735已知三角函數(shù)值求角課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊第七章三角函數(shù)7.3.5已知三角函數(shù)值求角課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握已知三角函數(shù)值求角的方法,并能根據(jù)已知的三角函數(shù)值求角.2.能用符號arcsin

x,arccos

x,arctan

x表示角.3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、已知正弦值求角1.函數(shù)y=sinx,x∈R,y∈[-1,1],對任一x值,有幾個(gè)y值與之對應(yīng)?對于任一y值,有幾個(gè)x值與之對應(yīng)?提示:一個(gè);無數(shù)個(gè).2.對于函數(shù)y=sinx,x∈

,y∈[-1,1],對于任一y值,有多少個(gè)x值與之對應(yīng)?提示:一個(gè).二、已知余弦值求角1.已知cosx=,若x∈[0,π],則x的值是什么?若x∈[π,2π],則x的值是什么?2.在區(qū)間[0,π]內(nèi),滿足cosx=y(y∈[-1,1])的x只有一個(gè),記作arccosy,即x=arccosy.

三、已知正切值求角

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(4)在區(qū)間[0,2π]上,滿足條件sinx=a(-1≤a≤1)的x有2個(gè).(

)(5)在區(qū)間[0,2π]上,滿足條件cosx=a(-1≤a≤1)的x有2個(gè).(

)√××××√合作探究釋疑解惑探究一已知正弦值求角已知三角函數(shù)值求角的步驟:(1)定象限:由已知函數(shù)值的正負(fù)確定角所在的象限.(2)找銳角:若函數(shù)值為正值,則先求出對應(yīng)的銳角α;若函數(shù)值為負(fù)值,則先求出與其絕對值相對應(yīng)的銳角α.(3)求符合條件的角:根據(jù)角所在的象限,利用誘導(dǎo)公式寫出區(qū)間[0,2π]范圍內(nèi)的角(α,π-α,π+α,2π-α);若要求出區(qū)間[0,2π]范圍外的角,則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值寫出結(jié)果.【變式訓(xùn)練1】

若sinα=,試根據(jù)下列范圍,利用符號arcsinx表示角α.(1)若α為銳角,則α=

;

(2)若α為三角形內(nèi)角,則α=

;

(3)若α∈[0,2π],則α=

;

(4)若α∈R,則α=

.

探究二已知余弦值求角【例2】

已知cosx=-,求滿足下列條件的x的取值集合:(1)x∈[0,π];

(2)x∈[0,2π].cos

x=a(-1≤a≤1),當(dāng)x∈[0,π]時(shí),x=arccos

a;當(dāng)x∈R時(shí),可先求得區(qū)間[0,2π]上的解,再利用周期性可求得R上的所有解.【變式訓(xùn)練2】

已知cosx=-0.287,(1)當(dāng)x∈[0,π]時(shí),求x;(2)當(dāng)x∈R時(shí),求x的取值集合.解:∵cos

x=-0.287<0,∴先求出cos

x=0.287的銳角x1,即x1=arccos

0.287.(1)∵cos

x=-0.287<0,x∈[0,π],∴x是鈍角,x=π-arccos

0.287.(2)當(dāng)x∈R時(shí),先求出區(qū)間[0,2π]上的解,∵cos

x=-0.287,∴x是第二象限角或第三象限角.∴x=π-arccos

0.287或x=π+arccos

0.287.∴所求x的取值的集合是{x|x=2kπ+π-arccos

0.287或x=2kπ+π+arccos

0.287,k∈Z},即{x|x=(2k+1)π±arccos

0.287,k∈Z}.探究三已知正切值求角【例3】

已知tanα=-3.(2)若α∈R,求角α.∴α=arctan(-3).(2)由(1)及正切函數(shù)的周期性知,α=kπ+arctan(-3),k∈Z.1.已知角的正切值求角,可先求出區(qū)間

內(nèi)的角,再由y=tan

x的周期性表示所給范圍內(nèi)的角.2.tan

α=a,a∈R的解集為{α|α=kπ+arctan

a,k∈Z}.【變式訓(xùn)練3】

已知tanx=-1,寫出在區(qū)間[-2π,0]上滿足條件的x.易錯(cuò)辨析因忽略角的范圍致錯(cuò)【典例】

已知cosα=,α∈[0,2π],求角α.以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?你如何防范?提示:上面解法中忽視了α∈[0,2π],-arccos?[0,2π].求解此類問題時(shí),為避免產(chǎn)生錯(cuò)誤,我們既要清楚arcsin

x,arccos

x,arctan

x的范圍,還要注意所求角的范圍.答案:π-