12.4全等三角形（單元檢測）（解析版）

12.4全等三角形（單元檢測）一、單選題(共36分)1．(本題3分)如圖，在中，，，的平分線與的外角的平分線交于E點，連接AE，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作EF⊥AC交CA的延長線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長線于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算得到答案．【詳解】作EF⊥AC交CA的延長線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長線于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，∵∠CAB＝40°，∴∠BAF＝140°，∴∠EAB＝70°，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝65°，∴∠AEB＝180°?∠EAB?∠ABE＝45°，故選B．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義的正確運用．2．(本題3分)如圖，E是的平分線AD上任意一點，且，則圖中全等三角形有（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對【答案】B【分析】根據(jù)題意可知：AB=AC，E是角平分線AD上任意一點，根據(jù)三角形全等的判定方法可知全等的三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．【詳解】∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和△ACD中，，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，

在△BED和△CED中，，

∴△BDE≌△CDE（SAS），

在△ABE和△ACE中，，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

共3對全等三角形，

故選：B．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．以及HL．3．(本題3分)如圖，AD是的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點，且，連結(jié)BF，CE．下列說法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)“”可證明，則可對④進行判斷；利用全等三角形的性質(zhì)可對①進行判斷；由于與不能確定相等，則根據(jù)三角形面積公式可對②進行判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，則利用平行線的判定方法可對③進行判斷．【詳解】是的中線，，，，，所以④正確；，所以①正確；與不能確定相等，和面積不一定相等，所以②錯誤；，，，所以③正確；故選：．【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的5種判定方法是解題的關(guān)鍵．4．(本題3分)如圖，是的中線，，分別是和延長線上的點，且，連結(jié)，．下列說法：①；②和面積相等；③；④．其中正確的有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD，然后利用“邊角邊”證明△BDF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=BF，全等三角形對應角相等可得∠F=∠CED，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得BF∥CE，最后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出②正確．【詳解】∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正確∴CE=BF，∠F=∠CED，故①正確，∴BF∥CE，故③正確，∵BD=CD，點A到BD、CD的距離相等，∴△ABD和△ACD面積相等，故②正確，綜上所述，正確的是①②③④共4個．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等底等高的三角形的面積相等，平行線的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖是解題的關(guān)鍵．5．(本題3分)下列敘述中錯誤的是（）A．能夠完全重合的圖形稱為全等圖形B．全等圖形的形狀和大小都相同C．所有正方形都是全等圖形D．形狀和大小都相同的兩個圖形是全等圖形【答案】C【解析】解：A．能夠重合的圖形稱為全等圖形，說法正確，故本選項錯誤；B．全等圖形的形狀和大小都相同，說法正確，故本選項錯誤；C．所有正方形不一定都是全等圖形，說法錯誤，故本選項正確；D．形狀和大小都相同的兩個圖形是全等圖形，說法正確，故本選項錯誤；故選C．6．(本題3分)如圖，在中，分別是上的點，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)AB=AC，∠A=112°求得∠B=∠C=34°，再證明△BED≌△CDF得到∠BDE=∠CFD，由∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CFD+∠C+∠CDF=180°，推出∠EDF=∠C=34°.【詳解】∵AB=AC，∠A=112°，∴∠B=∠C=34°，∵,∴△BED≌△CDF，∴∠BDE=∠CFD，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CFD+∠C+∠CDF=180°，∴∠EDF=∠C=34°，故選：B.【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和的運用.7．(本題3分)如圖，是上一點，交于點，，，若，，則的長是()A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，根據(jù)全等三角形的判定，得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)，，即可求線段的長．【詳解】∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴.故選B．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應用，能判定是解此題的關(guān)鍵．8．(本題3分)如圖，已知在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是（）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】過D作DE⊥AB交BA的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，過D作DE⊥AB交BA的延長線于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，

∴DE=CD=4，∴四邊形的面積故選B.【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．(本題3分)如圖,△ABC≌△DCB,若∠A=80°,∠ACB=40°,則∠ACD等于（）A．80° B．60° C．40° D．20°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠DCB的度數(shù)，計算即可．【詳解】∵∠A=80°，∠ACB=40°，∴∠ABC=60°，∵△ABC≌△DCB，∴∠DCB=∠ABC=60°，∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=60°-40°=20°，故選D．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應邊相等、全等三角形的對應角相等是解題的關(guān)鍵．10．(本題3分)平面上有與，其中與相交于點，如圖．若，，，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【分析】易證，由全等三角形的性質(zhì)可知：，再根據(jù)已知條件和四邊形的內(nèi)角和為，即可求出的度數(shù)．【詳解】在和中，，，，，，，，，，，，，，，故選：C．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用整體的數(shù)學思想求出．11．(本題3分)如圖，一種測量工具，點O是兩根鋼條AC、BD中點，并能繞點O轉(zhuǎn)動.由三角形全等可得內(nèi)槽寬AB與CD相等，其中△OAB≌△OCD的依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS【答案】C【分析】由O是AC、BD的中點，可得AO=CO，BO=DO，再由∠AOB=∠COD，可以根據(jù)全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OCD，即可得出結(jié)論．【詳解】∵O是AC、BD的中點，∴AO=CO，BO=DO．在△OAB和△OCD中，∵AO=CO，∠AOB=∠COD，BO=DO，∴△OAB≌△OCD（SAS），∴AB=CD．故選C．【點評】本題主要全等三角形的應用，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要證明兩個三角形全等，必須有對應邊相等這一條件．12．(本題3分)下列條件不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩條直角邊對應相等 B．斜邊和一銳角對應相等C．斜邊和一直角邊對應相等 D．兩個銳角對應相等【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】、可以利用邊角邊判定兩三角形全等，故本選項不合題意；、可以利用角角邊判定兩三角形全等，故本選項不合題意；、根據(jù)斜邊直角邊定理判定兩三角形全等，故本選項不合題意；、三個角對應相等不能證明兩三角形全等，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法；本題主要利用三角形全等的判定，運用好有一對相等的直角這一隱含條件是解題的關(guān)鍵．二、填空題(共12分)13．(本題3分)如圖10，某同學把一塊三角形的玻璃打碎成三片，現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃．那么最省事的辦法是帶________去配，這樣做的數(shù)學依據(jù)是是_______________________________．【答案】③兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【詳解】第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的；

第三塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．

故答案為③；兩個角及它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．【點評】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是要認真觀察圖形，根據(jù)已知選擇判定方法．14．(本題3分)如圖，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P點從B向A運動，每分鐘走1m，Q點從B向D運動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發(fā)，運動_______分鐘后△CAP與△PQB全等．【答案】4【分析】設(shè)運動x分鐘后△CAP與△PQB全等；則BP=xm，BQ=2xm，則AP=（12-x）m，分兩種情況：①若BP=AC，則x=4，此時AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，則12-x=x，得出x=6，BQ=12≠AC，即可得出結(jié)果．【詳解】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°，

設(shè)運動x分鐘后△CAP與△PQB全等；

則BP=xm，BQ=2xm，則AP=（12-x）m，

分兩種情況：

①若BP=AC，則x=4，

AP=12-4=8，BQ=8，AP=BQ，

∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，則12-x=x，

解得：x=6，BQ=12≠AC，

此時△CAP與△PQB不全等；

綜上所述：運動4分鐘后△CAP與△PQB全等；

故答案為：4．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知識；本題難度適中，需要進行分類討論．15．(本題3分)如圖，己知，的延長線過點E且交點F，，，，則_________.【答案】35°.【分析】由△ABC≌△ADE可得∠B=∠D=50°，再在△ACF和△DEF中應用三角形的內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=50°，∵∠ACB=105°，∴∠ACE=75°，在△ACF和△DEF中，∵∠ACE+∠CAF+∠AFC=∠D+∠DEF+∠DFE，∠AFC=∠DFE，∴75°+10°=50°+∠DEF，∴∠DEF=35°.故答案為35°.【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型，掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是關(guān)鍵.16．(本題3分)如圖,已知△ABC的兩條高AD、BE交于F,AE=BE,若要運用“HL”說明△AEF≌△BEC，還需添加條件：_______________.【答案】AF=BC【解析】HL指的是斜邊、直角邊定理，只能添加兩條斜邊相等，即AF=BC.三、解答題(共72分)17．(本題8分)如圖，△ABC≌△DBE，點D在邊AC上，BC與DE交于點P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CDE的度數(shù)．【答案】∠CDE＝66°．【分析】先求出∠ABD+∠CBE＝132°，再根據(jù)三角形全等得到∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，進而求出∠ABD＝∠CBE＝66°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CDE＝∠CBE＝66°．【詳解】∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD+∠CBE＝132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，∵∠CPD＝∠BPE，∴∠CDE＝∠CBE＝66°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)全等性質(zhì)證明∠ABD＝∠CBE是解題關(guān)鍵.18．(本題8分)如圖（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝5cm．點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時點Q在射線BD上運動．它們運動的時間為t（s）（當點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA”，點Q的運動速度為xcm/s，其它條件不變，當點P、Q運動到何處時有△ACP與△BPQ全等，求出相應的x的值．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由見解析；（2）2或【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根據(jù)“SAS”證明△ACP≌△BPQ；則∠C＝∠BPQ，然后證明∠APC＋∠BPQ＝90°，從而得到PC⊥PQ；（2）討論：若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分別求出x即可．【詳解】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C＋∠APC＝90°，∴∠APC＋∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．綜上所述，當△ACP與△BPQ全等時x的值為2或．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關(guān)鍵．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．19．(本題8分)如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，點D為AB的中點．（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B出發(fā)都逆時針沿△ABC三邊運動，直接寫出經(jīng)過多少秒后，點P與點Q第一次在△ABC的那一條邊上相遇．【答案】（1）①△BPD與△CQP全等，②點Q的運動速度是cm/s．（2）經(jīng)過30秒后點P與點Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．【分析】（1）①根據(jù)SAS即可判斷；②利用全等三角形的性質(zhì)，判斷出對應邊，根據(jù)時間．路程、速度之間的關(guān)系即可解決問題；（2）求出Q的運動路程，與根據(jù)三角形ABC周長的整數(shù)倍進行比較，即可得出相遇點的位置．【詳解】（1）①△BPD與△CQP全等，∵點P的運動速度是1cm/s，∴點Q的運動速度是1cm/s，∴運動1秒時，BP=CQ=1cm，∵BC=6cm，∴CP=5cm，∵AB=10，D為AB的中點，∴BD=5，∴BD=CP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP．②點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則BP≠CQ，若△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此時，點P運動3cm，需3秒，而點Q運動5cm，∴點Q的運動速度是cm/s．（2）設(shè)經(jīng)過t秒時，P、Q第一次相遇，∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，∴10+10+t=t，解得：t=30，此時點Q的路程=30×=50（厘米），∵50＜2×26，∴此時點Q在BC上，∴經(jīng)過30秒后點P與點Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的運用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．解題時注意全等三角形的對應邊相等．20．(本題8分)如圖，一個四邊形紙片ABCD，，把紙片按如圖所示折疊，使點B落在AD邊上的點，AE是折痕．（1）判斷與DC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如果，求的度數(shù)．【答案】（1）B′E∥DC，理由見解析；（2）65°【分析】（1）由于是的折疊后形成的，可得，可得B′E∥DC；（2）利用平行線的性質(zhì)和全等三角形求解．【詳解】（1）由于是的折疊后形成的，，；（2）折疊，△，，即，，，．【點評】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；把紙片按如圖所示折疊，使點落在邊上的點，則△，利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及判定求解．21．(本題8分)已知和位置如圖所示，，，．（1）試說明：；（2）試說明：．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△ADB≌△AEC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)論；（2）由可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可推出結(jié)論．【詳解】（1）在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵，∴，∵△ADB≌△AEC，∴，∴，即．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于常見題型，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．(本題10分)（1）如圖①，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系．解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個三角形中即可判斷．，，之間的等量關(guān)系________；（2）問題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2），理由詳見解析.【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，再根據(jù)AAS證得≌，于是，進一步即得結(jié)論；（2）延長交的延長線于點，如圖②，先根據(jù)AAS證明≌，可得，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，進而得出結(jié)論.【詳解】（1）.理由如下：如圖①，∵是的平分線，∴∵，∴，∴，∴.∵點是的中點，∴，又∵，∴≌（AAS），∴.∴.故答案為.（2）.理由如下：如圖②，延長交的延長線于點.∵，∴，又∵，，∴≌（AAS），∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴.【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對等邊等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．23．(本題10分)如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求證：BE=CD．【答案】證明見解析【解析】試題分析：首先證明∠BAE=∠CAD，再利用SAS證明△BAE≌△CAD即可．試題解析：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAE≌△CAD(SAS)，∴BE=CD.24．(本題12分)在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如圖①，若∠BPC＝α，則∠A＝；（用α的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)論）（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線交于點Q，試探究∠Q與∠BPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，延長線段CP、QB交于點E，