上海市高橋中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

高橋中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1、若集合，，則________．2、若復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為________．3、已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________．4、不等式的解集為________．5、的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________．6、雙曲線的兩條漸近線的夾角為________．7、若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．8、已知向量，的夾角為，且，，則________．9、某電子設(shè)備有兩套相互獨(dú)立的供電系統(tǒng)和，在時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)和系統(tǒng)發(fā)生故障的概率為0.2和．若在時(shí)間內(nèi)至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為0.94，則________．10、頂點(diǎn)為的圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，，是底面圓周上的兩點(diǎn)，為底面中心，且，則在圓錐側(cè)面上由點(diǎn)到點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為________cm．（精確到）11、對(duì)于正整數(shù)，記表示的最大奇數(shù)因數(shù)，例如，，．設(shè)．當(dāng)，時(shí)，________．12、已知函數(shù)，，若有且僅有一個(gè)正整數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．二、選擇題（本題滿分18分，13-14題每題4分，15-16題每題5分）13、用反證法證明“方程至多有兩個(gè)解”的假設(shè)中，正確的是（）A．至少有兩個(gè)角 B．有且只有兩個(gè)解C．至少有三個(gè)解 D．至多有一個(gè)解14、以下數(shù)據(jù)為某學(xué)校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽10人的成績(jī)（單位：分）：72、86、80、88、83、78、81、90、91、92，則這10個(gè)成績(jī)的第75百分位數(shù)是（）A．90 B．89 C．88 D．88.515、已知拋物線，圓，過(guò)圓心作斜率為的直線與拋物線和圓交于四點(diǎn)，自上而下依次為，，，，若，則的值為（）A． B． C． D．16、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在，使得是偶函數(shù)B.存在，使得在上單調(diào)遞減C.存在，使得在處取極大值D.存在，使得是的最小值三、解答題（本大題共有5分，滿分78分）17、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，高為，底面半徑為2．（1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）設(shè)，為該圓錐的底面半徑，且，為線段的中點(diǎn)，求直線與直線所成的角的余弦值．18、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）為慶祝神州十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開展了航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有100人參加了這次競(jìng)賽，己知所有參賽學(xué)生的成績(jī)均位于區(qū)間，將他們的成績(jī)（滿分100分）分成五組，依次為，，，，，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求出的值，并用各區(qū)間的中間值估計(jì)這100人的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中抽取12人作為航天知識(shí)宣講使者．現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)抽取2人作為組長(zhǎng)，求至少有一名組長(zhǎng)的競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率．19、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)首次啟用機(jī)器狗搬運(yùn)賽場(chǎng)上的運(yùn)動(dòng)裝備．如圖所示，在某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)賽事扇形場(chǎng)地中，，米，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．為方便機(jī)器狗運(yùn)輸裝備，現(xiàn)需在場(chǎng)地中鋪設(shè)三條軌道，，記，三條軌道的總長(zhǎng)度為米．（1）將表示成的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）當(dāng)三條軌道的總長(zhǎng)度最小時(shí)，求軌道的長(zhǎng)．20、（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且直線，的斜率之積為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的法向量為，求直線的方程；（3）是否存在直線，使得為直角三角形?若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21、（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）若函數(shù)的圖像上有兩個(gè)不同點(diǎn)，處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的“自公切線”．（1）試判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”（不需要說(shuō)明理由）；（2）若，求函數(shù)的圖像的“自公切線”方程；（3）若，求證：函數(shù)，有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖像不存在“自公切線”．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11、對(duì)于正整數(shù)，記表示的最大奇數(shù)因數(shù)，例如，，．設(shè)．當(dāng)，時(shí)，________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，

于是.故答案為:.12、已知函數(shù)，，若有且僅有一個(gè)正整數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】函數(shù),當(dāng)時(shí)，可得作圖如下：

由題意,若,則,化簡(jiǎn)可得,解得,

當(dāng)時(shí),,此時(shí)不符合題意，

當(dāng)時(shí)，令令,且函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線

由,則或,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,

可得,則在上單調(diào)遞減,,則在上恒成立，所以此時(shí)不符合題意;當(dāng)時(shí),可作圖如下:顯然不存在符合題意的.

綜上所述，的取值范圍為.故答案為:.二、選擇題13.C14.A15.A16.D15、已知拋物線，圓，過(guò)圓心作斜率為的直線與拋物線和圓交于四點(diǎn)，自上而下依次為，，，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖,圓的圓心為,半徑

顯然點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線方程為,

設(shè)則

所以,因此,即有,解得

設(shè)直線的方程為,顯然,由消去得,則有,解得.故選：B.16、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在，使得是偶函數(shù)B.存在，使得在上單調(diào)遞減C.存在，使得在處取極大值D.存在，使得是的最小值【答案】D【解析】依題意，，選項(xiàng),若是偶函數(shù),則,則當(dāng),時(shí),不滿足選項(xiàng)錯(cuò)誤.選項(xiàng),若在上單調(diào)遞減,則,與題意矛盾，選項(xiàng)錯(cuò)誤.選項(xiàng),若在處取極大值,則存在,使得在區(qū)間上,單調(diào)遞增,

與""矛盾,所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.選項(xiàng),設(shè),畫出圖象如下圖所示,

由圖可知,滿足,且是的最小值，所以選項(xiàng)正確.故選：D.三．解答題17.（1）（2）18.（1）平均數(shù)為（2）19.（1）（2）20、（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且直線，的斜率之積為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的法向量為，求直線的方程；（3）是否存在直線，使得為直角三角形?若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，直線的斜率為.【解析】（1）由題意可得,可得,又因?yàn)樗詸E圓的方程為;

（2）由條件知:直線的斜率為,方程為

則由,得,所以,從而.

由于,所以直線的方程為,同理可得,

所以直線的斜率為,從而直線的方程為,即.

（3）假設(shè)存在滿足條件的直線,并設(shè)直線的方程為,

則由,得,所以,

由于,所以直線的方程為同理可得,故直線的斜率為

當(dāng)為直角三角形時(shí),只有可能,或,于是,或.若,由,可得;從而;若,由,可得，也有.因此,直線的斜率為.21、（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）若函數(shù)的圖像上有兩個(gè)不同點(diǎn)，處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的“自公切線”．（1）試判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”（不需要說(shuō)明理由）；（2）若，求函數(shù)的圖像的“自公切線”方程；（3）若，求證：函數(shù)，有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖像不存在“自公切線”．【答案】（1）存在,不存在;（2）（3）證明見解析【解析】（1）因?yàn)橹本€是的圖像的一條"自公切線",故函數(shù)的圖像存在"自公切線";

對(duì)于是嚴(yán)格減函數(shù),故在不同點(diǎn)處的切線斜率不同,所以函數(shù)的圖像不存在"自公切線",所以的圖像存在"自公切線",函數(shù)的圖像不存在"自公切線";

（2）函數(shù),求導(dǎo)得

顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

設(shè)切點(diǎn),則存在,使得,

則在點(diǎn)處的切線方程為,在點(diǎn)處的切線方程為,因此，消去可得令,求導(dǎo)得

則函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,函數(shù)的零點(diǎn)為-1,因此,所以曲