四川省成都市嘉祥教育集團(tuán)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

四川省成都市嘉祥教育集團(tuán)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)，向量，，且，則等于（

）A．2 B．4 C． D．262．圓與圓公切線條數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．13．在一次歌唱比賽中，有5位評(píng)委給某選手打分（分?jǐn)?shù)不全相同）．與原始分?jǐn)?shù)相比，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分之后，一定發(fā)生改變的是（

）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差4．如圖所示，在正四面體ABCD中，AC與BD所成的角為（

）A．30 B．45C．60 D．905．若直線l沿x軸向左平移4個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率為（

）A． B． C．-2 D．26．某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡的分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者的崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．90后互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過90后總?cè)藬?shù)的20％C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多7．如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，兩個(gè)互相垂直的正方形框架的邊長均為，活動(dòng)彈子分別在對(duì)角線上移動(dòng)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．過點(diǎn)的直線與圓相交所形成的弦中，有9條弦的長度為整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的有（

）A．若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面平行B．若直線的方向向量與平面的法向量夾角為，則直線與平面所成角為C．若平面的法向量與平面的法向量垂直，則平面與平面垂直D．若平面的法向量與平面的法向量夾角為，則平面與平面的夾角為10．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．乙發(fā)生的概率為 B．丙發(fā)生的概率為C．甲與丁相互獨(dú)立 D．丙與丁互為對(duì)立事件11．已知曲線，則（

）A．曲線M是軸對(duì)稱圖形B．若點(diǎn)為曲線M上的點(diǎn)，則的最大值為C．若圓C在曲線M的內(nèi)部（含邊界），則圓C面積的最大值為D．曲線M圍成的圖形的面積為三、填空題（本大題共3小題）12．若直線與直線平行，則與的距離為.13．在正方體的12條面對(duì)角線和4條體對(duì)角線中任取兩條，共有120種組合．其中兩條直線互相垂直的組合有組．14．在2024年歐洲杯某小組賽中，共有甲?乙?丙?丁四支隊(duì)伍進(jìn)行單循環(huán)比賽，即每兩支隊(duì)伍在比賽中都要相遇且僅相遇一次，最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝?平?負(fù)的概率都為，則在比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)勝兩場(chǎng)且乙隊(duì)勝一場(chǎng)的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C：，點(diǎn)．點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，B為線段AP的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)B的軌跡方程E，并說明其軌跡；(2)若過點(diǎn)的直線l被曲線E（點(diǎn)E為軌跡中心）截得的弦長為4，求直線l的方程．16．某校為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進(jìn)行測(cè)評(píng)打分．現(xiàn)從中隨機(jī)選出100名學(xué)生的成績（滿分為100分），按分?jǐn)?shù)分為[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求m的值，并求這100名學(xué)生成績的平均數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從[50,60）和[70,80）的學(xué)生中抽取6名學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)交流會(huì)，大會(huì)上需要從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者分?jǐn)?shù)差大于10分的概率．17．已知空間四點(diǎn)．(1)求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的面積；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．18．如圖，在四面體中，平面，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)且滿足，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)．(1)求證：；(2)若．①求直線與平面所成角的正切值；②求直線與平面所成角的正弦值的最大值．19．彭塞列定理是解析幾何中與曲線的切線有關(guān)的著名定理．當(dāng)曲線是圓時(shí)，有如下結(jié)論：C1和C2是兩個(gè)圓（C2內(nèi)含于C1），過C1上一點(diǎn)P0作C2的切線，交C1于另一點(diǎn)P1，再過P1作C2的另一條切線，交C1于另一點(diǎn)P2；如此反復(fù)，得到C1上的一系列點(diǎn)Pi（i=0，1，2，…）．如果有自然數(shù)n≥3，使得Pn=P0，則對(duì)于C1上任一點(diǎn)Q0，按上述方式得到Q1，Q2，…，Qn，也有Qn=Q0．下面分別是n=3和n=4的圖示．已知圓C1：x2+y2=4，C2：．解答下列問題：(1)在C1上取點(diǎn)作圓C2的兩條切線，與C1分別交于A，B兩點(diǎn)．判斷直線AB與圓C2的位置關(guān)系并證明；(2)取C1上的點(diǎn)Q（x0，y0）作圓C2的兩條切線，且兩切線互相垂直．（i）求出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（ii）若兩切線與圓C1分別交于點(diǎn)M，N，猜想直線MN與圓C2的位置關(guān)系，并運(yùn)用彭塞列定理進(jìn)行說明．

參考答案1．【答案】C【詳解】由，可得：，即，所以，所以，故選：C2．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，，所以兩圓外切，公切線有條.故選：B3．【答案】D【詳解】對(duì)于A，若分?jǐn)?shù)為時(shí)，則平均數(shù)為，去掉，則平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若分?jǐn)?shù)為時(shí)，則眾數(shù)為，去掉，則眾數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若分?jǐn)?shù)為時(shí)，則中位數(shù)為，去掉，則中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方差體現(xiàn)數(shù)據(jù)的偏離程度，因?yàn)閿?shù)據(jù)不完全相同，當(dāng)去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，一定使得數(shù)據(jù)偏離程度變小，即方差變小，故D正確.故選：D.4．【答案】D【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以AC與BD所成的角為90.故選：D5．【答案】A【詳解】設(shè)直線l上的點(diǎn)，由直線l沿沿x軸向左平移4個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，可得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因?yàn)橹本€被平移后又回到原來的位置，所以也在直線上，因此直線l的斜率.故選：A6．【答案】D【分析】利用整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】選項(xiàng)A；由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56％，故A正確；選項(xiàng)B：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，90后從事技術(shù)崗位人數(shù)為56％×39.6％a，而90后總?cè)藬?shù)的20％為56％×20％a，故B正確；選項(xiàng)C：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的90后人數(shù)為56％a×17％=9.52％a，超過80前的人數(shù)6％a，且80前中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)比例未知，故C正確；選項(xiàng)D：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的90后人數(shù)為56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人數(shù)38％a，但80后中從事技術(shù)崗位的人數(shù)比例未知，故D錯(cuò)誤．故選D．7．【答案】C【詳解】由題意知：平面平面，，平面平面，平面，平面，又，則以為原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，，，設(shè)，則，，，，，，則當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選：C.8．【答案】A【詳解】圓得：直徑等于6，所以過點(diǎn)最長弦為6且僅有唯一一條；則由對(duì)稱性可知長度為的弦各有兩條，所以最短弦的范圍為．當(dāng)直線時(shí)，弦長最短（記點(diǎn)坐標(biāo)為），且弦長為：.又因?yàn)?，即，得：，解得a的取值范圍為.故選：A．9．【答案】BC【詳解】若直線的方向向量與平面的法向量垂直，直線與平面平行或者在平面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；若直線的方向向量與平面的法向量夾角為，則兩向量所在直線夾角為，則直線與平面的夾角為，故B正確；若平面的法向量與平面的法向量垂直，則平面與平面垂直，選項(xiàng)C顯然正確；若平面的法向量和平面的法向量夾角為，則平面和平面夾角為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．【答案】ACD【詳解】設(shè)為事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則，，故A正確.，，故B錯(cuò)誤.而，故C正確.兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對(duì)立事件，故D正確.故選：ACD.11．【答案】AB【詳解】對(duì)于A，任意取曲線上的一點(diǎn)，即其關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，顯然方程成立，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，則其圓心，半徑為，與x軸正半軸交點(diǎn)，與y軸正半軸交點(diǎn)．，當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，由題意作圖如下：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，以為半徑的圓為符合題意的最大面積，此時(shí)面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意作圖如下：曲線所圍成的圖形在第一象限分為、與扇形，易知，扇形的面積小于圓的一半，由曲線，則曲線關(guān)于軸成軸對(duì)稱，曲線圍成的圖形的面積小于，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12．【答案】【詳解】，，解得：，，即，之間的距離.故答案為：.13．【答案】36【詳解】如圖，在正方體中，先研究面對(duì)角線，由正方體性質(zhì)得，且面，面，，所以面，而面，面，面，所以，，，，所以與一條面對(duì)角線垂直的體對(duì)角線有2條，共有條，與一條面對(duì)角線垂直的面對(duì)角線有2條，共有條，而體對(duì)角線相互不垂直，所以兩條直線互相垂直的組合有.故答案為：3614．【答案】【詳解】（1）甲勝乙丙，且甲平或負(fù)?。孩僖覄俦?，且乙平或負(fù)丁，概率為；②乙勝丁，且乙平或負(fù)丙，同①，概率為．因此，（1）概率為．（2）甲勝乙丁，平或負(fù)丙，同（1），概率為．（3）甲勝丙?。孩偌灼揭?，乙勝丙，且乙平或負(fù)丁，此時(shí)概率為；②甲平乙，乙勝丁，且乙平或負(fù)丙，同①，概率為；③甲負(fù)乙，乙平或負(fù)丙、丁，此時(shí)概率為，因此，（3）概率為．綜上：甲勝兩場(chǎng)且乙勝一場(chǎng)的概率為．故答案為：15．【答案】(1)，軌跡為以為圓心，半徑為的圓；(2)或.【詳解】（1）圓C：的圓心，半徑，取線段的中點(diǎn)，連接，則，，因此點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，軌跡方程為.（2）由（1）知，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離為2，因此直線的方程可以為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，于是，解得，此時(shí)直線的方程為，所以直線的方程為或.16．【答案】(1)，平均數(shù)為72分，中位數(shù)為分(2)【詳解】（1），解得，平均數(shù)為，中位數(shù)為分；（2）在[50，60）中抽取人，記為；在[70，80）中抽取人，記為.所有的取法為：共15種.，滿足條件的有共8種.所求概率為.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，,.，得到.平行四邊形面積.（2）先求平面的法向量，設(shè)，因?yàn)榍?，則，令，解得，，所以.再求平面的法向量，，，設(shè)，因?yàn)榍?，則，令，解得，，所以.，，，設(shè)與的夾角為，則.平面與平面夾角的余弦值為.18．【答案】(1)證明見解析(2)①；②【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接．在中，點(diǎn)分別為中點(diǎn)，所以．又因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，所以平面在中，，所以．又因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，所以平面因?yàn)闉槠矫鎯?nèi)兩條相交直線，所以平面∥平面因?yàn)槠矫?，所以平面，在平面，所以?）①因?yàn)槠矫?，所以直線與平面所成角為,在直角三角形中，，可得，②以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，設(shè)點(diǎn)．因?yàn)?，所以有．所以，設(shè)平面法向量為m=x于是即令，則則，設(shè)直線與平面所成的角為，則有當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)，取得最大值為．綜上，直線與平面所成角的正弦值的最大值為19．【答案】(1)直線AB與圓相切，證明見解析(2)（i）點(diǎn)Q坐標(biāo)為（）；（ii）直線MN與圓C1相切，證明見解析【詳解】（1）直線AB與圓C2相切，證明如下：易知PA斜率存在，設(shè)為k，則直線PA的方程為．因?yàn)橹本€PA與圓C2相切，所以有圓心C2到直線PA距離，即，解得，不妨?。ㄘ?fù)值為切線PB的斜率），聯(lián)立，消去y可得一個(gè)解2為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，另一個(gè)解為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，則點(diǎn)A坐標(biāo)為，易知點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則直線AB的方程為，C2到直線AB的距離為，所以直線AB與圓相切；（2）（i）顯然兩條