15.2.3整數(shù)指數(shù)冪（解析版）

15.2.3整數(shù)指數(shù)冪一、單選題1．下列各式計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用合并同類項(xiàng)及冪的有關(guān)運(yùn)算法則逐一檢查，排除不合題意選項(xiàng)，選出符合題意選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A、運(yùn)用合并同類項(xiàng)法則得不是，故運(yùn)算錯(cuò)誤；對(duì)于B、運(yùn)用積的乘法法則和冪的乘方法則得不是，故運(yùn)算錯(cuò)誤；對(duì)于C、運(yùn)用同底數(shù)冪相乘法則得不是，故運(yùn)算錯(cuò)誤；對(duì)于D、運(yùn)用負(fù)指數(shù)定義和冪的乘方法則得，故運(yùn)算正確．綜上所述，只有D選項(xiàng)運(yùn)算正確，符合題意．故選：D【點(diǎn)評(píng)】此題考查與冪相關(guān)的運(yùn)算法則．不要把同底數(shù)冪相乘和合并同類項(xiàng)相混淆，熟悉冪的運(yùn)算法則和負(fù)指數(shù)的意義是關(guān)鍵．2．H7N9病毒直徑為30納米，已知1納米=0.000000001米．用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)病毒直徑的大小，正確的是（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】由于1納米=10-9米，則30納米=30×10-9米，然后根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】1納米=0.000000001米=10-9米，30納米=30×10-9米=3×10-8米．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法-表示較小的數(shù)：用a×10n（1≤a＜10，n為負(fù)整數(shù)）表示較小的數(shù)．3．我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如下表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：指數(shù)運(yùn)算…31=3…新運(yùn)算=1=2=3…=1=2=3…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個(gè)式子：①，②，③，其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)題中的新定義法則判斷即可．【詳解】根據(jù)題意得：①log416=log442=2，故①正確；②，故②錯(cuò)誤③，故③正確．∴正確的式子是①③，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．4．據(jù)悉，華為Mate40Pro和華為Mate40Pro+搭載業(yè)界首款麒麟芯片，其中就是．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，其中；【詳解】0.000000005=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的形式，正確理解科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵；5．隨著電子制造技術(shù)的不斷進(jìn)步，電子元件的尺寸大幅度縮小，在芯片上某種電子元件大約只占0.0000007毫米2，0.0000007這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示即可；科學(xué)記數(shù)法就是將一個(gè)數(shù)字表示成（a×10的n次冪的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整數(shù)．【詳解】0.0000007=7×10-7．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．6．黃種人頭發(fā)直徑約為85微米，已知1納米=10-3微米，數(shù)據(jù)“85微米”用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．納米 B．納米 C．納米 D．納米【答案】C【分析】把微米轉(zhuǎn)化為納米，再寫成科學(xué)記數(shù)法即可．【詳解】85微米==85×103納米=8.5×104納米．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單位轉(zhuǎn)換和科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．7．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪乘法，合并同類項(xiàng)的運(yùn)算法則逐一判斷即可．【詳解】，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)正確；，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的運(yùn)算，冪的乘方、同底數(shù)冪乘法，合并同類項(xiàng)，關(guān)鍵是掌握各部分的運(yùn)算法則．8．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，然后判斷即可．【詳解】A、，錯(cuò)誤；B、，錯(cuò)誤；C、，錯(cuò)誤；D、，正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是按照整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，會(huì)進(jìn)行負(fù)指數(shù)的運(yùn)算．二、填空題9．計(jì)算：__________（要求結(jié)果用正整數(shù)指數(shù)冪表示）．【答案】【分析】先利用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，再利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，將結(jié)果用正整數(shù)指數(shù)冪表示即可．【詳解】故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和同底數(shù)冪的乘法法則，解答本題的關(guān)鍵是利用運(yùn)算法則解答問題．10．如果，，那么__________．【答案】4【分析】根據(jù)同底冪的除法法則計(jì)算．【詳解】原式=，故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底冪的運(yùn)算，熟練掌握同底冪的除法法則并能逆用是解題關(guān)鍵．11．已知：且代數(shù)式的值為9，那么的值是____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可以求得m的值和y-x的值，從而可以解答本題．【詳解】∵且代數(shù)式的值為9，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方式的應(yīng)用和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解答本題的關(guān)鍵是明確意義，求出m的值．12．人類進(jìn)入5G時(shí)代，科技競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈．據(jù)報(bào)道，我國(guó)某種芯片的制作工藝已達(dá)到28納米，居世界前列．已知1納米＝1×10﹣9米，則28納米等于多少米？將其結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為_____．【答案】2.8×10-8米【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】將28納米用科學(xué)記數(shù)法表示為2.8×10-8米，故答案為：2.8×10-8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．三、解答題13．計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）2；（2）3【分析】（1）根據(jù)正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算法則計(jì)算即可；（2）原式變形后，根據(jù)同分母分式的加減法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）原式；（2）原式，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．14．先化簡(jiǎn)，再解答下列問題：（1）當(dāng)a＝20210時(shí)，求原式的值；（2）若原式的值是正整數(shù)，則求出對(duì)應(yīng)的a的值．【答案】（1）3；（2）0或1．【分析】將分式分子分母利用提公因式，平方差以及完全平方公式，先乘除，后加減，最后得出化簡(jiǎn)的結(jié)果；（1）因?yàn)閍＝20210=1，代入化簡(jiǎn)后的式子求解出答案即可；（2）要使值為正整數(shù)，故分母要為負(fù)數(shù)且能夠被6整除，能得出答案，再結(jié)合分式有意義就可得出最終答案．【詳解】原式======（1）因?yàn)閍＝20210=1，代入原式==3（2）因?yàn)橐怪禐檎麛?shù)，故分母要為負(fù)數(shù)且能夠被6整除所以a-3的值可以是-6，-3，-2，-1故a=-3，0，1或2．當(dāng)a=-3或2的時(shí)候，原分式?jīng)]有意義故a的值取0或1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及0次方，熟練平方差以及完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．15．某超市有線上和線下兩種銷售方式，與2019年4月份相比，該超市2020年4月份銷售總額增長(zhǎng)，其中線上銷售額增長(zhǎng)，線下銷售額增長(zhǎng)．（1）設(shè)2019年4月份的銷售總額為元，線上銷售額為元，請(qǐng)用含，的代數(shù)式表示2020年4月份的銷售總額、線上銷售額、線下銷售額（直接在表格中填寫結(jié)果）；時(shí)間銷售總額（元）線上銷售額（元）線下銷售額（元）2019年4月份2020年4月份（2）求2020年4月份線下銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值．【答案】（1）；，；（2）．【分析】（1）2019年4月份的銷售總額為元乘以(1+10%)即可得到2020年4月份銷售總額，用2019年4月線上銷售額為元乘以（1+43%）即可得到2020年4月份線上銷售額，用2019年的銷售總額減去線上銷售額再乘以即可2020年4月份線下銷售額；（2）根據(jù)2020年銷售總額與線上線下銷售額的關(guān)系得到，再列式比較即可得到答案.【詳解】（1）與2019年4月份相比，該超市2020年4月份線下銷售額增長(zhǎng)，該超市2020年4月份線下銷售額為元．∵2019年4月線上銷售額為元，2020年4月份，線上銷售額增長(zhǎng)，∴2020年4月份線上銷售額（1+43%）x=1.43x，∵2019年4月份的銷售總額為元，該超市2020年4月份銷售總額增長(zhǎng)，∴2020年4月份的銷售總額(1+10%)=1.1a，時(shí)間銷售總額（元）線上銷售額（元）線下銷售額（元）2019年4月份2020年4月份（2）依題意，得：，解得：，．答：2020年4月份線下銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為0.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式與實(shí)際問題的應(yīng)用，一元一次方程與實(shí)際問題，列代數(shù)式，整式的除法計(jì)算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．16．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；1【分析】先算分式的加法運(yùn)算，再算除法運(yùn)算，進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后代入求值，即可．【詳解】原式＝＝＝＝，當(dāng)時(shí)，代入原式，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．17．先化簡(jiǎn)，再求值：÷（），其中x=20200+2﹣2．【答案】，．【分析】先利用提公因式法和公式法把的分子分母進(jìn)行因式分解，再根據(jù)分式的加減法計(jì)算括號(hào)內(nèi)的因式，最后把除法變乘法約最簡(jiǎn)，在根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算出的值，代入最簡(jiǎn)分式即可得到答案．【詳解】，當(dāng)，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則和因式分解，以及零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．18．（1）你發(fā)現(xiàn)了嗎？由上述計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)（）2（）﹣2；（2）仿照（1），請(qǐng)你通過計(jì)算，判斷（）3與（）﹣3之間的關(guān)系．（3）我們可以發(fā)現(xiàn)：（ab≠0）（4）計(jì)算：．【答案】（1）＝；（2）；（3）＝；（4）16【分析】（1）根據(jù)計(jì)算可以得到答案；

(2)分別計(jì)算出的值即可得到結(jié)果；

（3）分別計(jì)算出的值即可得到結(jié)果；

(4)根據(jù)（3）的結(jié)果計(jì)算即可．【詳解】（1）∵

∴，

故答案為＝；

（2）∵

∴

（3）由（1）、（2）知，

故答案為＝；

（4）原式＝

＝

＝

＝16×1

＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的應(yīng)用，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．19．（1）計(jì)算：（2）解方程組：（3）如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．①請(qǐng)?jiān)趫D中作出關(guān)于y軸對(duì)稱的并直接寫出，，的坐標(biāo)；②作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，直接寫出四邊形ABDC的面積．【答案】（1）；（2）；（3）①見解析；，，；②見解析；四邊形ABDC的面積是15．【分析】（1）首先計(jì)算開方、零指數(shù)冪，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可．（2）應(yīng)用加減消元法，求出方程組的解是多少即可；（3）①分別作出點(diǎn)A，B，C的對(duì)稱點(diǎn)A′，B′，C′，順次連接即可得；②利用割補(bǔ)法求解可得．【詳解】（1）（2）由②，得③①×4，得④③×3，得⑤⑤-④，得將代入①，得所以原方程組的解是（3）①如圖所示：即為所求；，，②如圖所示，點(diǎn)D即為所求四邊形ABDC的面積