非線性光纖光學(xué)-第二章-脈沖在光纖中的傳輸

第二章脈沖在光纖中的傳輸準(zhǔn)備知識(shí)光纖模式基本非線性傳輸方程數(shù)值求解非線性傳輸方程麥克斯韋方程物質(zhì)方程邊界條件根據(jù)經(jīng)典理論，電磁場(chǎng)的基本規(guī)律可以用麥克斯韋方程表述，為：磁感應(yīng)強(qiáng)度

電位移矢量

電場(chǎng)強(qiáng)度

磁場(chǎng)強(qiáng)度

電流密度

自由電荷密度

1.準(zhǔn)備知識(shí)

光纖是無(wú)自由電荷的介質(zhì)，因此有

要能從給定的電流和電荷分布唯一地確定各個(gè)場(chǎng)矢量，還必須對(duì)麥克斯韋方程組補(bǔ)充一些描述物質(zhì)在電磁場(chǎng)作用下的特性的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，它們稱(chēng)為物質(zhì)方程。介質(zhì)相對(duì)磁導(dǎo)率真空磁導(dǎo)率介質(zhì)電導(dǎo)率對(duì)于各向同性介質(zhì)來(lái)說(shuō)，相關(guān)的物質(zhì)方程為真空介電常數(shù)介質(zhì)磁導(dǎo)率

極化強(qiáng)度對(duì)于各向異性介質(zhì)，是二階張量。

成立條件：（1）介質(zhì)是線性介質(zhì)；（2）介電常數(shù)、磁導(dǎo)率與電磁場(chǎng)的變化頻率無(wú)關(guān)

對(duì)于光纖這樣的非磁性介質(zhì)，物質(zhì)方程滿足由麥克斯韋方程組可以導(dǎo)出在兩個(gè)介質(zhì)分界面上滿足的邊界條件，它們是：電位移法向分量的關(guān)系界面法線方向的單位矢量

界面處的面電荷密度

若界面處沒(méi)有面電荷，則（電位移法向分量連續(xù)?。?.磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的關(guān)系表面電流面密度

若界面沒(méi)有面電流，則

3.電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的關(guān)系2.

磁感應(yīng)強(qiáng)度法向分量的關(guān)系真空介電常數(shù)極化強(qiáng)度線性極化率非線性極化率對(duì)于光纖此項(xiàng)為零

電磁場(chǎng)的波方程考慮場(chǎng)中沒(méi)有自由電荷及電流，且介質(zhì)為非磁性介質(zhì)的情況。P和E滿足關(guān)系：如果我們只考慮與有關(guān)的三階非線性效應(yīng)，則感應(yīng)電極化強(qiáng)度由兩部分組成線性極化非線性極化討論傳輸模式時(shí)考慮非線性效應(yīng)很弱，利用微擾理論，可以令，則推導(dǎo)出的傅立葉變換，定義為是其中線性波動(dòng)方程與頻率有關(guān)的介電常數(shù)定義為一般式復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部分別與折射率及吸收系數(shù)有關(guān)。定義于是得到α很小，其平方項(xiàng)可以忽略，因此從而得到代表實(shí)部代表虛部解線性波動(dòng)方程前作兩個(gè)近似：a.光纖的損耗很小，的虛部相對(duì)于實(shí)部可以忽略，因而有，以微擾的方式將光纖損耗包括進(jìn)去；b.在階躍光纖的纖芯和包層中折射率與方位無(wú)關(guān)，通過(guò)簡(jiǎn)化，得到如下形式的波動(dòng)方程：2.光纖模式模式的概念從數(shù)學(xué)方面理解，模式是滿足亥姆霍茲方程及其在波導(dǎo)中心有界、在邊界趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處為零等邊界條件的一系列特解，這些模式還可以根據(jù)相應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行排序。從場(chǎng)的方面來(lái)看，一個(gè)模式實(shí)際上是光波導(dǎo)的光場(chǎng)沿橫截面分布的一種場(chǎng)圖。光波中總的場(chǎng)分布就是許多個(gè)模式的線性組合。從光纖理論的分析，可以得到以下幾個(gè)有關(guān)的結(jié)論：

(1)并不是任何形式的光波都能在光纖中傳輸?shù)?，每種光纖都只允許某些特定形式的光波通過(guò)，而其他形式的光波在光纖中無(wú)法存在。每一種允許在光纖中傳輸?shù)奶囟ㄐ问降墓獠ǚQ(chēng)為光纖的一個(gè)模式。

(2)在同一光纖中傳輸?shù)牟煌Ｊ降墓?，其傳播方向、傳輸速度和傳輸路徑不同?/p>

(3)進(jìn)入光纖中的光線，在光纖的纖芯一包層界面上的入射角大于臨界角時(shí)，在交界面內(nèi)發(fā)生全反射，而入射角小于臨界角的光就有一部分進(jìn)入到包層，然后被很快衰減掉。前者的傳輸損耗小，可以遠(yuǎn)距離傳輸，稱(chēng)為傳導(dǎo)模，后者稱(chēng)為泄露模。

(4)能滿足全反射條件的光線中，也只有部分以特定角度入射到光纖端面的光線才能在光纖中傳輸，因此，不同模式的光的傳輸方向不是連續(xù)改變的。本征方程的推導(dǎo)：在柱坐標(biāo)系下，有：波動(dòng)方程可以方便地表示為是電場(chǎng)強(qiáng)度E的傅立葉變換，即對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度也有類(lèi)似的關(guān)系式成立。六個(gè)分量中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，習(xí)慣上選擇作為獨(dú)立分量，其他四個(gè)分量和這兩個(gè)分量之間的關(guān)系為關(guān)于的波動(dòng)方程可通過(guò)作分離變量方法來(lái)求解：幾個(gè)歸一化參數(shù)歸一化工作頻率：歸一化橫向傳播常數(shù)： 歸一化橫向衰減常數(shù)： 有效折射率： 歸一化傳輸常數(shù)：場(chǎng)解的選取依據(jù)：導(dǎo)模場(chǎng)分布特點(diǎn)：在空間各點(diǎn)均為有限值；在芯區(qū)為振蕩形式，而在包層則為衰減形式；導(dǎo)模場(chǎng)在無(wú)限遠(yuǎn)處趨于零。貝塞爾函數(shù)形式：Jm呈振蕩形式，Km則為衰減形式。本征解選取：

在纖芯中選取一類(lèi)貝賽爾函數(shù)Jm，在包層中選取第二類(lèi)修正的貝塞爾函數(shù)Km。本征解的確定橫向分量由縱向分量確定。本征值方程的導(dǎo)出邊界條件：在r=a,Ez,Hz,Eφ,Hφ

連續(xù)EIz|a=EIIz|a: AJm(U)-BKm(W)=0HIz|a

=HIIz|a: CJm(U)-DKm(W)=0EIφ|a=EIIφ

|a:HIφ

|a=HIIφ

|a: 確定待定系數(shù)ABCD有非全零解：ABCD系數(shù)行列式為零，即可導(dǎo)出本征值方程。本征值方程本征值方程又稱(chēng)特征方程，或色散方程。其中U與W通過(guò)其定義式與β相聯(lián)系，因此它實(shí)際是關(guān)于β的一個(gè)超越方程。當(dāng)n1、n2、a和λ0給定時(shí),對(duì)于不同的m值,可求得相應(yīng)的β值。由于貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有周期振蕩性質(zhì),所以本征值方程可以有多個(gè)不同的解βmn(m=0,1,2,3...n=1,2,3...),每一個(gè)βmn都對(duì)應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。弱導(dǎo)條件下(n1≈n2)：各模式能否在光纖中傳播而成為導(dǎo)模，是由光纖的實(shí)際歸一化頻率（V）與模式的歸一化截止頻率（Vc）的相對(duì)大小決定的。如果光纖的歸一化頻率大于某一模式的歸一化截止頻率，則這個(gè)模式能在光纖中傳播，成為導(dǎo)模；如果光纖的歸一化頻率小于某一模式的歸一化截止頻率，則這個(gè)模式被截止，不能在光纖中傳播。即導(dǎo)模條件

截止條件

臨界條件

現(xiàn)將較低的幾個(gè)模式的歸一化截止頻率按照由高到低的順序排列如下：Vc=0HE11模Vc=2.40483TE01、TM01、HE21模Vc=3.83171EH11、HE12、HE31模Vc=5.13562EH21、HE41模Vc=5.52008TE02、TM02、HE22模Vc=6.38016EH31、HE51模色散曲線圖中每一條曲線都相應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。平行于縱軸的豎線與色散曲線的交點(diǎn)數(shù)就是光纖中允許存在的導(dǎo)模數(shù)。由交點(diǎn)縱坐標(biāo)可求出相應(yīng)導(dǎo)模的傳播常數(shù)β。Vc越大導(dǎo)模數(shù)越多；當(dāng)Vc＜2.405時(shí)，在光纖中只存在HE11模，其它導(dǎo)模均截止，為單模傳輸。單模工作條件單模條件:單模光纖尺寸:單模光纖截止波長(zhǎng):單模光纖截止頻率:僅當(dāng)波長(zhǎng)大于截止波長(zhǎng)時(shí)方可在光纖中實(shí)現(xiàn)單模傳輸。這時(shí)，在光纖中傳輸?shù)氖荋E11模，稱(chēng)為基?；蛑髂?。緊鄰HE11模的高階模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均為2.405?；Ｌ匦苑治龌５臈l件V<2.405基模的線偏振特性:在弱導(dǎo)條件下，光線與纖軸的夾角?。恍緟^(qū)對(duì)光場(chǎng)的限制較弱；消逝場(chǎng)在包層中延伸較遠(yuǎn)。此時(shí)場(chǎng)的橫向分量線偏振，且遠(yuǎn)大于縱向分量；通常用符號(hào)LPmn來(lái)表示本征方程的近似解的線偏振模。基模場(chǎng)的表示假如入射光是沿光纖的一個(gè)主軸方向偏振的，光纖基模HE11的場(chǎng)強(qiáng)近似為歸一化常數(shù)光纖內(nèi)模場(chǎng)分布為：徑向距離為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，通常光纖的基模近似采用高斯形分布通過(guò)曲線擬合或變分過(guò)程決定當(dāng)1.2<V<2.4時(shí)，w與a的關(guān)系可以近似表示為對(duì)V=2有w≈a，它表明對(duì)V≈2的通信光纖，纖芯半徑和w基本一致，但也應(yīng)注意到對(duì)V<1.8，w就遠(yuǎn)大于a

。由于高斯近似相對(duì)較為簡(jiǎn)單，若w值合適，高斯近似的采用是相當(dāng)實(shí)際的。3.基本非線性傳輸方程考慮到非線性因素后，波動(dòng)方程變?yōu)榫€性極化強(qiáng)度非線性極化強(qiáng)度非線性脈沖傳輸非線性項(xiàng)的表達(dá)和處理在解波動(dòng)方程時(shí)，需作幾個(gè)假設(shè)來(lái)簡(jiǎn)化之：

a.由于折射率的非線性變化小于10-6，可以把PNL處理成PL的微擾；

b.假定光場(chǎng)沿光纖長(zhǎng)度方向其偏振態(tài)不變，因而其標(biāo)量近似有效；

c.假定光場(chǎng)是準(zhǔn)單色的，即對(duì)中心頻率為ω0的頻譜，其譜寬為Δω，且Δω/ω0<<1。因?yàn)棣?約為1015s-1，因此該項(xiàng)假定對(duì)脈寬0.1ps的脈沖是成立的。在慢變包絡(luò)近似下，把電場(chǎng)的快變化部分分開(kāi)，寫(xiě)成單位偏振矢量時(shí)間的慢變化函數(shù)把極化強(qiáng)度分量PL、PNL的快變化部分分開(kāi)，其中線性極化分量PL：其中為E(r,t)的傅立葉變換。非線性極化強(qiáng)度可表示為假定非線性響應(yīng)是瞬時(shí)作用的（忽略了喇曼效應(yīng)），上式簡(jiǎn)化為計(jì)算可得

即PNL(r,t)有一項(xiàng)在ω0處振蕩，另一項(xiàng)在三次諧波3ω0處振蕩，后一項(xiàng)由于需要相位匹配，在光纖中通常被忽略。于是得到于是可以得到非線性極化強(qiáng)度的慢變幅度為非線性介電常數(shù)為了方便地在頻域中推導(dǎo)慢變振幅E(r,t)的波動(dòng)方程，把εNL處理成常量，這種方法從慢變包絡(luò)近似以及PNL的擾動(dòng)特性來(lái)看可認(rèn)為是合理的。滿足亥姆霍茲方程介電常數(shù)定義介電常數(shù)折射率吸收系數(shù)習(xí)慣上定義非線性折射率系數(shù)雙光子吸收系數(shù)光纖非線性的量度，不能與包層折射率混淆！對(duì)于石英光纖，此項(xiàng)常被忽略慢變包絡(luò)的求解過(guò)程波動(dòng)方程可利用變量分離法求解。假定解的形式為波數(shù)z的慢變函數(shù)，其二階導(dǎo)數(shù)可以忽略求解過(guò)程：將上面的假定解代入亥姆霍茲方程，分離成兩個(gè)關(guān)于F(x,y)和?(z,ω)的方程：介電常數(shù)ε(ω)近似為表示微擾上面關(guān)于F(x,y)的方程可用一階微擾理論求解。根據(jù)一階微擾理論，Δn不會(huì)影響模分布F(x,y)，然而本征值變?yōu)榘央妶?chǎng)E(r,t)寫(xiě)為慢變振幅A(z,t)的傅里葉變換滿足下面的方程：物理意義：脈沖沿光纖傳輸時(shí)，其包絡(luò)內(nèi)的每一譜成分都得到一個(gè)與頻率和強(qiáng)度有關(guān)的相移。進(jìn)行逆傅里葉變換則得到關(guān)于A(z,t)的傳輸方程。為此，在載頻ω0附近把β(ω)展成泰勒級(jí)數(shù)與此類(lèi)似，將Δβ(ω)展開(kāi)為

若譜寬Δω<<ω0，則展開(kāi)式中的三次項(xiàng)及更高次項(xiàng)通常被忽略，這些項(xiàng)的忽略與在方程推導(dǎo)過(guò)程中用到的準(zhǔn)單色假定是一致的。對(duì)某些特定的ω0值，若β2≈0(即在光纖的零色散波長(zhǎng)附近)，需考慮三次項(xiàng)。利用做逆傅里葉變換。在逆傅里葉變換中，用微分算符代替于是可得到關(guān)于的方程為包括了光纖的損耗及非線性效應(yīng)利用β(ω)≈n(ω)ω/c并假設(shè)F(x,y)在整個(gè)脈沖帶寬內(nèi)變化不大，上面的方程可寫(xiě)成非線性參量參量Aeff稱(chēng)為有效模場(chǎng)截面，定義為若光纖基模用高斯近似，則描述了皮秒光脈沖在單模光纖中的傳輸，它和非線性薛定諤方程有關(guān)聯(lián)，并在一定條件下可以簡(jiǎn)化成非線性薛定諤方程。該方程通過(guò)α包括了光纖的損耗效應(yīng)，通過(guò)β1和β2包括了光纖的色散效應(yīng)，通過(guò)γ包括了光纖的非線性效應(yīng)。

方程高階非線性效應(yīng)需要考慮高階非線性項(xiàng)的幾種情況：a.若入射脈沖的峰值功率超過(guò)SRS、SBS的閾值，則入射脈沖能量會(huì)轉(zhuǎn)移到與之同向或反向共同傳輸?shù)乃雇锌怂姑}沖中，通過(guò)喇曼或是布里淵增益及XPM，兩脈沖會(huì)相互作用。b.當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)不同波長(zhǎng)的脈沖（其頻率間隔大于單個(gè)脈沖譜寬）入射到光纖中，需要考慮XPM作用項(xiàng)，要有一組方程來(lái)描述。c.當(dāng)入射脈沖的譜寬可與其載頻相當(dāng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)自頻移現(xiàn)象。對(duì)非線性極化強(qiáng)度PNL的一般化處理將三階極化率具有如下形式：非線性響應(yīng)函數(shù)非線性極化強(qiáng)度的標(biāo)量形式為修正后的傳輸方程經(jīng)計(jì)算后可以得到下面描述單模光纖中脈沖演化的方程對(duì)包含多個(gè)光學(xué)周期的足夠?qū)挼拿}沖（脈寬>100fs），可以利用泰勞級(jí)數(shù)展開(kāi)方程中的項(xiàng)，使方程簡(jiǎn)化。若脈沖包絡(luò)沿光纖是緩變的，這種近似是合理的。定義非線性響應(yīng)函數(shù)的一階矩為注意到，方程可以近似為損耗GVDTOD自變陡喇曼響應(yīng)若脈寬T0>5ps，參量