（講評(píng)用卷）2024年河南省黑白卷（白卷）·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁(yè)（共頁(yè)）2024年河南省黑白卷（白卷）·數(shù)學(xué)全卷總分:120分考試時(shí)間:100分鐘一、選擇題(每小題3分,共30分)下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng),其中只有一個(gè)是正確的.1.－3的絕對(duì)值是（

）A.3

B.1C.－13 D.－1.A2.如圖是由5個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，若移走一個(gè)小正方體后主視圖不變，則移走的小正方體的編號(hào)是（

）

A.① B.② C.③ D.④2.D3.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，若∠EOD＝55°，則∠BOD的度數(shù)為（

）A.

55° B.

60° C.

65° D.

70°3.D【解析】∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EOD＝55°，∴∠BOD＝180°－55°－55°＝70°.4.化簡(jiǎn)1－xx÷x－1A.－x B.xC.x2 D.－x24.A【解析】原式＝1－xx·x5.對(duì)于任意正整數(shù)a，b定義一種新運(yùn)算：F(a＋b)＝F(a)·F(b)．比如F(2)＝5，則F(4)＝F(2＋2)＝5×5＝52，F(xiàn)(6)＝F(2＋4)＝5×52＝53，那么F(2024)的結(jié)果是（

）A.2024

B.52024C.51012 D.10125.C6.下列說法正確的是（

）A.

神舟十八號(hào)載人飛船發(fā)射前的零件檢查應(yīng)選擇抽樣調(diào)查B.

“清明時(shí)節(jié)雨紛紛”是隨機(jī)事件C.

要反映某市一周內(nèi)每天最高氣溫的變化情況宜采用扇形統(tǒng)計(jì)圖D.

若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均分相同，則方差較大的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)更穩(wěn)定6.B【解析】A.神舟十八號(hào)載人飛船發(fā)射前的零件檢查應(yīng)選擇全面調(diào)查，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.清明節(jié)不一定下雨，B選項(xiàng)正確；C.要反映某市一周內(nèi)每天最高氣溫的變化情況宜采用折線統(tǒng)計(jì)圖，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均分相同，方差較大的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)波動(dòng)大，故更不穩(wěn)定，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．7.下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（

）A.x2－2x＋3＝0

B.x2＋6x＋9＝0

C.4x2＝3x＋2

D.3x2－x＋2＝07.C【解析】逐項(xiàng)分析如下：選項(xiàng)逐項(xiàng)分析正誤A(－2)2－4×1×3＝－8＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根×B62－4×1×9＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根×C方程可化為4x2－3x－2＝0，(－3)2－4×4×(－2)＝41＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根√D(－1)2－4×3×2＝－23＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根×8.小王和小李兩位同學(xué)準(zhǔn)備用720元班費(fèi)給班里買一定數(shù)量的籃球，已知甲、乙兩個(gè)商店某種品牌的籃球標(biāo)價(jià)相同，如下是兩位同學(xué)了解到的具體情況：下面是兩位同學(xué)分別列出來的兩個(gè)方程：小王：720x－2×0.7＝720－48x；小李：其中的x表示的意義為（

）A.

均為籃球的數(shù)量B.

均為籃球的單價(jià)C.

小王方程中的x表示籃球的數(shù)量，小李方程中的x表示籃球的單價(jià)D.

小王方程中的x表示籃球的單價(jià)，小李方程中的x表示籃球的數(shù)量8.C9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，O為AB邊的中點(diǎn)，連接OC，OD⊥OC交BC于點(diǎn)D，若cosA＝35，則CD的長(zhǎng)為（

A.6

B.25C.203 9.B【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＋∠OCA＝90°，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠CDO＋∠OCD＝90°，∴∠CDO＝∠OCA，∵O為AB邊的中點(diǎn)，∴CO＝AO＝12AB＝5，∴∠OCA＝∠A，∴∠CDO＝∠A，∴cos∠CDO＝cosA＝ODCD＝35，設(shè)OD＝3k，CD＝5k，在Rt△COD中，由勾股定理，得(3k)2＋52＝(5k)2，解得k＝54(負(fù)值已舍去)，∴CD＝10.如圖①，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點(diǎn)P從對(duì)角線的交點(diǎn)O出發(fā)以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在菱形ABCD內(nèi)部沿某條直線運(yùn)動(dòng)到一點(diǎn)，再?gòu)脑擖c(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)△CDP的面積y(cm2)隨路程x(cm)變化的關(guān)系圖象，則點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為（

）A.

2s B.

4s C.

6s D.

8s10.B【解析】∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿某條直線運(yùn)動(dòng)，由圖②知，第一段函數(shù)圖象隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程x增大，△CDP的面積y不變，即點(diǎn)P在過點(diǎn)O且與CD平行的線段上運(yùn)動(dòng)，第二段函數(shù)圖象隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程x增大，△CDP的面積y減小，如解圖，過點(diǎn)O作OE∥CD交CB于點(diǎn)E，∵兩段函數(shù)圖象中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程相等，∴點(diǎn)P先在OE上運(yùn)動(dòng)，再在EC上運(yùn)動(dòng)；∵O為BD的中點(diǎn)，OE∥CD，∴OE是△BCD的中位線，∴CD＝2OE，E為BC的中點(diǎn)．由圖②知OE＝a，∴CD＝2a，∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD＝2a，∴CE＝12BC＝a，如解圖，過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，∴EF＝CE·sin

60°＝32a，當(dāng)點(diǎn)P在OE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y＝12EF·CD＝23，∴12×32a×2a＝23，解得a＝2(負(fù)值已舍去)，∴OE＋CE＝2a＝4，∴點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C解圖二、填空題(每小題3分,共15分)11.若代數(shù)式x＋1x有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍11.x≥－1且x≠012.在反比例函數(shù)y＝

1＋2mx的圖象上有兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，有y12.0【解析】由題意得，反比例函數(shù)y＝

1＋2mx的圖象位于第一、三象限，∴1＋2m＞0，∴m＞－

12，13.色光三原色(RGB)是指紅、綠、藍(lán)三色．將這三種色光按一定比例混合可以呈現(xiàn)各種光色．配色規(guī)律如圖所示(例如：紅和藍(lán)按一定比例混合可以呈現(xiàn)紫色)，現(xiàn)小劉、小李兩位同學(xué)分別從色光三原色中隨機(jī)選擇一種色光，將兩人所選擇的色光進(jìn)行混合，則可以呈現(xiàn)青色的概率為______．13.29【解析】根據(jù)題意，畫樹狀圖如解圖，由樹狀圖知，共有9種等可能的結(jié)果，其中可以呈現(xiàn)青色的結(jié)果有2種，∴P(可以呈現(xiàn)青色)＝29解圖14.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C均在小正方形的格點(diǎn)上(小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn))，則扇形AOC的周長(zhǎng)為________．14.210＋102π【解析】如解圖，連接OB，AC，由題意可知OA＝OB＝OC＝32＋12＝10，AC＝22＋42＝25，∴OA2＋OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴圓心角AOC所對(duì)的弧長(zhǎng)為90×π×10180＝102解圖15.如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，若∠BDB′＝120°，則BD的長(zhǎng)為______．15.433或【解析】當(dāng)∠BDB′＝120°時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′在BC的下方時(shí)，如解圖①，設(shè)AB′與BC的交點(diǎn)為O，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.由折疊的性質(zhì)可知∠B′＝∠B＝30°，∵∠BDB′＝120°，∴∠B′DO＝60°，∴∠DOB′＝90°，∴DO＝12B′D＝12BD，∴BO＝BD＋DO＝BD＋12BD＝32BD.∵在Rt△ABO中，BO＝AB·cos

30°＝23，∴32BD＝23，∴BD＝433；②當(dāng)點(diǎn)B′在BC的上方時(shí)，如解圖②，由折疊得∠ADB′＝∠ADB＝12∠BDB′＝60°，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝4，∴BD＝ABcos30°＝43解圖三、解答題(本大題共8個(gè)小題,共75分)16.（1）計(jì)算：(－1)2

024＋16＋(12)－1（2）化簡(jiǎn)：(2x＋2)(2x－2)－(2x－1)2.16.解：(1)原式＝1＋4＋2＝7；(2)原式＝4x2－4－(4x2－4x＋1)＝4x2－4－4x2＋4x－1＝4x－5.17.近年來，人工智能領(lǐng)域技術(shù)不斷突破，創(chuàng)新成果逐漸融入社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域，深刻改變著人們的日常工作、生活方式，有關(guān)人員開展了A，B兩款A(yù)I機(jī)器人使用滿意度的評(píng)分問卷調(diào)查活動(dòng)，并從中各隨機(jī)抽取相同數(shù)量的問卷，將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分為四個(gè)等級(jí)(x為滿意度評(píng)分)：不滿意x＜70，良好70≤x＜80，滿意80≤x＜90，非常滿意x≥90，部分信息如下：a.A，B兩款A(yù)I機(jī)器人滿意度評(píng)分條形統(tǒng)計(jì)圖：b.A款A(yù)I機(jī)器人評(píng)分在70≤x＜80這一組的具體數(shù)據(jù)是：78，74，79，75，79，78；根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)本次抽取的問卷共有______份，A款A(yù)I機(jī)器人評(píng)分的中位數(shù)為______分；(2)對(duì)A款A(yù)I機(jī)器人感到滿意的人數(shù)是否超過一半？(3)在此次問卷調(diào)查活動(dòng)中，若有300人對(duì)B款A(yù)I機(jī)器人進(jìn)行評(píng)分，請(qǐng)估計(jì)此次問卷調(diào)查活動(dòng)中對(duì)B款A(yù)I機(jī)器人非常滿意的人數(shù)；(4)根據(jù)以上繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖，你能獲得哪些信息(寫出一條即可)?17.解：(1)40，78.5；【解法提示】∵對(duì)A款A(yù)I機(jī)器人評(píng)分抽取的樣本容量為6＋6＋4＋4＝20，∴本次抽取的問卷共有20＋20＝40(份)．∵對(duì)A款A(yù)I機(jī)器人評(píng)分的中位數(shù)為第10和11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，∴將70≤x＜80這一組的評(píng)分按從小到大的順序排列為：74，75，78，78，79，79，∴第10和11個(gè)數(shù)據(jù)分別為78，79，∴中位數(shù)為12×(78＋79)＝78.5(2)由(1)得對(duì)A款A(yù)I機(jī)器人評(píng)分的中位數(shù)為78.5分，∵78.5分＜80分，∴對(duì)A款A(yù)I機(jī)器人感到滿意的人數(shù)未超過一半；(3)由條形統(tǒng)計(jì)圖得，對(duì)B款A(yù)I機(jī)器人評(píng)分為非常滿意的有2人，∴300×220＝30(人)答：估計(jì)此次問卷調(diào)查活動(dòng)中對(duì)B款A(yù)I機(jī)器人非常滿意的人數(shù)為30人；(4)從滿意度為滿意的人數(shù)看，人們更喜歡使用B款A(yù)I機(jī)器人(答案不唯一，合理即可).18.如圖，已知矩形ABCD，M，N為矩形邊上不同的兩點(diǎn)(不與頂點(diǎn)重合)，連接MN，線段MN將矩形ABCD分為面積相等的兩部分．(1)請(qǐng)用數(shù)學(xué)中常用的工具：圓規(guī)、無刻度直尺，找出一組符合條件的M點(diǎn)和N點(diǎn)(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)求證：AN＝CM.18.(1)解：如解圖①，點(diǎn)M，N即為所求；【作法提示】連接AC，作AC的垂直平分線分別與CD，AB交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)M，N即為所求作的點(diǎn)．(提示：連接BD，作BD的垂直平分線也可得到滿足題意的點(diǎn)M，N)；【一題多解】如解圖②，點(diǎn)M，N即為所求；【作法提示】連接對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線MN分別與CD，AB交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)M，N即為所求作的點(diǎn)．(提示：當(dāng)過點(diǎn)O的直線分別與AD，BC交于點(diǎn)M，N時(shí)，也符合題意)解圖①(2)證明：如解圖②，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCM.∵∠AON＝∠COM，∴△AON≌△COM(ASA)，∴AN＝CM.解圖②19.某工廠的A，B兩個(gè)車間同時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品，為提高生產(chǎn)效率，將A車間的機(jī)器停產(chǎn)一段時(shí)間進(jìn)行升級(jí)，升級(jí)后A車間機(jī)器的生產(chǎn)效率提高為原來的2倍，兩個(gè)車間分別生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量y(件)與時(shí)間x(h)之間的關(guān)系如圖所示．(1)求a的值及A車間機(jī)器升級(jí)后y與x之間的函數(shù)解析式；(2)若A，B車間共生產(chǎn)的產(chǎn)品滿300件可以打包一箱，則經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間恰好能裝滿第1箱？(打包時(shí)間忽略)19.解：(1)由題圖可得，A車間機(jī)器原來每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為1002＝50(件)∵生產(chǎn)效率提高為原來的2倍，∴A車間機(jī)器升級(jí)后每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品100件，∴a－1004－3＝100設(shè)A車間機(jī)器升級(jí)后y與x之間的函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)(3，100)，(4，200)代入，得3k＋b∴A車間機(jī)器升級(jí)后y與x之間的函數(shù)解析式為y＝100x－200；(2)設(shè)B車間機(jī)器生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y＝k′x(k′≠0)，將點(diǎn)(6，240)代入，得240＝6k′，解得k′＝40，∴B車間機(jī)器生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y＝40x.當(dāng)0≤x≤2時(shí)，40x＋50x＝300，解得x＝103(不符合題意，舍去)；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，100＋40x＝300，解得x＝5(不符合題意，舍去)當(dāng)x＞3時(shí)，100x－200＋40x＝300，解得x＝257，答：經(jīng)過257

h恰好能裝滿第120.周末，小琳和幾個(gè)同學(xué)相約到清明上河園游玩，他們計(jì)劃在入口A處集合后，先去位于入口西南方向的景點(diǎn)B，然后去位于景點(diǎn)B南偏西25°方向的景點(diǎn)C，最后再去景點(diǎn)D，已知景點(diǎn)D位于景點(diǎn)C的正東方向，入口A的正南方向，BC＝300米，CD＝500米．求景點(diǎn)A和景點(diǎn)D之間的距離．(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)

20.解：如解圖，過點(diǎn)B分別作AD，CD的垂線，垂足分別是E，F(xiàn)，則四邊形BEDF是矩形，∴BE＝FD，BF＝ED，∵BC＝300米，CD＝500米，由題意，得∠CBF＝25°，∠BAE＝45°，∴在Rt△BCF中，CF＝BC·sin

25°≈126(米)，BF＝BC·cos

25°≈273(米)，∴AE＝BE＝FD＝CD－CF＝500－126＝374(米)，∴AD＝AE＋DE＝374＋273＝647(米)．答：景點(diǎn)A和景點(diǎn)D之間的距離約為647米.解圖21.射水魚(別名高射炮魚)在水中看到水面上方的獵物A(獵物的大小忽略不計(jì))后，便向獵物射水，當(dāng)獵物被水射中后射水魚對(duì)其進(jìn)行捕殺．如圖，噴射出的水柱在空中呈拋物線形狀，設(shè)噴出水柱的豎直高度為y(單位：cm)(水柱的豎直高度是指水柱與魚嘴B所在水平面的距離)，水柱與魚嘴B的水平距離為x(單位：cm)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，得到如下數(shù)據(jù)：x/cm0102030405060…y/cm0183242485048…(1)請(qǐng)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)，求此次射水過程中水柱軌跡所在拋物線的解析式；(2)若獵物A突然受到驚嚇，退至(55，45)處，試判斷該射水魚此次射水噴出的水柱能否精準(zhǔn)捕殺到獵物A，并說明理由．21.(1)由表格數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x＝40和x＝60時(shí)，y的值相同，則該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝40＋602＝50，由表格可知當(dāng)x＝50時(shí)，y∴設(shè)該拋物線的解析式為y＝a(x－50)2＋50，將(0，0)代入y＝a(x－50)2＋50，解得a＝－150∴此次射水過程中水柱軌跡所在拋物線的解析式為y＝－150(x－50)2＋50(2)不能.理由如下：當(dāng)x＝55時(shí)，y＝－150(x－50)2＋50＝49.5＞45，∴該射水魚此次射水噴出的水柱不能精準(zhǔn)捕殺到獵物A22.陀螺(如圖①)是中國(guó)民間最早的娛樂工具之一，歷經(jīng)千年發(fā)展成為全世界備受喜愛的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)．玩木制陀螺時(shí)需要掌握一定的技巧，其中發(fā)動(dòng)陀螺尤為重要，如圖②，陀螺的截面圖記作⊙O，將鞭繩纏繞陀螺后余下的鞭繩為AC，點(diǎn)C為接頭，繩桿為PC，PC與⊙O相切于點(diǎn)B，發(fā)動(dòng)陀螺時(shí)需將手放在優(yōu)弧A︵處固定陀螺，連接AB，AP，AP交⊙O于點(diǎn)D，連接BD(1)求證：∠ABC＝∠ADB；(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AC與⊙O相切于點(diǎn)A，AC⊥PC時(shí)，發(fā)動(dòng)陀螺更加穩(wěn)定，若陀螺半徑r＝4cm，∠BAP＝30°，求繩桿CP的長(zhǎng)度．22.(1)證明：如解圖，連接OA，OB，∵PC與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠OBC＝90°，∴∠OBA＋∠ABC＝90°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠ADB＝12∠AOB＝12(180°－2∠OBA)＝90°－∠OBA，∴∠ADB＋∠OBA＝∴∠ABC＝∠ADB；(2)解：如解圖，連接OD，

∵AC與⊙O相切于點(diǎn)A，OA是⊙O的半徑，AC⊥PC，∠OBC＝90°，∴四邊形AOBC是矩形，∵OA＝OB，∴矩形OACB是正方形，△OAB是等腰直角三角形，∴BC＝OA＝AC＝4

cm.∵∠BAP＝30°，∴∠BOD＝2∠BAP＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD為等邊三角形，∴AB＝2OB＝2BD，由(1)得，∠ABC＝∠ADB，∴∠ABP＝∠BDP.∵∠P＝∠P，∴△ABP∽△BDP，∴APBP＝ABBD＝21，設(shè)BP＝x，則AP＝2x在Rt△ACP中，由勾股定理，得42＋(4＋x)2＝(2x)2，解得x＝4＋43(負(fù)值已舍去)，∴繩桿CP的長(zhǎng)度為(8＋43)cm.解圖23.綜合與實(shí)踐．問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng)．如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，A′為斜邊AC的中點(diǎn)，將與△ABC全等的△A′B′C′繞點(diǎn)A′旋轉(zhuǎn)得到△A′OD.操作發(fā)現(xiàn)：(1)如圖①，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，記A′D和A′O分別與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)A′D⊥AC時(shí)，猜想EF和A′F的數(shù)量關(guān)系為______，并證明你的猜想；(2)如圖②，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)線段A′D經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，連接BO，試判斷四邊形AA′OB的形狀，并證明你的結(jié)論；實(shí)踐探究：(3)在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△A′OD在AC下方，且△A′OD的直角邊恰好與AC垂直時(shí)，設(shè)線段A′O與直線BC交于點(diǎn)G，直線BC交射線DO于點(diǎn)H，連接A′H，請(qǐng)直接寫出A′H的長(zhǎng)．23.解：(1)EF＝A′F；證