確，又，，，設(shè)平面A1BD的一個法向量為＝（x，y，z），則，則，令x＝1，則y＝1，z＝1，故平面ABD的一個法向量為，設(shè)DF與平面A1BD所成的角為α，則，當λ＝0時，sinα有最大值，故AE與平面A1BD所成角的正弦值的最大值，故D正確．故選：BCD．三．填空題（共4小題）10．【解答】解：由已知得∠QAM＝∠QBM＝90°，所以A，B兩點在以QM為直徑的圓上，設(shè)Q（x0，0），M（0，2），則以QM為直徑的圓的方程為（x﹣x0）（x﹣0）+（y﹣0）（y﹣2）＝0，所以A，B兩點在圓x2+（y﹣2）2＝1和圓（x﹣x0）（x﹣0）+（y﹣0）（y﹣2）＝0上，兩式相減得x0x﹣2y+3＝0，即直線AB方程為，所以直線AB過定點．故答案為：．11．【解答】解：取AB的中點C，則，因為圓O：x2+y2＝13，直線，所以圓心到直線的距離為，因為，，所以|PA|2+|PB|2＝＝＝＝≥2×25+4×5×1×（﹣1）+26＝56，當且僅當OP⊥l，且O，P，C三點共線，C在OP之間時等號成立，所以|PA|2+|PB|2的最小值為56．故答案為：56．12．【解答】解：∵正四面體P﹣ABC的棱長為1，空間中一點M滿足，其中x，y，z∈R，且x+y+z＝1．∴M與A，B，C共面，則||的最小值為三棱錐的高，設(shè)O為P在平面ABC上的射影，連接OC并延長交AB于點H，則CH⊥AB，∴CH＝，∴CO＝，∴三棱錐的高為＝，∴的最小值為．故答案為：．13．【解答】解：作出圖形，如圖所示：，則a2＝25，b2＝16，則，即橢圓的左，右焦點坐標分別為F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0），則圓（x+3）2+y2＝1的圓心（﹣3，0）為橢圓的左焦點，由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|＝2a＝10，∴|PQ|≤|PF1|+1＝10﹣|PF2|+1＝11﹣|PF2|，又，∴|PQ|﹣|PM|≤11﹣|PF2|﹣|PM|，＝11﹣（|PF2|+|PM|）≤11﹣|MF2|＝11﹣5＝6，故答案為：6．四．解答題（共5小題）14．【解答】（1）解：當切線斜率不存在時，顯然x＝1與圓O：x2+y2＝1相切，當切線斜率存在時，設(shè)切線為，由圓心到切線的距離為1，所以，解得，則，整理得，綜上，切線的方程為x＝1和．（2）解：由題設(shè)，若P（x，y），則（x﹣2）2+（y﹣4）2+x2+y2＝34，整理得x2+y2＝2x+4y+7，若存在N（m，n），使為定值，又|PB|2＝|PO|2﹣1＝x2+y2﹣1，|PN|2＝（x﹣m）2+（y﹣n）2，則x2+y2﹣1＝k（x﹣m）2+k（y﹣n）2，整理得（1﹣k）（x2+y2）＝k（m2+n2）﹣2mkx﹣2nky+1，即（1﹣k）（2x+4y+7）＝k（m2+n2）﹣2mkx﹣2nky+1，整理得（2﹣2k+2mk）x+（4﹣4k+2nk）y+6﹣7k﹣k（m2+n2）＝0，要使為定值，則解得，，或m＝﹣1，n＝﹣2，，綜上，存在定點，定值或定點N（﹣1，﹣2），定值．（3）證明：設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），E（x0，y0），，，由CE⊥CO，則x1（x1﹣x0）+y1（y1﹣y0）＝0，即，又，故x1x0+y1y0＝1，同理x2x0+y2y0＝1，所以直線CD為x0x+y0y＝1，又M在CD上，所以，故點E在直線上．15．【解答】解：（1）依題意，設(shè)圓心C（a，a+1），半徑為r，則|PC|＝|QC|＝r，即，解得a＝3，所以C（3，4），r＝|PC|＝2，得圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．（2）設(shè)圓C到直線l1的距離為d，由，得d＝1，若直線l1的斜率不存在，即直線為x＝4，符合題意，若直線l1的斜率存在，設(shè)y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+1＝0，由圓心C到直線l1的距離為1，即，得，所以直線方程為4x+3y﹣19＝0，綜上，所求直線l1的方程為x＝4或4x+3y﹣19＝0．（3）依題意設(shè)D（m，m+2），由兩圓外切，可知|CD|＝3+2＝5，所以，解得m＝﹣1或m＝6，所以D（﹣1，1）或（6，8），所以圓D的方程為（x+1）2+（y﹣1）2＝9或（x﹣6）2+（y﹣8）2＝9．16．【解答】（1）解：設(shè)直線l1的方程為y＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k＝0．由直線l1與圓O：x2+y2＝1相切，可知點O到直線l1的距離，解得．所以直線l1的方程為，即或；（2）證明：根據(jù)題意，可得圓O：x2+y2＝1，交x軸于P（﹣1，0）、Q（1，0）．過點A（3，0）且與x軸垂直的直線為l2：x＝3，設(shè)M（s，t），則直線PM的方程為，由方程組，解得R（3，），同理可得S（3，）．可得RS的中點坐標為（3，（，），即，所以圓C的圓心為C，半徑R＝|﹣|＝，由點M（s，t）在圓x2+y2＝1上，可得s2+t2＝1，圓心C的坐標化為，半徑R＝，可得圓C的方程為．即＝0，即．結(jié)合s2+t2＝1，化簡得圓C的方程為，令y＝0，可得（x﹣3）2＝8，解得x＝，可知圓C經(jīng)過定點（，0）．綜上所述，圓C經(jīng)過定點，定點的坐標為（，0）．17．【解答】解：（1）如圖，因為AC∥EF，所以△QEF∽△QCA，又因為SΔQEF：SΔQCA＝4：9，所以△QEF