山東省濟寧市兗州區(qū)高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試題2024.11一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列舉法表示集合，結(jié)合交集的概念即可得解.【詳解】若，則是4的正因數(shù)，而4的正因數(shù)有1，2，4，所以，因，所以.故選：B.2.，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算計算出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計算可得.【詳解】解：故選：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算，以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量，，，，，若，則，的夾角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)坐標計算出，根據(jù)得到，代入向量夾角公式計算即可.【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，的夾角為，則，又∵，∴.故選：A4.已知等差數(shù)列的前項和為，則（）A.158 B.160 C.162 D.164【答案】B【解析】【分析】先由題意結(jié)合等差數(shù)列通項公式求出公差d和，進而結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式即可求解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由題得，即，又，所以，所以，所以.故選：B.5.已知是奇函數(shù)，，則是成立（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】當成立，判斷是否成立，再由成立時，判斷是否成立，即可知是成立何種條件.【詳解】由是奇函數(shù)，則，即，解得，所以，當時，，，，所以是奇函數(shù)，所以，所以是的充要條件.故選：A.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減且對任意滿足，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】的對稱軸為；結(jié)合單調(diào)性可得，然后求解即可.【詳解】因為，所以的對稱軸為，又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又因為，由對稱性可得，所以，，即.故選：D7.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，且在上恰有兩零點，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】從函數(shù)在上恰有兩個零點可得出，又函數(shù)圖象的一條對稱軸是，可得出，進而求得的最大值.【詳解】解：由題意可得，函數(shù)，由于，所以；又由在上恰有兩個零點，所以，解得；又因為函數(shù)圖象的一條對稱軸是，所以，即，又且，所以當時，，故選：B．8.若過點可以作的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出切點坐標，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，用表示出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象性質(zhì)，進而求出的范圍.【詳解】依題意，設(shè)切點坐標，由，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，由切線過點，得，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，，當或時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得極小值，而當時，恒有，又，因此當時，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點處的切線斜率，切點未知，設(shè)出切點是解題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關(guān)于函數(shù)，其中正確命題是（）A.是以為最小正周期的周期函數(shù)B.的最大值為C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】先化簡函數(shù)，接著即可由函數(shù)性質(zhì)直接得出函數(shù)的最小正周期和最值，進而可判斷AB；對于C，由平移變換知識求得變換之后的解析式為即可判斷；對于D，由得，進而結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可判斷.【詳解】由題得，對于A，函數(shù)最小正周期為，故A正確；對于B，函數(shù)最大值為，故B正確；對于C，將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)解析式為，所以該函數(shù)圖象不會與已知函數(shù)的圖象重合，故C錯誤；對于D，當，，因為正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.10.對于已知函數(shù)，下列論述正確的有（）A.若，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則C.當，時，函數(shù)的圖像的對稱軸為D.當，時，函數(shù)的圖像的對稱中心為【答案】AD【解析】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)單調(diào)性分別判斷A，B，再應(yīng)用fx單調(diào)遞增不能有對稱軸判斷C，根據(jù)得出對稱中心判斷D.【詳解】函數(shù)，，對于A：，令，可得，所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間為，A選項正確；對于B：若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以恒成立，當，所以，B選項錯誤；對于C：當，時，函數(shù)，所以fx對于D：當，時，，又因為，所以函數(shù)fx的圖像關(guān)于對稱，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)的定義域，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A. B.是等差數(shù)列C. D.數(shù)列的前項和【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)賦值法得出函數(shù)值判斷A,B,應(yīng)用賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)單調(diào)性得出結(jié)論判斷C,應(yīng)用錯位相減法求前n項和判斷D.【詳解】令，，，A不對；令，，，，，即，，,所以為等差數(shù)列,B正確；，，，令gx=x-sinx,x>0,g'x=1-cosx≥0,g令，,,兩式相減得，,可得，D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負得出函數(shù)單調(diào)性得出，根據(jù)錯位相減法求出判斷選項.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角，且，則________【答案】2【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，利用兩角和與差公式化簡后求解．【詳解】由，可得，即，故.又，故，即，代入可得.故.故答案為：2.13.已知，，且，則的最大值為____________.【答案】##0.125【解析】【分析】由已知條件，可變形為，利用基本不等式求出的最小值，可得的最大值.【詳解】已知，，且，則，，當且僅當，即時等號成立，則有，，所以的最大值為.故答案為：.14.若點，關(guān)于原點對稱，且均在函數(shù)的圖象上，則稱是函數(shù)的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）.已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，進而有有兩個不同的正根，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間符號，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，要使恰有兩個“匹配點對”，只需與在上有兩個交點，所以有兩個不同的正根，令且，則，所以時，即在上遞減；時，即在上遞增；又時，時，且最小值，所以，要使有兩個不同的正根，只需，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求；（2）若的角平分線與交于點，求.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解；（2）利用等面積法以及余弦定理即可求解.【小問1詳解】依題意，由正弦定理可得所以，又所以，因為B∈0,π，所以，所以，又，所以.【小問2詳解】解法一：如圖，由題意得，，所以，即，又，所以，所以，即，所以.解法二：如圖，中，因為，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，所以.16.在等腰梯形中，，，，．（1）若與垂直，求的值；（2）若為邊上的動點(不包括端點），求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到各邊長，并建立平面直角坐標系，得到，根據(jù)與垂直，得到方程，求出；（2）設(shè)，，則，求出最小值.【小問1詳解】過作于，等腰梯形中易知，又，故可得，如圖所示：以為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，所以，故因為與垂直，所以，解得；【小問2詳解】設(shè)，，則，，則，則，對，其對稱軸，故其最小值為，所以的最小值為.17.為了便于市民運動，市政府準備對道路旁邊部分區(qū)域進行改造.如圖，在道路一側(cè)修建一條新步道，新步道的前一部分為曲線段，該曲線段是函數(shù)時的圖象，且圖象的最高點為，新步道的中部分為長1千米的直線跑道，且，新步道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧.（1）求的值和的大?。唬?）若計劃在圓弧步道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建面積盡可能大的矩形區(qū)域建服務(wù)站，并要求矩形的一邊緊靠道路上，一個頂點Q在半徑上，另外一個頂點P在圓弧上，且，求矩形面積最大時應(yīng)取何值，并求出最大面積？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，，故，從而可得曲線段的解析式，令時，可得，根據(jù)幾何知識求；（2）根據(jù)題意可得，利用三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，即，且，則，所以曲線段的解析式為.當時，，又因為，則，可知銳角，所以.【小問2詳解】由（1）可知，，且,則，可得，則矩形的面積為，又因為，則，可知當，即時，，所以矩形取得最大值．18.已知數(shù)列的前項和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）若，求值.【答案】（1）證明見解析（2），（3）【解析】【分析】（1）當時，由遞推關(guān)系得到，再求出即可；（2）由基本量法求出，再由遞推關(guān)系求出，然后采用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式求解即可；（3）代入解出即可；【小問1詳解】因為，所以當時，，即時，，又時，，所以數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）知，所以，又由，可得，所以.【小問3詳解】因為，所以，整理得到，解得，所以n的值為.19.設(shè)，.（1）求函數(shù)y=fx的單調(diào)區(qū)間（2）求證:；（3）設(shè)函數(shù)與的定義域的交集為，集合.若對任意，都存在，使得成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則稱與為"A關(guān)聯(lián)函數(shù)".求證：若y=fx與y=gx為"關(guān)聯(lián)函數(shù)"，則.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意分析可知：原不等式等價于，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，進而分析證明；（3）根據(jù)題意整理可得，利用基本不等式可得對任意都成立，取可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而判斷其符號即可.【小問1詳解】由題意可知：的定義域為，且.當時，f′x<0；當時，f所以函數(shù)y=fx的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)見區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）可知，故只需證.由于，等價于.令，則.當時，；當時，；可知函數(shù)在0,4內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，所以.