天津市五區(qū)縣重點校聯(lián)考2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

天津市五區(qū)縣重點校聯(lián)考2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共9小題）1．已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（）.A． B．C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．3．方程表示橢圓的充要條件是（）.A． B．或C． D．4．若直線與平行，則的值為（

）A．0 B．2 C．3 D．2或35．已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知圓C：，若直線l：ax－y＋1－a＝0與圓C相交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．7．在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，動點P在體對角線上，則頂點B到平面距離的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知直線：與直線：交于點A，若點，則AB的最小值為（

）A． B．2 C． D．9．已知橢圓：的左右焦點分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點，若，點滿足，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知.則．11．直線過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線的方程為12．若直線與圓相交于兩點，且（為坐標(biāo)原點），則.13．點在橢圓上，是橢圓的一個焦點，為的中點，，則.14．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最小值為.15．已知是橢圓：上一點，，是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且.則的離心率為.三、解答題（本大題共5小題）16．直線過點且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）求圓心在直線上且過點、的圓的方程.17．如圖，在四棱錐中，，，平面，底面為正方形，，分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點到平面的距離.18．已知橢圓：經(jīng)過點，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：與橢圓C有兩個不同的交點A，B，原點到直線的距離為2，求的面積的最大值.19．如圖，四棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點．

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．20．已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求的方程；(2)直線交于兩點.（i）點關(guān)于原點的對稱點為，直線的斜率為，證明：為定值；（ii）若上存在點使得在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線的方程.

參考答案1．【答案】C【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，即.故選：.2．【答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)中點的對稱規(guī)則判斷即可.【詳解】點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為.故選C．3．【答案】B【詳解】若表示橢圓，則，解得或.故選：.4．【答案】D【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，當(dāng)時直線與平行，符合題意；當(dāng)時直線與平行，符合題意；所以或.故選：D5．【答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線的取值范圍為.故選A.6．【答案】B【詳解】易知直線，過定點，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，而，所以．故選：B．7．【答案】A【分析】連接交于點O，由題意得，接著建立空間直角坐標(biāo)系求出向量和平面的法向量即可根據(jù)向量法的點到平面距離公式求解.【詳解】連接交于點O，由題意得，，，如圖，以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，所以，

設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)頂點B到平面距離為d，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，點B到平面距離最大，最大值為.故選A.8．【答案】A【詳解】當(dāng)時，直線：，直線：，此時直線與直線垂直；當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以直線與直線垂直；易知直線經(jīng)過定點，直線經(jīng)過定點，所以點A在以為直徑的圓上，的中點為，所以，所以圓，所以,所以，故選：A.9．【答案】B【分析】由、結(jié)合正弦定理可得，又，故，再結(jié)合余弦定理計算即可得離心率.【詳解】由橢圓定義可知，由，故，，點滿足，即，則，又，，即，又，故，則，即，即平分，又，故，則，則，，，由，故，即，即，又，故.故選B.【關(guān)鍵點撥】本題關(guān)鍵在于由、，得到平分，結(jié)合，從而得到.10．【答案】【詳解】因為，且，所以，解得，則，故，所以.故答案為：．11．【答案】或【詳解】當(dāng)截距為0時，設(shè)，將代入直線方程，，解得，故直線的方程為，當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，，解得，故直線的方程為，故直線的方程為或.故答案為：或12．【答案】【詳解】由題意可知圓心到直線的距離，即，解得，所以.故答案為：13．【答案】4【分析】根據(jù)橢圓的對稱性，利用三角形中位線定理求得，再由橢圓定義求解即可．【詳解】如圖，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)為左焦點，為右焦點，由橢圓，得，，是的中點，是的中點，為的中位線，，由橢圓的定義得．故答案為：4．14．【答案】【詳解】由得點在圓上，所以點在圓上，又在圓上，所以兩圓有交點，因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，即，解得，所以的最小值為.故答案為：.15．【答案】【詳解】如圖，設(shè)，，延長交于，由題意知，為的中點，故為中點，又，即，則，又點在的平分線上,則，故是等腰直角三角形，因此，則，可得，，又，則，因此可得，又在中，，則，將，代入得，即，由所以，所以，.故答案為：.16．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為直線與直線垂直，則直線的方程可設(shè)為，又因為直線過點，所以，即，所以直線的方程為；（2）因為圓心在直線上，所以圓心坐標(biāo)可設(shè)為，又因為該圓過點、，所以有，解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面；（2）由平面，底面為正方形，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，，故，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（3）因為，平面的法向量為，所以點到平面的距離為.18．【答案】(1)(2)4【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由原點到直線的距離為2，可得，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式表示出，從而可表示出的面積，化簡后結(jié)合基本不等式可求得其最大值.【詳解】（1）由題意可得：，又離心率為，所以，可得，那么，代入可得：，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知，原點到直線的距離為2，那么，即：，設(shè)，，聯(lián)立可得：，其判別式，可知由韋達(dá)定理可得：，，那么，所以的面積當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以△的面積的最大值.19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）得即為平面的一個法向量，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，則，所以二面角的正弦值為；（3）設(shè)，則，因為軸垂直平面，則可取平面的法向量為，則，解得（舍去），所以.

【點睛】20．【答案】(1)(2)（i）證明見詳解；（ii）【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率為，且過點可得；（2）（i）由點差法可得，進(jìn)而有；（ii）聯(lián)立，可得，故由重心坐標(biāo)公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分線上，根據(jù)其方程，可得，由在上進(jìn)而可得.【詳解】（1）由題意，得，解得，所以的方程為；（2）依題意可設(shè)點，且，（i）證明