2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1不等關(guān)系3.1.2不等關(guān)系與不等式課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)17不等關(guān)系與不等式時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．若a<0<b，則下列不等式恒成立的是(D)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．－a>bC．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3<b3解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閑q\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，取a＝－1，b＝2，可知選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取a＝－1，b＝2，可知選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閍3<0，b3>0，所以選項(xiàng)D正確．2．已知a>b>c，則下列不等式中正確的是(C)A．a(chǎn)c>bc B．a(chǎn)c2>bc2C．b(a－b)>c(a－b) D．|ac|>|bc|解析：∵a>b，∴a－b>0，又b>c，從而b(a－b)>c(a－b)．3．已知x>0，y>0，M＝eq\f(x＋y,2)，N＝eq\f(2xy,x＋y)，則M與N的大小關(guān)系為(B)A．M>N B．M≥NC．M≤N D．M<N解析：M－N＝eq\f((x＋y)2－4xy,2(x＋y))＝eq\f((x－y)2,2(x＋y)).∵x>0，y>0，∴x＋y>0.又(x－y)2≥0，∴M－N≥0，即M≥N.4．若－1<α<β<1，則下面各式中恒成立的是(A)A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1解析：由題意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此選A.5．不等式①x2＋2>x；②x2＋y2≥2(x＋y－1)；③x2＋1>x中，恒成立的個(gè)數(shù)是(D)A．0B．1C．2D．3解析：①x2＋2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>0；②x2＋y2－2(x＋y－1)＝(x－1)2＋(y－1)2≥0；③x2＋1－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以三個(gè)不等式都恒成立．6．已知0<a<1，x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)，y＝eq\f(1,2)loga5，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)，則(C)A．x>y>zB．z>y>xC．y>x>zD．z>x>y解析：先將x，y，z變成同底數(shù)的式子，再比較真數(shù)的大小，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來分析．∵x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)＝logaeq\r(6)，y＝eq\f(1,2)loga5＝logaeq\r(5)，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)＝logaeq\r(7)，由0<a<1知，函數(shù)f(x)＝logax為減函數(shù)，∴y>x>z.7．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列推斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b與a<b及a＝b中至少有一個(gè)成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立．則其中推斷正確的個(gè)數(shù)是(C)A．0B．1C．2D．3解析：①②正確，③錯(cuò)誤．8．假如a>0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么(A)A．M>N B．M<NC．M＝N D．M，N的大小無法確定解析：M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1).若a>1，則a3>a2，∴eq\f(a3＋1,a2＋1)>1，∴l(xiāng)ogaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，∴M>N；若0<a<1，則0<a3<a2，∴0<a3＋1<a2＋1，∴0<eq\f(a3＋1,a2＋1)<1，∴l(xiāng)ogaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，∴M>N，故選A.二、填空題9．x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，x與y的大小關(guān)系是x<y.解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.10．已知a>b>0，且c>d>0，則eq\r(\f(a,d))與eq\r(\f(b,c))的大小關(guān)系是eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c)).解析：∵c>d>0，∴eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，∵a>b>0，∴eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，∴eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c)).11．若1<a<3，－4<b<2，則a－|b|的取值范圍是(－3,3)．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1＜a<3，∴－3<a－|b|<3.三、解答題12．設(shè)x≥1，y≥1，證明：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.證明：∵x≥1，y≥1，∴x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.將上式中的右式減左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)·(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，∴x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.13．若a≠－1，且a∈R，試比較eq\f(1,1＋a)與1－a的大?。猓阂?yàn)閑q\f(1,1＋a)－(1－a)＝eq\f(a2,1＋a)，故(1)當(dāng)a>－1且a≠0時(shí)，eq\f(1,1＋a)>1－a；(2)當(dāng)a<－1時(shí)，eq\f(1,1＋a)<1－a；(3)當(dāng)a＝0時(shí)，eq\f(1,1＋a)＝1－a.——實(shí)力提升類——14．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿意3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，則eq\f(x3,y4)的最大值是27.解析：因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2∈[16,81]，eq\f(1,xy2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3)))，所以eq\f(x3,y4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2·eq\f(1,xy2)∈[2,27]，所以eq\f(x3,y4)的最大值是27.15．某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場大暴雨，為確保萬無一失，指揮部確定在24小時(shí)內(nèi)筑一道堤壩以防山洪沉沒正在驚慌施工的隧道工程．經(jīng)測算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還須要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)，但是，除了有一輛翻斗車可以馬上投入施工外，其余翻斗車輛須要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛翻斗車到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛翻斗車．問24小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說出理由．解：由20輛翻斗車同時(shí)工作24小時(shí)可完成全部工程可知，每輛翻斗車每小時(shí)的工作效率為eq\f(1,480)，設(shè)從第一輛翻斗車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，a2，…，a25小時(shí)，依題意，它們是組成公差d＝－eq\f(1,3)(小時(shí))的等差數(shù)列，且an≤24(n＝1,2,3，…，25)