2024-2025學(xué)年北京五十中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京五十中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足iz=3?4i，則z的虛部為(

)A.3i B.?3i C.3 D.?32.已知集合A={x|x?2≤0}，B={x|x2+2x?3<0}，則集合A∪B=A.(?1,2] B.(?3,1) C.(?∞,2] D.(?∞,3]3.函數(shù)f(x)=3sin(ωx?π6)(ω>0)，f(x1)=?3，f(x2)=3，且A.12 B.1 C.2 D.4.已知向量a=(1,1),b=(x,?1)，則“x=?1”是“(aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件5.在△ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA?sinB)，則∠C=(

)A.π6 B.π3 C.2π36.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若aA.{an}有最大項(xiàng)，{Sn}有最大項(xiàng) B.{an}有最大項(xiàng)，{Sn}有最小項(xiàng)7.在等腰梯形ABCD中，AB=?2CD，M為BC的中點(diǎn)，則AM=A.12AB+12AD B.38.已知函數(shù)f(x)=aex?x在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最小值為A.e2 B.e C.e?1 9.點(diǎn)M，N分別是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中棱BD，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1BA.[2,5]

B.[3210.已知函數(shù)f(x)=x2?x,x≤0x?alnx,x>0，若?x1≤0，?xA.(?∞,0)∪[e，+∞) B.[e,+∞)

C.(0,e] D.[0,e]二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.二項(xiàng)式(x?2x)12.函數(shù)f(x)=1x+13.已知命題p：?x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命題p為假命題，則實(shí)數(shù)a14.已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，則EF?EA=______；若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1，則EM15.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①D1O⊥AC；

②存在一點(diǎn)P，D1O//B1P；

③若D1O⊥OP三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題12分)

在△ABC中，a=1，b=2．

(1)若c=22，求△ABC的面積：

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在，求∠A．

條件①：∠B=2∠A；條件②：∠B=π3+∠A；條件③：∠C=2∠A．

注：如果選擇的條件不符合要求，第17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求證：PD⊥AB；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP18.(本小題12分)

人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過(guò)，它所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論.為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)A，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計(jì)“一”與其后面一個(gè)字(或標(biāo)點(diǎn))的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：“一”與其后面一個(gè)字(或標(biāo)點(diǎn))的搭配情況頻數(shù)“一個(gè)”6“一些”4“一窮”2“一條”2其他a假設(shè)用頻率估計(jì)概率．

(1)求a的值，并估計(jì)甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；

(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，其中搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的次數(shù)為X，求X的分布列和期望；

(3)另外隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)B進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”和“一格”誰(shuí)在前面更合適？(結(jié)論不要求證明)19.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(?2,1)和Q(22,0)．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)G(0,2)作直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A，B，直線PA交y軸于點(diǎn)M，直線20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=xeax(a>0)．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[?1,1]上的最大值與最小值；

(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí)，求證：f(x)≥lnx+x+121.(本小題12分)

對(duì)于數(shù)列A：a1，a2，a3，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai?ai+1|(i=1,2)，且b3=|a3?a1|，記作B=T(A).繼續(xù)對(duì)數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c1，c2，c3，依此類推.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．

(Ⅰ)直接寫出A：2，6，4經(jīng)過(guò)1次“T變換”得到的數(shù)列B，及B再經(jīng)過(guò)3次“T變換”得到的數(shù)列E；

(Ⅱ)若A經(jīng)過(guò)n次“T變換”后變換結(jié)束，求n的最大值；

(Ⅲ)設(shè)A：a1，a2參考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A

11.60

12.(?∞,0)∪(0,1]

13.[0,1)

14.2

11415.①③

16.解：(1)在△ABC中，a=1，b=2，c=22，

由余弦定理，可得cosC=a2+b2?c22ab=1+4?82×2×1=?34，

又C∈(0,π)，可得sinC=1?916=74，

故S△ABC=12ab?sinC=12×1×2×74=74；

(2)若選條件①：由題意有B=2A，a=1，b=2，

則由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin2AsinA=2cosA=2，

即cosA=1，又A∈(0,π)，cosA≠1，故△ABC不存在；

若選條件②：由題意有B=π3+A，a=1，b=2，

則由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin(π3+A)sinA=2，

即3217.(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，

又PD?平面PAD，所以PD⊥AB．

(2)解：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO，

因?yàn)镻A=PD，AC=CD，所以PO⊥AD，CO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,1,0)，B(1,1,0)，D(0,?1,0)，P(0,0,1)，

在Rt△AOC中，OA=12AD=1，AC=5，所以O(shè)C=AC2?OA2=2，所以C(2,0,0)，

所以PD=(0,?1,?1)，PC=(2,0,?1)，PB=(1,1,?1)，

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，則n?PD=0,n?PC=0,即?y?z=0,2x?z=0,

令z=2，則x=1，y=?2，所以n=(1,?2,2)，

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，

則sinθ=|cos<PB，n>|=|PB?n||PB|?|n|=|1?2?2|3×3=33，

所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為18.解：(1)由題意可得a=30?6?4?2?2=16；

故甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率為301200=140；

(2)由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為P=630=15，

則X～B(2,15)，則X012P1681則E(X)=2×15=25．

(3)由題意知樣本語(yǔ)料庫(kù)B中“一格”出現(xiàn)的概率為2800=1400，

甲類題材中“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為19.解：(I)由題意可得：a=22，4a2+1b2=1，a2=b2+c2，

聯(lián)立解得a=22，b=2，c=6，

∴橢圓E的方程為x28+y22=1．

(Ⅱ)直線l的斜率不存在時(shí)，A(0,2)，B(0,?2)，即M(0,2)，N(0,?2)，滿足|GM|?|GN|=2，此時(shí)直線l的方程為x=0．

直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx+2x28+y22=1，化為：(1+4k2)x2+16kx+8=0，

Δ=16220.解：(Ⅰ)f′(x)=(1+ax)eax，f′(0)=1，f(0)=0，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=x；

(Ⅱ)f′(x)=(1+ax)eax，a>0

當(dāng)0<a≤1時(shí)，f′(x)≥0在區(qū)間[?1,1]上恒成立，f(x)在區(qū)間[?1,1]上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)的最小值為f(?1)=?e?a，最大值為f(1)=ea，

當(dāng)a>1時(shí)，f′(x)=0，得x=?1a∈(?1,0)，

f′(x)在區(qū)間[?1,?1a)小于0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

f′(x)在區(qū)間[?1a,1]大于0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)的最小值為f(?1a)=?1ae，

f(?1)=?e?a，f(1)=ea，顯然f(1)>f(?1)，所以函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=ea，

綜上可知，當(dāng)0<a≤1時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為f(?1)=?e?a，最大值為f(1)=ea，

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為f(?1a)=?1ae，最大值為f(1)=ea；

證明：(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xex，即證明不等式xex≥lnx+x+1，

設(shè)g(x)=xex?lnx?x?1,x>0,g′(x)=(x+1)(ex?1x)，

設(shè)?(x)=ex?1x,x>0,?′(x)=ex+21.解：(I)B=T(A)，A：2，6，4經(jīng)過(guò)1次“T變換”得B：4，2，2，

B：4，2，2，經(jīng)過(guò)1次“T變換”得2，0，2；B經(jīng)過(guò)第2次“T變換”得2，2，0；B經(jīng)過(guò)第3次“T變換”得0，2，2.即E：0，2，2．

(II)n的最大值為1，

①先證明n可以為1，

構(gòu)造A：1，1，1，則T(A)：0，0，0，變換結(jié)束，此時(shí)n=1．

②再證明n≤1，

反證法：假設(shè)n≥2，

設(shè)經(jīng)過(guò)n?1次“T變換”后得到的數(shù)列為x，y，z，且x，y，z不全為0．

因?yàn)锳經(jīng)過(guò)n次“T變換”后變換結(jié)束，

所以|x?y|=|y?z|=|z?x|=0，所以x=y=z=t(?t為非0常數(shù))

設(shè)x，y，z(即t，t，t?)由x1，y1，z1進(jìn)行“T變換”得到，

則|x1?y1|=|y1?z1|=|z1?x1|=t≠0

不妨設(shè)x1≥y1≥z1