2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第九章概率與統(tǒng)計第2講古典概型含解析

PAGE5-第2講古典概型1．(2024年新課標(biāo)Ⅱ)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,14)C.eq\f(1,15)D.eq\f(1,18)2．(2024年廣東中山模擬)袋子里有3個白球，4個黑球，5個紅球，某人一次抽取3個球，若每個球被抽到的機會均等，則該人抽到的球顏色互異的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,7)D.eq\f(3,11)3．(2024年陜西)如圖X9-2-1，從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為()圖X9-2-1A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)4．某商場進(jìn)行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標(biāo)號分別為1,2,3,4,5的五個小球，每次摸獎須要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結(jié)束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進(jìn)行其次次摸球．若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則為中獎．根據(jù)這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50)D.eq\f(41,100)5．在平面直角坐標(biāo)系中，從下列五個點：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三個，這三點能構(gòu)成三角形的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．16．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機選一匹進(jìn)行一場競賽，則田忌馬獲勝的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)7．(多選)甲、乙、丙三人在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門學(xué)科中任選3門．若同學(xué)甲必選物理，則下列說法正確的是()A．甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對立事務(wù)B．甲的不同的選法種數(shù)為15C．已知乙同學(xué)選了物理，乙同學(xué)選技術(shù)的概率是eq\f(1,6)D．乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是eq\f(9,49)8．(多選)設(shè)集合M＝{2,3,4}，N＝{1,2,3,4}，分別從集合M和N中隨機取一個元素m與n.記“點P(m，n)落在直線x＋y＝k上”為事務(wù)Ak(3≤k≤8，k∈N*)，若事務(wù)Ak的概率最大，則k的取值可能是()A．4B．5C．6D．79．某人在微信群中發(fā)了一個7元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是________．10．(2024年北京)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的運用狀況，從全校全部的1000名學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)覺樣本中A，B兩種支付方式都不運用的有5人，樣本中僅運用A和僅運用B的學(xué)生的支付金額分布狀況如下：支付金額不大于2000元大于2000元僅運用A的人數(shù)/人273僅運用B的人數(shù)/人241(1)估計該校學(xué)生中上個月A，B兩種支付方式都運用的人數(shù)；(2)從樣本僅運用B的學(xué)生中隨機抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率；(3)已知上個月樣本學(xué)生支付方式在本月沒有改變．現(xiàn)從樣本僅運用B的學(xué)生中隨機抽查1人，發(fā)覺他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅運用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變？說明理由．

11．(2024年山東)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參與活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖X9-2-2所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.嘉獎規(guī)則如下：①若xy≤3，則嘉獎玩具一個；②若xy≥8，則嘉獎水杯一個；③其余狀況嘉獎飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地勻稱，四個區(qū)域劃分勻稱．小亮打算參與此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．圖X9-2-212．(2024年山東)某旅游愛好者安排從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．

第2講古典概型1．C解析：不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)有Ceq\o\al(2,10)種不同的取法，其中兩素數(shù)相加等于30的有7和23,11和19,13和17，共有3種狀況，∴所求概率P＝eq\f(3,C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故選C.2．D解析：基本領(lǐng)件總數(shù)為Ceq\o\al(3,12)＝220(種)，該人抽到的球顏色互異的狀況有3×4×5＝60(種)，故所求概率為eq\f(60,220)＝eq\f(3,11).故選D.3．C4．C解析：根據(jù)這樣的規(guī)則摸獎，第一次中獎的概率為eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5).第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進(jìn)行其次次摸球．若與第一次取出的兩個小球號碼相同，中獎的概率為eq\f(3,5)×eq\f(1,10)＝eq\f(3,50).∴根據(jù)這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50).5．C解析：從5個點中取3個點，列舉得ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE共有10個基本領(lǐng)件，而其中ACE，BCD兩種狀況三點共線，其余8個均符合題意，故能構(gòu)成三角形的概率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).故選C.6．A解析：設(shè)齊王的上等馬、中等馬和下等馬分別是A，B，C，田忌的上等馬、中等馬和下等馬分別是a，b，c，則總的基本領(lǐng)件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9種，田忌馬獲勝的基本領(lǐng)件有(B，a)，(C，a)，(C，d)，共3種，故概率為eq\f(1,3).故選A.7．BD8.BC9.eq\f(2,5)解析：由題意得共有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)這15種可能，其中甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的可能有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)這6種，∴所求概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).10．解：(1)由圖表可知僅運用A的人數(shù)有30人，僅運用B的人數(shù)有25人，由題意知A，B兩種支付方式都不運用的有5人，∴樣本中兩種支付方式都運用的有100－30－25－5＝40(人)，∴全校學(xué)生中兩種支付方式都運用的有eq\f(40,100)×1000＝400(人)．(2)∵樣本中僅運用B的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，∴該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率為eq\f(1,25).(3)由(2)知支付金額大于2000元的概率為eq\f(1,25)，∵從僅運用B的學(xué)生中隨機調(diào)查1人，發(fā)覺他本月的支付金額大于2000元，依據(jù)小概率事務(wù)在一次試驗中是幾乎不行能發(fā)生的，∴可以認(rèn)為僅運用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變，且比上個月多．11．解：用數(shù)對(x，y)表示兒童參與活動先后記錄的數(shù)，則基本領(lǐng)件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng)．∵S中元素個數(shù)是4×4＝16，∴基本領(lǐng)件總數(shù)為n＝16.(1)記“xy≤3”為事務(wù)A.則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件共有5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．∴P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事務(wù)B，“3<xy<8”為事務(wù)C.則事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件共有6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．∴P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).則事務(wù)C包含的基本領(lǐng)件共有5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．∴P(C)＝eq\f(5,16).∵eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，∴小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．12．解：(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15個．所選2個國家都是亞洲國家的事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，