2025屆高考物理一輪復(fù)習(xí)第四章曲線運動萬有引力與航天第4講萬有引力與航天教學(xué)案滬科版

PAGE20-第4講萬有引力與航天學(xué)問排查學(xué)問點一開普勒三定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第肯定律(軌道定律)全部行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上開普勒其次定律(面積定律)對隨意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)全部行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個與行星無關(guān)與中心天體有關(guān)的常量學(xué)問點二萬有引力定律1.內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比。2.表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3.適用條件(1)公式適用于質(zhì)點間的相互作用。當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點。(2)公式適用于質(zhì)量分布勻稱的球體之間的相互作用，r是兩球心間的距離。學(xué)問點三宇宙速度1.三個宇宙速度第一宇宙速度(環(huán)繞速度)v1＝7.9km/s，是人造衛(wèi)星的最小放射速度，衛(wèi)星環(huán)繞地球的最大速度其次宇宙速度v2＝11.2km/s，使物體擺脫地球引力束縛的最小放射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，使物體擺脫太陽引力束縛的最小放射速度2.第一宇宙速度的求解第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在地面旁邊繞地球做勻速圓周運動的速度，也稱為最大環(huán)繞速度。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s(2)由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝7.9km/s學(xué)問點四時空觀1.經(jīng)典時空觀(1)在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量是不隨運動狀態(tài)而變更的。(2)在經(jīng)典力學(xué)中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應(yīng)時間的測量結(jié)果在不同的參考系中是相同的。2.相對論時空觀在狹義相對論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應(yīng)時間的測量結(jié)果在不同的參考系中是不同的。小題速練1.思索推斷(1)行星在橢圓軌道上運行速率是變更的，離太陽越遠(yuǎn)，運行速率越大。()(2)只要知道兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計算物體間的萬有引力。()(3)第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最小速度。()(4)放射探月衛(wèi)星的速度必需大于其次宇宙速度。()(5)若物體的速度大于其次宇宙速度而小于第三宇宙速度，則物體可繞太陽運行。()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.下列說法正確的是()A.伽利略發(fā)覺了萬有引力定律，并測得了引力常量B.依據(jù)表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，當(dāng)r趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大C.在由開普勒第三定律得出的表達(dá)式eq\f(r3,T2)＝k中，k是一個與中心天體有關(guān)的常量D.兩物體間的萬有引力總是大小相等、方向相反，是一對平衡力解析牛頓發(fā)覺了萬有引力定律，卡文迪許測得了引力常量，故選項A錯誤；表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)中，當(dāng)r趨近于零時，萬有引力定律不適用，故選項B錯誤；表達(dá)式eq\f(r3,T2)＝k中，k是一個與中心天體有關(guān)的常量，故選項C正確；物體間的萬有引力總是大小相等、方向相反，是一對相互作用力，故選項D錯誤。答案C3.(2024·全國卷Ⅱ，14)2024年1月，我國嫦娥四號探測器勝利在月球背面軟著陸。在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變更關(guān)系的圖象是()解析由萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)可知，探測器與地球表面距離h越大，F(xiàn)越小，解除B、C；而F與h不是一次函數(shù)關(guān)系，解除A，選項D正確。答案D開普勒行星運動定律的理解和應(yīng)用1.開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。2.開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，但該定律只能用在同一中心天體的星體之間。3.運用開普勒行星運動定律分析求解橢圓軌道運動問題時，推斷行星運動速度的變更，可結(jié)合功能關(guān)系進(jìn)行分析。行星(或運動天體)處在離太陽(或所環(huán)繞的天體)越遠(yuǎn)的位置，速度越??；處在離太陽(或所環(huán)繞的天體)越近的位置，速度越大。教材引領(lǐng)1.[人教版必修2·P36·T1]地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑在天文學(xué)上常用來作為長度單位，叫做天文單位，用來量度太陽系內(nèi)天體與太陽的距離。已知火星公轉(zhuǎn)的軌道半徑是1.5天文單位，依據(jù)開普勒第三定律，火星公轉(zhuǎn)的周期是多少天？解析行星繞太陽的運動按圓軌道處理，依據(jù)開普勒第三定律有eq\f(req\o\al(3,地日),Teq\o\al(2,地球公轉(zhuǎn)))＝eq\f(req\o\al(3,火日),Teq\o\al(2,火星公轉(zhuǎn)))，即Teq\o\al(2,火星公轉(zhuǎn))＝eq\f(req\o\al(3,火日),req\o\al(3,地日))Teq\o\al(2,地球公轉(zhuǎn))＝eq\f(1.53,13)×3652，所以T火星公轉(zhuǎn)＝eq\r(1.53)×365天≈671天。答案671天真題闖關(guān)2.(2024·全國卷Ⅲ)為了探測引力波，“天琴安排”預(yù)料放射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為()A.2∶1 B.4∶1C.8∶1 D.16∶1解析由開普勒第三定律得eq\f(r3,T2)＝k，故eq\f(TP,TQ)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(RP,RQ)))\s\up12(3))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,4)))\s\up12(3))＝eq\f(8,1)，C正確。答案C3.(多選)(2024·全國卷Ⅱ)如圖1，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠(yuǎn)日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0，若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過M、Q到N的運動過程中()圖1A.從P到M所用的時間等于eq\f(T0,4)B.從Q到N階段，機(jī)械能漸漸變大C.從P到Q階段，速率漸漸變小D.從M到N階段，萬有引力對它先做負(fù)功后做正功解析由行星運動的對稱性可知，從P經(jīng)M到Q點的時間為eq\f(1,2)T0，依據(jù)開普勒其次定律可知，從P到M運動的速率大于從M到Q運動的速率，可知從P到M所用的時間小于eq\f(1,4)T0，選項A錯誤；海王星在運動過程中只受太陽的引力作用，故機(jī)械能守恒，選項B錯誤；依據(jù)開普勒其次定律可知，從P到Q階段，速率漸漸變小，選項C正確；海王星受到的萬有引力指向太陽，從M到N階段，萬有引力對它先做負(fù)功后做正功，選項D正確。答案CD萬有引力定律的理解及應(yīng)用1.萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是供應(yīng)物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖2所示。圖2(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和。(4)越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。2.星體表面上的重力加速度(1)在地球表面旁邊的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)考法萬有引力的計算【例1】如圖3所示，有一個質(zhì)量為M，半徑為R，密度勻稱的大球體。從中挖去一個半徑為eq\f(R,2)的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點，則大球體的剩余部分對該質(zhì)點的萬有引力大小為(已知質(zhì)量分布勻稱的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零)()圖3A.Geq\f(Mm,R2) B.0C.4Geq\f(Mm,R2) D.Geq\f(Mm,2R2)解析若將挖去的小球體用原材料補(bǔ)回，可知剩余部分對m的吸引力等于完整大球體對m的吸引力與挖去小球體對m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對m的萬有引力為零，則剩余部分對m的萬有引力等于完整大球體對m的萬有引力；以大球體球心為中心分別出半徑為eq\f(R,2)的球，易知其質(zhì)量為eq\f(1,8)M，則剩余勻稱球殼對m的萬有引力為零，故剩余部分對m的萬有引力等于分別出的球?qū)ζ涞娜f有引力，依據(jù)萬有引力定律，F(xiàn)＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝Geq\f(Mm,2R2)，故D正確。答案D考法與重力加速度有關(guān)的計算【例2】(2024·江西撫州模擬)由中國科學(xué)院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進(jìn)展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”勝利對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、其次。若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布勻稱的球體?！膀札垺毕聺撋疃葹閐，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的加速度之比為()圖4A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\f(（R－d）2,（R＋h）2)C.eq\f(（R－d）（R＋h）2,R3) D.eq\f(（R－d）（R＋h）,R2)解析令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有g(shù)＝Geq\f(M,R2)。由于地球的質(zhì)量為M＝ρ×eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表達(dá)式可寫成g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(\f(4,3)G·ρπR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR。依據(jù)題意有，質(zhì)量分布勻稱的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴钡闹亓铀俣萭′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)。所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R)。依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝ma，“天宮一號”的加速度為a＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(a,g)＝eq\f(R2,（R＋h）2)，eq\f(g′,a)＝eq\f(（R－d）（R＋h）2,R3)，故C正確，A、B、D錯誤。答案C1.在行星表面，測得以初速度10m/s豎直上拋一個小球可到達(dá)的最大高度只有1m，而行星的半徑只有地球的一半，則其平均密度和地球的平均密度之比為(地球表面重力加速度g取10m/s2)()A.5∶2 B.2∶5C.1∶10 D.10∶1解析依據(jù)h＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g)和g＝eq\f(GM,R2)可得，M＝eq\f(R2veq\o\al(2,0),2Gh)，即ρeq\f(4,3)πR3＝eq\f(R2veq\o\al(2,0),2Gh)，行星平均密度ρ＝eq\f(3veq\o\al(2,0),8πGRh)∝eq\f(1,Rh)，在地球表面以初速度10m/s豎直上拋一個小球可到達(dá)的最大高度h地＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g地)＝5m。據(jù)此可得，該類地行星和地球的平均密度之比為10∶1，選項D正確。答案D2.已知一質(zhì)量為m的物體分別靜止在北極與赤道時對地面的壓力差為ΔN，假設(shè)地球是質(zhì)量分布勻稱的球體，半徑為R。則地球的自轉(zhuǎn)周期為()A.T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN)) B.T＝2πeq\r(\f(ΔN,mR))C.T＝2πeq\r(\f(mΔN,R)) D.T＝2πeq\r(\f(R,mΔN))解析在北極，物體所受的萬有引力與支持力大小相等，在赤道處，物體所受的萬有引力與支持力的差值供應(yīng)其隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，由題意可得ΔN＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，解得T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN))，選項A正確。答案A中心天體質(zhì)量和密度的估算1.“g、R”法：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2.“T、r”法：測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。衛(wèi)星繞天體表面運行時，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)。教材引領(lǐng)1.[人教版必修2·P43·T3]某人造地球衛(wèi)星沿圓軌道運行，軌道半徑是6.8×103km，周期是5.6×103s，試從這些數(shù)據(jù)估算地球的質(zhì)量。(已知萬有引力常數(shù)G＝6.67×10－11N·m2/kg2)解析衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力供應(yīng)，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，得地球質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4π2×（6.8×106）3,6.67×10－11×（5.6×103）2)kg＝5.9×1024kg。答案5.9×1024kg拓展提升2.近年來，人類放射了多枚火星探測器，對火星進(jìn)行科學(xué)探究，為將來人類登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實的基礎(chǔ)。假如火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得該探測器運動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k是一個常數(shù))()A.ρ＝eq\f(k,T) B.ρ＝kTC.ρ＝kT2 D.ρ＝eq\f(k,GT2)解析由萬有引力定律供應(yīng)向心力知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，聯(lián)立M＝ρ·eq\f(4,3)πR3和r＝R，解得ρ＝eq\f(3π,GT2)，3π為一常數(shù)，設(shè)為k，故選項D正確。答案D3.(2024·濟(jì)南模擬)酷愛天文科學(xué)的某同學(xué)從網(wǎng)上得到一些關(guān)于月球和地球的信息，如下表中所示。依據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可以計算出地球和月球的密度之比為()月球半徑R0月球表面處的重力加速度g0地球和月球的半徑之比eq\f(R,R0)＝4地球表面和月球表面的重力加速度之比eq\f(g,g0)＝6A.3∶2 B.2∶3C.4∶1 D.6∶1解析在星球表面旁邊，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得星球質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，再由密度公式ρ＝eq\f(M,V)，體積公式V＝eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得地球和月球的密度之比eq\f(ρ地,ρ月)＝eq\f(g,g0)·eq\f(R0,R)＝eq\f(3,2)，選項A正確。答案A真題闖關(guān)4.(2024·北京理綜，17)利用引力常量G和下列有關(guān)數(shù)據(jù)，不能計算出地球質(zhì)量的是()A.地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B.人造衛(wèi)星在地面旁邊繞地球做圓周運動的速度及周期C.月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離D.地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離解析因為不考慮地球的自轉(zhuǎn)，所以衛(wèi)星的萬有引力等于重力，即eq\f(GM地m,R2)＝mg，得M地＝eq\f(gR2,G)，所以據(jù)A中給出的條件可求出地球的質(zhì)量；依據(jù)eq\f(GM地m衛(wèi),R2)＝m衛(wèi)eq\f(v2,R)和T＝eq\f(2πR,v)，得M地＝eq\f(v3T,2πG)，所以據(jù)B中給出的條件可求出地球的質(zhì)量；依據(jù)eq\f(GM地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，得M地＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以據(jù)C中給出的條件可求出地球的質(zhì)量；依據(jù)eq\f(GM太m地,r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r，得M太＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以據(jù)D中給出的條件可求出太陽的質(zhì)量，但不能求出地球質(zhì)量，本題選項D正確。答案D5.(2024·全國卷Ⅱ，16)2024年2月，我國500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)覺毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19ms。假設(shè)星體為質(zhì)量勻稱分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為()A.5×109kg/m3 B.5×1012kg/m3C.5×1015kg/m3 D.5×1018kg/m3解析毫秒脈沖星穩(wěn)定自轉(zhuǎn)時由萬有引力供應(yīng)其表面物體做圓周運動的向心力，依據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，得ρ＝eq\f(3π,GT2)，代入數(shù)據(jù)解得ρ≈5×1015kg/m3，C正確。答案C衛(wèi)星運行參量的比較與計算1.物理量隨軌道半徑變更的規(guī)律eq\a\vs4\al(規(guī),律)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(G\f(Mm,r2)＝,（r＝R地＋h）)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3),ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2)))\a\vs4\al(越,高,越,慢),mg＝\f(GMm,Req\o\al(2,地))（近地時）→GM＝gReq\o\al(2,地)))2.衛(wèi)星的運行軌道(1)赤道軌道(2)極地軌道(3)其他軌道圖5留意：軌道平面肯定通過地球的球心。3.利用萬有引力定律解決衛(wèi)星運動的技巧(1)一個模型衛(wèi)星的運動可簡化為質(zhì)點的勻速圓周運動模型。(2)兩組公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝mamg＝eq\f(GMm,R2)(g為天體表面處的重力加速度)(3)a、v、ω、T均與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，只由軌道半徑和中心天體質(zhì)量共同確定，全部參量的比較，最終歸結(jié)到半徑的比較。教材引領(lǐng)1.[人教版必修2·P48·T1]“2003年10月15日9時，我國神舟五號宇宙飛船在酒泉衛(wèi)星放射中心勝利放射，把中國第一位航天員楊利偉送入太空。飛船繞地球飛行14圈后，于10月16日6時23分平安著陸在內(nèi)蒙古主著陸場。”依據(jù)以上消息，近似地把飛船從放射到著陸的全部運動看做繞地球的勻速圓周運動，試估算神舟五號繞地球飛行時距地面的高度(已知地球的質(zhì)量M＝6.0×1024kg，地球的半徑R＝6.4×103km)。解析神舟五號繞地球運動的向心力由其受到地球的萬有引力供應(yīng)，則Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r,得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，其中周期T＝eq\f(24×60－（2×60＋37）,14)min＝91.64min，解得r＝eq\r(3,\f(6.67×10－11×6.0×1024×（91.64×60）2,4π2))m＝6.7×106m；所以其距地面的高度為h＝r－R＝6.7×106m－6.4×106m＝3×105m＝300km。答案300km拓展提升2.(多選)設(shè)地球的半徑為R0，質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地面2R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，則下列說法正確的是()A.衛(wèi)星的線速度為eq\r(\f(gR0,2)) B.衛(wèi)星的角速度為eq\r(\f(g,8R0))C.衛(wèi)星的加速度為eq\f(g,9) D.衛(wèi)星的周期為2πeq\r(\f(27R0,g))解析衛(wèi)星在距地面2R0高處做勻速圓周運動，由牛頓其次定律得Geq\f(m0m,req\o\al(2,2))＝meq\f(v2,r2)＝mω2r2＝meq\f(4π2r2,T2)＝ma，在地球表面處有Geq\f(m0m,req\o\al(2,1))＝mg，其中r1＝R0，r2＝3R0，解以上各式得v＝eq\r(\f(gR0,3))，ω＝eq\r(\f(g,27R0))，a＝eq\f(g,9)，T＝2πeq\r(\f(27R0,g))，選項A、B錯誤，C、D正確。答案CD3.(多選)P1、P2為相距遙遠(yuǎn)的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛(wèi)星s1、s2做勻速圓周運動。圖6中縱坐標(biāo)表示行星對四周空間各處物體的引力產(chǎn)生的加速度a，橫坐標(biāo)表示物體到行星中心的距離r的平方，兩條曲線分別表示P1、P2四周的a與r2的反比關(guān)系，它們左端點橫坐標(biāo)相同。則()圖6A.P1的平均密度比P2的大B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小C.s1的向心加速度比s2的大D.s1的公轉(zhuǎn)周期比s2的大解析由題圖可知兩行星半徑相同，則體積相同，由a＝Geq\f(M,r2)可知P1質(zhì)量大于P2，則P1密度大于P2，故A正確；第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，所以P1的“第一宇宙速度”大于P2的，故B錯誤；衛(wèi)星的向心加速度為a＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以s1的向心加速度大于s2，故C正確；由eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得T＝eq\r(\f(4π2（R＋h）3,GM))，故s1的公轉(zhuǎn)周期比s2的小，故D錯誤。答案AC真題闖關(guān)4.(2024·全國卷Ⅲ，15)金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金＜R地＜R火，由此可以判定()A.a金＞a地＞a火 B.a火＞a地＞a金C.v地＞v火＞v金 D.v火＞v地＞v金解析行星繞太陽做圓周運動，由牛頓其次定律和圓周運動學(xué)問可知Geq\f(mM,R2)＝ma，得向心加速度a＝eq\f(GM,R2)由Geq\f(mM,R2)＝meq\f(v2,R)得速度v＝eq\r(\f(GM,R))由于R金＜R地＜R火所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，選項A正確。答案A5.(多選)(2024·天津理綜)2024年2月2日，我國勝利將電磁監(jiān)測試驗衛(wèi)星“張衡一號”放射升空，標(biāo)記我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運行高精度地球物理場探測衛(wèi)星的國家之一。通過觀測可以得到衛(wèi)星繞地球運動的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度。若將衛(wèi)星繞地球的運動看作是勻速圓周運動，且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，依據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計算出衛(wèi)星的()圖7A.密度大小 B.向心力的大小C.離地高度的大小 D.線速度的大小解析衛(wèi)星做圓周運動的向心力由萬有引力供應(yīng)，設(shè)衛(wèi)星離地面的高度為h，則有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)(R＋h)，無法計算得到衛(wèi)星的質(zhì)量，更無法確定其密度及向心力大小，A、B項錯誤；又Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，聯(lián)立兩式可得h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，C項正確；由v＝eq\f(2π,T)(R＋h)，可計算出衛(wèi)星的線速度的大小，D項正確。答案CD活頁作業(yè)(時間：40分鐘)基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·山東等級考模擬卷)2024年10月28日發(fā)生了天王星沖日現(xiàn)象，即太陽、地球、天王星處于同始終線，此時是視察天王星的最佳時間。已知日地距離為R0，天王星和地球的公轉(zhuǎn)周期分別為T和T0，則天王星與太陽的距離為()A.eq\r(3,\f(T2,Teq\o\al(2,0)))R0 B.eq\r(\f(T3,Teq\o\al(3,0)))R0C.eq\r(3,\f(Teq\o\al(2,0),T2))R0 D.eq\r(\f(Teq\o\al(3,0),T3))R0解析由開普勒第三定律知eq\f(T2,R3)＝eq\f(Teq\o\al(2,0),Req\o\al(3,0))，得R＝eq\r(3,\f(T2,Teq\o\al(2,0)))R0，故A正確。答案A2.(2024·北京理綜，17)若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的狀況下，須要驗證()A.地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的1/602B.月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的1/602C.自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的1/6D.蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的1/60解析若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律——萬有引力定律，則應(yīng)滿意Geq\f(Mm,r2)＝ma，即加速度a與距離r的平方成反比，由題中數(shù)據(jù)知，選項B正確，其余選項錯誤。答案B3.“嫦娥四號”于2024年1月3日10時26分勝利完成人類首次月球背面軟著陸。為了實現(xiàn)地球與月球背面的通信，先期放射了一枚拉格朗日L2點中繼衛(wèi)星。拉格朗日L2點是指衛(wèi)星受太陽、地球兩大天體引力作用，能保持相對靜止的點，是五個拉格朗日點之一，位于日地連線上、地球外側(cè)約1.5×106km處。已知拉格朗日L2點與太陽的距離約為1.5×108km，太陽質(zhì)量約為2.0×1030kg，地球質(zhì)量約為6.0×1024kg。在拉格朗日L2點運行的中繼衛(wèi)星，受到太陽引力F1和地球引力F2大小之比為()A.100∶3 B.10000∶3C.3∶100 D.3∶10000解析太陽對中繼衛(wèi)星的引力為F1＝Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))，地球?qū)χ欣^衛(wèi)星的引力為F2＝Geq\f(M地m,req\o\al(2,2))，所以兩力之比為F1∶F2＝Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))∶Geq\f(M地m,req\o\al(2,2))＝100∶3。答案A4.地球的近地衛(wèi)星線速度約為8km/s，已知月球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,81)，地球半徑約為月球半徑的4倍，下列說法正確的是()A.在月球上放射衛(wèi)星的最小速度約為8km/sB.月球衛(wèi)星的環(huán)繞速度可能達(dá)到4km/sC.月球的第一宇宙速度約為1.8km/sD.“近月衛(wèi)星”的速度比“近地衛(wèi)星”的速度大解析依據(jù)第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，月球與地球的第一宇宙速度之比為eq\f(v2,v1)＝eq\r(\f(M2R1,M1R2))＝eq\r(\f(4,81))＝eq\f(2,9)，月球的第一宇宙速度約為v2＝eq\f(2,9)v1＝eq\f(2,9)×8km/s≈1.8km/s，在月球上放射衛(wèi)星的最小速度約為1.8km/s，月球衛(wèi)星的環(huán)繞速度小于1.8km/s?！敖滦l(wèi)星”的速度1.8km/s，小于“近地衛(wèi)星”的速度，故C正確。答案C5.(多選)質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在地面上未放射時的重力為G0，它在離地面的距離等于地球半徑R的圓形軌道上運行時的()A.周期為4πeq\r(\f(2mR,G0)) B.速度為eq\r(\f(2G0R,m))C.動能為eq\f(1,4)G0R D.重力為eq\f(1,2)G0解析由萬有引力供應(yīng)向心力，則有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma①由題意可知，r＝2R②質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在地面上未放射時的重力為G0，依據(jù)萬有引力等于重力得：GM＝gR2＝eq\f(G0,m)R2③由①②③解得：周期T＝4πeq\r(\f(2mR,G0))，則A正確；由①②③解得速度v＝eq\r(\f(G0R,2m))，則B錯誤；動能為Ek＝eq\f(1,4)G0R，則C正確；由a＝eq\f(GM,r2)，則重力為ma＝eq\f(G0,4)，則D錯誤。答案AC6.(多選)宇航員在地球表面以肯定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面旁邊的重力加速度為g′，地球的質(zhì)量為M地該星球的質(zhì)量為M星，空氣阻力不計。則()A.g′∶g＝1∶5B.g′∶g＝5∶2C.M星∶M地＝1∶20D.M星∶M地＝1∶80解析由速度對稱性知豎直上拋的小球在空中運動時間t＝eq\f(2v0,g)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，選項A正確，B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，因而eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′Req\o\al(2,星),gReq\o\al(2,地))＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,80)，選項C錯誤，D正確。答案AD7.(2024·天津卷，1)2024年12月8日，肩負(fù)著億萬中華兒女探月飛天幻想的嫦娥四號探測器勝利放射，“實現(xiàn)人類航天器首次在月球背面巡察探測，領(lǐng)先在月背刻上了中國蹤跡”。已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，探測器的質(zhì)量為m，引力常量為G，嫦娥四號探測器圍繞月球做半徑為r的勻速圓周運動時，探測器的()圖1A.周期為eq\r(\f(4π2r3,GM)) B.動能為eq\f(GMm,2R)C.角速度為eq\r(\f(Gm,r3)) D.向心加速度為eq\f(GM,R2)解析探測器繞月運動由萬有引力供應(yīng)向心力，對探測器，由牛頓其次定律得，Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，解得周期T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知，動能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，B錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝mrω2得，角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，C錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得，向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，D錯誤。答案A綜合提能練8.(2024·西安聯(lián)考)假設(shè)宇宙中有兩顆相距無限遠(yuǎn)的行星A和B，半徑分別為RA和RB。兩顆行星四周衛(wèi)星的軌道半徑的三次方(r3)與運行周期的平方(T2)的關(guān)系如圖2所示；T0為衛(wèi)星環(huán)繞行星表面運行的周期。則()圖2A.行星A的質(zhì)量小于行星B的質(zhì)量B.行星A的密度小于行星B的密度C.行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度D.當(dāng)兩行星的衛(wèi)星軌道半徑相同時，行星A的衛(wèi)星向心加速度大于行星B的衛(wèi)星向心加速度解析依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力得出Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，依據(jù)圖象可知，行星A的eq\f(r3,T2)比行星B的大，所以行星A的質(zhì)量大于行星B的質(zhì)量，故選項A錯誤；由圖象可知，衛(wèi)星在兩顆行星表面做勻速圓周運動的周期相同，密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GTeq\o\al(2,0))，所以行星A的密度等于行星B的密度，故選項B錯誤；第一宇宙速度v＝eq\f(2πR,T)，行星A的半徑大于行星B的半徑，衛(wèi)星環(huán)繞行星表面的周期相同，則行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度，故選項C錯誤；依據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq\f(M,r2)，當(dāng)兩行星的衛(wèi)星軌道半徑相同時，A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量，則行星A的衛(wèi)星向心加速度大于行星B的衛(wèi)星向心加速度，故選項D正確。答案D9.(多選)(2024·山東青島二中模擬)2024年1月，我國在西昌衛(wèi)星放射中心用長征三號乙運載火箭以“一箭雙星”方式勝利放射第26、27顆北斗導(dǎo)航組網(wǎng)衛(wèi)星，兩顆衛(wèi)星屬于中軌道衛(wèi)星，運行于半徑為10354km的圓形軌道上。衛(wèi)星軌道平面與赤道平面成55°傾角。關(guān)于這兩顆衛(wèi)星，以下說法正確的是()A.兩顆衛(wèi)星的周期相等、運行速率相等B.兩顆衛(wèi)星均為通信運用，故均為地球同步衛(wèi)星C.兩顆衛(wèi)星從地球上看是移動的，但每天經(jīng)過特定的地區(qū)上空D.兩顆衛(wèi)星的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析兩顆衛(wèi)星的軌道半徑及軌道平面相同，則運行的周期相等、運行速率相等，選項A正確；因兩顆衛(wèi)星的軌道平面不與赤道重合，則兩顆衛(wèi)星不行能是地球的同步衛(wèi)星，選項B錯誤；兩顆衛(wèi)星從地球上看是移動的，但因不是地球的同步衛(wèi)星，則每天不行能經(jīng)過特定的地區(qū)上空，選項C錯誤；依據(jù)a＝eq\f(GM,r2)可知，兩顆衛(wèi)星的向心加速度小于地球表面的重力加速度，選項D正確。答案AD10.我國實施“嫦娥三號”的放射和落月任務(wù)，進(jìn)一步獲得月球的相關(guān)數(shù)據(jù)。假如該衛(wèi)星在月球上空繞月做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t，衛(wèi)星行程為s，衛(wèi)星與月球中心連線掃過的角度是1弧度，萬有引力常量為G，依據(jù)以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量是()圖3A.eq\f(t2,Gs3) B.eq\f(s3,Gt2)C.eq\f(Gt2,s3) D.eq\f(Gs3,t2)解析由題意可知，該衛(wèi)星的線速度v＝eq\f(s,t)，角速度ω＝eq\f(1,t)，轉(zhuǎn)動半徑R＝eq\f(v,ω)＝s，由萬有引力供應(yīng)向心力得eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得M＝eq\f(s3,Gt2)，選項B正確。答案B11.20世紀(jì)人類最宏大的創(chuàng)舉之一是開拓了太空的全新領(lǐng)域?，F(xiàn)有一艘遠(yuǎn)離星球在太空中直線飛行的宇宙飛船，為了測量自身質(zhì)量，啟動推動器，測出飛船在短時間Δt內(nèi)速度的變更為Δv，和飛船受到的推力F(其它星球?qū)λ囊珊鲆?。飛船在某次航行中，當(dāng)它飛近一個孤立的星球時，飛船能以速度v，在離星球的較高軌道上繞星球做周期為T的勻速圓周運動，已知星球的半徑為R，引力常量用G表示。則宇宙飛船和星球的質(zhì)量分別是()圖4A.eq\f(FΔv,Δt)，eq\f(v2R,G) B.eq\f(FΔv,Δt)，eq\f(v3T,2πG)C.eq\f(FΔt,Δv)，eq\f(v2R,G) D.eq\f(FΔt,Δv)，eq\f(v3T,2πG)解析依據(jù)牛頓其次定律可知F＝ma＝meq\f(Δv,Δt)，所以飛船質(zhì)量為m＝eq\f(FΔt,Δv)。飛船做勻速圓周運動的周期T＝eq\f(2πr,v)，得半徑為r＝eq\f(Tv,2π)，依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得星球質(zhì)量M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(v3T,2πG)，故選項D正確。答案D12.(多選)據(jù)報道，中國在2024年底放射全球首顆專業(yè)夜光