重慶市渝東九校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源渝東九校聯(lián)盟高2025屆（高一下）期中診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將答案填在后面選擇題答題框內(nèi).1.復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】復(fù)平面上復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，在第三象限.故選：C2.已知向量，，且，則（）A. B. C.-12 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】因向量，，且，所以，解得.故選：B.3.在中，若，，，則角（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件利用正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)樵谥?，若，，，所以由正弦定理得，即，解得，因?yàn)?，所以，所以，故選：A4.如圖，已知水平放置的按斜二測(cè)畫法得到的直觀圖為，若，，則的面積為（）.A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，還原圖象，可得三角形的高和底，可得答案.【詳解】由題意，，，，.故選：C.5.在平行四邊形ABCD中，設(shè)M為線段BC的中點(diǎn)，N為線段AD上靠近D的三等分點(diǎn)，，，則向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，設(shè)M為線段BC的中點(diǎn)，N為線段AD上靠近D的三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以故選：B6.已知非零向量，滿足，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.4 B.-4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.【詳解】，即；故選：D.7.設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積為，，則此直三棱柱的高是（）A.1 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)外接圓得圓心為，半徑為，直三棱柱得高為，直三棱柱外接球得球心為，半徑為，先分別求出，再利用勾股定理即可得解.【詳解】設(shè)外接圓得圓心為，半徑為，直三棱柱得高為，直三棱柱外接球得球心為，半徑為，則，且平面，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即直三棱柱得高?故選：D.8.在中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，O為的外心，且有，，若，，則（）A.1 B.-2 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知，利用正弦定理、余弦定理、圓的性質(zhì)以及向量的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】由題可知，，由正弦定理有：所以，即，因?yàn)?，所以，由正弦定理有：，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)镺為的外心，取中點(diǎn)，所以，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，直線過(guò)點(diǎn),如圖，在中可知，，又正弦定理有：，即，所以，所以與相互平分，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示，觀察下列四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（）A.①是棱臺(tái) B.②是圓臺(tái)C.③是四面體 D.④是棱柱【答案】CD【解析】【分析】由棱臺(tái)、圓臺(tái)、四面體、棱柱的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】圖①不是由棱錐截來(lái)的，所以①不是棱臺(tái)；圖②上、下兩個(gè)面不平行，所以②不是圓臺(tái)；圖③是四面體；圖④上下兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱.故選：CD.10.已知為直線，為兩個(gè)不同平面，則下列命題中不正確的是（）A.如果，，那么 B.如果，，那么C.如果，，那么 D.如果，，，那么【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)線面，面面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，如果，，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，所以A正確；對(duì)于B中，如果，，則或相交或異面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如果，，只有當(dāng)時(shí)，可得，所以C不正確；對(duì)于D中，如果，，，則或異面，所以D不正確.故選：BCD11.已知，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，，則的最大值為6【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方即可判斷A；舉出反例即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義即可判斷C；設(shè)，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程，從而可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，，所以最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：BD.12.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心C.若，則是等腰三角形D.若，，則的外接圓半徑【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)余弦定理、正弦定理、三角形的面積公式、向量運(yùn)算、內(nèi)心等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，由余弦定理得，由正弦定理得，則，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，根據(jù)向量加法和減法的運(yùn)算法則可知，與相互垂直，由于，所以與垂直，所以與共線，而表示以為鄰邊的菱形的對(duì)角線，所以在的角平分線上，同理可得在的角平分線上，所以是三角形的內(nèi)心，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由得，整理得，由余弦定理得，整理得，所以三角形是直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由，得，由，得,即，，，，設(shè)三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，則，解得，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】利用正弦定理和余弦定理，主要的思路是邊角互化，根據(jù)已知條件，選擇將邊轉(zhuǎn)化為角或?qū)⒔寝D(zhuǎn)化為邊；向量運(yùn)算中表示方向上的單位向量.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，與的夾角為，是與同向的單位向量，則在方向上的投影向量為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)則在方向上的投影向量的定義可得解.【詳解】在方向上的投影向量為.故答案為：.14.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則此圓錐的表面積為________.【答案】【解析】【分析】由軸截面可確定圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)，代入圓錐表面積公式即可.【詳解】圓錐軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，圓錐底面半徑，圓錐母線長(zhǎng)，圓錐的表面積.故答案為：.15.如圖，為了測(cè)量山高BC，分別選擇山下平地的A處和另一座山的山頂M處為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從M點(diǎn)測(cè)得，已知山高米，則________，山高_(dá)_______米.【答案】①.##②.【解析】【分析】在中，由，可求出，從而可求出，在中，由已知條件求出，再在中由正弦定理可求出，然后在中求出.【詳解】因?yàn)樵谥校?，，所以，所以，中，，，，則由，得，在中，由正弦定理得，即，，得，在，，，則,故答案為：，16.在中，點(diǎn)D滿足，過(guò)點(diǎn)D的直線交線段AB于點(diǎn)M、交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，記，，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】先求出，再根據(jù)平面向量共線定理可得，再根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)D的直線交線段AB于點(diǎn)M、交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，記，，所以，且，，由，得，又三點(diǎn)共線，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出，再根據(jù)平面向量共線定理可得，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟.17.已知復(fù)數(shù)滿足.（1）求；（2）若是方程的一個(gè)根，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算可得結(jié)果；（2）根據(jù)實(shí)系數(shù)方程根與系數(shù)關(guān)系可求得，由此可得的值.【小問(wèn)1詳解】由得：，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，則，，解得：，.18.已知，，.（1）設(shè)，求的值；（2）當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)后，列方程組可求出的值；（2）由與的夾角為銳角，可得，且與不共線，從而可求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，，且，所以，所以，解得，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，因與的夾角為銳角，所以，且與不共線，由，得，解得，當(dāng)與不共線時(shí)，，解得，綜上且，所以的取值范圍為19.如圖，在中，，，.（1）求的長(zhǎng)度；（2）在邊上取一點(diǎn)，使，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理求解即可；（2）設(shè)，，利用余弦定理表示出和，再結(jié)合即可解出，進(jìn)而利用面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理得，即，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，即，解得，所以，，，所以，所以的面積為.20.在正方體中，M，N分別是線段，BD的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若正方體的棱長(zhǎng)為2，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理，可得答案；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，可得三棱錐的高，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，求得三棱錐的底面積，結(jié)合三棱錐的體積公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接，如下圖：是線段的中點(diǎn)，底面是長(zhǎng)方形，是線段的中點(diǎn)，又是線段的中點(diǎn)，在中，，平面，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖：分別是線段的中點(diǎn)，在中，，，又在正方體中，平面，平面，為的中點(diǎn)，，.21.在銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且有，在下列條件中選擇一個(gè)條件完成該題目：①；②；③.（1）求A大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角得正弦公式即可得解；選②，利用余弦定理即可得解；選③，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系化切為弦及兩角和得正弦公式即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根據(jù)三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)即可得解.【小問(wèn)1詳解】選①，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，所以，因?yàn)?，所以；選②，因?yàn)椋?，又，所以；選③，因?yàn)?，由正弦定理得，即，則，則，又，所以，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】由（1）得，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍為.22.已知，是平面內(nèi)任意兩個(gè)非零不共線向量，過(guò)平面內(nèi)任一點(diǎn)O作，，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線、為x、y軸的正半軸，建立平面坐標(biāo)系，如左圖.我們把這個(gè)由基底，確定的坐標(biāo)系稱為基底坐標(biāo)系.當(dāng)向量，不垂直時(shí)，坐標(biāo)系就是平面斜坐標(biāo)系，簡(jiǎn)記為.對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)P，連結(jié)OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，則稱實(shí)數(shù)對(duì)為點(diǎn)Р在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).今有斜坐標(biāo)系（長(zhǎng)度單位為米，如右圖），且，，設(shè)（1）計(jì)算的大?。唬?）質(zhì)點(diǎn)甲在上距O點(diǎn)4米的點(diǎn)A處，質(zhì)點(diǎn)乙在Oy上距O點(diǎn)1米的點(diǎn)B處，現(xiàn)在甲沿的方向，乙沿的方向同時(shí)以3米/小時(shí)的速度移動(dòng).①若過(guò)2小時(shí)后質(zhì)點(diǎn)甲到達(dá)C點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)乙到達(dá)D點(diǎn)，請(qǐng)用，，表示；②若時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)甲到達(dá)M點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)乙到達(dá)N點(diǎn)，求兩質(zhì)點(diǎn)何時(shí)相距最短，并求出最短距離.【答案】（1）