2024藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案(三)

數(shù)系的擴張與復(fù)數(shù)的四則運算⑴

【考點及要求】了解數(shù)系的擴充過程；理解復(fù)數(shù)的基本概念、代數(shù)

表示法及復(fù)數(shù)相等的充要條件。理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式

的四則運算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算。

【基礎(chǔ)學(xué)問】

1.數(shù)的擴展：數(shù)系擴展的脈絡(luò)是：f

f,用集合符號表示為O

C,事實上前者是后者的真子集.

2.復(fù)數(shù)的概念及分類：⑴概念：形如a+bi(a,b￡/?)的數(shù)叫做,

其中心b分別為它的和.

⑵分類：①若4+歷R)為實數(shù)，則,②若

a+bi(a,beR)為虛數(shù)，則,③若a+bi(a,beR)為

純虛數(shù)，則；

⑶復(fù)數(shù)相等：若復(fù)數(shù)a+bi=c+di(a,bcdGR)=;

⑷共軻復(fù)數(shù)：a+bi與c+di(a,b,c,dsR)共軟<=>;

3.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除去處法則：設(shè)

\\z-z}\-\z-z2l|=2o(a為正常數(shù),2a<|Z]-Z2])則

⑴加法：Z1+z2=(a+bi)+(c+di)—;

(2)減法：Z]-z2=(a+hi)-(c+di)=;

(3)乘法：Z1?z2=(a+bi)?(c+di)=;

⑷乘方：z，”?z”=;(zmy,=

n

億?z2)=;

(5)除法：二絲”五="以

z2c+diz2c+di

4.復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫

做,叫做實

軸，叫做虛軸；實軸上的點表示,除原點外，

虛軸上的點都表示.

5.復(fù)數(shù)的模：向量0Z的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi（a,beR）的

（或）,

記作（或）,即|z|=|a+4]

■________________9?

復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：⑴IzJ-lz,|<|z,±z21<|z,|+|z2|；⑵

|z|2=|z|2=|Z21=1z2|=z*z;

6.常見的結(jié)論：

⑴柏勺運算律：i4n=1,i4w+,=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n+4=l,in+in+1+in+2+in+3=0;

（2）（l±i）2=______;生=_______;==_______;

1-z1+z

2

（3）設(shè)6y=土立，，則勿'=;ar=;

22------------------------------

1+69+ar=;

【基本訓(xùn)練】

1.若（a-2>i=b-i,其中a,beR,i是虛數(shù)單位,則a2+b2等

于.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z[=1+；2=x+2i（xwR）,若ZjZ2為實數(shù)，則工等

于.

3,若z=cos6?+/sin0（i是虛數(shù)單位），則使z?=-1的。值可能

是?

5.已知復(fù)數(shù)z0=3+2i,復(fù)數(shù)z滿意z-2z>z0=5z,則復(fù)數(shù)z=

6.i是虛數(shù)單位，i+25+3『+4廠++8產(chǎn)=.

【典型例題】

例1.已知：復(fù)數(shù)2=（々2_7々+6）+（〃2一5〃一6?（〃￡區(qū)），試求實數(shù)〃分

別取什么值時，復(fù)數(shù)Z分別為：

（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；⑶純虛數(shù)；⑷復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在工軸

上方；

3

練習(xí)：復(fù)數(shù)Z的實部和虛部都為整數(shù)，且滿意z+W是實數(shù)，1<Z

Z

--^6,求復(fù)數(shù)z.

Z

例2.計算下列各題:

(2+21)4A+(正)2007

⑴⑵-2/3+i,

5

(1-V3/)1+2月1-1

(3)(2+3i)(2-3，)⑷(凈+*

(1-0(5-120

4

【課堂檢測】

1.下列命題中：⑴兩個復(fù)數(shù)肯定不能比較大??；(2)z=m+〃i,當(dāng)

且僅當(dāng)"?=0,/2W0時，z為虛數(shù);⑶假如Z；+z?2=0,則Z]=Z2=0；(4)

假如則(Z]-Z2)2+(Z2-Z3)2N0,其中正確的的命題的個數(shù)

是.

2.罟=___；(詈產(chǎn)=______；復(fù)數(shù)(")4=__________；

3+21-ZI

復(fù)數(shù)z=_L的共軻復(fù)數(shù)是______；

1-z

3.已知復(fù)數(shù)2=-工+正L貝h+2+22+23+……+Z2008=.

22-------------

4.若復(fù)數(shù)(l+bi)(2+i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位，b是實數(shù))，貝

______________?

5,設(shè)/(〃)=(二)〃+(上勺5cZ),則集合中的元素個數(shù)

1-1\-i

為?

6.已知復(fù)數(shù)z=l+i,假如z：+〃z+-=]_j,求實數(shù)〃、b的值.

z~-z+1

§84數(shù)系的擴張與復(fù)數(shù)的四則運算⑵

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.若復(fù)數(shù)z=m(m+\)+(m2-\)i是純虛數(shù)，則實數(shù)用的值

為.

5

2.復(fù)數(shù)z=±-1在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在_____________.

1+i

3.若〃=-1+3J,V=-L-且給出下列命題⑴—=1;⑵〃3+口3=2；

2222

(3)~1+'=1；⑷u=/其中正確的命題是.

UV

4.假如ZI、Z2￡C且滿意IZ[Z2|—|Z1一二2|=1,貝(]H+Zzl_.

【典型例題】

例3.設(shè)Z為虛數(shù)，G=Z+，是實數(shù)，且-1VG<2,

Z

⑴求|z|的值及Z的實部的取值范圍；

(2)設(shè)〃==，求證：〃為純虛數(shù)；⑶求0-〃2的最小值.

1+z

練習(xí)：設(shè)X、y是實數(shù)，且上—三=三，求x+y的值.

1-z1-2/1-3/

例4.若關(guān)于/的方程/+(產(chǎn)+3/+a》=()有純虛數(shù)根，求實數(shù)/的值和

該方程的根.

6

練習(xí)：關(guān)于R的方程/_（2+i）x+l+加=0,（用ER）有一實根為〃，設(shè)復(fù)數(shù)

z=（2m+i）（l-2ni），求小、九的值及復(fù)數(shù)z的值.

例5.設(shè)關(guān)于x的方程x2—（ian0+i）x—（2+i）=0.

（1）若方程有實數(shù)根，求銳角。和方程的實根；

（2）證明：對隨意。工攵7+乙（左￡Z）,方程無純虛數(shù)根.

7

練習(xí)：已知關(guān)于，的方程產(chǎn)+(2+)+2盯+(..y)i=O,(x,)，￡R).

(1)當(dāng)方程有實根時，求點(x,y)的軌跡方程；

(2)若方程有實根，求此實根的取值范圍.

【課堂小結(jié)】

【課堂檢測】

1.復(fù)數(shù)蟲在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第______象限.

i

2.復(fù)數(shù)(IT?-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的點在虛軸上,

8

則實數(shù)m的值是.

3.若復(fù)數(shù)z滿意|z|-z='，則z=_____________.

l-2z

4.若復(fù)數(shù)z滿意方程Z2+2=0,則Z3=____________;

5.若關(guān)于工的一元二次實系數(shù)方程/+〃氏+夕=0有一根為1+，(，為虛數(shù)

單位)，則4=.

6.設(shè)z?=8+6i,求--16z-W^的值.

【課堂作業(yè)】

1.已知復(fù)數(shù)Zi、Z2滿意|z1|二|z2|=1,且Zi+Z2=i,求Zi、Z2.

2.已知復(fù)數(shù)z滿意|z-(4-5i)|-1,求|z+i|的最大值與

最小值.

3.已知復(fù)數(shù)z、w滿意w二--,(l+3i)z為純虛數(shù)，Iw|=5V2,

2+i

求w.

9

4.已知/(z)=2z+z-3z,f(z+0=6-3/.求/(-z).

5.已知關(guān)于x的方程x?-(6+i)x+9+ai=0(a￡R)有實數(shù)

根b.

(1)求實數(shù)a、b的值；

(2)若復(fù)數(shù)z滿意-bi|-2|z|=0,求z為何值時，|z|

有最小值，并求出|z|的值.

§85復(fù)數(shù)的幾何意義⑴

【考點及要求】了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及幾何意義；理解復(fù)數(shù)及復(fù)

數(shù)加、減運算的幾何意義，并能依據(jù)幾何意義解決

簡潔問題。

【基礎(chǔ)學(xué)問】

1.復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離公式：

兩個復(fù)數(shù)的就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點間的

距離；設(shè)兩個復(fù)數(shù)4、Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點分別為乙、Z2，d為點4、Z2

間的距離，則1=;

2.常見的復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡有：已知復(fù)平面內(nèi)定點4、Z2，及動點Z

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①方程Iz_Z|1=1Z-Z2|表不；

②Iz-Z1|=r（r>0為常數(shù)）表不;

③|z-Z||+|z-ZzI=2〃（。為正常數(shù)，2a>|zt-z2|）表

示；

④||z-z,|-|z-z2l|=2〃（〃為正常數(shù),2a<|z「Z21）表

示；

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.滿意條件|z-i|=|3+4i|的復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌

跡是.

2.若關(guān)于x的方程x2-mx+2=0有一個虛根1+1,則實數(shù)m

的值為.

3.已知z=3+oi,且|z-2|<2,則實數(shù)〃的取值范圍是.

4.已知復(fù)數(shù)z滿意|z+1|+|z-1|=2,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)

點的軌跡是.

5.“復(fù)數(shù)。+砥氏北R）為純虛數(shù)“是％=0”的條件.

6.若（―,—）,則復(fù)數(shù)（cos6+sin6）+（sin6—cos6"在復(fù)平面內(nèi)所

44

對應(yīng)的點在第象限.

7.AABC三個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z、z2、z3,復(fù)數(shù)z滿意

|z-Z]|=|z-z21=|z-z31,則復(fù)數(shù)Z對應(yīng)點的是AABC的.

8.非零復(fù)數(shù)z「z?滿意關(guān)系Iz+zj=I,則五肯定是

【典型例題】

11

例1.已知復(fù)數(shù)Z滿意Z+2，、日均為實數(shù)（，為虛數(shù)單位），且復(fù)

數(shù)（Z+出）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)。的取值范圍.

練習(xí)：已知集合"=?4+3)+份-l)i,8},N={3i,(/_l)+S+2)i},同時

滿意MGMC)NuM,MnNw中，求整數(shù)a、b.

例2,已知四邊形Q45C,頂點0、A、C對應(yīng)的得數(shù)為0、3+2i、-2+4,，

試求：

（1）4。表示的復(fù)數(shù)，3c表示的復(fù)數(shù)；⑵對角線C4表示的復(fù)數(shù)；⑶

求B點對應(yīng)的復(fù)數(shù).

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練習(xí)：1.復(fù)平面上三點A、B、C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5+2i,則A、

B、C所構(gòu)成的三角形是.

2.復(fù)平面內(nèi)有三點A、B、。，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,向量而對應(yīng)

的復(fù)數(shù)為1+2L向量就對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3-i,求。點對應(yīng)的復(fù)數(shù).

【課堂檢測】

1.若|z|=1,則告肯定是__________.

l+z~

2.假如AABC是銳角三角形，則復(fù)數(shù)z=(cosB-sinA)+z(sinB-cosA)對

應(yīng)的點位于.

3.已知平行四邊形0ABC的三個頂點0、A、C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)0,1+

i,3-i.試求：

(1)而和直表示的復(fù)數(shù)；(2)點B對應(yīng)的復(fù)數(shù).

§86復(fù)數(shù)的概念及幾何意義⑵

【典型例題】

例3.設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,)，￡R),在下列條件下求動點Z(x,y)的軌跡.

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(1)|2z+i|=2;(2)|Z4-1+Z|=|2-1-Z|;(3)

|z+5i|—|z—5i|=8;

(4)|z+l|=2|z-l|;(5)\z+i\+\z-i\=272；(6)

I|z+l|-|z-l|=V2;(7)z=-3i;(8)

z=3cos9+4isin。.

例4.已知zee,|z-2|=1,求|z+2+5i|的最大值和最小

值.

練習(xí)：1.已知復(fù)數(shù)Z滿意lz+3+4/,區(qū)2,則|z|的最大值為.

2.已知復(fù)數(shù)z=(x-2)+yi(x,)，￡&的模為6,則山的最大值和最小

x+l

值分別為.

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例5.設(shè)復(fù)數(shù)4=x+yi(x,y￡R,ywO),z2=cosa+isina(aGR),且

z；+2用ER,4在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在直線y=x上，求|4-2|的取

值范圍.

例6.已知復(fù)數(shù)z=x+)，i(x,y￡R)滿意方程|z+2"|+|z-2"|=6,

(1).求動點P(x,y)的軌跡方程；

(2).試問是否存在直線/,使/與動點P(x,y)的軌跡交于不同的兩點

M與N,且線段MN恰被直線工=-工平分？若存在，求出直線/的斜率

2

取值范圍；若不存在，請說明理由；

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【課堂小結(jié)】

【課堂檢測】

1.已知|z』=1,|z2|=1,IZ1+z2|=V3,求|zi-z2|.

2.復(fù)平面內(nèi)有A、B、C三點，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,向量BA對應(yīng)的

復(fù)數(shù)為l+2i,向量8c對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3-i,求C點對應(yīng)的復(fù)數(shù).

16

3.復(fù)數(shù)Z［滿意Z］?Z2+2%=3+山（4￡R*2為Z］的共輾復(fù)數(shù)），且其對應(yīng)的點

在其次象限，求。的取值范圍.

§87命題的四種形式及充分條件與必要條件⑴

【考點及要求】了解四種命題的形式及相互之間的關(guān)系；理解必要

條件、充分條件與充要

條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系.

【基礎(chǔ)學(xué)問】

1.原命題：若p則4；逆命題為：;否命題為：;

逆否命題為：；

2.四種命題的真假關(guān)系：兩個命題互為逆否命題，它們有

的真假性；四種命題中真命題或假命題的個數(shù)必為個.

3.充分條件與必要條件：

⑴假如p=>夕,貝IJ〃是g的,q是p;

⑵假如pnq,qnp,則p是q;

⑶假如,貝如是q的充分而不必要條件；

⑷假如,貝如是"的必要而不充分條件；

⑸假如,貝匹是鄉(xiāng)的既不充分也不必要條件;

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.設(shè)集合M={x|0<x<3},N={x|0<x<2},那么“QeM”是“〃￡N”

的條件.

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2.設(shè)原命題“若a+b22,則a,b中至少有一個不小于1”則原命

題與其逆命題的真假狀況是.

3.命題：“若a2+b2=0(a,b￡R),則a=b=0”的逆否命題

是.

4.設(shè)a￡R,則a>l是的條件.

a

5.若Q與B-c都是非零向量，則aa-b=a-cv是“aJL(B-c)”的.

—條件

6.一次函數(shù))的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要但

nn

不充分條件是.

7.已知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件,q是s的充分

條件，則s是q的條件，r是q的條件，p是

s的條件，

8.用充分、必要條件填空：①xWl且yW2是x+yW3的

②xW］或yW2是x+yW3的.

【典型例題】

例1.填空：

⑴是(/G0o(夕G6)成立的條件.

⑵在空間四點中，無三點共線是四點共面的條件.

⑶“在△力%中，］=60。,且cosB+cosC=lf9是“△/8。是等邊

三角形”的條件.

⑷設(shè)集合/=｛長方體｝,8=｛正四棱柱｝,則是“xJB”的

18

條件.

⑸一元二次方程〃“2+2犬+1=0,(〃w0)有一個正根和一個負(fù)根的充分不

必要條件是—.

⑹命題甲：ad+2奴+1>0的解集是實數(shù)集R;命題乙：0<々<1,則命題

甲是命題乙成立的條件.

⑺已知〃>0,設(shè)命題甲為：兩個實數(shù)〃/滿意k-命題乙為：

兩個實數(shù)〃/滿意l|v/z且區(qū)-那么甲是乙的條

件.

⑻給出下列命題①實數(shù)〃=0是直線Q/-2y=1與2ax-2y=3平行的充

要條件；②若尺?！?0是時+|4=|。+4成立的充要條件；③已知

“若孫=0,則工=0或y=0”的逆否命題是“若xwO或yw0貝！|

孫工0”;④“若。和〃都是偶數(shù)，貝卜+〃是偶數(shù)”的否命題是假命

題。其中正確命題的序號是.

【課堂檢測】

1.設(shè)甲是乙的充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，

那么丁是甲的條件.

2.以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點，A為

非零常數(shù)，I%I-1&1=3則動點P的軌跡為雙曲線；②設(shè)定圓C

上肯定點A作圓的動點弦AB,0為坐標(biāo)原點，若。。='(04+0B),貝?。?/p>

2

動點P的軌跡為橢圓；③方程2/—5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和

222

雙曲線的離心率;④雙曲線在-5=1與橢圓？+)尸=1有相同的焦點。

25935

其中真命題的序號為(寫出全部真命題的序號)

3.設(shè)外尸，/為兩兩不重合的平面，/,/〃,刀為兩兩不重合的直線，給

19

出下列四個命題：(1)若a-Ly,/?_Ly,貝la〃尸；(2)若

muaguajnllB，nll0,馳all仇(3)若a〃/?，/ua,則〃/〃；(4)

若ac0=l、/3cy=m,yca=〃九則加〃幾

其中真命題的個數(shù)是.

§88命題的四種形式及充分條件與必要條件⑵

【典型例題】

例2.已知c>0,設(shè)P：函數(shù)kc'在R上單調(diào)遞減，Q：不等式x+|x

-2c|>l的解集為R,假如P和Q有且僅有一個正確，求c的取

值范圍.

練習(xí)：設(shè)有兩個命題：①關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對一切x￡R

恒成立；②函數(shù)f(x)=一(5—24廠是減函數(shù).若命題有且只有

一個是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是.

例3.(對隨意實數(shù)為b,c,給出下列合題：

①“a=b”是"ac=bc”充要條件;②%+5是無理數(shù)“是“是無

理數(shù)”的充要條件③“辦房是“才>'的充分條件；④，，水5”是

“水3”的必要條件.其中真命題的個數(shù)是.

練習(xí)：有下列四個命題：

①“若x+y=O,則乂y互為相反數(shù)”的逆命題;

20

②“全等三角形的面積相等”的否命題；

③“若”1,則1+2力+4=0有實根”的逆命題;

④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題；其中真命題的個

數(shù)是.

例4.求證：關(guān)于x的方程產(chǎn)+26+〃=0有兩均小于2的實數(shù)根的充

分不必要條件是〃之2且同工4。

證明:

練習(xí)：已知4>0/>0,試求對隨意x〉l,不等式以+—匚〉。恒成立

X-1

的充要條件

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【課堂檢測】

1.“直線與平面。內(nèi)多數(shù)條直線垂直”是“直線與平面a垂直”的一

__________條件

2.推斷命題“若〃>0,則加=0有實數(shù)根”的逆否命題的真假;

【課堂作業(yè)】

22

1.已知函數(shù)/")=4sin?(工+x)-275cos2x-l,條件〃：工條件

442

q:|/(x)-/n|<2,若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍,

2.設(shè)有兩個命題：(1)關(guān)于x的不等式/+2方+4>0對一切xcR恒

成立；(2)函數(shù)/(幻=_(5-?是減函數(shù)，若命題有且只有一個是真

命題，求實數(shù)〃的取值范圍。

§89邏輯連接詞及全稱、存在量詞⑴

【考點及要求】了解邏輯連接詞“或”、“且“、“非”的含義，學(xué)會

用它們正確表示相關(guān)的數(shù)學(xué)命題；常用的全稱、存

在量詞及全稱、存在性命題的基本形式，對全稱、

存在性命題的否定。

【基礎(chǔ)學(xué)問】

1.常見詞語的否定：如：“等于、大于、小于、是、都是、至多一個、

至少一個、隨意的、全部的、至多n個、隨意兩個、或、且“的否

23

定分另I1是：___________________________

2.復(fù)合命題形式的真假判別方法；

.

Ur

Ln

pq_-PP或qP且q

真真

真假

假真

假假

3.命題的否定與否命題的區(qū)分，全稱性命題的否定為存在性命題，

存在性命題的否定為全稱性命題.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.指出命題"2<3"的形式是,判定它的真假為o

寫出該命題的否定為.

2.寫出命題“VXER,ax24-4A+1>0"的否定形

式.

3.命題p：存在實數(shù)m,使方程x'+mx+l=0有實數(shù)根，則“非p"

形式的命題是

4.推斷下列命題的真假：

(2)VxeQ，；/

(1)VXG/?,X2+X+1>0;4774

是有理數(shù)；

(3)3a,/?G7?,sin(cr+B)=sina+sin0;⑷Vx￡Z,3yGQ,3x-2y=10;

⑸R,方程or+/?=0恰有一實數(shù)解.

【典型例題】

24

例L在下列結(jié)論中，①"八q”為真是“/八夕”為真的充分不必要條件;

②“〃八4“為假是“pv.為真的充分不必要條

件；

③“pvq”為真是Jp”為假的必要不充分條

件；

④Jp”為真是“p/\g”為假的必要不充分條

件；

正確的是.

練習(xí)：由下列各組命題構(gòu)成的“〃或夕”、“〃且非〃”形式的命

題中，“〃或為真，"〃且/'為假，“非〃”為真的是

()

A.P：3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；Bp：3+2=6,q：5>3；

C.p：QaR,q：N=Z；Dp：菱形對角線相互平分，q：菱形

對角線相互垂直

例2.寫出下列命題的否定并判別真假。

(1)全等的三角形是相像三角形。

(2)若x,y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)0

(3)若xy=O,則x=0或y=0o

(4)至少有一個實數(shù)X,使得sinx+cosx=\/^

25

練習(xí)：對于下述命題P,寫出“非P”形式的命題，并推斷“P”

與“非P"的真假：

(Dp：9ieAAB(其中全集U=N*,A=｛質(zhì)數(shù)｝,B=｛正奇數(shù)｝).

⑵P：底面是正多邊形的棱錐是正棱錐.

⑶P：隨意正整數(shù)都是質(zhì)數(shù)或合數(shù).

(4)p：三角形有且僅有一個外接圓.

【課堂檢測】

26

1.若命題"P且q”為假，且“非P”光假，則.

2?假如看=印，那么力是5的條件.

3.“p或q為真命題”是“P且q為真命題”的條

件.

4.命題“不論m取什么實數(shù)，/+]_〃|=0必有實數(shù)根”的否定是

，這是一個合題(填“真”或“假”)

5.設(shè)命題p：|4x一3|W1；命題：q：x2—(2a+l)x+a(a+1)<0.若

-1P是iq的必要而不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍

是.

§90邏輯連接詞及全稱、存在量詞⑵

【典型例題】

例3.已知兩個命題p：3是13的約數(shù)；q：3是方程Y一4x+3=()的

解.試寫出這組命題構(gòu)成的“p或q”,"p且q”，“非p”形式的復(fù)

合命題，并推斷它們的真假.

27

練習(xí)：寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式

的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假.

(Dp：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被2整除，q：連續(xù)的三個整數(shù)

的乘積能被3整除.

(2)p：對角線相互垂直的四邊形是菱形，q：對角線相互平分

的四邊形是菱形.

例4,已知命題P:方程x?+mx+1=0有兩個不等的負(fù)實根。命題Q:

方程4x?+4(m-2)x+l=0無實根。若"P或Q”為真，“P且Q”為假,

求實數(shù)m的取值范圍。

28

練習(xí)：已知〃:/一8X一20K0,g:—+2x+1-陽2K0(/??>0),且非〃是非的

必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍。

例5.設(shè)a,b,c,d￡R,求證：ac=2(b+d)是方程x2+ax+b=0與

方程x2+cx+d=0中至少有一個有實根的充分但不必要條件.

29

【課堂檢測】

1.在下列命題中：

(1)VXG/?,x2>0.(2)*wR,使得%+%+l<0.(3)若tana=tan(3,

則a二下.

⑷若auN則&、鼠c成等比數(shù)列；其中真命題的序號

為.

2.已知函數(shù)f(x)與g(x)的定義域都是R,則f(x)>g(x)恒成立的充

分不必要條件

是?

A.3xeR,f(x)>g(x)B.存在多數(shù)個x￡R,使得

f(x)>g(x)

C.VxER,都有f(x)〉g(x)+lD.不存在x￡R,使f(x)W

g(x)

【課堂作業(yè)】

1.已知p:l-^~-<2,7：X2-2x+l-m2<0(w>0),若—是r的必要不

充分條件，求實數(shù)〃2的取值范圍.

30

2.設(shè)命題P:函數(shù)/（x）=IgSx?-九+'a）的定義域為R;命題q：不等式

16

J2x+1<1+ox對一切正實數(shù)均成立,假如p或q為真命題，p且q為假命

題，求實數(shù)。的取值范圍.

§91合情推理和演繹推理⑴

【考點及要求】了解合情推理的含義及其在數(shù)學(xué)發(fā)覺中的作用，能

利用類比和歸納等進(jìn)行簡潔的合情推理；了解演繹

推理的重要性，駕馭演繹推理的基本模式，并能它

們進(jìn)行一些簡潔推理，了解合情推理和演繹推理之

間的聯(lián)系和差異。

【基礎(chǔ)學(xué)問】

1.推理一般包括合情推理和演繹推理；

2.合情推理包括和；

歸納推理：從個別事實中推演出,這樣的推

理通常稱為歸納推理；歸納推理的思維過程

是：、、.

類比推理：依據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相像或相

同，推演出它們在其它方面也或,這樣的推理稱

為類比推理，類比推理的思維過程

是：、、.

31

3.演繹推理：演繹推理是,依據(jù)嚴(yán)格的邏輯法則得到

的推理過程；三段論常用格式為：①M是P,

②,③S是P；其中①是,它供應(yīng)了一個個一

般性原理；②是,它指出了一個個特別對象；③

是,它依據(jù)一般原理，對特別狀況作出的推斷.

4?合情推理是依據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定

理等）、試驗和實踐的結(jié)果，以及個人的閱歷和直覺等推想某些結(jié)果

的推理過程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法；在解決問題

的過程中，合情推理具有揣測和發(fā)覺結(jié)論、探究和供應(yīng)思路的作用，

有得于創(chuàng)新意識的培育。演繹推理是依據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論，

依據(jù)嚴(yán)格的邏輯法則得到的新結(jié)論的推理過程.

【基本訓(xùn)練】

1.前提：當(dāng)n=0時,n2-n+ll=ll；當(dāng)n=l時,4-n+H=11；當(dāng)n=2

時，n2-n+ll=13；

當(dāng)n=3時，存-n+ll=17；歸納推理；當(dāng)n=4時，存-n+ll=23；

當(dāng)n=5時，n2-n+ll=31；

11,11,13,17,23,31都是質(zhì)數(shù).

結(jié)論對于全部的自然數(shù)的值都是質(zhì)數(shù).

2.蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴

32

是用肺呼吸的。蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物。

由此猜想：.

3.三角形的內(nèi)角和是180度，凸四邊形的內(nèi)角和是360度，凸五邊

形的內(nèi)角和是540度，……

由此猜想：凸n邊形的內(nèi)角和是.

4.金受熱后體積膨脹，銀受熱后體積膨脹，銅受熱后體積膨脹，

鐵受熱后體積膨脹，金、銀、銅、鐵是金屬的部分小類對象，它們

受熱后分子的凝合力減弱，分子運動加速，分子彼此距離加大，從

而導(dǎo)致體積膨脹，所以，全部的金屬受熱后都.

5.歸納推理的一般模式：Si具有P,S2具有P,……,Sn具有P,

（Si，S2,…,Sn是A類事物的對象）所以.

6.已知：矩形的對角線的平方等于長與寬的平方和，

類比推理結(jié)論：.

【典型例題】

例1.視察，1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,

1+3+5+7+9—25—5,

結(jié)論：____________________________________

練習(xí)：1.視察下列等式，并從中歸納出一般的結(jié)論：

33

小11小112小1113/人

(1)—=—(2)—+-=—(3)—+—+—=—(4)

2226326124

11114

—H--1---1--=—

2612205

結(jié)論：.

2.閱讀下列各式：①=2「②,曜=32③,值三=4三

V3V3V8V8V15V15

④KI"后,'；結(jié)

-/'UA-?.?

例2.在AABC中，〃、氏c?分別是角A、B、C所對的邊，則

片b?cosC+c?cos8,類比到空間圖形：在三棱錐P-A3C中，三個側(cè)

面「AB、PBC、尸AC與底面ABC所成的二面角分別為a、1y,相應(yīng)的

結(jié)論是.

練習(xí)：若三角形內(nèi)切圓的半徑為“三邊長分別為a、氏c,則三角

形的面積S=L-(a+〃+c);依據(jù)類比推理的思想，若四面體內(nèi)切球的

2

半徑為R,四個面的面積為外§2、S3、§4,則四面體的體積為V

【課堂檢測】

—2<.2.+.1-2<--2-+-2—2<--2-+-3由此猜想:

33+1'33+2'33+3

2.磨擦雙手(S1)能產(chǎn)生熱(P),敲擊石頭(S2)能產(chǎn)生熱(P),

錘擊鐵塊(S3)能產(chǎn)生熱(P),

34

所以，物質(zhì)運動能產(chǎn)生熱.

3.在AAfiC中，ABlACyADA.BC^D^,求證:一U=-U+—,那么

AD2AB2AC2

在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理

由.

§92合情推理和演繹推理⑵

凸四邊形有一條對角線，凸五邊形有條對角線，凸五邊形有

條對角線，

凸六邊形有條對角線，比凸五邊形多條；……凸n邊

形有多少條對角線？

猜想：凸n邊形的對角線條數(shù)比凸n-1邊形多條對角線。

由此，凸n邊形對角線條數(shù)為.

練習(xí)：在同一平面內(nèi)，兩條直線相交，有一個交點；

三條直線相交，最多有幾個交點？

35

四條直線相交，最多有幾個交點？

五條直線相交，最多有幾個交點？

n條直線相交，最多有幾個交點？

例4.如圖有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把金

屬片從一根針上全部移到另一根針上.

⑴每次只能移動1個金屬片；

⑵較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推想；把n個金屬

片從1號針移到3號針，最少須要移動多少次？

36

例6.已知數(shù)列｛〃“｝的第1項q=1且4〃+i=〃；](〃=1、2、3)，試歸納出

這個數(shù)列的通項公式.

練習(xí)：已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S”，且滿意q=[a〃+2S〃S“_i=0(〃22)

乙

、

⑴問數(shù)列_L是否為等差數(shù)列？⑵求〃〃和s.；

￡,

222

⑶求證：51+5,+53+..S^<--—

123〃24/?

【課堂作業(yè)】

數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納法

推理得出它們之間的關(guān)系.

多面體面數(shù)頂點數(shù)棱數(shù)

(F)(V)(E)

三棱錐

四棱錐

三棱柱

五棱錐

立方體

正八面體

五棱柱

截角正方

體

尖頂塔

§93干脆證明與間接證明⑴

38

【考點及要求】了解干脆證明的兩種基本方法一一分析法和綜合法；

了解分析法和綜合法的思索過程及特點；了解間接

證明的一種基本方法一一反證法，了解反證法的思

索過程及特點；

【基礎(chǔ)學(xué)問】

1.干脆證明：干脆從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立，這種證明方法

叫干脆證明；

干脆證明的兩種基本方法一一分析法和綜合法

(1)綜合法----------------------;⑵分析法一

2.間接證明：間接證明是不同于干脆證明的又一類證明方法，反證

法是一種常用的間接證明方法；反證法即從

起先，經(jīng)過正確的推理，說明假設(shè)錯誤，從而證明白

原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法(歸謬法).

【基本訓(xùn)練】

1.命題“對于隨意角acos4j—sin48=cos2?！钡淖C明：

acos4sin40=(cos20-sin2^)(cos20+sin26)=cos2sin20=cos20”過程

應(yīng)用了.

2.V2AA8C中，已知cos4cosB>sin4sin8,則AA8C肯定是

39

三角形.

3.用反證法證明"假如a>b,那么五〉蠣”反設(shè)的內(nèi)容

是.

4.q>c或是Q+Z?>c+d的條件.

5.“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)當(dāng)

是.

6.命題"AABC中，若ZA>ZB,則。>人”的結(jié)論否定應(yīng)當(dāng)

是?

【典型例題】

例1.設(shè)久b為互不相等的正數(shù)，且a+b=l,分別用分析法、綜合

法證明：-+->4

ab

練習(xí)：求證：V3-V2>V6-V5

40

例2.設(shè)%b是兩相異的正數(shù)，求證：關(guān)于'的一元二次方程

(a2+b2)x2+4"x+2a0=0沒有實數(shù)根.

練習(xí)：設(shè)/0)=3。/+2"+。，若〃+/?+c=OJ(O)?/⑴，

⑴求證：方程有/(幻=0實根；⑵-2<2<一1.

41

【課堂檢測】

1.在銳角三角形ABC中，求證：sinA+sinB+sinC>cosA4-cosB-FcosC.

2.三角形ABC的三邊a、反c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：ZB<90°.

42

§94合情推理和演繹推理⑵

【典型例題】

例3.若a、b、c、x、y、z均為實數(shù)

a=x2-2y+^-,b=y2-2z+—,c=z2-2x+—,

236

求證：久。、c中至少有一個大于0.

練習(xí)：若x>0,y>0,且x+y>2,求證：<2或匕^<2中至少有

yx

一個成立.

43

3v2

例4.若M、N是橢圓C：5+==1(〃>“0)上關(guān)于原點對稱的兩個點,

crb~

點P是橢圓上隨意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在時，記為

kpM、kpN,那么?怎z之積是與點P位置無關(guān)的定值；試對雙曲線

丫2、,2

1-七=1(〃>0/〉0)寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明.

a~h~

44

練習(xí)：已知橢圓的兩焦點為小飛,。）、6（6,o）,離心率為.

⑴求此橢圓的方程；

（2）設(shè)直線/:y=x+m,若/與此橢圓相交于P、Q兩點，且PQ等于

橢圓的短軸長，求加的值；

⑶以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角

形ABC,這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個？

若不存在，請說明理由.

【課堂檢測】

1.①sin210°+cos240°+sin10°C6?540°=—;②

4

sin260+cos236°+sin60cos360=-,由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律,你能否提出

4

一個猜想？并證明你的結(jié)論.

45

2.列方程：x2+4ax—4a+3=0,x2+(a—1)x+a2=0,x2+2ax

—2a=0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值范圍.

【課堂作業(yè)】

1.求證：0是無理數(shù).

32

2.f(x)=ax-2bx+3cx(a>b、CER)的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)x=l時,

/(X)取微小值-2.

⑴求4、枚C的值；

⑵當(dāng)時，圖象上是否存在兩點，使得過兩點的切線相互垂

直？并證明你的結(jié)論.

§95平面的性質(zhì)與直線的位置關(guān)系

【考點及要求】

1.駕馭平面的基本性質(zhì)，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關(guān)

系，能夠依據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。

46

2.駕馭兩條直線平行和垂直關(guān)系的有關(guān)概念，并能用上述概念

進(jìn)任論證和解決有關(guān)問題。

【基本訓(xùn)練】

1.下列命題中，正確的是（）

A首尾相接的四條線段在同一平面內(nèi)B三條相

互平行的線段在同一平面內(nèi)

C兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)

D若四個點中的三個點在同始終線上，那么這四個點在同一平

面內(nèi)

2."a,b為異面直線”是指：①aGb=①，但a不平行于b；

②au平面a,bu平面B且aAb二中；③au平面a,bu平面B且

aGB=中；④au平面a,b（z平面a；⑤不存在任何平面a,能使

aua且bua成立.上述結(jié)論中，正確的有（）

A①④⑤B①③④C②④D

①⑤

3.正方體的一條對角線與正方體的棱可組成異面直線的有

對.

4.在空間四邊形ABCD中，E、H分別為AB、AD的中點，EEBC,

G￡CD,且CF：CB=CG：CD=2：3,那么四邊形EFGH是；

若BD=6cm,四邊形EFGH的面積為28c仇則EH與FG間的距離為

47

5.如圖所示的水平放置的平面圖形的

直觀圖，所表示的圖形ABCD是(

A.隨意梯形B.直角梯形

隨意四邊形D.平行四邊形

【典型例題講練】

例1.已知：如圖，不共面的三條直線a,b,c相交于點P,AWa,

Bea,Ceb,Dec.

求證：與是異面直線.

ADBCza

例2.三個平面Q,B,Y兩兩相交，a,b,c是三條交線.

(1)若aCb=P,求證：a,b,c三線共點；

48

（2）若@〃，用反證法證明直線a,b,c相互平行.

例3.如圖，正方體ABCD-ABCD中,棱長為a.9

（1）求異面直線AB與&C所成角的大小;

（2）若P、Q、R分別是棱CG,A.DHAB的中

求過這三點的截面的周長.

【課堂小結(jié)】

【課堂檢測】

1.假如a,b是異面直線，P是不在a,b上的隨意一點，下列

四個結(jié)論：①過P肯定可作直線/與a,b都相交；②過P肯定可作

直線/與a,b都垂直；③過P肯定可作平面。與a,b都平行；④過

P肯定可作直線/與a,b都平行.其中正確的結(jié)論有個.

49

2.①相互垂直的兩條直線，有且只有一個公共點；②經(jīng)過一點

有且只有一條直線垂直于已知直線；③垂直于同始終線的兩條直線

相互平行；④兩條平行線之一垂直始終線，則另一條也垂直此直線.

上述命題中，正確命題有個.

3.設(shè)a,b,c是空間三條直線，a//b,a與c相交，則b與c

必（）A相交B異面C

平行D不平行

4.A,B,C為空間三點，經(jīng)過這三點（）

A能確定一個平面B能

確定多數(shù)個平面