《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計（第7版）》課件 孫靖民 第1章優(yōu)化設(shè)計概述；第2章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計計劃學(xué)時數(shù)：26學(xué)時使用教材孫靖民.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003參考書[1]方世杰，綦耀光主編.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003[2]陳立周，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計方法，北京：冶金工業(yè)出版社，1997[3]劉惟信.機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計.北京：清華大學(xué)出版社，1994課程介紹本課主要內(nèi)容優(yōu)化設(shè)計概述1優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2一維搜索方法3無約束優(yōu)化方法4約束優(yōu)化方法6多目標(biāo)及離散變量優(yōu)化方法7優(yōu)化設(shè)計實(shí)例8線性規(guī)劃5緒論一、優(yōu)化相關(guān)概念二、機(jī)械的傳統(tǒng)設(shè)計到優(yōu)化設(shè)計三、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展四、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的應(yīng)用概況五、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的作用（1）來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過程，最優(yōu)化可簡寫為Opt；（2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值或極小值的過程。例如,在右圖中，求得一維函數(shù)f(x)

最小值的條件為：若ｘ取x*，則f(x)

取得最小值f(x*)。目的是為了在完成某一任務(wù)時所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和趨勢實(shí)際問題表達(dá)成的函數(shù)類型很多：

確定型、不確定型函數(shù)；線形、非線形（二次、高次、超越）函數(shù)。變量類型也很多：

連續(xù)、離散、隨機(jī)變量等等。產(chǎn)生很多的優(yōu)化算法：

無約束優(yōu)化、約束優(yōu)化：單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化、多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化；連續(xù)變量優(yōu)化、離散變量優(yōu)化、隨機(jī)變量優(yōu)化。（3）優(yōu)化方法：也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)；（4）優(yōu)化設(shè)計：根據(jù)給定的設(shè)計要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機(jī)上從滿足給定的設(shè)計要求的許多可行方案中，按照給定的目標(biāo)自動地選出最優(yōu)的設(shè)計方案。（5）機(jī)械優(yōu)化設(shè)計：即把機(jī)械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機(jī)，自動尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計方案和最佳設(shè)計參數(shù)。

獲得設(shè)計方案的過程是一個決策的過程，也是優(yōu)化的過程。

優(yōu)化過程就是求解一個付出最小、獲得效益最大的方案。機(jī)械設(shè)計方法傳統(tǒng)設(shè)計方法

基于手工勞動或簡易計算工具。方法低效，一般只能獲得一個可行的設(shè)計方案。傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計理論與方法包括疲勞壽命理論、強(qiáng)度理論、振動理論……

常憑經(jīng)驗、試算、校核等方法?，F(xiàn)代優(yōu)化方法

基于計算機(jī)的應(yīng)用，設(shè)計過程包括：①從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型；②選擇合適的優(yōu)化方法求解數(shù)學(xué)模型。特點(diǎn)：以人機(jī)配合或自動搜索方式進(jìn)行，能從“所有的”的可行方案中找出“最優(yōu)的”的設(shè)計方案。從傳統(tǒng)設(shè)計到優(yōu)化設(shè)計人工試湊和定性分析的比較過程，被動的重復(fù)分析產(chǎn)品的性能——經(jīng)驗設(shè)計、近似計算、一般的安全壽命可行設(shè)計。設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型優(yōu)化途徑，優(yōu)選設(shè)計參數(shù)設(shè)計方案方案分析最優(yōu)？否是最優(yōu)的設(shè)計方案圖2:優(yōu)化設(shè)計過程框圖利用電子計算機(jī)主動的設(shè)計產(chǎn)品參數(shù)，獲得最優(yōu)方案——理論設(shè)計、精確計算、優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化設(shè)計的一般過程

1）建立確切反映問題實(shí)質(zhì)并適合于優(yōu)化計算的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型；

2）選擇恰當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法，編寫計算機(jī)語言程序；

3）求得數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解。

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計是使某項機(jī)械設(shè)計在規(guī)定的各種設(shè)計限制條件下，優(yōu)選設(shè)計參數(shù)，使某項或幾項設(shè)計指標(biāo)獲得最優(yōu)值。工程設(shè)計上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿足多種設(shè)計目標(biāo)和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。工程案例1、利用一化工優(yōu)化系統(tǒng)，對一化工廠進(jìn)行設(shè)計。根據(jù)給定數(shù)據(jù)，在16小時內(nèi)，進(jìn)行16000各可行性設(shè)計的選擇，從中選擇一成本最低、產(chǎn)量最大的方案，并給出必須的精確數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)設(shè)計：一組工程師，一年時間，僅僅3個方案，且并非最優(yōu)。2、美國BELL飛機(jī)公司利用優(yōu)化方法解決450個設(shè)計變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。一個機(jī)翼質(zhì)量減輕35%。3、武漢鋼鐵公司從德國引進(jìn)的1700薄板軋機(jī)，經(jīng)該公司自主優(yōu)化后，就多盈利幾百萬馬克。4、美國波音飛機(jī)公司對大型機(jī)翼用138個設(shè)計變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運(yùn)輸艦用10個變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，使成本降低約10%。實(shí)踐證明，最優(yōu)化設(shè)計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計方法。同時也可使設(shè)計者從大量繁瑣和重復(fù)的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計，并大大提高設(shè)計效率。優(yōu)化設(shè)計的作用（優(yōu)點(diǎn)）：使傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計中，求解可行解上升為求解最優(yōu)解成為可能；使傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計中，性能指標(biāo)的校核可以不再進(jìn)行；使機(jī)械設(shè)計的部分評價，由定性改定量成為可能；大大提高了產(chǎn)品的設(shè)計質(zhì)量，從而提高了產(chǎn)品的質(zhì)量；提高生產(chǎn)效率，降低產(chǎn)品開發(fā)周期；

……機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展1、古典優(yōu)化思想:17世紀(jì)，利用微分學(xué)和變分學(xué)的解析解法?！獌H能解決簡單的極值問題2、經(jīng)典優(yōu)化方法：20世紀(jì)40年代，數(shù)學(xué)規(guī)劃方法——可求解包含等式約束和不等式約束的復(fù)雜優(yōu)化問題。3、現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計：

20世紀(jì)80年代出現(xiàn)許多現(xiàn)代優(yōu)化算法：模擬退火算法、遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、蟻群優(yōu)化算法等。并從狹義優(yōu)化設(shè)計（零部件參數(shù)）轉(zhuǎn)向廣義優(yōu)化設(shè)計（面向產(chǎn)品的全系統(tǒng)、設(shè)計全過程、全壽命周期）。例如,針對涉及多領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)的多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化。線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃和混合離散規(guī)劃等。優(yōu)化設(shè)計從無約束→有約束優(yōu)化問題；連續(xù)變量→離散變量；確定型→隨機(jī)型模型；單目標(biāo)優(yōu)化→多目標(biāo)優(yōu)化。歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法。直到上世紀(jì)40年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實(shí)際問題，例如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)計等。50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。最優(yōu)化設(shè)計是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計問題。大型電子計算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。近十幾年來，最優(yōu)化設(shè)計方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機(jī)械設(shè)計方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設(shè)計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計結(jié)果所取得的效益就愈大。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機(jī)的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。

機(jī)構(gòu)運(yùn)動參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計發(fā)展較早的領(lǐng)域。國內(nèi)近年來才開始重視，但發(fā)展迅速，在機(jī)構(gòu)綜合、機(jī)械的通用零部件的設(shè)計、工藝設(shè)計方面都得到應(yīng)用。

在機(jī)械設(shè)計方面的應(yīng)用較晚，從國際范圍來說，是在上世紀(jì)60年代后期才得到迅速發(fā)展的。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的應(yīng)用概況

優(yōu)化設(shè)計本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主要有以下幾方面：1、目前優(yōu)化設(shè)計多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量優(yōu)化問題。結(jié)構(gòu)型式的選擇還需進(jìn)一步研究解決；2、優(yōu)化設(shè)計這門新技術(shù)在傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)中普及率還不高；3、把優(yōu)化設(shè)計與CAD、專家系統(tǒng)結(jié)合起來是優(yōu)化設(shè)計發(fā)展的趨勢之一。

優(yōu)化設(shè)計的思想廣泛的應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)和國防等各部門，解決諸如生產(chǎn)規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)管理、能源利用、產(chǎn)品設(shè)計、工藝過程設(shè)計、控制系統(tǒng)等方面的最優(yōu)化問題，它是促進(jìn)技術(shù)進(jìn)步和國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一種有效方法?；A(chǔ)：（1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理（2）現(xiàn)代計算技術(shù)

內(nèi)容：（1）將工程實(shí)際問題數(shù)學(xué)化；（建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型）（2）用最優(yōu)化計算方法在計算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化設(shè)計是一種現(xiàn)代設(shè)計方法，是很好的設(shè)計工具。本課程的任務(wù)該課程的主要目的和任務(wù)：①了解和基本掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的基本知識；②擴(kuò)大視野，并初步具有應(yīng)用機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的基本理論和基本方法解決簡單工程實(shí)際問題的素質(zhì)?！斓谝还?jié)

人字架的優(yōu)化設(shè)計§第二節(jié)

優(yōu)化設(shè)計問題的示例§第三節(jié)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型§第四節(jié)

優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法第一章優(yōu)化設(shè)計概述

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計問題來源于生產(chǎn)實(shí)際?，F(xiàn)在舉典型實(shí)例來說明優(yōu)化設(shè)計的基本問題。圖1-1所示的人字架由兩個鋼管構(gòu)成，其頂點(diǎn)受外力2F=3×N。人字架的跨度2B=152cm,鋼管壁T=0.25cm,鋼管材料的彈性模量E=2.1×Mpa，材料密度ρ=7.8×

/，許用壓應(yīng)力=420MPa。求在鋼管壓應(yīng)力不超過許用壓應(yīng)力和失穩(wěn)臨界應(yīng)力的條件下，人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小?！斓谝还?jié)人字架的優(yōu)化設(shè)計一、問題圖1-1人字架的受力人字架的優(yōu)化設(shè)計問題歸結(jié)為：使結(jié)構(gòu)質(zhì)量但應(yīng)滿足強(qiáng)度約束條件穩(wěn)定約束條件鋼管所受的壓力失穩(wěn)的臨界力鋼管所受的壓應(yīng)力二、強(qiáng)度、穩(wěn)定條件圖1-2壓桿的穩(wěn)定鋼管的臨界應(yīng)力強(qiáng)度約束條件可以寫成穩(wěn)定約束條件可以寫成鋼管截面慣性矩鋼管截面面積（r，R為截面內(nèi)外半徑）假定人字架的總質(zhì)量這個優(yōu)化問題是以D和h為設(shè)計變量的二維問題，且只有兩個約束條件，可以用解析法求解。除了解析法外，還可以采用作圖法求解。三、解析法根據(jù)極值必要條件得把所得參數(shù)帶入穩(wěn)定條件，可以證明：即穩(wěn)定條件得到滿足。所以h*，D*這兩個參數(shù)是滿足強(qiáng)度約束和穩(wěn)定約束，且使結(jié)構(gòu)最輕的最佳參數(shù)。在設(shè)計平面D-h上畫出代表和和的兩條曲線，兩曲線將設(shè)計平面分成兩個部分，其中不帶陰影線的區(qū)域是同時滿足

兩個約束條件的區(qū)域，稱為可行域，然后再畫出一族質(zhì)量等值線四、作圖法C為一系列常數(shù)。

圖1-3人字架優(yōu)化設(shè)計的圖解X*的坐標(biāo)：D*＝6.43㎝h*＝76㎝m*＝8.47㎏討論：若按解析法求解得用作圖法求解得由討論可知，對于具有不等式約束條件的優(yōu)化問題，判斷哪些約束條件是起作用的，哪些約束條件是不起作用的，這對于求解優(yōu)化問題是很關(guān)鍵的優(yōu)化設(shè)計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算機(jī)技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計方案。優(yōu)化設(shè)計包括：（1）必須將實(shí)際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型；（2）選用適當(dāng)?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程序運(yùn)算求解?！斓诙?jié)優(yōu)化設(shè)計問題的示例例1-1

平面四連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。平面四連桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計主要是根據(jù)運(yùn)動學(xué)的要求，確定其幾何尺寸，以實(shí)現(xiàn)給定的運(yùn)動規(guī)律。引例圖1-4人字架優(yōu)化設(shè)計的圖解使目標(biāo)函數(shù)：

為最小相應(yīng)的約束條件：1）曲柄與機(jī)架共線位置的傳動角最大傳動角≦1350最小傳動角≧4502）曲柄存在條件3）邊界約束當(dāng)x1=1.0時，若給定x4，則可求出x2和x3的邊界值，當(dāng)x4=5.0時：

現(xiàn)用薄板制造一體積為100m3，長度不小于5m的無上蓋的立方體貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長、寬、高尺寸。分析：（1）目標(biāo)：用料最少，即貨箱的表面積最小。（2）設(shè)計參數(shù)確定：長x1

、寬x2、高x3；（3）設(shè)計約束條件：（a）體積要求（b）長度要求例1-2貨箱的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標(biāo)：約束條件：已知：傳動比i，轉(zhuǎn)速n，傳動功率P，大小齒輪的材料，設(shè)計該齒輪副，使其重量最輕。（1）目標(biāo)：圓柱齒輪的體積V或重量w最??；（2）設(shè)計參數(shù)確定：模數(shù)m、齒寬b、齒數(shù)z1（3）設(shè)計約束條件：（a）大、小齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求；（b）齒輪副滿足接觸疲勞強(qiáng)度要求；（c）齒寬系數(shù)要求；（d）最小齒數(shù)要求分析：例1-3直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標(biāo)：約束條件：建立相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型1.分析優(yōu)化對象2.對結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量3.根據(jù)設(shè)計要求確定并構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)建多目標(biāo)函數(shù)4.必要時對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。1.設(shè)計變量一個設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。在設(shè)計過程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項獨(dú)立的基本參數(shù)，稱作設(shè)計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)?！斓谌?jié)優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型設(shè)計變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個列向量表示。設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n個設(shè)計變量，則稱為n維設(shè)計問題。

由n個設(shè)計變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱作設(shè)計空間。一個“設(shè)計”，可用設(shè)計空間中的一點(diǎn)表示。設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n個設(shè)計變量，則稱為n維設(shè)計問題。按照產(chǎn)品設(shè)計變量的取值特點(diǎn)，設(shè)計變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。圖1-5設(shè)計變量所組成的設(shè)計空間（a）二維設(shè)計問題（b）三維設(shè)計問題只有兩個設(shè)計變量的二維設(shè)計問題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個設(shè)計變量的三維設(shè)計問題可用圖1-1（b）所表示的空間直角坐標(biāo)表示。設(shè)計空間—設(shè)計點(diǎn)的集合（維實(shí)歐氏空間）。當(dāng)設(shè)計點(diǎn)連續(xù)時,為直線;為平面;為立體空間;

為超越空間.

設(shè)計空間的維數(shù)表征設(shè)計的自由度，設(shè)計變量愈多，則設(shè)計的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設(shè)計愈靈活，但難度亦愈大，求解亦愈復(fù)雜。小型設(shè)計問題：一般含有2~10個設(shè)計變量；中性設(shè)計問題：10~50個設(shè)計變量；大型設(shè)計問題：50個以上的設(shè)計變量。目前已能解決200個設(shè)計變量的大型最優(yōu)化設(shè)計問題。如何選定設(shè)計變量

任何一項產(chǎn)品，是眾多設(shè)計變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設(shè)計變量時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）抓主要，舍次要。

對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設(shè)計問題的特殊性來選擇設(shè)計變量。

例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計變量有4個，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設(shè)計中，將材料的許用剪切應(yīng)力和剪切模量Ｇ等作為設(shè)計常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑D作為設(shè)計常量。

2.約束條件

設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計。一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。①根據(jù)約束性質(zhì)分：

性能約束——針對性能要求而提出的限制條件。如選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性要求等；

側(cè)面約束（邊界約束）——針對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束。如允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍等。③顯式約束和隱式約束約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式，如復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。②根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式分：

等式約束：

不等式約束：圖1-6設(shè)計空間中的約束面（或約束線）(a)二變量設(shè)計空間中的約束線(b)三變量設(shè)計空間中的約束面可行域：凡滿足所有約束條件的設(shè)計點(diǎn)，它在設(shè)計空間的活動范圍。（對應(yīng)不可行域）

如右下圖所示滿足兩項約束條件的二維設(shè)計問題的可行域D為ABC涵蓋區(qū)域，包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。約束條件：圖1-7約束條件規(guī)定的可行域D3.目標(biāo)函數(shù)

為了對設(shè)計進(jìn)行定量評價，必須構(gòu)造包含設(shè)計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)。用它可以評價設(shè)計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數(shù)。記作：

在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計變量的不斷想f(x)值改善的方向自動調(diào)整，最后求得的f(x)最好或最滿意的x值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量。

在機(jī)械設(shè)計中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小振幅或噪聲，最小成本，最高利潤等等。通常

在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標(biāo)函數(shù)稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計中要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。

在實(shí)際工程設(shè)計問題中，常常會遇到在多目標(biāo)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。目前處理多目標(biāo)設(shè)計問題常用的方法是組合成一個復(fù)合的目標(biāo)函數(shù)，如采用線性加權(quán)的形式，即目標(biāo)函數(shù)的等值線（面）c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計空間中，f（x1，x2）=c代表x1-x2設(shè)計平面上的一族曲線。對于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。

目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖形只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值線（面）的方法。目標(biāo)函數(shù)的等值線（面）的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

如上圖表示目標(biāo)函數(shù)f(x)與兩個設(shè)計變量x1和x2所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖形形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)的等值線圖。從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使各點(diǎn)所組成的連線。等值線等值線的“心”（以二維為例）一個“心”：是單峰函數(shù)的極（小）值點(diǎn)，是全局極（?。┲迭c(diǎn)。沒有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無“心”，認(rèn)為極值點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。多個“心”：不是單峰函數(shù)，每個極（?。┲迭c(diǎn)只是局部極（小）值點(diǎn)，必須通過比較各個極值點(diǎn)和“鞍點(diǎn)”（須正確判別）的值，才能確定極（?。┲迭c(diǎn)。等值（線）面：4.優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是對優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象。優(yōu)化設(shè)計問題的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：數(shù)學(xué)模型的分類：(1)按數(shù)學(xué)模型中設(shè)計變量和參數(shù)的性質(zhì)分：確定型模型隨機(jī)型模型設(shè)計變量和參數(shù)取值確定設(shè)計變量和參數(shù)取值隨機(jī)(2)按目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性質(zhì)分：a.目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是設(shè)計變量的線形函數(shù)稱為線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型一般為：b.若目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計變量的二次函數(shù)、約束是線性函數(shù)，則為二次規(guī)劃問題。其一般表達(dá)式為：建立優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型的一般步驟根據(jù)設(shè)計要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進(jìn)行分析；對設(shè)計問題各參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量；根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)；必要時對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除各組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的分類（1）按有無約束條件分：無約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題（2）按約束條件和目標(biāo)函數(shù)是否同時為線性分：線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題（居多）（3）按問題規(guī)模的大小分：大型：設(shè)計變量和約束條件的個數(shù)在50以上中型：設(shè)計變量和約束條件的個數(shù)在10~50

小型：設(shè)計變量和約束條件的個數(shù)在10個以下對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：如按設(shè)計變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問題:二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等。一、幾何解釋無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對設(shè)計變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。在設(shè)計空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則無約束優(yōu)化問題的極小點(diǎn)即為等值面的中心。約束優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，此極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。5.優(yōu)化問題的幾何解釋等值線—等高線等值線－等高線：它是由許多具有相同目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線目標(biāo)函數(shù)的等值線數(shù)學(xué)表達(dá)式為：a）極值點(diǎn)處于多角形的某一頂點(diǎn)上b）極值點(diǎn)處于等值線的中心c）極值點(diǎn)處于約束曲線與等值線的切點(diǎn)上d）極值點(diǎn)處于約束曲線與等值線的切點(diǎn)上e）極值點(diǎn)處于兩個約束曲線的交點(diǎn)上目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)(2,0)為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：約束方程所圍成的可行域是D。例1：如下二維非線性規(guī)劃問題圖解法求解例2：解：先畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點(diǎn)就是容許集上使等值線具有最小值的點(diǎn)。由圖易見約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾何的方法得到：該切點(diǎn)為對應(yīng)的最優(yōu)值為

由示例可知，對二維最優(yōu)化問題，可采用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常數(shù)值稱為目標(biāo)函數(shù)的等值面。不同值的等值面之間不相交，因為目標(biāo)函數(shù)是單值函數(shù)；等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化的較快，而稀疏的地方變化的比較慢；一般地，在極值點(diǎn)附近，等值面（線）近似呈現(xiàn)為同心橢圓球面族（橢圓族）。等值面具有以下性質(zhì)：求解優(yōu)化問題的基本解法有：

解析法數(shù)值解法解析法：即利用數(shù)學(xué)分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法。在目標(biāo)函數(shù)比較簡單時，求解還可以。

局限性：工程優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會帶來麻煩?！斓谒墓?jié)優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法

最優(yōu)化方法是與近代電子計算機(jī)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機(jī)的工作特點(diǎn)，因為數(shù)值計算的迭代方法具有以下特點(diǎn)：

1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法；2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算；3）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點(diǎn)正與計算機(jī)的工作特點(diǎn)相一致。

數(shù)值解法：這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為數(shù)值迭代方法。它是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)或直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法，其中也可能用到解析解法。

O優(yōu)化設(shè)計的兩類方法：優(yōu)化準(zhǔn)則法，數(shù)學(xué)規(guī)劃法圖1-8尋求極值點(diǎn)的搜索過程

1）首先初選一個盡可能靠近最小點(diǎn)的初始點(diǎn)X（0），從X（0）出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長，向前跨出一步達(dá)到X（1）點(diǎn)；2）得到新點(diǎn)X（1）后再選擇一個新的使函數(shù)值迅速下降的方向及適當(dāng)?shù)牟介L，從X（1）點(diǎn)出發(fā)再跨出一步，達(dá)到X（2）點(diǎn)，并依此類推，一步一步地向前探索并重復(fù)數(shù)值計算，最終達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。1.求解步驟數(shù)值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近

即進(jìn)行反復(fù)數(shù)值計算，尋求目標(biāo)函數(shù)值不斷下降的可行計算點(diǎn)，知道最后獲得足夠精度的最優(yōu)點(diǎn)。該方法的求優(yōu)過程可歸納為以下步驟：迭代計算機(jī)逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)過程示意圖數(shù)值迭代法的迭代格式----第k步迭代計算所得到的點(diǎn)。稱為第k步迭代點(diǎn)，亦第k步設(shè)計方案。其中：----第k步迭代計算的搜索方向。----第k次迭代計算的步長。運(yùn)用迭代法，每次迭代所得新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值應(yīng)滿足函數(shù)值下降的要求：收斂：數(shù)值迭代法關(guān)鍵要解決的問題：1）怎樣確定搜索方向2）如何確定迭代步長3）如何判斷是否找到最優(yōu)點(diǎn)，以終止迭代2.迭代終止準(zhǔn)則（1）點(diǎn)距準(zhǔn)則ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)即（2）函數(shù)值下降量準(zhǔn)則xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)或--絕對下降量--相對對下降量（3）目標(biāo)函數(shù)梯度準(zhǔn)則采用哪種收斂準(zhǔn)則，可視具體問題而定。可取

上述準(zhǔn)則都在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點(diǎn)的程度，但都有一定的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中，可取其中一種或多種同時滿足來進(jìn)行判定。圖1-9優(yōu)化設(shè)計流程機(jī)械優(yōu)化設(shè)計第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)85第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)§第一節(jié)

多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度§第二節(jié)

多元函數(shù)的泰勒展開§第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件§第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃§第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件§第六節(jié)不等式約束優(yōu)化問題的極值條件861、方向?qū)?shù)二元函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)的定義是：

二元函數(shù)在點(diǎn)處沿某一方向的變化率，其定義為方向?qū)?shù)

§第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度87圖1二維空間中的方向偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)的關(guān)系Ox2x1x10x20x0

x1

x2

sxS

1

288三元函數(shù)

在

點(diǎn)處沿s方向

的方向?qū)?shù)依次類推，即可得到n元函數(shù)在點(diǎn)x0處沿s方向的方向?qū)?shù)

892、二元函數(shù)的梯度令為函數(shù)F(x1，x2)在x0點(diǎn)處的梯度90

當(dāng)梯度方向和d方向重合時，方向?qū)?shù)值最大，即梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，而梯度的模就是函數(shù)值變化率的最大值。梯度的模：91多元函數(shù)的梯度92多元函數(shù)的梯度的模：函數(shù)的梯度方向與函數(shù)的等值面相垂直，也就是和等值面上過x0的一切曲線相垂直。由于梯度的模因點(diǎn)而異，即函數(shù)在不同點(diǎn)處的最大變化率是不同的。因此，梯度是函數(shù)的一種局部性質(zhì)。93例1：求二次函數(shù)在點(diǎn)處的梯度。

解：在點(diǎn)處的梯度為：94例2：試求二次函數(shù)在點(diǎn)處的最速下降方向，并求沿這個方向移動一個單位長度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。

解：則函數(shù)在處的最速下降方向為95該方向上的單位向量為新點(diǎn)該點(diǎn)函數(shù)值96常用梯度公式：注意：梯度為向量二次型97在

點(diǎn)處的泰勒展開為：其中1、一元函數(shù)§第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開982、二元函數(shù)其中：二元函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開式為：99上式寫成矩陣形式：100令上式可寫成稱為函數(shù)在點(diǎn)處的海賽（Hessian）矩陣參見教材例題P30101海賽矩陣是由函數(shù)在點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)組成的方陣。由于函數(shù)的二次連續(xù)性，有：所以矩陣為對陣方陣。102海賽矩陣3、多元函數(shù)其中：梯度泰勒展開式103若將函數(shù)的泰勒展開式只取到線性項，即取則是過點(diǎn)和函數(shù)所代表的超曲面相切的切平面。若將函數(shù)的泰勒展開式取到二次項時，則得到二次函數(shù)形式，在線性代數(shù)中將二次齊次函數(shù)稱為二次型。矩陣形式-----對稱矩陣104當(dāng)對任何非零向量x使則二次型函數(shù)正定，G為正定矩陣。105海賽矩陣的特征：是實(shí)對稱矩陣。4、海賽矩陣與正定矩陣正定的充要條件：矩陣G的各階順序主子式為正，即矩陣負(fù)定的充要條件：矩陣G的奇數(shù)階主子式主子式偶數(shù)階主子式海賽矩陣的正定性：正定-----為全局極小值點(diǎn)的充分條件負(fù)定-----為全局極大值點(diǎn)的充分條件106例3

判定矩陣是否正定？解：該對稱矩陣的三個主子式依次為：故可知矩陣G是正定的。107定理：若二次函數(shù)中Q正定，則它的等值面是同心橢球面族，且中心為證明：作變換，代入二次函數(shù)式中：結(jié)論：Q為正定矩陣的二次型的等值面是以的同心橢球面族。原二次函數(shù)就是以為中心的同心橢球面族，橢圓中心為極小值點(diǎn)。108例4把二次函數(shù)化為矩陣向量形式并檢驗Q是否正定，如正定，試用公式求這個函數(shù)的極小點(diǎn)。解：與題中函數(shù)比較各系數(shù)得：由計算知Q正定，極小點(diǎn)109的梯度和Hesse矩陣。解：因為

則又因為：故Hesse陣為：例5：求目標(biāo)函數(shù)1101、一元函數(shù)對于可微的一元函數(shù)判斷在處是否取得極值的過程：則為極小點(diǎn)。逐次檢驗其更高階導(dǎo)數(shù)的符號，開始不為零的導(dǎo)數(shù)階數(shù)若為偶次，則為極值點(diǎn)，若為奇次，則為拐點(diǎn)。

則為極大點(diǎn)。§第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件1112、二元函數(shù)

定理1：若二元可微函數(shù)在處取得極值的必要條件是：即凡滿足上式的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)（零向量）112如下圖所示的二元函數(shù)，在M0點(diǎn)雖有和是個駐點(diǎn)，但它不是極值點(diǎn)。113定理2：若二元可微函數(shù)在的某個鄰域取得極小值的充分條件是要求在該點(diǎn)附近的一切點(diǎn)均滿足：若函數(shù)存在連續(xù)的一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)滿足則泰勒展開式的函數(shù)增量近似式（略三階以上高階微量）為：114令則可見，函數(shù)增量的性態(tài)與A,B,C的值有關(guān)?？梢宰C明，當(dāng)滿足以下條件時，為極小值（證明略）。此條件反映了函數(shù)在該點(diǎn)的海賽矩陣的各階主子式均大于零（即正定）。115結(jié)論：二元函數(shù)在某點(diǎn)取得極小值的充分條件是要求該點(diǎn)處的海賽矩陣為正定。且

對于二元函數(shù)在處取得極值的充分必要條件是：參見教材例題P32

1163、多元函數(shù)對于多元函數(shù)若在處取得極值，則必要條件：充分條件：正定或負(fù)定117當(dāng)極值點(diǎn)x*能使f(x*)在整個可行域中為最小值時，即在整個可行域中對任一x都f(x)>=f(x*),則x*為全域最優(yōu)點(diǎn)（全域極小點(diǎn)）。若f(x*)為局部可行域中的極小值而非整個可行域的最小值時，則稱x*為局部最優(yōu)點(diǎn)或相對最優(yōu)點(diǎn)。優(yōu)化的目標(biāo)是全域最優(yōu)點(diǎn)。為了判斷某個極值點(diǎn)是否為全域最優(yōu)點(diǎn)，研究函數(shù)的凸性是必要的?！斓谒墓?jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃118函數(shù)的凸性表現(xiàn)為單峰性。對于具有凸性特點(diǎn)的函數(shù)來說，其極值點(diǎn)只有一個，因而該點(diǎn)既是局部最優(yōu)亦是全域最優(yōu)點(diǎn)。為了研究函數(shù)的凸性，下面引入凸集的概念：1191、凸集如果對一切及一切滿足的實(shí)數(shù)，點(diǎn)則稱集合為凸集，否則稱為非凸集。yx2x1若y是x1和x2連線上的點(diǎn)，則有整理后即得圖2-8

二維空間的凸集與非凸集120凸集的性質(zhì)：若D為凸集，為一個實(shí)數(shù)，則集合仍是凸集；若D和F均為凸集，則其和（或并）仍是凸集；任何一組凸集的積（或交）仍是凸集。圖2-9凸集的性質(zhì)1212、凸函數(shù)具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值亦即全域最優(yōu)值的函數(shù)，稱為凸函數(shù)或單峰函數(shù)。其數(shù)學(xué)定義是：設(shè)f(x)為定義在n維歐式空間中的一個凸集D上的函數(shù)，如果對于任何實(shí)數(shù)以及對D中任意兩點(diǎn)x1，x2恒有：則為D上的凸函數(shù)，若不滿足上式，則為凹函數(shù)。如式中的等號去掉，則稱其為嚴(yán)格凸函數(shù)。122凸函數(shù)的幾何意義：在函數(shù)曲線上取任意兩點(diǎn)連成一直線段，則該線段上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)值必大于或等于該點(diǎn)處的原函數(shù)值。123凸函數(shù)的性質(zhì)1）若f(x)為定義在凸集D上的一個凸函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)a>0，則af(x)也是凸集D上的凸函數(shù)；2）定義在凸集D上的兩個凸函數(shù)f1(x),f2(x)，其和f1(x)+f2(x)亦為該凸集上的一個凸函數(shù)；3）若f1(x),f2(x)為定義在凸集D上的兩個凸函數(shù)，為兩個任意正數(shù)，則仍為D上的凸函數(shù)。1243、凸性條件（1）根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的梯度）來判斷函數(shù)的凸性設(shè)f(x)為定義在凸集R上，且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件是對凸集R內(nèi)任意不同兩點(diǎn)、，下面不等式恒成立。125（2）根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)（海賽矩陣)來判斷函數(shù)的凸性設(shè)f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件為：海賽矩陣在R上處處半正定。對于嚴(yán)格的凸函數(shù)，其充要條件為海賽矩陣為正定。當(dāng)海賽矩陣G的主子式:det(G)＞0時，矩陣正定

det(G)≥0時，矩陣半正定

det(G)＜0時，矩陣負(fù)定

det(G)≤0時，矩陣半負(fù)定G(x*)正定，是x*為全局極小值點(diǎn)的充分條件；G(x*)半正定,是x*為局部極小值點(diǎn)的充分條件；G(x*)負(fù)定，是x*為全局極大值點(diǎn)的充分條件；G(x*)半負(fù)定,是x*為局部極大值點(diǎn)的充分條件。說明：1264、凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題

若、都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。127凸規(guī)劃的性質(zhì)：2）可行域為凸集。3）凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。1）若給定一點(diǎn)，則集合為凸集。128不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，在實(shí)際應(yīng)用中，要證明一個優(yōu)化問題是否為凸規(guī)劃，一般比較困難，有時甚至比求解優(yōu)化問題本身還要麻煩。尤其對一些工程問題，由于其數(shù)學(xué)模型的性態(tài)都比較復(fù)雜，更難實(shí)現(xiàn)。因此，在優(yōu)化設(shè)計的求解中，就不必花精力進(jìn)行求證，而通常是從幾個初始點(diǎn)出發(fā)，找出幾個局部最優(yōu)解，從中選擇目標(biāo)函數(shù)值最好的解。注意：129等式約束優(yōu)化問題：求解等式約束化問題的理論基礎(chǔ)是導(dǎo)出極值存在的條件。