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2025屆四川省廣元市萬達(dá)中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),(為常數(shù)),則不等式的解集為()A. B. C. D.2.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.已知為等差數(shù)列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.65.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)6.若函數(shù)有且只有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè),,則()A. B. C. D.8.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.9.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則10.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎(jiǎng),現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張,則至少有一張有獎(jiǎng)的概率為()A. B. C. D.11.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或12.年部分省市將實(shí)行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,若圓上有且僅有一對點(diǎn),使得的面積是的面積的2倍,則的值為_______.14.已知,為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足,則的最大值為________.15.在中,已知,則的最小值是________.16.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機(jī)選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范圍.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線和圓的普通方程;(2)已知直線上一點(diǎn),若直線與圓交于不同兩點(diǎn),求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),,(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且此時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20.(12分)班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析,決定從本班24名女同學(xué),18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.(1)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個(gè)不同的樣本?(寫出算式即可,不必計(jì)算出結(jié)果)(2)如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成績(單位:分)對應(yīng)如下表:學(xué)生序號1234567數(shù)學(xué)成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分,預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜??附:線性回歸方程,其中,.768381252621.(12分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關(guān)于點(diǎn)對稱.(1)求和的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)的直線與交于,與交于,求證:.22.(10分)已知數(shù)列中,(實(shí)數(shù)為常數(shù)),是其前項(xiàng)和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,當(dāng)時(shí),的前項(xiàng)和為,求證:對任意,都有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
由可得,所以,由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可知在上單調(diào)遞增,注意到,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù).所以,解得,所以當(dāng)時(shí),,且時(shí),單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,故有,解?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力,是一道中檔題.2、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時(shí),,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.5、C【解析】
利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.6、B【解析】
由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時(shí),有且只有2個(gè)零點(diǎn)即可令,則令,遞減,且遞增,且時(shí),有且只有2個(gè)零點(diǎn),只需故選:B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.7、D【解析】
集合是一次不等式的解集,分別求出再求交集即可【詳解】,,則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對于,若,則可能為平行或異面直線,錯(cuò)誤;對于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯(cuò)誤;對于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對于,若,只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.10、C【解析】
先計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù),再計(jì)算出兩張都沒獲獎(jiǎng)的個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎(jiǎng)的概率,由對立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張,共有種情況,2張均沒有獎(jiǎng)的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)逆運(yùn)算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以當(dāng),解得
,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時(shí),解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為
或3,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
寫出所在直線方程,求出圓心到直線的距離,結(jié)合題意可得關(guān)于的等式,求解得答案.【詳解】解:直線的方程為,即.圓的圓心到直線的距離,由的面積是的面積的2倍的點(diǎn),有且僅有一對,可得點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍,可得過圓的圓心,如圖:由,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè),由可得,整理得,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí),取得最大值,此時(shí),解得.15、【解析】分析:可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為:,然后再結(jié)合余弦定理整理為,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式,最后利用基本不等式求解即可.詳解:已知,可得,將角A,B,C的余弦定理代入得,由,當(dāng)a=b時(shí)取到等號,故cosC的最小值為.點(diǎn)睛:考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用,能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.16、【解析】
用樹狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計(jì)算即得.【詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
分析:(1)先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組,分別求解,最后求并集,(2)先化簡不等式為,再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范圍.詳解:(1)當(dāng)時(shí),可得的解集為.(2)等價(jià)于.而,且當(dāng)時(shí)等號成立.故等價(jià)于.由可得或,所以的取值范圍是.點(diǎn)睛:含絕對值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.18、(1),;(2)【解析】分析:(1)用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程,由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,其中參數(shù)的絕對值表示直線上對應(yīng)點(diǎn)到的距離,因此有,,直接由韋達(dá)定理可得,注意到直線與圓相交,因此判別式>0,這樣可得滿足的不等關(guān)系,由此可求得的取值范圍.詳解:(1)直線的參數(shù)方程為,普通方程為,將代入圓的極坐標(biāo)方程中,可得圓的普通方程為,(2)解:直線的參數(shù)方程為代入圓的方程為可得:(*),且由題意,,.因?yàn)榉匠蹋?)有兩個(gè)不同的實(shí)根,所以,即,又,所以.因?yàn)椋运?點(diǎn)睛:(1)參數(shù)方程化為普通方程,一般用消參數(shù)法,而消參法有兩種選擇:一是代入法,二是用公式;(2)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化一般利用公式;(3)過的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))中參數(shù)具有幾何意義:直線上任一點(diǎn)對應(yīng)參數(shù),則.19、(1)時(shí),在上單調(diào)遞增,時(shí),在上遞減,在上遞增.(2).【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論,由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)定義域是,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),令得,時(shí),,遞減,時(shí),,遞增,綜上所述,時(shí),在上單調(diào)遞增,時(shí),在上遞減,在上遞增.(2)易知,由函數(shù)單調(diào)性,若有唯一零點(diǎn),則或.當(dāng)時(shí),,,從而只需時(shí),恒成立,即,令,,在上遞減,在上遞增,∴,從而.時(shí),,,令,由,知在遞減,在上遞增,,∴.綜上所述,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化,不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可通過導(dǎo)數(shù)求解.20、(1)不同的樣本的個(gè)數(shù)為.(2)①分布列見解析,.②線性回歸方程為.可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.【解析】
(1)按比例抽取即可,再用乘法原理計(jì)算不同的樣本數(shù).(2)名學(xué)生中物理和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有3名學(xué)生,任取3名學(xué)生,都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)服從超幾何分布,故可得其概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.而線性回歸方程的計(jì)算可用給出的公式計(jì)算,并利用得到的回歸方程預(yù)測該同學(xué)的物理成績.【詳解】(1)依據(jù)分層抽樣的方法,24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名,18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名,故不同的樣本的個(gè)數(shù)為.(2)①∵7名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名,∴的取值為0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列為0123∴.②∵,.∴線性回歸方程為.當(dāng)時(shí),.可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.【點(diǎn)睛】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí),注意利用常見的概率分布列來簡化計(jì)算(如二項(xiàng)分布、超幾何分布等).21、(1),;(2)證明見解析.【解析】分析:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意可設(shè).結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可
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