《數(shù)字信號處理實驗》課件第11章

1.1市場與市場營銷1.2我國汽車市場的發(fā)展與現(xiàn)狀復習思考題實驗11離散傅里葉級數(shù)(DFS)一、實驗目的

(1)加深對離散周期序列傅里葉級數(shù)(DFS)基本概念的理解。

(2)掌握用MATLAB語言求解周期序列傅里葉級數(shù)變換和逆變換的方法。

(3)觀察離散周期序列的重復周期數(shù)對頻譜特性的影響。

(4)了解離散序列的周期卷積及其與線性卷積的區(qū)別。二、實驗涉及的MATLAB子函數(shù)

1.mod

功能：模除求余。

調用格式：

mod(x，m)；x整除m取正余數(shù)。

2.floor

功能：向－∞舍入為整數(shù)。

調用格式：

floor(x)；將x向－∞舍入為整數(shù)。三、實驗原理

1.周期序列的離散傅里葉級數(shù)

離散時間序列x(n)滿足x(n)＝x(n＋rN)，稱為離散周期序列，用 表示。其中，N為信號的周期，x(n)稱為離散周期序列的主值。

周期序列 可以用離散傅里葉級數(shù)(DFS)表示：

其中， 是周期序列離散傅里葉級數(shù)第k次諧波分量的系數(shù)，也稱為周期序列的頻譜，可表示為

由上面兩式可以看出，它們也是周期序列的一對傅里葉級數(shù)變換對。

令 ，以上傅里葉級數(shù)變換對又可以寫成：

(11-1)

(11-2)與連續(xù)性周期信號的傅里葉級數(shù)相比較，周期序列離散傅里葉級數(shù)有著如下特點：

(1)連續(xù)性周期信號的傅里葉級數(shù)對應的第k次諧波分量的系數(shù)為無窮多。而周期為N的周期序列，其離散傅里葉級數(shù)諧波分量的系數(shù)只有N個是獨立的。

(2)周期序列的頻譜 也是一個以N為周期的周期序列。

2.周期序列的傅里葉級數(shù)變換和逆變換

例11-1

已知一個周期性矩形序列的脈沖寬度占整個周期的1/4，一個周期的采樣點數(shù)為16點，顯示3個周期的信號序列波形。要求：

(1)用傅里葉級數(shù)求信號的幅度頻譜和相位頻譜。

(2)求傅里葉級數(shù)逆變換的圖形，與原信號圖形進行比較。

解

MATLAB程序如下：

N＝16；

xn＝［ones(1，N/4)，zeros(1，3*N/4)］；

xn＝［xn，xn，xn］；

n＝0：3*N－1；

k＝0：3*N－1；

Xk＝xn*exp(－j*2*pi/N).^(n￠*k)；%離散傅里葉級數(shù) 變換

x＝(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n￠*k))/N；%離散傅里葉級數(shù)逆 變換

subplot(2，2，1)，stem(n，xn)；

title(￠x(n)￠)；axis(［－1，3*N，1.1*min(xn)，1.1*max(xn)］)；

subplot(2，2，2)，stem(n，abs(x))；%顯示逆變換結果

title(￠IDFS|X(k)|￠)；

axis(［－1，3*N，1.1*min(x)，1.1*max(x)］)；

subplot(2，2，3)，stem(k，abs(Xk))；%顯示序列的幅 度譜

title(￠|X(k)|￠)；

axis(［－1，3*N，1.1*min(abs(Xk))，1.1*max(abs(Xk))］)；

subplot(2，2，4)，stem(k，angle(Xk))；%顯示序列的相位譜

title(￠arg|X(k)|￠)；

axis(［－1，3*N，1.1*min(angle(Xk))，1.1*max(angle(Xk))］)；

運行結果如圖11-1所示。

圖11-1例11-1周期序列與傅里葉級數(shù)變換和逆變換結果由離散傅里葉級數(shù)逆變換圖形可見，與原信號相比，幅度擴大了32倍。這是因為周期序列為原主值序列周期的3倍，做逆變換時未做處理?？梢詫⒛孀儞Q程序改為

x＝Xk*exp(j*2*pi/N).^(n￠*k)/(3*3*N)；

3.離散傅里葉級數(shù)變換和逆變換的通用子程序

由例11-1可見，周期序列進行傅里葉級數(shù)變換和逆變換，是依據(jù)變換公式進行程序編寫的，無論信號序列如何變化，求解的公式總是一樣的。因此，可以將其編寫成通用子程序。

(1)離散傅里葉級數(shù)變換通用子程序dfs.m：

function＝dfs(xn，N)

n＝0：N－1；

k＝0：N－1；

WN＝exp(－j*2*pi/N)；

nk＝n￠*k；

Xk＝xn*WN.^nk；

(2)離散傅里葉級數(shù)逆變換通用子程序idfs.m：

function＝idfs(Xk，N)

n＝0：N－1；

k＝0：N－1；

WN＝exp(j*2*pi/N)；

nk＝n￠*k；

xn＝(Xk*WN.^nk)/N；

例11-2

利用上述兩個子程序，再做一遍例11-1。

解由于需要調用子程序，其中通用子程序僅適用于對主值區(qū)間進行傅里葉級數(shù)變換和逆變換，周期次數(shù)無法傳遞給通用子程序，因此程序執(zhí)行的結果僅顯示圖11-1中一個周期的情況。程序如下：

N＝16；

xn＝［ones(1，N/4)，zeros(1，3*N/4)］；

n＝0：N－1；

Xk＝dfs(xn，N)；%離散傅里葉級數(shù)變換

xn1＝idfs(Xk，N)；%離散傅里葉級數(shù)逆變換

subplot(2，2，1)，stem(n，xn)；

axis(［0，N－1，0，1.1*max(xn)］)；

title(￠x(n)￠)；

subplot(2，2，2)，stem(n，abs(xn1))；%顯示逆變換 結果

axis(［0，N－1，0，1.1*max(abs(xn1))］)；

title(￠idfs|X(k)|￠)；

subplot(2，2，3)，stem(n，abs(Xk))；%顯示序列的 幅度譜

title(￠|X(k)|￠)；

subplot(2，2，4)，stem(n，angle(Xk))；%顯示序列 的相位譜

title(￠arg|X(k)|￠)；

4.周期重復次數(shù)對序列頻譜的影響

理論上講，周期序列不滿足絕對可積條件，因此不能用傅里葉級數(shù)變換來表示。要對周期序列進行分析，可以先取K個周期進行處理，然后再讓K無限增大，研究其極限情況。由這一分析思路，可以觀察信號序列由非周期到周期變化時，頻譜由連續(xù)譜逐漸向離散譜過渡的過程。

下面舉例說明信號采用不同的重復周期次數(shù)對序列頻譜的影響。

例11-3

已知一個矩形序列的脈沖寬度占整個周期的1/2，一個周期的采樣點數(shù)為10點，用傅里葉級數(shù)變換求信號的重復周期數(shù)分別為1、4、7、10時的幅度頻譜。

解MATLAB程序如下：

xn＝［ones(1，5)，zeros(1，5)］；%建立一個周期 的時域信號

Nx＝length(xn)；

Nw＝1000；dw＝2*pi/Nw；%把2p分為Nw份，頻率 分辨率為dw

k＝floor((－Nw/2＋0.5)：(Nw/2＋0.5))；%建立關于0 軸對稱的頻率向量

forr＝0：3

K＝3*r＋1；

nx＝0：(K*Nx－1)；%周期延拓后的時間向量

x＝xn(mod(nx，Nx)＋1)；%周期延拓后的時間信號x

Xk＝x*(exp(－j*dw*nx￠*k))/K；%進行傅里葉級數(shù)變換

subplot(4，2，2*r＋1)，stem(nx，x)；

axis(［0，K*Nx－1，0，1.1］)；ylabel(￠x(n)￠)；

subplot(4，2，2*r＋2)，plot(k*dw，abs(Xk))；

axis(［－4，4，0，1.1*max(abs(Xk))］)；ylabel(￠X(k)￠

)；

end

程序運行結果如圖11-2所示。

圖11-2周期重復次數(shù)對序列頻譜的影響注意mod函數(shù)的用法，由于MATLAB中變量的下標由1開始，而mod函數(shù)的結果卻從零開始，因此語句中加1。

由圖11-2可以看出，信號序列的周期數(shù)越多，則頻譜越是向幾個頻點集中。當信號序列的周期數(shù)趨于無窮大時，頻譜轉化為離散譜。

*5.周期序列的卷積和

時域周期序列的卷積和與頻域周期序列的積相互對應。若 ，則

注意：周期序列的卷積和與非周期序列的卷積和有所區(qū)別。

(1) 和 均為變量為m，周期為N的周期序列，故它們的乘積也是周期序列。

(2)卷積求和是在一個周期內進行的，即從m＝0到m＝N－1。

(3)如果x1(n)和x2(n)的周期長度不同，則卷積和的長度取N＝max［N1，N2］。

下面舉例說明。

例11-4

已知兩個周期序列分別為 ＝［1，1，1，0，0，0］， ＝［0，1，2，3，0，0］，用圖形表示它們的周期卷積和 。

解為了討論問題的方便，例題選擇兩個序列均以N＝6為周期，以動態(tài)圖形演示其卷積和的過程。程序如下：

clf； %圖形窗清屏

n＝0：5； %建立時間向量n

xn1＝［0，1，2，3，0，0］；%建立xn1序列主值

xn2＝［1，1，1，0，0，0］；%建立xn2序列主值

N＝length(xn1)；

nx＝(－N：3*N－1)；

hxn2＝xn2(mod(nx，N)＋1)；%將xn2序列周期延拓

u＝［zeros(1，N)，xn2，zeros(1，2*N)］；%按xn2周期延拓后的長度重建主值信號

xn12＝fliplr(xn1)；%將xn1作左右反折

hxn1＝xn12(mod(nx，Nx)＋1)；%將xn1反折后的序列周期延拓

N1＝length(hxn1)；

y＝zeros(1，4*N)；%將y存儲單元初始化

fork＝0：N－1%動態(tài)演示繪圖開始

p＝［zeros(1，k＋1)，hxn1(1：N1－k－1)］；%使 hxn1向右循環(huán)移位

y1＝u.*p；%使輸入和翻轉移位的脈沖過渡函數(shù)逐項 相乘

yk＝sum(y1)；%相加

y(［k＋1，k＋N＋1，k＋2*N＋1，k＋3*N＋1］)＝y(tǒng)k；[KG*2]%將結果放入數(shù)組y

subplot(4，1，1)；stem(nx，hxn2)；

axis(［－1，3*N，0，1.1］)；ylabel(￠x2(n)￠)；

subplot(4，1，2)；stem(nx，p)；

axis(［－1，3*N，0，3.3］)；ylabel(￠x1(n)￠)；

subplot(4，1，3)；stem(k，yk)；%作圖表示主值區(qū)每 一次卷積的結果

axis(［－1，3*N，0，6.6］)；holdon[KG－1]%在圖 形窗上保留每一次運行的圖形結果

ylabel(￠主值區(qū)￠)；

subplot(4，1，4)；stem(nx，y)；

axis(［－1，3*N，0，6.6］)；ylabel