四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

瀘州市龍馬潭區(qū)高2023級高二上期半期考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.試卷滿分150分，考試時間150分鐘，考試結(jié)束后將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題（共40分）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得斜率，然后求得傾斜角.直線斜率為，對應(yīng)的傾斜角為.故選：B2.已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.因?yàn)?是定義在上的偶函數(shù)，所以當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時，,不一定成立，故不符合題意；因?yàn)槭嵌x在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時，則，故符合題意；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時，不一定成立，不符合題意.故選：.【點(diǎn)睛】判斷不等式恒成立問題，方法有以下幾種：1、可借助函數(shù)的單調(diào)性判斷；2、可帶特殊值說明不等式不成立；3、根據(jù)不等式關(guān)性質(zhì)判斷；4、作差比較大小；5、作商比較大小.對于選擇題我們一般采用排除法.3.直線：和：垂直，則實(shí)數(shù)A.-1 B.1 C.-1或1 D.3【答案】A【解析】【分析】不合題意，由方程求出兩直線的斜率，利用斜率之積為即可得結(jié)果.因?yàn)橹本€：和：垂直（不合題意），兩直線的斜率分別為，所以，解得a=-1，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，兩條直線垂直與斜率的關(guān)系，屬于簡單題.對直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類問題以簡單題為主，在斜率存在的前提下，（），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心.4.，“直線和直線平行”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】求出兩直線平行時的值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷．由題意，則，，因此題中應(yīng)為充分必要條件．故選：C．5.已知ΔABC的內(nèi)角所對的邊分別為，若,，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可.由，得，即，得，因?yàn)?，所以，化為，得，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.6.若，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-1 B.0 C. D.1【答案】C【解析】【分析】作出滿足不等式組可行域，由可得，可得為該直線在軸上的截距，截距越大，越小，結(jié)合圖形可求的最小值.解：作出，滿足約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示：由于可得，可得為該直線在軸上的截距，截距越大，越小，作直線，然后把直線向平面區(qū)域平移，由圖可知，直線平移到點(diǎn)時，最小，由可得，即當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，取得最小值，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)k實(shí)數(shù)，直線與圓交點(diǎn)個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】找到直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可確定交點(diǎn)數(shù).由，即直線恒過，而圓可化為，所以，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓恒有2個交點(diǎn).故選：C8.已知直線過圓的圓心，且與直線垂直，則的方程是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，將圓心坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得解.由于直線與直線垂直，不妨設(shè)直線的方程為，圓心坐標(biāo)為，將圓心坐標(biāo)代入直線的方程得，解得.因此，直線的方程為.故選：A.二、多選題（共18分）9.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的最大值為3，最小值為1，則（）A.橢圓的離心率為B.的周長為6C.若，則的面積為3D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】對A，根據(jù)題意可得，即可求解；對B，根據(jù)橢圓的定義判斷即可；對C，根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義判斷即可；對D，根據(jù)余弦定理與橢圓的定義求解即可．對A，由題意，，故，，故A正確；對B，的周長為，故B正確；對C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因?yàn)樵谏线f減，所以此時最大，又，，所以的最大值為，，不成立，故C錯誤；對D，由余弦定理，即，解得，故，故D正確；故選：ABD10.已知正方體的棱長為4，點(diǎn)為平面內(nèi)一動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)在棱上運(yùn)動，則的最小值為B.若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面的周長為C.若點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是一條直線D.若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則到直線的最小距離為【答案】BCD【解析】【分析】A項(xiàng)，由展開圖轉(zhuǎn)化為平面兩點(diǎn)間距離最短問題可得最小值；B項(xiàng)，先作輔助線取中點(diǎn)找截面，由平行四邊形得線線平行，利用中位線的平行關(guān)系及空間平行的傳遞性證明所找截面即為所求，進(jìn)而求周長可得；C項(xiàng)，利用“過一點(diǎn)與已知直線垂直的直線在過該點(diǎn)與已知直線垂直的平面內(nèi)”結(jié)論，可得兩平面的交線即為軌跡；D項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求利用向量方法點(diǎn)線距可得.A項(xiàng)，如圖將平面展開與平面處于一個平面，連接與交于點(diǎn)，由圖形知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立即此時取得最小值，即，故A錯誤；B項(xiàng)，如圖取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以且，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，則四點(diǎn)共面，所以平面四邊形即為平面截正方體所得截面，又，，所以截面周長為，故B正確；C項(xiàng)，如圖，平面平面，所以，又平面，所以平面，又，故過與垂直的直線在過與直線垂直的平面內(nèi)，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，且平面，所以在直線上，即動點(diǎn)的軌跡是一條直線，故C正確；D項(xiàng)，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，，則，，，所以到棱的距離，所以當(dāng)時，故D正確；故選：BCD.11.已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，，以下結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A；根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結(jié)合余弦定理整理可判斷B；根據(jù)B中變形可判斷C；由B中結(jié)論，結(jié)合的范圍可判斷D.根據(jù)題意，設(shè)，對于A中，因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得，所以，即，所以A錯誤；對于B中，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正確；對于C中，由，可得，所以C正確；對于D中，因?yàn)?，所以，由可得，所以，所以D正確.故選：BCD.三、填空題（共15分）12.點(diǎn)到直線l：的距離是_______.【答案】1【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.點(diǎn)到直線的距離：.故答案為：13.正四棱錐中，底面邊長為，二面角為，則該四棱錐的高等于____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出直觀圖，根據(jù)二面角的平面角的定義，找到其平面角為，在計算即為四棱錐的高.如圖所示，取的中點(diǎn)為，底面中心為，連接，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以，中，，底面為正方形，故，所以是二面角的平面角，即，又在中，，所以，即該四棱錐的高為.故答案為：.14.在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】由已知條件計算出經(jīng)過三點(diǎn)的圓的直徑，即可計算出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值.解：記，圓經(jīng)過點(diǎn)O，A，B．則，，，所以，故為圓的直徑．從而圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的最大值為．故答案為：四、解答題（共77分）15.根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行．（1）的傾斜角為60°，經(jīng)過點(diǎn)，；（2）平行于y軸，經(jīng)過點(diǎn)，．【答案】（1）或與重合（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線的斜率關(guān)系即可判斷位置關(guān)系，（2）根據(jù)兩直線均無斜率即可判斷位置關(guān)系.【小問1】由題意，知直線的斜率，直線的斜率，所以，所以或與重合．小問2】由題意，知是y軸所在的直線，所以．16.為創(chuàng)建全國文明城市，寧德市進(jìn)行“禮讓斑馬線”交通專項(xiàng)整治活動，按交通法規(guī)定：機(jī)動車行經(jīng)人行橫道時，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行．下表是2020年寧德市某一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為，其中違章情況統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份12345違章駕駛員人數(shù)10085807065（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程；（2）預(yù)測該路口2020年9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；并估計該路口經(jīng)過幾個月后“不禮讓”的不文明行為可以消失．參考公式：，，參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）；（2）預(yù)測該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為29，經(jīng)過13個月“不禮讓”的不文明行為可以消失.【解析】【分析】（1）首先求，，根據(jù)參考公式，分別求和，求解回歸直線方程；（2）令代入回歸直線方程，求的預(yù)報值，并令，求.（1）由表中數(shù)據(jù)知，∴即，∴所求回歸直線方程為.（2）令，則人.令得答：預(yù)測該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為21，故估計經(jīng)過13個月“不禮讓”的不文明行為可以消失.17.已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，其中一條漸近線為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過C的右焦點(diǎn)F，且在軸上的截距為的直線，交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)得到關(guān)于的方程組，由此求解出即可知C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)條件先求出的方程，然后聯(lián)立與雙曲線的方程得到對應(yīng)坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，再將表示為坐標(biāo)形式即可求解出結(jié)果.【小問1】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以①，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以②，①②聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為．【小問2】由（1）可知雙曲線中，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即直線的橫截距為2，又因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立得，設(shè)，則，所以．18.在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)．（I）求證：平面⊥平面；（II）求直線與平面所成角的大?。唬↖II）求二面角的大?。敬鸢浮浚↖）見解析；（II）arctan；（III）arctan【解析】【分析】（I）平面中有直線，可證明垂直平面中兩條相交直線，則垂直平面，即可證明；（II）要求直線與平面所成角，只需求直線與她在平面內(nèi)的射影所成角即可，先在直線上找一點(diǎn)，過該點(diǎn)向平面作垂線，再連接斜足和垂足，所得直線為射影，把直線與它在平面內(nèi)的射影放入同一個三角形中，利用解三角形，求出線面角．（III）求二面角的平面角的大小，可用三垂線法找到二面角的平面角，再放到一個三角形中，通過解三角形，得出結(jié)果．（I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC＝，為直三棱柱，平面．平面，平面平面．（II），由（I）知，平面為直線與平面所成的角．在中，＝＝，故直線DA1與平面所成角為（III）過C作CH⊥DC1，垂足為H，連接AH，則由三垂線定理可知，DC1⊥AH，從而∠AHC為二面角A﹣DC1﹣C的平面角．在Rt△CDC1中，CD＝BC＝，CH＝＝，tan∠AHC＝.故二面角A﹣DC1﹣C大小為arctan．【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的性質(zhì)，直線與平面所成的角，二面角的平面角的求法等有關(guān)知識，考查空間想象能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.19.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過定點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）是，=1.【解析】【分析】（1）根據(jù)和過點(diǎn)求解；（2）（i）若的斜率不存在，易知的值，（ii）若的斜率存在，設(shè)的方程為：，與橢圓方